Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest taki sam dla wszystkich okręgów. Stosunek ten jest zwykle oznaczany grecką literą („pi” - pierwsza litera greckiego słowa , co oznaczało „okrąg”).

Archimedes w swojej pracy „Pomiar koła” obliczył stosunek obwodu do średnicy (liczby) i stwierdził, że wynosi on od 3 10/71 do 3 1/7.

Przez długi czas jako wartość przybliżoną używano liczby 22/7, choć już w V wieku w Chinach znaleziono przybliżenie 355/113 = 3,1415929..., które w Europie odkryto na nowo dopiero w XVI wieku.

W starożytnych Indiach uważano, że jest to = 3,1622….

Francuski matematyk F. Viète obliczył w 1579 r. za pomocą 9 cyfr.

Holenderski matematyk Ludolf Van Zeijlen w 1596 roku opublikował wynik swojej dziesięcioletniej pracy – liczbę obliczoną za pomocą 32 cyfr.

Ale wszystkie te udoskonalenia znaczenia liczby przeprowadzono metodami wskazanymi przez Archimedesa: okrąg zastąpiono wielokątem o rosnącej liczbie boków. Obwód wielokąta wpisanego był mniejszy niż obwód koła, a obwód wielokąta opisanego był większy. Ale jednocześnie nie było jasne, czy liczba ta jest wymierna, to znaczy stosunek dwóch liczb całkowitych, czy irracjonalna.

Dopiero w 1767 roku niemiecki matematyk I.G. Lambert udowodnił, że liczba jest niewymierna.

A ponad sto lat później, w 1882 r., inny niemiecki matematyk, F. Lindemann, udowodnił jego transcendencję, co oznaczało niemożność zbudowania kwadratu równego danemu okręgowi za pomocą kompasu i linijki.

Najprostszy pomiar

Na grubym kartonie narysuj okrąg o średnicy D(=15cm), wytnij powstały okrąg i owiń go cienką nitką. Pomiar długości l(=46,5 cm) jeden pełny obrót nici, podziel l na długość średnicy D koła. Wynikowy iloraz będzie przybliżoną wartością liczby, tj. = l/ D= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Ta dość prymitywna metoda daje w normalnych warunkach przybliżoną wartość liczby z dokładnością do 1.

Mierzenie poprzez ważenie

Narysuj kwadrat na kartce kartonu. Napiszmy w nim okrąg. Wytnijmy kwadrat. Określmy masę kartonowego kwadratu za pomocą wagi szkolnej. Wytnijmy okrąg z kwadratu. Zważmy go też. Znając masy kwadratu m kw. (=10g) i okrąg w nim wpisany m kr (=7,8 g) skorzystajmy ze wzorów

gdzie p i H– odpowiednio gęstość i grubość tektury, S– obszar figury. Rozważmy równości:

Oczywiście w tym przypadku przybliżona wartość zależy od dokładności ważenia. Jeśli ważone figurki kartonowe są dość duże, to nawet na zwykłych wagach można uzyskać takie wartości mas, które zapewnią przybliżenie liczby z dokładnością do 0,1.

Sumowanie pól prostokątów wpisanych w półkole

Rysunek 1

Niech A (a; 0), B (b; 0). Opiszmy półkole na AB jako średnicę. Podziel odcinek AB na n równych części przez punkty x 1, x 2, ..., x n-1 i przywróć z nich prostopadłe do przecięcia z półokręgiem. Długość każdej takiej prostopadłej jest wartością funkcji f(x)=. Z rysunku 1 jasno wynika, że ​​pole S półkola można obliczyć za pomocą wzoru

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

W naszym przypadku b=1, a=-1. Następnie = 2 S.

Im więcej punktów podziału będzie na odcinku AB, tym dokładniejsze będą wartości. W monotonnej pracy obliczeniowej pomoże komputer, dla którego poniżej podano program 1, skompilowany w języku BASIC.

