Важнейшей характеристикой современной экономики является обесценение инвестиций через инфляционные процессы. Данный факт делает целесообразным применение не только номинальной, но и реальной процентной ставки при принятии некоторых решений на рынке Что же такое ставка процента? От чего она зависит? Каким образом ?

Понятие ставки процента

Под процентной ставкой следует понимать важнейшую экономическую категорию, отражающую доходность какого-либо актива в реальном исчислении. Важно отметить, что именно ставка процента играет определяющую роль в процессе принятия управленческих решений, ведь любой субъект экономики весьма заинтересован в получении максимального уровня выручки при минимальных затратах в процессе своей деятельности. Кроме того, каждый предприниматель, как правило, реагирует на динамику ставки процента индивидуальным образом, ибо в данном случае определяющим фактором является вид деятельности и отрасль, в которой сосредоточено, к примеру, производство той или иной компании.

Таким образом, собственники капитальных средств зачастую соглашаются работать лишь при условии предельно высокого уровня процентной ставки, а заемщики, скорее всего, приобретут капитал только в случае низкого процента. Рассмотренные примеры являются ярким доказательством тому, что сегодня весьма затруднительно отыскать равновесие на рынке капитала.

Ставки процента и инфляция

Важнейшей характеристикой рыночной экономики является наличие инфляции, что обуславливает классификацию ставок процента (и, естественно, коэффициента доходности) на номинальную и реальную. Это позволяет в полной мере произвести оценку эффективности операций финансового характера. В случае превышения инфляционного темпа по отношению к процентной ставке, получаемой вкладчиком на инвестиции, итог от соответствующей операции будет отрицательным. Конечно же, в плане абсолютной величины его средства существенно возрастут, то есть, например, в рублях у него окажется больше денег, но покупательная способность, им характерная, значительно упадет. Это приведет к возможности на новую сумму купить лишь определенное количество товаров (услуг), меньшее, чем было бы возможно до начала данной операции.

Отличительные особенности номинальной и реальной ставок

Как выяснилось, отличаются лишь в условиях инфляции или же дефляции. Под инфляцией следует понимать значительное и резкое а под дефляцией - их существенное падение. Таким образом, номинальной считается ставка, которая назначена банком, а покупательная способность, присущая доходу и обозначаемая как процент. Другими словами, реальную ставку процента можно определить как номинальную, которая скорректирована на инфляционный процесс.

Ирвинг Фишер, американский экономист, сформировал гипотезу, объясняющую, как зависит от номинальных. Основная идея эффекта Фишера (именно так названа гипотеза) в том, что номинальная ставка процента имеет свойство изменяться таким образом, чтобы реальная оставалась «неподвижной»: r(н) = r(р) + i . Первый показатель данной формулы отображает номинальную процентную ставку, второй - реальную ставку процента, а третий элемент равнозначен ожидаемому темпу инфляционных процессов, выраженному в процентном отношении.

Реальная процентная ставка - это…

Ярким примером эффекта Фишера, рассмотренного в предыдущей главе, может служить картина, когда ожидаемый темп инфляционного процесса приравнивается к одному проценту в годовом отношении. Тогда номинальная процентная ставка также вырастет на один процент. Но ведь реальный процент останется неизменным. Это доказывает, что реальная процентная ставка - это та же номинальная процентная ставка, но за вычетом предполагаемых или фактических инфляционных темпов. Такая ставка в полной мере очищена от инфляции.

Расчет показателя

Реальную ставку процента можно рассчитать как разницу между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляционных процессов. Таким образом, реальная процентная ставка равна следующему отношению: r(р) = (1 + r(н)) / (1 + i) - 1 , где рассчитываемый показатель соответствует реальной ставке процента, второй неизвестный член отношения определяет номинальную ставку процента, а третий элемент характеризует уровень инфляции.

Номинальная процентная ставка

В процессе разговора о кредитных ставках, как правило, речь идет о реальных ставках (реальная процентная ставка - это покупательная способность дохода). Но дело в том, что их невозможно наблюдать непосредственным образом. Так, при заключении договора кредита экономическому субъекту предоставляется информация о номинальных ставках процента.

Под номинальной процентной ставкой следует понимать практическую характеристику процента в количественном отношении, учитывая при этом актуальные цены. По этой ставке осуществляется выдача заема. Следует отметить, что она не может быть больше нуля или же ему равной. Исключение составляет лишь займ на условиях бесплатности. Номинальная процентная ставка - это не что иное, как процент, выраженный в денежном эквиваленте.

Расчет номинальной ставки процента

Допустим, в соответствии с годовой ссудой в десять тысяч денежных единиц выплачивается 1200 денежных единиц в качестве процента. Тогда номинальная ставка процента приравнивается к двенадцати процентам годовых. После получения по ссуде 1200 денежных единиц разбогатеет ли кредитор? Грамотно ответить на данный вопрос можно лишь точно зная, как в течение годового периода изменятся цены. Таким образом, при годовой инфляции, равной восьми процентам, доход кредитора станет больше только на четыре процента.

