Понятие величины, их свойства. Понятие величины и её измерения в математике Виды абсолютных величин

Статистический показатель — количественная характеристика социально-экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности.

Различают показатель-категорию и конкретный статистический показатель:

Конкретный статистический показатель — это цифровая характеристика изучаемого явления или процесса. Например: численность населения России на данный момент составляет 145 млн.человек.

По форме различают статистические показатели:

  • Абсолютные
  • Относительные

По охвату единиц различают индивидуальные и сводные показатели.

Индивидуальные показатели — характеризуют отдельный объект или отдельную единицу совокупности (прибыль фирмы, размер вклада отдельного человека).

Сводные показатели — характеризуют часть совокупности или в всю статистическую совокупность в целом. Их можно получить как объемные и расчетные. Объемные показатели получают путем сложения значений признака отдельных единиц совокупности. Полученная величина называется объемом признака. Расчетные показатели вычисляются по различным формулам и используются при анализе социально-экономических явлений.

Статистические показатели по временному фактору делятся на:
  • Моментные показатели — отражают состояние или уровень явления на определенный момент времени. Например, число вкладов в Сбербанке на конец какого-либо периода.
  • Интервальные показатели — характеризуют итоговый результат за период (день, неделя, месяц, квартал, год) в целом. Например, объем произведенной продукции за год.

Статистические показатели связаны между собой. Поэтому, чтообы составить целостное представление об изучаемом явлении или процессе, необходимо рассматривать систему показателей.

Абсолютная величина

Измеряет и выражает явления общественной жизни с помощью количественных категорий — статистических величин. Результаты получают прежде всего в форме абсолютных величин, которые служат основой для расчета и анализа статистических показателей на следующих этапах статистического исследования.

Абсолютная величина — объем или размер изучаемого события или явления, процесса, выраженного в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.

Виды абсолютных величин:

  • Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу
  • Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность

Результатом статистического наблюдения являются показатели, которые характеризуют абсолютные размеры или свойства изучаемого явления у каждой единицы наблюдения. Они называются индивидуальными абсолютными показателями. Если показатели характеризуют всю совокупность в целом, они называются обобщающими абсолютными показателями. Статистические показатели в форме абсолютных величин всегда имеют единицы измерения: натуральные или стоимостные.

Формы учета абсолютных величин:

  • Натуральный — физические единицы (штук, человек)
  • Условно-натуральный — применяется при подсчете итогов по продукции одинакового потребительского качества но широкого ассортимента. Перевод в условное измерение осуществляется с помощью коэффициента пересчета:
    К пересчета =фактическое потребительское качество / эталон (заранее заданное качество)
  • Стоимостной учет — денежные единицы

Натуральные единицы измерения бывают простыми, составными и условными .

Простые натуральные единицы измерения — это тонны, километры, штуки, литры, мили, дюймы и т. д. В простых натуральных единицах также измеряется объем статистической совокупности, т. е. число составляющих ее единиц, или объем отдельной ее части.

Составные натуральные единицы измерения имеют расчетные показатели, получаемые как произведение двух или нескольких показателей, имеющих простые единицы измерения. Например, учет затрат труда на предприятиях выражается в отработанных человеко-днях (число работников предприятия умножается на количество отработанных за период дней) или человеко-часах (число работников предприятия умножается на среднюю продолжительность одного рабочего дня и на количество рабочих дней в периоде); грузооборот транспорта выражается в тонно-километрах (масса перевезенного груза умножается на расстояние перевозки) и т. д.

Условно-натуральные единицы измерения широко используют в анализе производственной деятельности, когда требуется найти итоговое значение однотипных показателей, которые напрямую несопоставимы, но характеризуют одни и те же свойства объекта.

Натуральные единицы пересчитываются в условно-натуральные путем выражения разновидностей явления в единицах какого-либо эталона.