Program 1

REM „Obliczanie Pi”
REM „Metoda prostokątna”
WEJŚCIE „Wprowadź liczbę prostokątów”, n
dx = 1/n
DLA i = 0 DO n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = za + f
NASTĘPNY
p = 4 * dx * a
DRUKUJ „Wartość pi wynosi”, s
KONIEC

Program został wpisany i uruchomiony z różnymi wartościami parametrów N. Wynikowe wartości liczbowe są zapisane w tabeli:

Metoda Monte Carlo

W rzeczywistości jest to metoda testów statystycznych. Swoją egzotyczną nazwę wzięła od miasta Monte Carlo w Księstwie Monako, słynącego z domów gier hazardowych. Faktem jest, że metoda wymaga użycia liczb losowych, a jednym z najprostszych urządzeń generujących liczby losowe jest ruletka. Możesz jednak uzyskać liczby losowe za pomocą... deszczu.

Do doświadczenia przygotujmy kawałek tektury, narysujmy na nim kwadrat i wpiszmy w niego ćwierć koła. Jeśli taki rysunek będzie przechowywany przez jakiś czas w deszczu, na jego powierzchni pozostaną ślady kropel. Policzmy liczbę torów wewnątrz kwadratu i wewnątrz ćwiartki koła. Oczywiście ich stosunek będzie w przybliżeniu równy stosunkowi pól tych figur, ponieważ krople spadną w różne miejsca na rysunku z równym prawdopodobieństwem. Pozwalać N kr– liczba kropli w okręgu, N kw. jest zatem liczbą kropli do kwadratu

4 N cr / N sq.

Rysunek 2

Deszcz można zastąpić tabelą liczb losowych, która jest kompilowana za pomocą komputera za pomocą specjalnego programu. Każdemu śladowi kropli przypiszmy dwie liczby losowe, charakteryzujące jej położenie wzdłuż osi Oh I Oh. Liczby losowe można wybierać z tabeli w dowolnej kolejności, na przykład w rzędzie. Niech pierwsza czterocyfrowa liczba w tabeli 3265 . Z niego możesz przygotować parę liczb, z których każda jest większa od zera i mniejsza niż jeden: x=0,32, y=0,65. Liczby te uznamy za współrzędne kropli, tzn. kropla wydaje się trafić w punkt (0,32; 0,65). To samo robimy ze wszystkimi wybranymi liczbami losowymi. Jeśli okaże się, że o to chodzi (x;y) Jeśli nierówność jest spełniona, to leży ona poza okręgiem. Jeśli x + y = 1, wówczas punkt leży wewnątrz okręgu.

Aby obliczyć wartość, ponownie korzystamy ze wzoru (1). Błąd obliczeniowy przy zastosowaniu tej metody jest zwykle proporcjonalny do , gdzie D jest stałą, a N jest liczbą testów. W naszym przypadku N = N kwadrat. Z tego wzoru jasno wynika: aby zmniejszyć błąd 10 razy (innymi słowy, aby uzyskać kolejne prawidłowe miejsce po przecinku w odpowiedzi), należy zwiększyć N, czyli ilość pracy, 100 razy. Oczywiste jest, że zastosowanie metody Monte Carlo było możliwe tylko dzięki komputerom. Program 2 implementuje opisaną metodę na komputerze.

Program 2

REM „Obliczanie Pi”
REM „Metoda Monte Carlo”
WEJŚCIE „Wprowadź liczbę kropli”, n
m = 0
DLA i = 1 DO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
JEŚLI x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
NASTĘPNY
p=4*m/n

KONIEC

Program został wpisany i uruchomiony z różnymi wartościami parametru n. Wynikowe wartości liczbowe są zapisane w tabeli:

N
N

Metoda opadającej igły

Weźmy zwykłą igłę do szycia i kartkę papieru. Narysujemy na arkuszu kilka równoległych linii, tak aby odległości między nimi były równe i przekraczały długość igły. Rysunek musi być na tyle duży, aby przypadkowo rzucona igła nie wypadła poza jego granice. Wprowadźmy następującą notację: A- odległość między liniami, l– długość igły.

Rysunek 3

Położenie igły losowo rzuconej na rysunek (patrz ryc. 3) wyznacza odległość X od jej środka do najbliższej prostej oraz kąt j, jaki tworzy igła z prostopadłą opuszczoną ze środka igły do najbliższa linia prosta (patrz rys. 4). To jasne

Rysunek 4

Na ryc. 5 Przedstawmy graficznie tę funkcję y=0,5cos. Wszystkie możliwe lokalizacje igieł scharakteryzowane są punktami ze współrzędnymi (; y ), znajdujący się na odcinku ABCD. Zacieniony obszar AED to punkty odpowiadające przypadkowi, w którym igła przecina linię prostą. Prawdopodobieństwo zdarzenia A– „igła przekroczyła linię prostą” – oblicza się ze wzoru:

Rysunek 5

Prawdopodobieństwo rocznie) można w przybliżeniu określić poprzez wielokrotne rzucanie igłą. Niech igła zostanie rzucona na rysunek C raz i P gdyż spadł podczas przekraczania jednej z prostych, to z odpowiednio dużym C mamy p(a) = p/c. Stąd = 2 l s / a k.

