Zadanie 1 (o obliczaniu pola zakrzywionego trapezu).

W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych xOy podana jest figura (patrz rysunek) ograniczona osią x, liniami prostymi x = a, x = b (zakrzywiony trapez. Wymagane jest obliczenie pola zakrzywionego trapezu.
Rozwiązanie. Geometria daje nam recepty na obliczanie pól wielokątów i niektórych części koła (sektora, odcinka). Korzystając z rozważań geometrycznych, możemy znaleźć jedynie przybliżoną wartość wymaganej powierzchni, rozumując w następujący sposób.

Podzielmy odcinek [a; b] (podstawa zakrzywionego trapezu) na n równych części; podział ten przeprowadza się za pomocą punktów x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Narysujmy przez te punkty proste linie równoległe do osi y. Następnie dany trapez krzywoliniowy zostanie podzielony na n części, na n wąskich kolumn. Pole całego trapezu jest równe sumie pól kolumn.

Rozważmy k-tą kolumnę osobno, tj. zakrzywiony trapez, którego podstawą jest odcinek. Zastąpmy go prostokątem o tej samej podstawie i wysokości równej f(x k) (patrz rysunek). Pole prostokąta jest równe \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdzie \(\Delta x_k \) to długość odcinka; Naturalne jest rozważenie powstałego produktu jako przybliżonej wartości pola k-tej kolumny.

Jeśli teraz zrobimy to samo ze wszystkimi pozostałymi kolumnami, dojdziemy do następującego wyniku: pole S danego trapezu krzywoliniowego jest w przybliżeniu równe polu S n figury schodkowej złożonej z n prostokątów (patrz rysunek):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tutaj, dla zachowania jednolitości zapisu, zakładamy, że a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - długość odcinka, \(\Delta x_1 \) - długość odcinka itp.; w tym przypadku, jak ustaliliśmy powyżej, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Zatem \(S \około S_n \) i ta przybliżona równość jest dokładniejsza, im większe n.
Z definicji uważa się, że wymagana powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest równa granicy ciągu (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Zadanie 2 (o przesuwaniu punktu)
Punkt materialny porusza się po linii prostej. Zależność prędkości od czasu wyraża się wzorem v = v(t). Znajdź ruch punktu w pewnym okresie czasu [a; B].
Rozwiązanie. Gdyby ruch był jednostajny, problem zostałby rozwiązany w bardzo prosty sposób: s = vt, tj. s = v(b-a). W przypadku nierównego ruchu trzeba posłużyć się tymi samymi pomysłami, na których opierało się rozwiązanie poprzedniego problemu.
1) Podziel przedział czasu [a; b] na n równych części.
2) Rozważmy okres czasu i załóżmy, że w tym czasie prędkość była stała, taka sama jak w chwili t k. Zakładamy więc, że v = v(t k).
3) Znajdźmy przybliżoną wartość ruchu punktu w czasie i tę przybliżoną wartość oznaczymy jako sk
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia s:
\(s \około S_n \) gdzie
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Wymagane przemieszczenie jest równe granicy ciągu (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Podsumujmy. Rozwiązania różnych problemów sprowadzono do tego samego modelu matematycznego. Wiele problemów z różnych dziedzin nauki i techniki prowadzi w procesie rozwiązania do tego samego modelu. Oznacza to, że ten model matematyczny musi zostać specjalnie przestudiowany.

Pojęcie całki oznaczonej

Podajmy opis matematyczny modelu, który zbudowano w trzech rozpatrywanych problemach dla funkcji y = f(x), ciągłej (ale niekoniecznie nieujemnej, jak założono w rozważanych zagadnieniach) na przedziale [a; B]:
1) podzielić odcinek [a; b] na n równych części;
2) uzupełnij sumę $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) oblicz $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

W toku analizy matematycznej wykazano, że granica ta istnieje w przypadku funkcji ciągłej (lub fragmentarycznie ciągłej). Nazywa się to całką oznaczoną funkcji y = f(x) po odcinku [a; b] i oznaczone następująco:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Liczby a i b nazywane są granicami całkowania (odpowiednio dolną i górną).

Wróćmy do zadań omówionych powyżej. Definicję obszaru podaną w Zadaniu 1 można teraz przepisać w następujący sposób:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tutaj S jest obszarem krzywoliniowego trapezu pokazanego na powyższym rysunku. Takie jest geometryczne znaczenie całki oznaczonej.

Definicja przemieszczenia s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w czasie od t = a do t = b, podana w Zadaniu 2, może zostać przepisana następująco:

Wzór Newtona-Leibniza

Najpierw odpowiedzmy sobie na pytanie: jaki jest związek pomiędzy całką oznaczoną a funkcją pierwotną?