Например:

  • различные виды органического топлива переводятся в условное топливо с теплотой сгорания 29,3 МДж/ кг
  • мыло разных сортов — в условное мыло с 40%-ным содержанием жирных кислот
  • консервы различного объема — в условные консервные банки объемом 353,4 см3,
  • для подсчета общего объема работы транспорта складывают тонно-километры перевезенных грузов и пассажиро-километры, произведенные пассажирским транспортом, условно приравнивая при этом перевозку одного пассажира к перевозке одной тонны груза и т. д.

Перевод в условные единицы осуществляется с помощью специальных коэффициентов. Например, если имеется 200 т мыла с содержанием жирных кислот 40% и 100 т с содержанием жирных кислот 60%, то в пересчете на 40%-ное, получим общий объем 350 т условного мыла (коэффициент пересчета определяется как отношение 60: 40 = 1,5 и, следовательно, 100 т · 1,5 = 150 т условного мыла).

Пример 1

Найти условно-натуральную величину :

Допустим мы производим тетради:

  • по 12 листов — 1000 шт;
  • по 24 листа — 200 шт;
  • по 48 листов — 50 шт;
  • по 96 листов — 100 шт.

Решение :
Задаем эталон — 12 листов.
Считаем коэффициент пересчета:

  • 12/12=1
  • 24/12=2
  • 48/12=4
  • 96/12=8

Ответ : Условно натуральная величина =1000*1 + 200*2 + 50*4 + 100*8 = 2400 тетрадей по 12 листов

В условиях наибольшее значение и применение имеют стоимостные единицы измерения: рубли, доллары, евро, условные денежные единицы и др. Для оценки социально-экономических явлений и процессов используются показатели в текущих или фактически действующих ценах или в сопоставимых ценах.

Сама по себе абсолютная величина не дает полного представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени. В ней не выявлены соотношения с другими абсолютными величинами. Поэтому статистика, не ограничиваясь абсолютными величинами, широко использует общенаучные методы сравнения, обобщения.

Абсолютные величины имеют большое научное и практическое значение. Они характеризуют наличие тех или иных ресурсов и являются основой разнообразных относительных показателей.

Относительные величины

Наряду с абсолютными величинами в и используются также различные относительные величины. Относительные величины представляют собой различные коэффициенты или проценты.

Относительные статистические величины — это показатели, которые дают числовую меру соотношения двух сопоставляемых между собой величин.

Основное условие правильного расчета относительных величин — сопоставимость сравниваемых величин и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями.

Относительная величина = сравниваемая величина / базис

  • Величина, находящаяся в числителе соотношения, называется текущей или сравниваемой.
  • Величина, находящаяся в знаменателе соотношения, называется основанием или базой сравнения.

По способу получения относительные величины — это всегда всегда величины производные (вторичные).

Они могут быть выражены:
  • в коэффициентах , если база сравнения принимается за единицу (АбсВеличина / Базис) * 1
  • в процентах , если база сравнения принимается за 100 (АбсВеличина / Базис) * 100
  • в промилле , если база сравнения принимается за 1000 (АбсВеличина / Базис) * 1000
    Например показатель рождаемости в форме относительной величины, исчисляемый в промилле показывает число родившихся за год в расчете на 1000 человек.
  • в продецимилле , если база сравнения принимается за 10000 (АбсВеличина / Базис) * 10000
Различают следующие виды относительных статистических величин:

Относительная величина координации

Относительная величина координации (показатель координации) — представляет собой соотношение частей совокупности между собой. При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой-либо иной точки зрения.

ОВК = показатель характеризующий часть совокупности / показатель характеризующий часть совокупности, выбранную за базис сравнения

Относительная величина координации показывает, во сколько раз одна часть совокупности больше или меньше другой, принятой за базу сравнения, или сколько процентов от нее составляет, или сколько единиц одной части целого приходится на 1, 10, 100, 1000,..., единиц другой (базисной) части. Например в 1999 г. в России насчитывалось 68,6 млн.мужчин и 77,7 млн.женщин, следовательно, на 1000 мужчин приходилось (77,7/68,6)*1000=1133 женщины. Аналогично можно рассчитать сколько на 10 (100) инженеров приходится техников; число мальчиков, приходящихся на 100 девочек среди новорожденных и др.

Пример : на предприятии работают 100 менеджеров 20 курьеров и 10 руководителей.
Решение : ОВК = (100 / 20)*100% = 500%. Менеджеров в 5 раз больше чем курьеров.
тоже самое с помощью ОВС (пример 5): (77%/15%) * 100% = 500%

Относительная величина структуры

Относительная величина структуры (показатель структуры)- характеризует удельный вес части совокупности в ее общем объеме. Относительную величину структуры часто называют "удельный вес" или "доля".

ОВС = показатель, характеризующий часть совокупности / показатель по всей совокупности в целом

Пример : на предприятии работают 100 менеджеров 20 курьеров и 10 руководителей. Всего 130 чел.

  • Доля курьеров =(20/130) * 100% = 15%
  • Удельный вес менеджеров = (100 / 130) * 100% = 77%
  • ОВС руководителей = 8%

Сумма всех ОВС должна быть равна 100% или единице.

Относительная величина сравнения

Относительная величина сравнения (показатель сравнения) — характеризует соотношение между разными совокупностями по одноименным показателям.

Пример 8 : Объем выданных кредитов частным лицам на 1 февраля 2008 г. Сбербанком России составил 520189 млн.руб, по Внешторгбанку — 10915 млн.руб.
Решение :
ОВС = 520189 / 10915 = 47,7
Таким образом, объем выданных кредитов частным лицам Сбербанком России на 1 февраля 2006 г. был выше в 47,7 раза, чем аналогичный показатель Внешторгбанка.

Размер физической величины – количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу .

Иногда возражают против широкого применения слова «размер», утверждая, что оно относится только к длине. Однако заметим, что каждое тело обладает определенной массой, вследствие чего тела можно различать по их массе, т.е. по размеру интересующей нас физической величи­ны (массы). Рассматривая предметы А иВ, можно, например, утверждать, что по длине или размеру длины они отличаются друг от друга (например,А > В). Более точная оценка может быть получена лишь после измерений длины этих предметов.

Часто в словосочетании «размер величины» слово «размер» опускают или за­меняют его на словосочетание «значение величины».

В машиностроении широко применяют термин «размер», подразумевая под ним значение физической величины - длины, свойственной какой-либо детали. Это значит, что для выражения одного понятия «значение физической величины» приме­няются два термина («размер» и «значение»), что не может способствовать упорядоче­нию терминологии. Строго говоря, необходимо уточнить понятие «размер» в маши­ностроении так, чтобы оно не противоречило понятию «размер физической величи­ны», принятому в метрологии. В ГОСТ 16263-70 дано четкое разъяснение по этому вопросу.

Количественная оценка конкретной физической величины, вы­раженная в виде некоторого числа единиц данной величины, на­зывается «значением физической величины».

Отвлеченное число, входящее в «значение» величины, называется числовым значением.

Между размером и значением величины есть принципиальная разница. Размер величины существует реально, независимо от то­го, знаем мы его или нет. Выразить размер величины можно при помощи любой из единиц данной величины, другими словами, при помощи числового значения.

Для числового значения характерно, что при применении дру­гой единицы оно изменяется, тогда как физический размер вели­чины остается неизменным.

Если обозначить измеряемую величину через x, единицу вели­чины - черезx 1 , а отношение их-через q 1 , то x = q 1 x 1  .

Размер величины xне зависит от выбора единицы, чего нель­зя сказать о числовом значении q , которое целиком определяется выбором единицы. Если для выражения размера величиныxвме­сто единицыx 1  применить единицуx 2  , то неизменившийся размерxбудет выражен другим значением:

x = q 2 x 2  , гдеn 2 n 1 .

Если в приведенных выражениях применять q= 1, то размеры единиц

x 1 = 1x 1 иx 2 = 1x 2 .

Размеры разных единиц одной и той же величины различны. Так, размер килограмма отличается от размера фунта; размер метра-от размера фута и т. п.

1.6. Размерность физических величин

Размерность физических величин- это соотношение между единицами величин, входящих в уравнение, свя­зывающее данную величину с другими величинами, через которые она выражается.

Размерность физической величины обозначается dimA (от лат. dimension –размерность ). Допустим, что физическая величинаА связана сX, Yуравнением A= F(Х, Y). Тогда величиныX, Y, А можно представить в виде

Х = х [Х]; Y = y [Y]; A = а [A],

где А, X, Y - символы, обозначающие физическую вели­чину;а, х, y - числовые значения величин (безразмер­ные);[A]; [X]; [Y] - соответствующие единицы данных физических величин.

Размерности значений физических величин и их еди­ниц совпадают. Например:

A = X/Y; dim (a) = dim (X/Y) = [ Х ]/[Y].

Размерность - качественная характеристика физиче­ской величины, дающая представление о виде, природе величины, о соотношении ее с другими величинами, еди­ницы которых принимаются за основные.

Глава 4

Изучение величин в начальной школе

Лекция 15,

Основные величины, изучаемые

в начальной школе

1. Понятие величины

3. Масса и емкость.

4. Площадь.

6. Скорость.

7. Действия с именованными числами.

Понятие величины

В математике под величиной понимают такие свойства предме­тов, которые поддаются количественной оценке. Количественная оценка величины называется измерением. Процесс измерения пред­полагает сравнение данной величины с некоторой мерой, приня­той за единицу при измерении величин этого рода.

К величинам относят длину, массу, время, емкость (объем), пло­щадь и др.

Все эти величины и единицы их измерения изучаются в началь­ной школе. Результатом процесса измерения величины является определенное численное значение, показывающее - сколько раз вы­бранная мера «уложилась» в измеряемую величину.

В начальной школе рассматриваются только такие величины, результат измерения которых выражается целым положительным числом (натуральным числом). В связи с этим, процесс знакомст­ва ребенка с величинами и их мерами рассматривается в методике как способ расширения представлений ребенка о роли и возмож­ностях натуральных чисел. В процессе измерения различных ве­личин ребенок упражняется не только в действиях измерения, но и получает новое представление о неизвестной ему ранее роли на­турального числа. Число - это мера величины, и сама идея числа

была в большой мере порождена необходимостью количественной
оценки процесса измерения величин. ,

При знакомстве с величинами можно выделить некоторые об­щие этапы, характеризующиеся общностью предметных действий ребенка, направленных на освоение понятия «величина».

На 1-ом этапе выделяются и распознаются свойства и качества предметов, поддающихся сравнению.

Сравнивать без измерения можно длины (на глаз, приложени­ем и наложением), массы (прикидкой на руке), емкости (на глаз), площади (на глаз и наложением), время (ориентируясь на субъек­тивное ощущение длительности или какие-то внешние признаки этого процесса: времена года различаются по сезонным признакам в природе, время суток - по движению солнца и т. п.).

На этом этапе важно подвести ребенка к пониманию того, что есть качества предметов субъективные (кислое - сладкое) или объ­ективные, но не позволяющие провести точную оценку (оттенки цвета), а есть качества, которые позволяют провести точную оцен­ку разницы (на сколько больше - меньше).

На 2-ом этапе для сравнения величин используется промежу­точная мерка. Данный этап очень важен для формирования пред­ставления о самой идее измерения посредством промежуточных мер. Мера может быть произвольно выбрана ребенком из окружаю­щей действительности для емкости - стакан, для длины - кусочек шнурка, для площади - тетрадь и т. п. (Удава можно измерять и в Мартышках, и в Попугаях.)



До изобретения общепринятой системы мер человечество ак­тивно пользовалось естественными мерами - шаг, ладонь, локоть и т. п. От естественных мер измерения произошли дюйм, фут, ар­шин, сажень, пуд и т. д. Полезно побуждать ребенка пройти этот этап истории развития измерений, используя естественные меры своего тела как промежуточные.

Только после этого можно переходить к знакомству с общепри­нятыми стандартными мерами и измерительными приборами (ли­нейка, весы, палетка и т. д.). Это будет уже 3-й этап работы над знакомством с величинами.

Знакомство со стандартными мерами величин в школе связыва­ют с этапами изучения нумерации, поскольку большинство стан­дартных мер ориентировано на десятичную систему счисления: 1 м = 100 см, 1 кг = 1000 г и т. п. Таким образом, деятельность измерения в школе очень быстро сменяется деятельностью преоб­разования численных значений результатов измерения. Школьник практически не занимается непосредственно измерениями и рабо­той с величинами, он выполняет арифметические действия с за­данными ему условиями задания или задачи численными значе-


ниями величин (складывает, вычитает, умножает, делит), а также занимается так называемым переводом значений величины, выра­женной в одних наименованиях, в другие (переводит метры в сан­тиметры, тонны в центнеры и т. п.). Такая деятельность фактически формализует процесс работы с величинами на уровне численных преобразований. Для успешности этой деятельности нужно хоро­шо знать наизусть все таблицы соотношений величин и хорошо владеть приемами вычислений. Для многих школьников эта тема является трудной только по причине необходимости знать наизусть большие объемы численных соотношений мер величин.



Наиболее сложна в этом плане работа с величиной «время». Дан­ная величина сопровождается наибольшим количеством чисто услов­ных стандартных мер, которые не только надо запомнить (час, минута, день, сутки, неделя, месяц и т. п.), но и выучить их соот­ношения, которые заданы не в привычной десятичной системе счис­ления (сутки - 24 часа, час - 60 минут, неделя - 7 дней и т. п.).

В результате изучения величин учащиеся должны овладеть сле­дующими знаниями, умениями и навыками:

1) познакомиться с единицами каждой величины, получить на­
глядное представление о каждой единице, а также усвоить соотно­
шения между всеми изученными единицами каждой из величин,
т. е. знать таблицы единиц и уметь их применять при решении прак­
тических и учебных задач;

2) знать, с помощью каких инструментов и приборов измеряют
каждую величину, иметь четкое представление о процессе измере­
ния длины, массы, времени, научиться измерять и строить отрез­
ки с помощью линейки.

Длина

Длина - это характеристика линейных размеров предмета (про­тяженности).

С длиной и с единицами ее измерения дети знакомятся на про­тяжении всех лет обучения в начальной школе.

Первые представления о длине дети получают в дошкольном возрасте, они выделяют линейную протяженность предмета: дли­ну, ширину, расстояние между предметами. К началу обучения в школе дети должны правильно устанавливать отношения «шире - уже», «дальше - ближе», «длиннее - короче».

В 1 классе с первых уроков математики дети выполняют зада­ния по уточнению пространственных представлений: что тоньше, книга или тетрадь; какой карандаш длиннее; кто выше, кто ниже. В 1 классе дети знакомятся с первой единицей длины - это санти­метр.


Сантиметр - метрическая мера длины. Сантиметр равен од­ной сотой доле метра, десятой доле дециметра. Записывается так: 1 см (без точки).

В 1 классе дети получают наглядное представление о сантимет­ре. Они выполняют следующие задания:

1) измеряют длину полосок с помощью модели сантиметра;

2) измеряют длину полосок с помощью линейки.

Чтобы измерить длину полоски, надо приложить к ней линей­ку так, чтобы начало полоски соответствовало цифре 0 на линей­ке. Число соответствующее концу полоски и есть ее длина.

Дети выполняют следующие виды заданий:

1) сравнение длин полосок с помощью мерок произвольной длины:

Сравни длины отрезков:


При выполнении задания ребенок ссылается на счет мерок: боль­ше мерок уложилось по длине отрезка, значит отрезок длиннее.

2) нахождение равных и неравных отрезков; определение, на
сколько один отрезок больше или меньше другого;

3) измерение отрезков и их сравнение с помощью линейки (из­
мерить длину отрезка; сравнить длины отрезков, начертить отре­
зок заданной длины).

Во 2 классе дети знакомятся с такими единицами измерения длины как дециметр и метр.

Дециметр - метрическая мера длины. Дециметр равен одной десятой доле метра. Записывается так: 1 дм (без точки).

Дети получают наглядное представление о дециметре как об от­резке равном 10 см и выполняют задания следующего характера:

1) измерение предметов с помощью модели дециметра (альбом,
книга, парта);

2) вычерчивание в тетради отрезка длиной 1 дм;

3) сравнение изученных величин:

1 дм * 1 см 14 см* 4 дм

4) преобразование величин:

Заполни пропуски:

2 дм = ...см


В основе выполнения заданий на сравнение и преобразование величин лежит знание соотношения: 1 дм = 10 см

Метр - основная мера длины. Метр введен в употребление в конце XVIII в. во Франции.

Во 2 классе дети получают наглядное представление о метре и знакомятся с основными метрическими соотношениями:

10 дм - 1м; 100см=1м

Дети учатся обозначать новую единицу длины: м (без точки), измерять предметы с помощью новой единицы длины (шнур, доска, класс). В качестве инструмента используется метровая линейка или портновская лента.

Учащиеся выполняют следующие задания:

1) сравнение:

Поставь знак сравнения 1 м * 99 см 1 м * 9 дм

2) преобразование величин:

Вырази единицы величин одного наименования через другие:

3 м 2 дм = ... дм

Выполняя преобразования, дети используют таблицы соотно­шений единиц длины: 1 м = 10 дм, 3 м - это в 3 раза больше, значит, 3 м = 30 дм, да еще 2 дм - всего получается 32 дм.

Заполни пропуски: 56 дм = ... м... дм

Рассуждение: 56 дм - столько метров, сколько в числе 56 десятков.

В прежних учебниках системы 1-4 с километром дети знако­мились в 3 классе, в новом издании этого учебника (2001) кило­метр изучают в 4 классе.

Километр - это метрическая мера длины. Километр равен 1000 м. Записывается так 1 км (без точки). Детей можно познакомить с тем, что «кило» в переводе на русский обозначает «тысяча», «ки­ло-метр» - тысяча метров. Довольно трудно дать наглядное пред­ставление о километре, поскольку это достаточно большая мера длины. Учителя часто предлагают такой образ: размотаем катуш­ку ниток, а потом представим себе, что размотано 10 катушек ниток и вытянуто в длину - это и есть километр (стандартная катушка содержит 100 м). Полезно проделать такой опыт хотя бы с одной катушкой, поскольку ребенку трудно представить себе даже дли­ну катушки ниток, не говоря уже о километре:


Сравни: Заполни пропуски:

1 км * 1000 м 1 000 см = ... м

2 м 50 см * 2 м 5 см 5 000 м =... км

В 4 классе в задания для преобразования и сравнения величин вводится новая единица:

Миллиметр - метрическая мера длины. Миллиметр равен од­ной тысячной доле метра, т. е. десятой доле сантиметра. Записыва­ется так: 1 мм (без точки).

1 см - 10 мм

Школьники выполняют задания вида:

1) измерение предметов (гвоздь, шуруп), выражение результа­
тов в миллиметрах;

2) вычерчивание отрезков разной длины: (9 мм, 6 мм, 2 см 3 мм);

3) преобразование величин:

Заполни пропуски: 620 мм = ... см

Рассуждение: в 620 мм столько сантиметров, сколько в числе 620 десятков.