Расчет номинальной ставки процента производится следующим образом: r = (1 + процент дохода, полученный банком) * (1 + рост инфляционного уровня) - 1 или R = (1 + r) × (1 + a), где основным показателем служит номинальная процентная ставка, вторым - реальная ставка процента, а третьим - темп роста инфляционного уровня в соответствующей расчетам стране.

Выводы

Между номинальной и реальной ставками процента существует тесная взаимосвязь, которую для абсолютного понимания целесообразно представить следующим образом:

1 + номинальная ставка процента = (1 + реальная процентная ставка) * (уровень цен в конце рассматриваемого временного периода / в начале рассматриваемого временного периода) или 1 + номинальная процентная ставка = (1 + реальная ставка процента) * (1 + темп инфляционных процессов).

Важно отметить, что реальную результативность и продуктивность операций, совершенных инвестором, отображает лишь реальная ставка процента. Она гласит о приросте средств данного экономического субъекта. Номинальная процентная ставка может отобразить лишь величину прироста денежных средств в абсолютном выражении. Она не учитывает инфляцию. Увеличение реальной процентной ставки говорит о росте уровня покупательной способности денежной единицы. А это равноправно возможности увеличить потребление в будущих периодах. Значит, данную ситуацию можно трактовать как вознаграждение за текущие сбережения.

Принято оценивать процентную ставку в двух проекциях: номинального и реального значения.

Номинальная процентная ставка отражает текущее положение стоимости активов. Главным отличием ее от реальной ставки является независимость от рыночной конъюнктуры. Номинальная ставка в денежном выражении отражает стоимость капитала без учета инфляционных процессов. Реальная же ставка, в противоположность номинальной, демонстрирует значение стоимости финансовых ресурсов с учетом значения инфляции.

Исходя из определения данного понятия видно, что номинальная процентная ставка не учитывает изменение роста цен и прочие финансовые риски. Номинальная ставка может быть учтена участниками рынка только в качестве ознакомительного значения.

Математический эффект

Зависимость номинальной и реальной ставок получила свое математическое отражение в уравнении Фишера. Выглядит данная математическая модель следующим образом:

Реальная ставка + Ожидаемый темп инфляции = Номинальная ставка

Эффект Фишера математически описывается так: Номинальная ставка меняется на величину, при которой реальная ставка остается без изменения.

Значение при формировании рыночной ставки имеет именно будущий темп инфляции с учетом срока выплаты долгового требования, а не фактическая ставка, которая была в прошлом.

Равенство номинальной ставки и реальной возможно только при полном отсутствии дефляции или инфляции. Такое положение дел практически нереально и рассматривается в науке лишь в виде идеальных условий функционирования рынка капиталов.

Номинальная ставка сложных процентов

Чаще всего номинальная процентная ставка применяется при кредитовании. Это обусловлено динамичным и конкурентным рынком кредитов. Определение стоимости капитала в рамках кредитных линий оценивается на основании срока займа, валюты и правовых особенностей заимствования. Банки, стараясь минимизировать свои риски, предпочитают кредитовать клиентов, при долгосрочном сотрудничестве, в иностранной валюте, а при краткосрочном — в отечественной.

Для того, чтобы грамотно оценить предполагаемый доход от использования финансовых средств на длительный период времени, экономисты советуют учитывать схему сложных процентов. При начислении прибыли методом сложных процентов в начале каждого нового нормативного периода начисляется прибыль на сумму, полученную по итогам прошлого периода.

Любой рыночный механизм в условиях переменчивой конъюнктуры, особенно такой, какой является отечественная экономика, всегда сопряжен с высокими рисками. Будь то кредитный договор или инвестирование в ценные бумаги, открытие нового бизнеса или депозитарное сотрудничество с банком. Всегда оценивая потенциальную прибыль необходимо обращать внимание на внешние факторы и реальное состояние рынка. Основываясь только на номинальной доходности можно принять неправильное, заведомо невыгодное или даже потенциально провальное финансовое решение.

Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году

(например, по месяцам, по кварталам, по полугодиям). Для рассмотрения этого случая введем понятие номинальной ставки.

Номинальная ставка - это годовая ставка, проценты по которой начисляются m раз в году (m > 1). Обозначим ее через j . Следовательно, за один период проценты начисляются по ставке j / m.

Пример. Если по номинальной ставке j = 20 % происходит начисление 4 раза в год, то ставка за один период (квартал) будет равна

20 % : 4 = 5%.

Формулу (8) теперь можно представить следующим образом:

S = P (1 + j / m) N , (10)

где N - общее количество периодов начисления, N= m×t, t - количество лет. С ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растут.

Эффективная процентная ставка

Для сравнения реального относительного дохода за год при начислении процентов один и m раз, введем понятие эффективной ставки процентов.

Эффективная годовая ставка процентов i эф - это ставка, измеряющая реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов, т. е. i эф - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке за период i = j/ m .

Эффективная ставка находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за один год:

1 + i эф = (1 + j / m) m .