Odpowiedź można znaleźć w zadaniu 2. Z jednej strony przemieszczenie s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w okresie od t = a do t = b oblicza się ze wzoru formuła
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Z drugiej strony współrzędna poruszającego się punktu jest funkcją pierwotną prędkości - oznaczmy ją jako s(t); Oznacza to, że przemieszczenie s wyraża się wzorem s = s(b) – s(a). W rezultacie otrzymujemy:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdzie s(t) jest funkcją pierwotną v(t).

W toku analizy matematycznej udowodniono następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła na przedziale [a; b], to formuła jest ważna
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdzie F(x) jest funkcją pierwotną f(x).

Powyższy wzór nazywany jest zwykle wzorem Newtona-Leibniza na cześć angielskiego fizyka Izaaka Newtona (1643-1727) i niemieckiego filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), którzy uzyskali go niezależnie od siebie i niemal jednocześnie.

W praktyce zamiast pisać F(b) - F(a), używają notacji \(\left. F(x)\right|_a^b \) (czasami nazywa się to podwójnym podstawieniem) i odpowiednio przepisują wzór Newtona-Leibniza w postaci:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Obliczając całkę oznaczoną, najpierw znajdź funkcję pierwotną, a następnie wykonaj podwójne podstawienie.

Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza możemy otrzymać dwie własności całki oznaczonej.

Właściwość 1. Całka sumy funkcji jest równa sumie całek:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Właściwość 2. Stały współczynnik można wyjąć ze znaku całki:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki oznaczonej

Za pomocą całki możesz obliczyć obszary nie tylko zakrzywionych trapezów, ale także figur płaskich bardziej złożonego typu, na przykład pokazanego na rysunku. Figurę P ograniczają proste x = a, x = b oraz wykresy funkcji ciągłych y = f(x), y = g(x) oraz na odcinku [a; b] zachodzi nierówność \(g(x) \leq f(x) \). Aby obliczyć pole S takiej figury, postępujemy w następujący sposób:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Zatem pole S figury ograniczone liniami prostymi x = a, x = b oraz wykresami funkcji y = f(x), y = g(x), ciągłe na odcinku i takie, że dla dowolnego x z odcinka [A; b] nierówność \(g(x) \leq f(x) \) jest spełniona, obliczona ze wzoru
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela całek nieoznaczonych (pierwszych) niektórych funkcji $$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^ (n +1))(n+1) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Zaczynamy rozważać faktyczny proces obliczania całki podwójnej i zapoznawać się z jej znaczeniem geometrycznym.

Całka podwójna jest liczbowo równa powierzchni figury płaskiej (obszarowi integracji). Jest to najprostsza postać całki podwójnej, gdy funkcja dwóch zmiennych jest równa jeden: .

Najpierw spójrzmy na problem w ogólnej formie. Teraz będziesz zaskoczony, jak wszystko jest naprawdę proste! Obliczmy obszar płaskiej figury ograniczony liniami. Dla pewności zakładamy, że na odcinku . Pole tej figury jest liczbowo równe:

Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy pierwszy sposób przemierzania terenu:

Zatem:

I od razu ważna sztuczka techniczna: powtarzające się całki można obliczyć osobno. Najpierw całka wewnętrzna, potem całka zewnętrzna. Gorąco polecam tę metodę początkującym w temacie.

1) Obliczamy całkę wewnętrzną i całkowanie przeprowadzamy po zmiennej „y”:

Całka nieoznaczona jest tutaj najprostsza i wtedy stosuje się banalny wzór Newtona-Leibniza, z tą tylko różnicą, że granicami całkowania nie są liczby, ale funkcje. Najpierw podstawiliśmy górną granicę do „y” (funkcja pierwotna), a następnie dolną granicę

2) Wynik uzyskany w akapicie pierwszym należy podstawić do całki zewnętrznej:

Bardziej zwarta reprezentacja całego rozwiązania wygląda następująco:

Wynikowa formuła jest dokładnie działającym wzorem do obliczania pola figury płaskiej za pomocą „zwykłej” całki oznaczonej! Zobacz lekcję Obliczanie pola za pomocą całki oznaczonej, tam jest na każdym kroku!

Oznacza to problem obliczania powierzchni za pomocą całki podwójnej niewiele się różni z problemu znalezienia pola za pomocą całki oznaczonej!

W związku z tym nie powinny pojawić się żadne trudności! Nie będę patrzeć na bardzo wiele przykładów, ponieważ w rzeczywistości wielokrotnie spotykałeś się z tym zadaniem.

Przykład 9

Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy następującą kolejność przechodzenia przez obszar:

Tutaj i dalej nie będę się rozwodzić nad tym, jak przemierzać ten obszar, ponieważ bardzo szczegółowe wyjaśnienia podano w pierwszym akapicie.