Заполни пропуски: 72 км 276 м = ... м

Рассуждение: вначале переводим километры в метры: 1 км = 1000 м, 72 км = 72 000 м да еще 276 м - 72 276 м

4) сравнение:

Сравни: 1 км * 100 м 7200 мм * 72 км

В 4 классе составляется сводная таблица:
1 км = 1000 м 1 м = 100 см 1 см = 10 мм

1 м = 10 дм 1 дм = 10 см

После составления данной таблицы детям предлагают задания на подбор подходящих единиц измерения:

Заполни пропуски: 1... = 10 ... 1... = 100 ... 1... = 1000 ...

Длина, площадь, масса, время, объём – величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.

Величина – это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество величины. Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются ве­личинами одного рода или однородными величинами . Например, длина стола и дли на комнаты – это однородные величины. Величины – длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.

1) Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b – длина отрезка ВС (рис.1), то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

3) Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют произведением величины а на число x. Например, если a – длину отрезка АВ умножить на

x= 2, то получим длину нового отрезка АС.(Рис.2)

4) Величины одного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а – длина отрезка АС, b – длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что а= х b. Чаще это число – называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.(Рис №2).

6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью – их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение – заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.


Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей – другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.

Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e, то в результате измерения величины а находят такое действительное число x, что а=x e. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).

Согласно определению любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7∙1 кг, 12 см =12∙1 см, 15ч =15∙1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как, 5/12ч = 5/12 60мин = (5/12 ∙ 60)мин = 25мин.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие, численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1/.Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот.

A=b m (a)=m (b),

A>b m (a)>m (b),

A

Например, если массы двух тел таковы, что а=5 кг, b=3 кг, то можно утверждать, что масса а больше массы b поскольку 5>3.

2/ Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то, чтобы найти численное значение суммы a+b достаточно сложить

численные значения величин а и b. а+b= c m (a+b) = m (a) + m (b). Например, если а = 15 кг, b=12 кг, то а+b=15 кг + 12 кг = (15+12) кг = 27кг

З/ Если величины а и b таковы, что b= x а, где x -положительное действительное число, и величина а, измерена при помощи единицы величины e, то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно число x умножить на число m (а):b=x a m (b)=x m (a).

Например, если масса а в 3 раза больше массы b, т.е. b = За и а = 2 кг, то b = За = 3 ∙ (2 кг) = (3∙2) кг = 6 кг.

Рассмотренные понятия – объект, предмет, явление, процесс, его величина, численное значение величины, единица величины – надо уметь вычленять в текстах и задачах.

Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство – масса; для измерения массы использовали единицу массы – килограмм; в результате измерения получили число 3 -численное значение массы яблок при единице массы – килограмм.

Рассмотрим определения некоторых величин и их измерений.

Длина, площадь, масса, время, объём - величины. Первоначальное знакомство с

ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является

ведущим понятием.

ВЕЛИЧИНА - это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность

заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество

величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются ве­личинами одного рода или однородными величинами . Например, длина стола и дли на комнаты - это однородные величины. Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.

Длина отрезка и её измерение .

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого

отрезка так что:

1/ равные отрезки имеют разные длины;

2/ если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме

длин этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают

какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n раз, то тогда а=n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n раз и остался ещё остаток, меньший e , то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n , n , ... то взяв его приближение с определённой точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n .

Площадь фигуры и её измерение .