Отсюда следует, что

i эф = (1 + j / m) m - 1(11)

Пример. Определите эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j =18 %, при ежеквартальном начислении процентов (m =4).

Решение. Из формулы (11) получаем:

i эф = (1 + 0,18 / 4) 4 - 1 = 0, 1925 (или 19, 25 %).

Пример . Найдите эффективную ставку, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов.

Решение. i эф = (1 + 0,25 / 12) 12 - 1 = 0,2807 или 28,07 %.

Для сторон в сделке безразлично, применить ставку 25 % (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,07 %.

Пример. Найдите номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляются по полугодиям, эквивалентную номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.

Решение . Пусть j 2 - процентная ставка, соответствующая начислению по полугодиям, j 12 - по месяцам.

Из равенства коэффициентов наращения получаем:

(1 + j 2 / 2) 2 = (1 + j 12 / 12) 12 ,

1 + j 2 / 2 = (1 + j 12 / 12) 6 Þ j 2 = 2[(1 + j 2 / 12) 6 - 1] =

2 [(1 + 0,24/12) 6 - 1 ] = 0,25 или j 2 = 25 %.

Непрерывное начисление процентов

Сумма, наращенная за t лет по формуле (10) при постоянной процентной ставке j m с увеличением числа m увеличивается, но при неограниченном возрастании m сумма S = S m стремится к конечному пределу.

Действительно

Этот факт дает основание применять непрерывное начисление процентов по годовой ставке d. При этом наращенная сумма за время t определяется формулой

S = Pe d t . (12)

Процентная ставка d называется силой роста .

Пример. Банк начисляет проценты по непрерывной ставке d=8 % на сумму 20 тыс. руб. в течение 5 лет. Найти наращенную сумму.

Решение. Из формулы (12) следует, что наращенная сумма

S = 20 000 e 0,08 × 5 = 20 000 × e 0,4 = 20 000 × 1,49182 = 29 836,49 руб.

Задачи

3.1. Сумма 400 тыс. руб. инвестируется на 2 года под 30 % годовых. Найдите наращенную сумму и сложные проценты за этот срок.

3.2. Кредит размером 500 тыс. руб. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 10 % в месяц. Вычислите полную сумму долга к концу срока.

3.3. Определите сложные проценты за полтора года, начисленные на 70 тыс. руб. по ставке 5 % за квартал.

3.4. На срочный вклад в банке зачислено $200 по ставке 6 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 2, 3, 4 и 5 лет при условии начисления: а) простых процентов; б) сложных процентов; в) непрерывных процентов.

3.5. Рассчитайте эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 36 %, при ежемесячном начислении процентов. Ответ: 42,6 %.

3.6. Для номинальной ставки 12 % с начислением процентов два раза в год вычислите эквивалентную ставку, проценты по которой начисляются ежемесячно.

УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ

В современных условиях инфляция часто играет решающую роль, и без ее учета конечные результаты представляют собой весьма условную величину. В реальной жизни инфляция проявляется в падении покупательной способности денег и общим уровнем повышения цен. Следовательно, ее необходимо учитывать при проведении финансовых операций. Рассмотрим способы ее учета.

Темпы инфляции измеряются с помощью системы индексов инфляции , которые характеризуют среднее изменение уровня цен для некоторого фиксированного набора (корзины) товаров и услуг за определенный период времени. Пусть стоимость корзины в момент времени t равна S(t) .

Индексом цен или индексом инфляции J P за время от t 1 до t 2 называется безразмерная величина

J P = S(t 1 ) / S(t 2 ),

атемпом инфляции за этот период называется относительный прирост цен:

h = = J P - 1.

Отсюда индекс цен

J P = 1 + h.

Если срок рассмотрения инфляции включает в себя n периодов, в каждом из которых средний темп инфляции равен h , то

J P = (1 + h) n .

В случае, когда темп инфляции в i - ом периоде равен h i , индекс инфляции за n периодов вычисляется по формуле

J P = (1 + h 1 ) (1 + h 2 )…(1 + h n).

Индекс инфляции J P показывает во сколько раз, а темп инфляции h - на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период.

Индекс покупательной способности денег J D равен обратной величине индекса цен:

J D = 1 / J P = 1/ (1 + h).

Пример. Вы имеете сумму в 140 тыс. руб. Известно, что за два предшествующих года цены выросли в два раза, т.е. индекс цен J P = 2. В этом случае индекс покупательной способности денег равен J D = 1/2. Значит, реальная покупательная способность 140 тыс. руб. составит в момент получения всего 140 × 1/2 = 70 тыс. руб. в деньгах двухлетней давности.

Если h - годовой темп инфляции, то годовой индекс цен равен 1 + h , поэтому наращенная сумма с учетом инфляции

S и = P (1 + i) n = P (13)

Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции h равен ставке процентов i , то S и = P , т.е. роста реальной суммы не произойдет: наращение будет поглощаться инфляцией. Если h > i , то реальная сумма меньше первоначальной. Только в ситуации h < i происходит реальный рост.

Пример. Постоянный темп инфляции на уровне 10% в месяц за год приводит к росту цен в размере J P = 1,1 12 = 3,14. Таким образом, годовой темп инфляции h = J P - 1 = 2,14 или 214%.

В целях уменьшения воздействия инфляции и компенсации потерь от снижения покупательной способности денег используется индексация процентной ставки. При этом ставка корректируется в соответствии с темпом инфляции.

Скорректированная ставка называется брутто-ставкой. Вычислим эту ставку, обозначив ее через r .

Если компенсируется инфляция в размере брутто-ставки при наличии простых процентов, то величину r находим из равенства множителей наращения:

1 + n× r = (1 + n × i) J P = (1 + n × i)(1 + h) n ,

(14)

Величину брутто-ставки для наращения по сложной процентной ставке находим из равенства (n = 1):

1 + r = (1 + i)(1 + h),

r = i + h + h×i (15)

Формулы (14), (15) означают следующее: чтобы обеспечить реальную доходность в i %, при темпе инфляции h нужно назначить ставку в размере r %.

Пример. Банк выдал на 6 месяцев кредит - 5 млн руб. Ожидаемый месячный уровень инфляции – 2 %, требуемая реальная доходность операции равна 10 % годовых. Определите ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, размер наращенной суммы и величину процентного платежа.

Решение. Индекс инфляции J P = (1 + 0,02) 6 = 1,1262. Из (14) получим величину брутто-ставки:

r = =0,365 (или 36,5 %).

Размер наращенной суммы

S= P(1 + n r) = 5 (1 + 0,5×0,365) = 5,9126 млн. руб.

Величина процентного платежа (плата за кредит)

I = 5,9126 - 5,0 = 0,9126 млн. руб.

Пример. Кредит в 1 млн. руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16% в год. Определите ставку процента при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

Решение. Из формулы (15) имеем:

r = 0,11+0,16+ 0,11× 0,16 = 0,2876;

S = 1,0 (1 + 0,2876) 2 = 1,658 млн. руб.

Задачи

4.1. Кредит 500 тыс. руб. выдается с 20.06.98г. по 15.09.98г. При выдаче кредита считается, что индекс цен к моменту его погашения составит 1,3. Определите брутто-ставку и погашаемую сумму.

Ответ: R = 134% ; S R = 658 194 руб.

4.2. Кредит в размере 5 млн руб. выдается на 3 года. Реальная доходность операции должна составлять 3 % годовых по сложной ставке. Расчетный уровень инфляции составляет 10% в год. Вычислите брутто-ставку и погашаемую сумму. Ответ: R = 13,3 % ; S к R = 7 272 098 руб.

4.3. В банк помещен вклад в сумме 100 тыс. руб. под 100 % годовых сроком на 5 лет. Ожидаемый в течение этого периода темп инфляции h = =50 % в год. Определите реальную сумму, которую будет иметь клиент по истечении пяти лет: а) с учетом инфляции; б) без учета инфляции.

4.4. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 11% реальная доходность оказалась 6 %.

ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

Обычная годовая рента

Финансовые операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примером могут служить погашение займа, арендная плата и т.д. Такие последовательности платежей называютпотоком платежей .

Пусть финансовая операция по договору начинается в момент t 0, а заканчивается в момент t n . Выплаты R k (k = 1,2,..,n ) происходят в моменты t k . Обычно полагают t 0 = 0 (рис. 1).

Финансовой рентой называется последовательность периодических выплат R k , R k > 0 , осуществляемых через равные промежутки времени.

Выплаты R k называют членами ренты. Если все выплаты одинаковы, т.е. R k = R , то рента называется постоянной.

Пусть d - период ренты, а n - число выплат, тогда произведение периода на число выплат nd представляет собой календарный срок ренты . Если выплата производится в конце каждого периода (рис. 1), то рента называется обычной , а если в начале периода, то приведенной (рис. 2).

Выбирая базовуюединицу времени, зададим процентную ставку ренты (сложную). Найдем наращенную сумму S обычной годовой ренты, состоящей из n выплат, т.е. сумму всех членов потока платежей с начисленными на них процентами к концу срока. Для этого рассмотрим конкретную задачу. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых (рис. 3).

Наращенная сумма S состоит из n слагаемых. Именно

S = R + R(1 + i) + R(1 + i) 2 + ...+ R( 1 + i) n- 1

Справа стоит сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем 1 + i . По формуле суммы геометрической прогрессии получим

(16)

s(n;i) и называется коэффициентом наращения обычной ренты. Формулу (16) можно переписать в виде

S = R  s(n; i)

Современной стоимостью ренты A называется сумма всех членов ренты, дисконтированных на начало срока ренты. Из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты находим современное значение ренты А :

S = A(1 + i) n или A = S(1 + i) -n .

Таким образом,

. (17)

Выражение обозначается символом a(n;i) и называется дисконтирующим множителем обычной ренты или коэффициентом приведения ренты. Таким образом, современное значение ренты

A = R × a(n; i) .

Пример. Найдите текущее и наращенное значение ренты с выплатами по 320 тыс. руб. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 24 % годовых.

Решение. Эффективная ставка за месяц равна 24 %: 12 = 2 % Текущее значение вычисляется по формуле (17):

A = 320 = 6052, 4619 тыс. руб.

Наращенное значение вычисляется по формуле (14):

S = = 9734,9952 тыс. руб.

Пример. Фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого года в банк вносится 100 тыс. руб. под 20 % годовых с последующей их капитализацией, т.е. прибавлением к уже накопленной сумме. Найдите сумму инвестиционного фонда.

Решение. Здесь рассматривается обычная годовая рента с ежегодными платежами R = 100 тыс. руб. в течение n = 5 лет. Процентная ставка i = 20%. Из формулы (16) находим:

S = 100 = 744,160 тыс. руб.

Приведенная рента

Различие между обычной рентой и приведенной заключается в том, что все выплаты R у приведенной ренты смещены влево на один период относительно выплат обычной ренты (сравним рис. 4а и 4б).

Легко понять, что на каждый член приведенной ренты начисляется процентов на один период больше, чем в обычной ренте.

Отсюда наращенная сумма приведенной ренты S P больше в (1 + i ) раз наращенной суммы обычной ренты:

S P = S (1 + i ) и s P (n ; i ) = s (n ; i ) (1 + i ).

Точно такой же зависимостью связаны современные стоимости обычной ренты А и приведенной ренты А P :

А P =А (1 + i ), а P (n ; i ) = a(n ; i ) (1 + i ) . (18)

Пример. Кредит в сумме 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными выплатами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i =3 % в месяц. Найдите сумму ежемесячного взноса R при платеже:

а) постнумерандо (обычная рента),

б) пренумерандо (приведенная рента).

Решение . а) R × a(12;0,03) = 5 млн руб.

Коэффициент приведения a(12; 0,03) = = 9,95400 .

Отсюда R = 5млн руб./ 9,95400 = 502311 руб.

б) Аналогично предыдущему: R × a(12;0,03) = 5 млн руб. Из формулы (18):

а P (12;0,03) = a(12;0,03) × (1+ i ) = 9,954 × 1,03 = 10,25262 ;

R = 5 млн руб./10,25262 = 487680 руб.

Отложенная рента

Если срок ренты начинается в некоторый момент в будущем, то такая рента называется отложенной или отсроченной . Отложенную ренту будем считать обычной. Длина временного интервала от настоящего момента до начала ренты называется периодомотсрочки . Так период отсрочки ренты с выплатами по полугодиям и первой выплатой через два года равен 1,5 годам (рис. 5).

На рис. 5 цифра 3 (1,5 года) означает начало ренты. Начало выплат у отложенной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Ясно, что сдвиг по времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело - современная стоимость ренты А .

Пусть рента выплачивается спустя k лет (или периодов) после начального периода времени. На рис.5 начальный период обозначен цифрой 0, а современная стоимость обычной ренты - А . Тогда современная величина отложенной на k лет ренты А k равна дисконтированной величине А , то есть

А k = А(1+ i)-k= R·а (n;i) (1+ i)-k . (19)

Пример. Найдите текущее значение отложенной ренты с выплатами по 100 тыс. руб. в конце каждого полугодия, если первая выплата произойдет через два года, а последняя - через пять лет. Проценты начисляются по ставке 20 % за полгода.

Решение. Начало ренты через три полугодия. Первая выплата производится в конце четвертого полугодия, а последняя - в конце. Всего 7 выплат. Из формулы (18) при k = 3; n = 7; i = 0,2 , получим:

А 3 = 100· = 208599 руб.

Пример. Найдите величину ежегодных выплат отложенной на два года ренты сроком 5 лет, современное значение которой 430 тыс. руб. Проценты начисляются по ставке 21 % годовых.

Решение. Из формулы (19) находим:

R = А k (1+ i )k /а(n ;i ) .

При k = 2; n = 5; i = 0,21 , получим:

R = 430 ·1,21 2 = 215163 руб.

Нами был рассмотрен метод расчета наращенной суммы и современной величины, когда выплаты по ренте производятся один раз в году и начисление процентов происходит также один раз в году. Однако в реальных ситуациях (в контрактах) могут предусматриваться и другие условия поступления рентных платежей, а также порядок начисления на них процентов.

5.4. Годовая рента при начисление процентов m раз в году

В этом случае рентные платежи вносятся 1раз в году. Начисление процентов будет производиться по ставке j /m , где j - номинальная (годовая) ставка сложных процентов. Величина наращенной суммы получится из формулы (16) , если в ней положить

i = (1+ j /m ) m - 1 (см. (11)).

В результате получим:

(20)

Пример. Страховая компания, заключившая договор с фирмой на 3 года, ежегодные страховые взносы в размере 500 тыс. руб. помещает в банк под 15% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму, полученную страховой компанией по этому контракту.

Решение . Полагая в формуле (20) m = 2; n = 3; R = 500; j = 0,15 , получим:

S = 500 = 1 746 500 руб.

5.5. P - срочная рента

Рентные платежи вносятся P раз в году равными суммами, а начисление процентов производится один раз в конце года (m = 1). В этом случае член ренты будет равен R /P , а формула для наращенной суммы получается из формулы (16), в которой ставка за период i P находится из условия финансовой эквивалентности (всего периодов P ·n ):

(1 + i ) = (1 + i P ) P , i P = (1+ i ) 1/P – 1.

Подставляя полученную ставку за период i P в (16), имеем:

(21)

Пример. Страховая компания принимает установленный годовой страховой взнос 500 тыс. руб. дважды в год в течение 3 лет. Банк, обслуживающий страховую компанию, начисляет ей сложные проценты из расчета 15 % годовых один раз в году. Определите сумму, полученную компанией по истечении срока договора.

Решение. Здесь R = 500; n = 3; P = 2; m = 1. По формуле (21) находим:

S = · = 1779 тыс. руб.

Вечная рента

Под вечной рентой понимается рента с бесконечным числом платежей. Очевидно, что наращенная сумма такой ренты бесконечна, но современная величина такой ренты равна A = R /i . Для доказательства этого факта используем формулу (17) для конечной ренты:

A = R /i .

Переходя в этой формуле к пределу при n ® ¥, получим, что A = R /i .

Пример: Фирма арендует здание за $5 000 в год. Какова выкупная цена здания при годовой ставке процента 10 %?

Решение. Выкупная цена здания есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна A = R /i = 50 000 дол.

Объединение и замена рент

Общее правило объединения рент: находятся современные величины рент (слагаемых) и складываются, а затем подбирается рента - сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.

Пример. Найдите объединение двух рент: первая длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, вторая - 8 и 800. Годовая ставка процента

Решение. Современные величины рент равны:

A 1 = R 1 × a (5;0,08)= 1000 × 3,993 = 3993; A 2 = R × a (8;0,08) = =800×5,747=4598.

А = А 1 + А 2 = 3993 + 4598 = 8591.

Следовательно, у объединенной ренты современная величина А = 8591. Далее можно задать либо длительность объединенной ренты, либо годовой платеж, затем второй из этих параметров определим из формул для рент.

Задачи

5.1. На депозитный счет с начислением сложных процентов по ставке 80 % годовых будут ежегодно в течение 5 лет вноситься суммы по 500 тыс. руб. в начале каждого года. Определите накопленную сумму.

5.2. На депозитный счет в конце каждого квартала будут вноситься суммы по 12,5 тыс. руб., на которые также ежеквартально будут начисляться сложные проценты по номинальной годовой ставке 10 % годовых. Определите накопленную за 20 лет сумму. Ответ: 3 104 783 руб.

5.3. Вычислите сумму, которую необходимо положить на счет частного пенсионного фонда, чтобы он смог выплачивать своим участникам ежемесячно 10 млн. руб. Фонд может инвестировать свои средства по постоянной ставке 5 % в месяц.

(Указание: использовать модель вечной ренты).

5.4. Бизнесмен арендовал коттедж за $10 000 в год. Какова выкупная цена коттеджа при годовой ставке 5 %. Ответ: $200 000.

5.5. В ходе судебного заседания выяснилось, что г-н А недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние два года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г-н А.

5.6. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $1000 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 5 % по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет.

5.7. Замените годовую пятилетнюю ренту с годовым платежом $1000 на ренту с полугодовым платежом по $600. Годовая ставка 5 %.

5.8. Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом $700 шестилетней годовой рентой. Годовая ставка 8 %.

5.9. Какую сумму необходимо положить в банк родителям студента, обучающегося в платном институте, чтобы раз в полгода в течение 4 лет банк перечислял в институт $420. Банковская ставка 8 % в год.

ПОГАШЕНИЕ ДОЛГА (КРЕДИТА)

В этом параграфе дается применение теории рент к планированию погашения займа (долга).

Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика периодических платежей должника. Расходы должника называются расходами по обслуживанию долга или амортизацией займа . Эти расходы включают как текущие процентные платежи , так и средства, предназначенные для погашения основного долга .Существуют различные способы погашения долга. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности. Важнейшим элементом плана является определение числа выплат в течение года, т.е. определение числа срочных уплат

Г) ставка, уменьшающаяся с уменьшением объекта налогообложения

а) ставка процента, устанавливаемая без учета изменения покупательной стоимости денег в связи с инфляцией (или общая ставка процента, в которой не элиминирована ее инфляционная составляющая);

б) процентная ставка по ценной бумаге с фиксированным доходом, которая предусматривает ее использование по отношению к номинальной стоимости, а не к рыночной цене этой ценной бумаги.

Страница была полезной?

Еще найдено про номинальная ставка процента

1. Разъяснение алгоритма вычисления свободного денежного потока фирмы и свободного денежного потока собственникам на примере публичной финансовой отчетности Согласно пояснениям к финансовой отчетности номинальные ставки процентов по кредитам не превышают установленных в Налоговом кодексе РФ лимитов Детальной информации
2. Реальная ставка процента Реальная ставка процента равна номинальной ставке процента минус уровень инфляции Далее номинальная ставка процента Страница была полезной
3. Номинальная процентная ставка Номинальная процентная ставка Номинальная процентная ставка - это ставка банковского процента в числовом выражении Показывает прирост номинальной величины
4. Номинал Далее номинальная стоимость номинальная ставка процента Синонимы Нарицательная стоимость Страница была полезной
5. Купон облигации Доход по купонам устанавливается в виде процентной ставки процента к номинальной стоимости ценной бумаги которая может быть постоянной гарантированной или фиксированной на все
6. Эффективная ставка процента Далее номинальная ставка процента Страница была полезной
7. Купонная ставка Представляет собой отношение купонной ставки к рыночной стоимости облигации выражена в процентах от номинальной стоимости облигаций Сумма процентов за
8. Необходимость учета прочих доходов и расходов при маржинальном анализе В этом случае эффективная ставка лишь незначительно превышает номинальную ставку платы за кредит предусмотренную кредитным договором При оформлении кредита на условиях добавленного процента
9. Номинальный доход Если акция или облигация приобретается по номинальной стоимости номинальный доход равен реальному доходу поскольку рыночные курсы ценных бумаг с фиксированным доходом падают когда рыночные процентные ставки растут Под номинальным доходом населения подразумевается совокупность денежных поступлений за определенный период Номинальные
10. Оценка стоимости факторинга услуг компании НДС по действующей налоговой ставке и определяет ся по следующей формуле Д Д Д 18% 1 Д Цном ПРфин... Тпл 365, где Цном номинальная сумма денежного требования в рублях ПРфин процент финансирования денежного требования от суммы требования CTпp
11. Депозитный сертификат По процентным сертификатам могут устанавливаться следующие методы выплаты процентов фиксированная ставка процента колеблющаяся ставка процента величина которой привязана к какому-то финансовому показателю ставка рефинансирования и др Первичное размещение дисконтных
12. Привилегированная акция Размер дивиденда по привилегированным акциям закреплен в уставе как правило выражается в проценте от чистой прибыли компании или номинальной стоимости акции В России в достаточной степени распространена
13. Амортизационные отчисления и их роль в формировании инвестиционного потенциала предприятия Чтобы ее учесть необходимо в этой формуле вместо номинальной процентной ставки Е учесть реальную процентную ставку Е p учитывающую инфляцию Поэтому коэффициент амортизационных
14. Оценка дебиторской задолженности МУП ЖКХ в процессе конкурсного производства Обесценение дебиторской задолженности зависит от 2-х факторов инфляции и процентов за пользование чужими денежными средствами ссудой банка то есть косвенных потерь кредитора из-за отвлечения... Rp 1 In In где Rn - номинальная ставка с учетом инфляции Rp - реальная ставка без учета инфляции - в качестве
15. Дисконт облигации Предположим что нормальная ставка приблизилась к 7% годовых Инвестором выгодно покупать эту ценную бумагу спрос на нее велик... Скорее всего такая облигация будет продаваться с премией 3% от номинальной стоимости Справедливо и обратное Допустим облигация выпущена с купоном всего 3% то есть с... Допустим облигация выпущена с купоном всего 3% то есть с процентным платежом заведомо ниже рыночного под такой доход инвесторам будет неинтересно вкладывать деньги И тогда
16. ООО руб на 10 лет из расчета 15 % годовых и продает их за 95 % номинальной стоимости Если проценты по облигациям разрешено законодательством относить на себестоимость продукции то реальная стоимость... СП ставка купонного процента по облигации % Зэ уровень эмиссионных затрат по отношению к объему эмиссии
17. Безрисковая ставка доходности Безрисковая ставка доходности - это ставка процента в высоколиквидные активы т е это ставка которая отражает фактические рыночные возможности вложения денежных... В процессе оценки учитывают что номинальные и реальные безрисковые ставки могут быть как рублевые так и валютные Анализ безрисковой ставки
18. Курс акций Первоначально при выпуске акции формируется ее номинальный курс который указывается на самой акции В процессе купли-продажи выявляется рыночный курс акций или... Рыночный курс акций определяется конъюнктурными соображениями складывающимся соотношением между ставкой дивиденда и банковского процента по долгосрочным ссудам репутацией акционерного общества и результатами его финансово-хозяйственной
19. Рыночная доходность Например облигация номинальной стоимостью в 100 руб и 5-процентной ставкой принесет годовой доход в 5 руб Однако... Однако если эту бумагу можно купить на открытом рынке за 50 руб тогда фактическая процентная ставка по ней увеличится до 10% и доход составит 10 руб на вложенные 50
20. Капитализация Независимо от номинальной цены акций на фондовом рынке они продаются по рыночной цене или курсу находящемуся в... N количество периодов капитализации % - процентная ставка идентичная по каждому из периодов капитализации Далее капитализация прибыли коэффициент капитализации прибыли капитализация

Процент – это абсолютная величина. Например, если одолжено 20 000, а должник должен вернуть 21 000, то процент равен 21000-20000=1000.