Zatem:

Jak już wspomniałem, dla początkujących lepiej jest obliczać całki iterowane osobno i ja będę się trzymał tej samej metody:

1) Najpierw, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza, zajmujemy się całką wewnętrzną:

2) Wynik uzyskany w pierwszym kroku podstawiamy do całki zewnętrznej:

Punkt 2 to tak naprawdę znalezienie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej.

Odpowiedź:

To takie głupie i naiwne zadanie.

Ciekawy przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami , ,

Przybliżony przykład ostatecznego rozwiązania na koniec lekcji.

W przykładach 9-10 znacznie bardziej opłaca się zastosować pierwszą metodę przemierzania terenu, ciekawscy czytelnicy, nawiasem mówiąc, mogą zmienić kolejność przemierzania i obliczyć pola drugą metodą. Jeśli się nie pomylisz, otrzymasz oczywiście te same wartości powierzchni.

Ale w niektórych przypadkach druga metoda przemierzania terenu jest skuteczniejsza i na koniec kursu młodego kujona przyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom na ten temat:

Przykład 11

Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami,

Rozwiązanie: czekamy na dwie parabole z dziwactwem, które leżą po bokach. Nie ma co się uśmiechać; podobne rzeczy zdarzają się dość często w całkach wielokrotnych.

Jak najłatwiej zrobić rysunek?

Wyobraźmy sobie parabolę w postaci dwóch funkcji:
– gałąź górna i – gałąź dolna.

Podobnie wyobraźmy sobie parabolę w postaci górnej i dolnej gałęzie.

Następnie punktowe kreślenie reguł wykresów, w wyniku czego otrzymano tak dziwną figurę:

Pole figury obliczamy za pomocą całki podwójnej według wzoru:

Co się stanie jeśli wybierzemy pierwszą metodę przemierzania terenu? Po pierwsze, obszar ten będzie musiał zostać podzielony na dwie części. Po drugie, będziemy obserwować ten smutny obraz: . Całki oczywiście nie są bardzo skomplikowane, ale… jest stare matematyczne powiedzenie: ci, którzy są blisko swoich korzeni, nie potrzebują testu.

Dlatego na podstawie nieporozumienia podanego w warunku wyrażamy funkcje odwrotne:

Funkcje odwrotne w tym przykładzie mają tę zaletę, że określają od razu całą parabolę, bez żadnych liści, żołędzi, gałęzi i korzeni.

Według drugiej metody przemieszczanie się po obszarze będzie wyglądać następująco:

Zatem:

Jak to mówią, poczuj różnicę.

1) Zajmujemy się całką wewnętrzną:

Wynik podstawiamy do całki zewnętrznej:

Całkowanie po zmiennej „y” nie powinno być mylące; gdyby istniała litera „zy”, świetnie byłoby ją zintegrować. Chociaż każdy, kto przeczytał drugi akapit lekcji Jak obliczyć objętość ciała wirującego, nie doświadcza już najmniejszej niezręczności przy całkowaniu metodą „Y”.

Zwróć także uwagę na pierwszy krok: całka jest parzysta, a przedział całkowania jest symetryczny względem zera. Dlatego segment można podzielić na połowę, a wynik można podwoić. Technika ta została szczegółowo opisana w lekcji Efektywne metody obliczania całki oznaczonej.

Co dodać... Wszystko!

Odpowiedź:

Aby przetestować technikę integracji, możesz spróbować wykonać obliczenia . Odpowiedź powinna być dokładnie taka sama.

Przykład 12

Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Co ciekawe, jeśli spróbujesz skorzystać z pierwszej metody przemierzania obszaru, figura nie będzie już musiała być podzielona na dwie, ale na trzy części! I odpowiednio otrzymujemy trzy pary powtarzających się całek. To również się zdarza.

Zajęcia mistrzowskie dobiegły końca i czas przejść do poziomu arcymistrzowskiego – Jak obliczyć całkę podwójną? Przykłady rozwiązań. Postaram się nie być takim maniakiem w drugim artykule =)

Życzę sukcesu!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2:Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy następującą kolejność przechodzenia przez obszar:

Zatem:
Przejdźmy do funkcji odwrotnych:


Zatem:
Odpowiedź:

Przykład 4:Rozwiązanie: Przejdźmy do funkcji bezpośrednich:


Zróbmy rysunek:

Zmieńmy kolejność przemierzania terenu:

Odpowiedź:

Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?

Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w wyszukiwarkach. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.

Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam skorzystać z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.

Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) za pomocą prostego kodu możesz szybko podłączyć do swojej witryny skrypt MathJax, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera w odpowiednim czasie (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.

Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML, a będziesz gotowy do wstawiania formuł matematycznych na stronach internetowych swojej witryny.

Każdy fraktal jest konstruowany według pewnej reguły, którą konsekwentnie stosuje się nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.

Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy właśnie zakończyliśmy naukę całek oznaczonych i przyszedł czas na geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

Zatem, co jest potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

• Umiejętność wykonywania kompetentnych rysunków;
• Umiejętność rozwiązania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
• Możliwość „dostrzeżenia” bardziej opłacalnej opcji rozwiązania – tj. rozumiesz, jak wygodniej będzie przeprowadzić integrację w tym czy innym przypadku? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
• Cóż, gdzie bylibyśmy bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać całki innego rodzaju i prawidłowe obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania pola figury ograniczonego liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w kratkę, na dużą skalę. Nazwę tej funkcji podpisujemy ołówkiem nad każdym wykresem. Podpisywanie wykresów odbywa się wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu pożądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice całkowania zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeżeli granice całkowania nie są wyraźnie określone, to znajdujemy punkty przecięcia wykresów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pokrywa się z rozwiązaniem analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od układu wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Przyjrzyjmy się różnym przykładom znajdowania obszaru figury za pomocą całek.

3.1.

Najbardziej klasyczna i prosta wersja problemu polega na tym, że trzeba znaleźć obszar zakrzywionego trapezu. Co to jest zakrzywiony trapez? Jest to figura płaska ograniczona osią x (y = 0), liniami prostymi x = a, x = b i dowolną krzywą ciągłą w przedziale od a do b. Co więcej, liczba ta nie jest ujemna i nie znajduje się poniżej osi x. W tym przypadku pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe pewnej całce obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza: Przykład 1

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakimi liniami ograniczona jest figura? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, która znajduje się powyżej osi OX, jest nieujemna, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli mają wartości dodatnie. Ponadto podano linie proste x = 1 i x = 3, które biegną równolegle do osi OU i są liniami ograniczającymi rysunek po lewej i prawej stronie. Cóż, y = 0, co jest również osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa figura jest zacieniowana, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład zakrzywionego trapezu, który dalej rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 zbadaliśmy przypadek, gdy zakrzywiony trapez znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki zadania są takie same, z tą różnicą, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Poniżej zastanowimy się, jak rozwiązać taki problem.

Przykład 2

. Oblicz obszar figury ograniczony liniami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Tak naprawdę, aby znaleźć pole figury, nie potrzeba aż tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „obliczyć pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z konstruowaniem rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności w zakresie konstruowania rysunków będą znacznie bardziej palącą kwestią. W związku z tym przydatne jest odświeżenie pamięci o wykresach podstawowych funkcji elementarnych i przynajmniej umiejętność skonstruowania linii prostej i hiperboli.

Zakrzywiony trapez to płaska figura ograniczona osią, liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku w tym przedziale. Niech ta liczba zostanie zlokalizowana nie niższy oś x:

Następnie obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy całce oznaczonej. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne.

Z geometrycznego punktu widzenia całką oznaczoną jest POLE.

Oznacza to, że pewna całka (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną. Całka definiuje krzywą na płaszczyźnie znajdującej się nad osią (chętni mogą narysować), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

Jest to typowa instrukcja przypisania. Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest losowanie. Ponadto rysunek musi być wykonany PRAWIDŁOWO.

Konstruując rysunek, zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest skonstruować wszystkie linie proste (jeśli występują), a dopiero potem parabole, hiperbole i wykresy innych funkcji. Bardziej opłacalne jest budowanie wykresów funkcji punkt po punkcie.

W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Narysujmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie definiuje oś):

Na odcinku wykres funkcji znajduje się nad osią, zatem:

Odpowiedź:

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli zakrzywiony trapez znajduje się pod osią (lub przynajmniej nie wyżej danej osi), to jej pole można obliczyć korzystając ze wzoru:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i linii prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania to , górna granica całkowania to .

Jeśli to możliwe, lepiej nie stosować tej metody.

Znacznie bardziej opłacalne i szybsze jest konstruowanie linii punkt po punkcie, a granice integracji stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Rozważymy również taki przykład.

Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

A teraz działający wzór: Jeśli na odcinku jakaś funkcja ciągła jest większa lub równa jakiejś funkcji ciągłej, to obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią i mniej więcej ważne jest, który wykres jest WYŻSZY (w stosunku do innego wykresu), a który PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej

Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Przykład 4

Oblicz obszar figury ograniczony liniami , , , .

Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:

Figura, której pole musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko (przyjrzyj się uważnie stanowi - jak bardzo figura jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi często pojawia się „błąd”, polegający na tym, że trzeba znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych.

Naprawdę :

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem: