Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели и задачи урока:
- продолжить работу по формированию навыков решения систем уравнений графическим методом;
- провести исследования и сделать выводы о количестве решений системы двух линейных уравнений;
- развивать интерес к предмету через игру.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент (Планерка) – 2 мин.
– Добрый день! Начинаем нашу традиционную
планерку. Мы рады приветствовать всех, кто
сегодня у нас в гостях, в нашей
лаборатории (представляю гостей). Наша
лаборатория называется: «ТРУД с интересом и
удовольствием»
(показываю слайд 2). Название
служит девизом в нашей работе. «Твори, Решай,
Учись, Добивайся с интересом и удовольствием
».
Дорогие гости, представляю вам руководителей
нашей лаборатории (слайд 3).
Наша лаборатория занимается изучением научных
трудов, исследованиями, экспертизой, работает
над созданием творческих проектов.
Сегодня тема нашего обсуждения: «Графическое
решение систем линейных уравнений». (Предлагаю
записать тему урока)
Программа дня: (слайд 4)
1. Планерка
2. Расширенный ученый совет:
- Выступления по теме
- Допуск к работе
3. Экспертиза
4. Исследования и открытия
5. Творческий проект
6. Отчет
7. Планирование
2. Опрос и устная работа (Расширенный ученый совет) – 10 мин.
– Сегодня мы проводим расширенный ученый совет, на котором присутствуют не только руководители отделов, но и все члены нашего коллектива. Лаборатория только начала работу по теме: «Графическое решение систем линейных уравнений». Мы должны постараться добиться самых высоких достижений в этом вопросе. Наша лаборатория должна славиться качеством исследований по этой теме. Я, как старший научный сотрудник, желаю всем удачи!
Результаты исследований будут сообщены начальнику лаборатории.
Слово для доклада о решении систем уравнений имеет…(вызываю ученика к доске). Даю заданию задание (карточка 1).
А лаборант…(называю фамилию) напомнит, как строить график функции с модулем. Даю карточку 2.
Карточка 1 (решение задания на слайде 7)
Решить систему уравнений:
Карточка 2 (решение задания на слайде 9)
Построить график функции: y = | 1,5x – 3 |
Пока сотрудники готовятся к докладу, я проверю, как вы готовы к выполнению исследований. Каждый из вас должен получить допуск к работе. (Начинаем устный счет с записью ответов в тетрадь)
Допуск к работе (задания на слайдах 5 и 6)
1) Выразить у через x:
3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)
2) Решить уравнение:
5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)
3) Дана система уравнений:
Какая из пар чисел (– 1; 1) или (1; – 1) является решением данной системы уравнений?
Ответ: (1; – 1)
Сразу после каждого фрагмента устного счета
учащиеся обмениваются тетрадями (с рядом сидящим
учеником в одном отделе), на слайдах появляются
верные ответы; проверяющий ставит плюс или минус.
По окончании работы начальники отделов вносят
результаты в сводную таблицу (см ниже); за каждый
пример дается 1 балл (возможно получить 9 баллов).
Те, кто набрал 5 и более баллов, получают допуск к
работе. Остальные получают условный допуск, т.е.
должны будут работать под контролем начальника
отдела.
Таблица (заполняет начальник)
(Таблицы выдаются до начала урока)
После получения допуска слушаем ответы
учащихся у доски. За ответ ученик получает 9
баллов, если ответ полный (максимальное
количество при допуске), 4балла, если ответ не
полный. Баллы вносят в графу «допуск».
Если на доске правильное решение, то слайды 7 и 9
можно не показывать. Если решение правильное, но
нечетко выполненное или решение неправильное, то
слайды демонстрируются обязательно с
пояснениями.
Слайд 8показываю обязательно после ответа
ученика по карточке 1. На этом слайде выводы
важные для урока.
Алгоритм решения систем графическим способом:
- Выразить y через x в каждом уравнении системы.
- Построить график каждого уравнения системы.
- Найти координаты точек пересечения графиков.
- Сделать проверку (обращаю внимание учащихся на то, что графический метод обычно дает приближенное решение, но в случае попадания пересечения графиков в точку с целыми координатами, можно выполнить проверку и получить точный ответ).
- Записать ответ.
3. Упражнения (Экспертиза) – 5 мин.
Вчера в работе некоторых сотрудников были
допущены грубые ошибки. Сегодня вы уже более
компетентны в вопросе графического решения. Вам
предлагается провести экспертизу предложенных
решений, т.е. найти ошибки в решениях.
Демонстрируется слайд 10.
Работа идет в отделах. (На каждый стол выдаются
ксерокопии заданий с ошибками; в каждом отделе
сотрудники должны найти ошибки и подчеркнуть
их или исправить; ксерокопии сдать старшему
научному сотруднику, т.е. учителю). Тем, кто
найдет и исправит ошибку, начальник добавляет 2
балла. Затем обсуждаем допущенные ошибки и
указываем их на слайде 10.
Ошибка 1
Решить систему уравнений:
Ответ: решений нет.
Учащиеся должны продолжить прямые до пересечения и получить ответ: (– 2; 1).
Ошибка 2.
Решить систему уравнений:
Ответ: (1; 4).
Учащиеся должны найти ошибку в преобразовании первого уравнения и исправить на готовом чертеже. Получить другой ответ: (2; 5).
4. Объяснение нового материала (Исследования и открытия) – 12 мин.
Учащимся предлагаю решить графически три системы. Каждый ученик решает самостоятельно в тетради. Консультироваться могут только те, у кого условный допуск.
Решение
Без построения графиков понятно, что прямые совпадут.
На слайде 11 показано решение систем; ожидаемо,
что учащиеся будут испытывать затруднение при
записи ответа в примере 3. После работы в отделах
проверяем решение (за верное начальник добавляет
2 балла). Теперь пришло время обсудить, сколько
решений может иметь система двух линейных
уравнений.
Учащиеся должны сделать выводы самостоятельно и
объяснить их, перечислив случаи взаимного
расположения прямых на плоскости (слайд 12).
5. Творческий проект (Упражнения) – 12 мин.
Задание дается для отдела. Начальник дает каждому лаборанту по способностям фрагмент его выполнения.
Решить системы уравнений графически:
После раскрытия скобок учащиеся должны получить систему:
После раскрытия скобок первое уравнение имеет вид: y = 2/3x + 4.
6. Отчет (проверка выполнения задания) – 2 мин.
После выполнения творческого проекта учащиеся сдают тетради. На слайде 13 показываю то, что должно было получиться. Начальники сдают таблицу. Последнюю графу заполняет учитель и ставит отметку (отметки можно сообщить ученикам на следующем уроке). В проекте решение первой системы оценивается тремя баллами, а второй – четырьмя.
7. Планирование (подведение итогов и домашнее задание) – 2 мин.
Подведем итоги нашего труда. Мы неплохо поработали. Конкретно о результатах поговорим завтра на планерке. Безусловно, все без исключения лаборанты овладели графическим методом решения систем уравнений, усвоили, какое количество решений может иметь система. Завтра каждого из вас ждет персональный проект. Для дополнительной подготовки: п.36; 647-649(2); повторите аналитические методы решение систем. 649(2) решите и аналитическим методом.
Нашу работу в течение всего дня контролировал директор лаборатории Ноумэн Ноу Мэнович. Ему слово. (Показываю заключительный слайд).
Примерная шкала для выставления оценок
| Отметка | Допуск | Экспертиза | Исследование | Проект | Всего |
| 3 | 5 | 2 | 2 | 2 | 11 |
| 4 | 7 | 2 | 4 | 3 | 16 |
| 5 | 9 | 3 | 5 | 4 | 21 |
Видеоурок «Графический способ решения систем уравнений» представляет учебный материал для освоения данной темы. Материал содержит общее понятие о решении системы уравнений, а также подробное объяснение на примере, каким образом решается система уравнений графическим способом.
Наглядное пособие использует анимацию для более удобного и понятного выполнения построений, а также разные способы выделения важных понятий и деталей для углубленного понимания материала, лучшего его запоминания.
Видеоурок начинается с представления темы. Ученикам напоминается, что такое система уравнений, и с какими системами уравнений им уже пришлось ознакомиться в 7 классе. Ранее ученикам приходилось решать системы уравнений вида ах+by=c. Углубляя понятие о решении систем уравнений и с целью формирования умения их решать в данном видеоуроке рассматривается решение системы, состоящей из двух уравнений второй степени, а также из одного уравнения второй степени, а второго - первой степени. Напоминается о том, что такое решение системы уравнений. Определение решения системы как пары значений переменных, обращающих ее уравнения при подстановке в верное равенство, выводится на экран. В соответствии с определением решения системы, конкретизируется задача. На экран выведено для запоминания, что решить систему - означает, найти подходящие решения или доказать их отсутствие.
Предлагается освоить графический способ решения некоторой системы уравнений. Применение данного способа рассматривается на примере решения системы, состоящей из уравнений х 2 +у 2 =16 и у=-х 2 +2х+4. Графическое решение системы начинается с построения графика каждого из данных уравнений. Очевидно, графиком уравнения х 2 +у 2 =16 будет окружность. Точки, принадлежащие данной окружности, являются решением уравнения. Рядом с уравнением строится на координатной плоскости окружность радиусом 4 с центром О в начале координат. График второго уравнения представляет собой параболу, ветви которой опущены вниз. На координатной плоскости построена данная парабола, соответствующая графику уравнения. Любая точка, принадлежащая параболе, представляет собой решение уравнения у=-х 2 +2х+4. Объясняется, что решение системы уравнений - точки на графиках, принадлежащие одновременно графикам обоих уравнений. Это значит, что точки пересечения построенных графиков будут являться решениями системы уравнений.
Отмечается, что графический метод состоит в нахождении приближенного значения координат точек, находящихся на пересечении двух графиков, которые отражают множество решений каждого уравнения системы. На рисунке отмечаются координат найденных точек пересечения двух графиков: А, B, C, D[-2;-3,5]. Данные точки - решения системы уравнений, найденные графическим способом. Проверить их правильность можно, подставив в уравнение и получив справедливое равенство. После подстановки точек в уравнение, видно, что часть точек дает точное значение решения, а часть представляет приближенное значение решения уравнения: х 1 =0, у 1 =4; х 2 =2, у 2 ≈3,5; х 3 ≈3,5, у 3 =-2; х 4 =-2, у 4 ≈-3,5.
Видеоурок подробно объясняет суть и применение графического способа решения системы уравнений. Это дает возможность использовать его в качестве видеопособия на уроке алгебры в школе при изучении данной темы. Также материал будет полезен при самостоятельном изучении учениками и может помочь объяснить тему при дистанционном обучении.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Система уравнений является набором математических уравнений, каждое из которых имеет определенное количество переменных. Систему принято обозначать фигурной скобкой и все, что под данной скобкой - члены системы. Для решения систем данного рода применяют множество разнообразных способов.
Решить систему уравнений означает найти все ее возможные корни или доказать то, что их не существует. Чтобы решить системы уравнений с двумя переменными обычно используют следующие методы: графический способ, способ подстановки и способ сложения.
Допустим, дана система, которую нужно решить графически методом:
\[ \left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end{matrix}\right.\]
Чтобы решить систему уравнений графическим методом нужно:
* построить графики уравнений в одной системе координат;
* определить координаты точек пересечения этих графиков, которые являются решением системы;
Выделяя полные квадраты, получаем:
Основываясь на этом получим:
\[\left\{\begin{matrix}(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end{matrix}\right.\]
Графиком первого уравнения \[(x-1)^2+(y+2)^2=25\] является окружность с центром \ и радиусом 5. Графики уравнений представлены на рисунке 6.