Komentarz. Prezentowana metoda jest odmianą statystycznej metody badawczej. Jest to interesujące z dydaktycznego punktu widzenia, ponieważ pozwala połączyć proste doświadczenie z tworzeniem dość złożonego modelu matematycznego.

Obliczenia z wykorzystaniem szeregu Taylora

Przejdźmy do rozważenia dowolnej funkcji f(x). Załóżmy, że to dla niej w tym momencie x 0 istnieją pochodne wszystkich zleceń aż do N włącznie. Następnie dla funkcji k(x) możemy napisać szereg Taylora:

Obliczenia z wykorzystaniem tego szeregu będą dokładniejsze, im więcej członków szeregu będzie zaangażowanych. Najlepiej oczywiście zaimplementować tę metodę na komputerze, do którego można wykorzystać program 3.

Program 3

REM „Obliczanie Pi”
REM „Rozszerzenie serii Taylora”
WEJŚCIE nr
a = 1
DLA i = 1 DO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * re
a = za + f
NASTĘPNY
p = 4 * a
PRINT "wartość pi równa się"; P
KONIEC

Program został wpisany i uruchomiony z różnymi wartościami parametru n. Wynikowe wartości liczbowe są zapisane w tabeli:

Istnieją bardzo proste zasady mnemoniczne dotyczące zapamiętywania znaczenia liczby:

Matematycy obchodzący swoje urodziny 14 marca od pewnego czasu otrzymali dodatkowy powód do świętowania: ten szczególny dzień (który zgodnie z amerykańską tradycją zapisuje się jako 3.14) został ogłoszony Międzynarodowym Dniem Liczby Pi— stała matematyczna wyrażająca stosunek obwodu koła do długości jego średnicy: 3, 14159265358979323846 2643383279...

Problem stosunku obwodu koła do jego średnicy pojawił się dawno temu (według legendy to właśnie niedokładność tej liczby była powodem, dla którego nigdy nie zbudowano Wieży Babel) i od dawna starożytni naukowcy używali liczby równej trzy. Jednak pierwszym, który posłużył się środkami matematycznymi do obliczenia liczby tego stosunku, był Archimedes, który zajmując się kołami i wielokątami sugerował, że „stosunek dowolnego koła do jego średnicy jest mniejszy niż 3 1/7 i większy niż 3 10/71”, uzyskując w ten sposób numer 3.1419...

Swoją drogą prawdziwi fani tego numeru (a jest ich trochę!) obchodzą swoje święto dokładnie o 1 godzinie 59 minutach i 26 sekundach - według minimalnej liczby cyfr tej liczby: 3,1415926...

Indyjscy naukowcy odkryli nieco inną wartość – 3,162…, a arabskiemu matematykowi i astronomowi Masudowi al-Kashi udało się obliczyć 16 absolutnie dokładnych cyfr pi, dzięki czemu dokonała się rewolucja w astronomii. Nawiasem mówiąc, notoryczny stosunek obwodu koła do jego średnicy otrzymał dobrze znany współczesny symbol pi od lekkiej ręki angielskiego matematyka W. Johnsona dopiero w 1706 roku. Oznaczenie to jest rodzajem skrótu liter, od których zaczynają się greckie słowa „okrąg” i „obwód”. W XVIII wieku niemiecki matematyk Ludolf Van Zeulen, opierając się na metodzie Archimedesa, przez dziesięć lat próbował uzyskać liczbę pi z dokładnością do trzydziestego drugiego miejsca po przecinku, a jego upór został nagrodzony faktem, że liczba pi z tą liczba miejsc po przecinku nazywana jest „liczbą Ludolfa”.