Ставка (норма) ссудного процента – цена за пользование деньгами - это определённый процент от суммы денег. Определяется в точке равновесия спроса и предложения денег.

Ставка процента равна .

Очень часто в хозяйственной практике для удобства, когда говорят про ссудный процент, имеет в виду ставку процента.

Различают номинальную и реальную ставки процента. Когда говорят о процентных ставках, то имеют ввиду реальные процентные ставки. Однако реальные ставки не могут быть непосредственно наблюдаемы. Заключая кредитный договор, мы получаем информацию о номинальных процентных ставках.

Номинальная ставка(i) – количественное выражение процентной ставки с учётом действующих цен. Ставка по которой выдаётся заём. Номинальная ставка всегда больше нуля (кроме бесплатного займа).

Номинальная процентная ставка – это процент в денежном выражении. Например, если по годовой ссуде в 10000 ден.ед., выплачивается 1200 ден.ед. в качестве процента, то номинальная процентная ставка составит 12% годовых. Получив по ссуде доход 1200 ден.ед., станет ли кредитор богаче? Это будет зависеть от того, как в течение года изменились цены. Если годовая инфляция составила 8%, то реально доход кредитора увеличился только на 4% .

Реальная ставка(r) = номинальная ставка – уровень инфляции. Реальная ставка банковского процента может равняться нули и даже иметь отрицательное значение.

Реальная процентная ставка – это увеличение реального богатства, выраженное в приросте покупательной способности инвестора или кредитора, или обменный курс, по которому сегодняшние товары и услуги, реальные блага, обмениваются на будущие товары и услуги. То, что рыночная норма процента испытает непосредственное влияние инфляционных процессов первым предположил И.Фишер, который определял номинальную ставку процента и ожидаемого темпа инфляции.

Взаимосвязь между ставками может быть представлена следующим выражением:

i=r+e, где i – номинальная, или рыночная, ставка процента, r - реальная ставка процента,

е – темп инфляции.

Только в особых случаях, когда на денежном рынке нет повышения цен (е=0), реальная и номинальная процентные ставки совпадают. Уравнение показывает, что номинальная процентная ставка может изменяться вследствие изменений реальной процентной ставки процента или вследствие изменения инфляции. Так как заемщик и кредитор не знают, какие темпы примет инфляция, то они исходят из ожидаемых темпов инфляции. Уравнение обретает вид:

i=r+e е , где e е ожидаемый темп инфляции.

Это уравнение известно, как эффект Фишера. Его суть в том, что номинальная процентная ставка определяется не фактическим темпом инфляции, так как он не известен, а ожидаемым темпом инфляции. Динамика же номинальной процентной ставки повторяет движение ожидаемого темпа инфляции. Необходимо подчеркнуть, что при формировании рыночной ставки процента имеет значение именно ожидаемый темп инфляции в будущем с учетом срока погашения долгового обязательства, а не фактическая ставка инфляции в прошлом.

Если непредвиденная инфляция имеет место, то заемщики выигрывают за счет кредиторов, так как возвращают кредит обесценившимися деньгами. В случае дефляции кредитор выиграет за счет заемщика.

Иногда может сложиться ситуация, когда реальные процентные ставки по кредитам имеют отрицательное значение. Это может произойти в случае превышения темпов инфляции темпов роста номинальной ставки. Отрицательные процентные ставки могут установиться в период галопирующей инфляции или при гиперинфляции, а также в период экономического спада, когда спрос на кредиты падает и номинальные процентные ставки понижаются. Положительные реальные процентные ставки означают рост доходов кредиторов. Это происходит, если инфляция снижает реальную стоимость займа (полученного кредита).

Процентные ставки могут быть фиксированными и плавающими.

Фиксированная процентная ставка устанавливается на весь период пользования заемными средствами без одностороннего права ее пересмотра.

Плавающая процентная ставка – это ставка по средне- и долгосрочным кредитам, которая складывается из двух частей: подвижной основы, которая меняется в соответствии с рыночной конъюнктурой и фиксированной величины, обычной неизменной в течение всего периода кредитования или обращения долговых ценных бумаг.

УРАВНЕНИЕ ФИШЕРА уравнение обмена, главное уравнение количественной теории денег, положенной в основу современного монетаризма, который трактует деньги как основной элемент рыночного хозяйства. Согласно уравнению Фишера произведение величины денежной массы на скорость обращения денег равно произведению уровня цен на объем национального продукта:

где М - количество денег в обращении; V - скорость обращения денег; Р - уровень цен; Q - объем (количество) товаров.

В своей книге «Покупательная сила денег» (1911) Ирвинг Фишер анализировал влияние изменения структуры платежей в хозяйстве на скорость обращения денег. Он пришел к выводу, что ценовые сдвиги изменяют спрос на деньги, а следовательно, меняется количество денег, необходимых для обращения. Эта трактовка активно используется современными монетаристами при построении теории спроса на деньги.