Графиком второго уравнения \ является уравнение прямой, проходящей через точки \ и \ Строим окружность радиусом 5 с центром в точке \ и проводим прямую через точки \ и \ Эти линии пересекаются в двух точках \ и \
Исходя из этого решение системы: \
Ответ: \[(1;3); (-3;-5);\]
Где можно решить систему уравнений графическим методом онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Дата: ________________
Предмет: алгебра
Тема: «Графический способ решения систем уравнений».
Цели: Использовать графики для решения систем уравнений.
Задачи:
Образовательная: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.
Развивающая: развитие исследовательских способностей учащихся, самоконтроля, речи.
Воспитывающая: воспитание культуры общения, аккуратности.
Тип урока: комбинированный
Формы: Фронтальный опрос, работа в парах.
Ход урока:
Организационный этап. Сообщение темы урока, постановка целей урока. (в тетради записать число, тему)
Проверка домашнего задания (разбор нерешенных задач);
Контроль усвоения материала:
Повторение и закрепление пройденного материала:
| Вариант №1 | Вариант №2 |
| Постройте график функции: (ху-1)(х+1)=0 (х-2) 2 +(у+1) 2 =4 | Постройте график функции: (ху+1)(у-1)=0 (х-1) 2 +(у+2) 2 =4 |
Актуализация опорных знаний:
Определение линейного уравнения с двумя переменными.
Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
Что называется графиком линейного уравнения с двумя переменными?
Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
Сколько точек определяет прямую?
Что значит решить систему уравнений?
Что называется решением системы линейных уравнений с двумя переменными?
Когда две прямые на плоскости пересекаются?
Когда две прямые на плоскости параллельны?
Когда две прямые на плоскости совпадают?
Изучение нового материала:
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными . Решением системы уравнений называют пару значений переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство . Решить систему уравнений означает, найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Одним из эффективных и наглядных способов решения и исследования уравнений и систем уравнений графический способ.
Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными.
Выразить переменную у через х.
«Взять» точки, определяющие график.
Построить график уравнения
Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными графическим способом.
Построить графики каждого из уравнений системы.
Найти координаты точки пересечения.
Записать ответ.
Пример 1
Решим систему уравнений: 
Построим в одной системе координат графики первого х
2
+
у 2 = 25
(окружность) и второго ху
= 12 (гипербола) уравнений. Видно что
графики уравнений пересекаются в четырех точках А
(3;
4), В
(4;
3)
С(-3;-4) и Д(-4;
3), координаты которых являются решениями
одной системы.
Т
ак как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой.
Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).
Задание на уроке: №415 (б); № 416; № 419 (б); № 420 (б); № 421 (а, б); № 422 (а); №424(б); №426 стр. 115-117.
Подвести итоги (оценки).
Рефлексия.
Повторим алгоритм решения систем уравнений графическим способом.
Сколько решений может иметь система уравнений?
Кто научился решать системы л уравнений графическим способом?
Кто не научился?
Кто ещё сомневается?
Поднимите руки, кому урок понравился? Кому нет? Кто равнодушен?
Домашнее задание: §18 стр. 114-115 выучить правила.
§17 стр.108-110 повторить правила.
На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.
Тема: Системы уравнений
Урок: Графический метод решения системы уравнений
Рассмотрим систему
Пару чисел которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений .
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.
Пример 1. Решить систему 
Решение:
Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).
Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.
Мы получили единственное решение линейной системы.
Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:
cистема имеет единственное решение - прямые пересекаются,
система не имеет решений - прямые параллельны,
система имеет бесчисленное множество решений - прямые совпадают.
Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) - линейные выражения от x и y.
Пример 2. Решить систему уравнений 
Решение:
График первого уравнения - прямая, график второго уравнения - окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).
Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.
Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).
Пример 3. Решить систему графически
Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения - парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина - точка (0; 2) (Рис. 3).
Графики имеют одну общую точку - т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.
Пример 4. Решить систему
Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).
Построим график функции Это ломаная (Рис. 5).
Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции
Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).
Получаем три точки пересечения - т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).
Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.
Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные, и ими мы займемся на следующих уроках.
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Раздел College.ru по математике ().
2. Интернет-проект «Задачи» ().
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.