Dzięki tej legendarnej liczbie zakończył się jeden z najdłuższych sporów matematycznych: uzyskano dowód na niemożność rozwiązania najsłynniejszego klasycznego problemu kwadratury koła. Matematycy A. Lagendre i F. Lindeman otrzymali potwierdzenie irracjonalności (niemożności przedstawienia w postaci ułamka, którego licznik jest liczbą całkowitą, a mianownikiem liczbę naturalną) i transcendencji (nieobliczalności za pomocą prostych równań) liczby pi , z czego wynika, że ​​nikt nie może zmusić, posługując się jedynie kompasem i linijką, do skonstruowania odcinka, którego długość byłaby równa długości danego koła.

Ulepszenia metod matematycznych umożliwiły późniejszym naukowcom obliczanie liczby pi z jeszcze większą dokładnością. Euler, dzięki któremu nazwa tej liczby stała się powszechnie używana, „znalazł” 153 prawidłowe miejsca po przecinku, Shanks - 527 itd. Co możemy powiedzieć o współczesnych matematykach, którzy za pomocą komputera z łatwością obliczyli sto miliardów miejsc po przecinku! Japońscy naukowcy, uzyskawszy liczbę pi z dokładnością do 12 411 bilionów cyfr, od razu znaleźli się w Księdze Rekordów Guinnessa: aby ustanowić ten rekord, potrzebowali nie tylko supermocnego komputera, ale także 400 godzin czasu! Ponieważ pi jest nieskończonym matematycznym czasem trwania, każdy matematyk ma szansę pobić japoński rekord.

Jedną z cech liczby pi jest to, że liczby w jej części dziesiętnej (tej po przecinku) nie powtarzają się, co według niektórych naukowców świadczy o tym, że liczba pi jest rozsądnym (!) chaosem zapisanym w języku takty muzyczne. Dzięki temu dowolny ciąg liczb, który może pojawić się w naszej głowie, można znaleźć w cyfrach dziesiętnej części pi.

Jeśli ktoś myśli, że obliczanie nieskończonych miejsc po przecinku tej liczby jest szczególną rozrywką dla trafnie „szalonych” matematyków, jest w błędzie: dokładność nie tylko ziemskiej, ale także kosmicznej konstrukcji zależy od dokładności liczby pi.

Miłośnicy matematyki na całym świecie co roku czternastego marca zjadają kawałek ciasta – w końcu jest to dzień Pi, najsłynniejszej liczby niewymiernej. Data ta jest bezpośrednio związana z liczbą, której pierwsze cyfry to 3,14. Pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Ponieważ jest to irracjonalne, nie można zapisać go w postaci ułamka zwykłego. Jest to nieskończenie długa liczba. Została odkryta tysiące lat temu i od tego czasu jest nieustannie badana, ale czy Pi ma jeszcze jakieś tajemnice? Od starożytnych początków po niepewną przyszłość – oto niektóre z najciekawszych faktów na temat liczby Pi.

Zapamiętywanie Pi

Rekord w zapamiętywaniu liczb dziesiętnych należy do Rajvira Meeny z Indii, któremu udało się zapamiętać 70 000 cyfr – ustanowił go 21 marca 2015 roku. Wcześniej rekordzistą był Chao Lu z Chin, któremu udało się zapamiętać 67 890 cyfr – rekord ten został ustanowiony w 2005 roku. Nieoficjalnym rekordzistą jest Akira Haraguchi, który w 2005 roku nagrał siebie na wideo, powtarzając 100 000 cyfr, a niedawno opublikował wideo, na którym udaje mu się zapamiętać 117 000 cyfr. Rekord stałby się oficjalny dopiero wtedy, gdyby ten film został nagrany w obecności przedstawiciela Księgi Rekordów Guinnessa, a bez potwierdzenia pozostaje jedynie faktem imponującym, ale nie jest uważany za osiągnięcie. Miłośnicy matematyki uwielbiają zapamiętywać liczbę Pi. Wiele osób stosuje różne techniki mnemoniczne, na przykład poezję, gdzie liczba liter w każdym słowie odpowiada cyfrom Pi. Każdy język ma swoje własne wersje podobnych zwrotów, które pomagają zapamiętać zarówno kilka pierwszych liczb, jak i całą setkę.