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

22. Пространство. Его свойства. Многомерность пространства Проблема ориентации человека в пространстве достаточно многогранна. Она включает как представления о размерах, форме предметов, так и способность различать расположение предметов в пространстве, понимание различных пространственных отношений. Пространственные представления, хотя и возникают очень рано, являются более сложным процессом, чем умение различать качества предмета. В формировании пространственных представлений и способов ориентации в пространстве участвуют различные анализаторы (кинестетический, осязательный, зрительный, слуховой, обонятельный). У маленьких детей особая роль принадлежит кинестетическому и зрительному анализаторам. Пространственная ориентировка осуществляется на основе непосредственного восприятия пространства и словесного обозначения пространственных категорий (местоположения, удаленности, пространственных отношений между предметами). В понятие пространственной ориентации входит оценка расстояний, размеров, формы, взаимного положения предметов и их положения относительно ориентирующегося. В более узком значении выражение «пространственная ориентация» имеет в виду ориентировку на местности. В этом смысле под ориентировкой в пространстве мыслится: а) определение «точки стояния», т. е. местонахождения субъекта по отношению к окружающим его объектам, например: «Я нахожусь справа от дома» и т. п.; б) определение местонахождения объектов относительно человека, ориентирующегося в пространстве, например: «Шкаф находится справа, а дверь слева от меня»; в) определение пространственного расположения предметов относительно друг друга, т. е. пространственных отношение между ними, например: «Справа от куклы сидит мишка, а слева от нее лежит мяч». При передвижении человека пространственная ориентация происходит постоянно, включая решение следующих задач: постановку цели и выбор маршрута движения (выбор направления); сохранение направления движения и достижение цели. Только при этом условии можно успешно перейти из одного пункта в другой. Восприятие пространства детьми раннего возраста Восприятие пространства возникает уже тогда, когда ребенок в возрасте 4-5 недель начинает фиксировать глазами предмет на расстоянии 1 -1,5 м. Перемещение взгляда за движущимися предметами наблюдается у детей 2-4 месяцев. На начальном этапе движения глаз являются точкообразными, затем наступает вторая фаза скользящих непрерывных движений за движущимися в пространстве предметами, что наблюдается у разных детей в возрасте от 3 до 5 месяцев. По мере развития механизма фиксации взгляда формируются дифференцированные движения головы, корпуса тела, изменяется само положение ребенка в пространстве. Как пишет об этом Д. Б. Эльконин, в этом возрасте движения предметов вызывают движения глаз. По-видимому, вначале пространство воспринимается ребенком как нерасчлененная непрерывность. Движение выделяет предмет из окружающего пространства. Сначала фиксация взгляда, затем поворот головы, движение рук и другое показывают, что движущаяся вещь становится объектом внимания ребенка, стимулируя и его собственные движения. Слежение за движением предмета в пространстве постепенно развивается: сначала ребенок воспринимает предмет, движущийся в горизонтальном направлении, затем в результате длительных упражнений он приучается следить за движением предмета в вертикальном направлении и по кругу. Постепенно движение объекта и самого ребенка начинает совместно развивать сенсорные механизмы, лежащие в основе восприятия пространства. В процессе накопления сенсомоторного опыта возрастает способность различения объектов в пространстве, дифференцировки расстояний. Уже на первом году жизни ребенок начинает осваивать глубину пространства. Длительное сохранение вертикального положения тела при самостоятельном передвижении (ходьбе) значительно расширяет практическое освоение пространства. Передвигаясь сам, малыш осваивает расстояние одного предмета до другого, делает попытки, напоминающие даже измерение расстояния. Например, держась за спинку кровати одной рукой и желая перейти к дивану, он многократно в разных точках своего движения протягивает руку к дивану, как бы измеряя расстояние, и, найдя наиболее короткое, отрывается от кроватки и начинает двигаться, опираясь на сиденье дивана. С ходьбой возникают и новые ощущения преодоления пространства - ощущение равновесия, ускорение или замедление движения, которые сочетаются со зрительными ощущениями. Такое практическое освоение ребенком пространства функционально преобразует всю структуру его пространственной ориентировки. Начинается новый период в развитии восприятия пространства, пространственных признаков и отношений предметов внешнего мира.