Istnieje język Pi

Matematycy, pasjonaci literatury, wymyślili dialekt, w którym liczba liter we wszystkich słowach odpowiada cyfrom Pi w dokładnej kolejności. Pisarz Mike Keith napisał nawet książkę Not a Wake, która jest w całości napisana w języku Pi. Entuzjaści takiej twórczości piszą swoje dzieła w pełnej zgodzie z liczbą liter i znaczeniem cyfr. Nie ma to praktycznego zastosowania, ale jest zjawiskiem dość powszechnym i dobrze znanym w kręgach entuzjastycznych naukowców.

Wzrost wykładniczy

Pi to liczba nieskończona, więc z definicji ludzie nigdy nie będą w stanie ustalić dokładnych cyfr tej liczby. Jednakże liczba miejsc po przecinku znacznie wzrosła od czasu pierwszego użycia liczby Pi. Używali go także Babilończycy, ale wystarczył im ułamek trzech całych i jedna ósma. Chińczycy i twórcy Starego Testamentu byli całkowicie ograniczeni do trzech. Do 1665 roku Sir Izaak Newton obliczył 16 cyfr liczby Pi. Do 1719 roku francuski matematyk Tom Fante de Lagny obliczył 127 cyfr. Pojawienie się komputerów radykalnie poprawiło ludzką wiedzę na temat liczby Pi. W latach 1949–1967 liczba znanych człowiekowi gwałtownie wzrosła z 2 037 do 500 000. Niedawno Peter Trueb, naukowiec ze Szwajcarii, był w stanie obliczyć 2,24 biliona cyfr Pi! Zajęło to 105 dni. Oczywiście nie jest to limit. Jest prawdopodobne, że wraz z rozwojem technologii możliwe będzie ustalenie jeszcze dokładniejszej liczby - ponieważ Pi jest nieskończone, po prostu nie ma ograniczeń co do dokładności i mogą ją ograniczyć tylko cechy techniczne technologii komputerowej.

Ręczne obliczanie Pi

Jeśli chcesz sam znaleźć liczbę, możesz skorzystać ze starej techniki - będziesz potrzebować linijki, słoika i sznurka lub możesz skorzystać z kątomierza i ołówka. Wadą używania puszki jest to, że musi być ona okrągła, a dokładność zależy od tego, jak dobrze dana osoba jest w stanie owinąć wokół niej linę. Możesz narysować okrąg za pomocą kątomierza, ale wymaga to również umiejętności i precyzji, ponieważ nierówny okrąg może poważnie zniekształcić pomiary. Bardziej dokładna metoda polega na użyciu geometrii. Podziel okrąg na wiele segmentów, niczym pizzę na plasterki, a następnie oblicz długość linii prostej, która zamieniłaby każdy segment w trójkąt równoramienny. Suma boków da przybliżoną liczbę Pi. Im więcej segmentów użyjesz, tym dokładniejsza będzie liczba. Oczywiście w swoich obliczeniach nie będziesz w stanie zbliżyć się do wyników komputera, jednak te proste eksperymenty pozwalają bardziej szczegółowo zrozumieć, czym jest liczba Pi i jak jest ona wykorzystywana w matematyce.

Odkrycie Pi

Starożytni Babilończycy wiedzieli o istnieniu liczby Pi już cztery tysiące lat temu. Babilońskie tabliczki obliczają liczbę Pi na 3,125, a egipski papirus matematyczny podaje liczbę 3,1605. W Biblii Pi podawane jest w przestarzałej długości łokci, a grecki matematyk Archimedes zastosował twierdzenie Pitagorasa, geometryczną zależność między długością boków trójkąta a polem figur wewnątrz i na zewnątrz okręgów, opisać Pi. Możemy zatem śmiało powiedzieć, że Pi jest jednym z najstarszych pojęć matematycznych, chociaż dokładna nazwa tej liczby pojawiła się stosunkowo niedawno.

Nowe spojrzenie na Pi

Jeszcze zanim liczbę Pi zaczęto wiązać z okręgami, matematycy znali już wiele sposobów na nazwanie tej liczby. Na przykład w starożytnych podręcznikach matematyki można znaleźć wyrażenie po łacinie, które można z grubsza przetłumaczyć jako „wielkość, która pokazuje długość po pomnożeniu przez nią średnicy”. Liczba niewymierna stała się sławna, gdy szwajcarski naukowiec Leonhard Euler użył jej w swojej pracy z trygonometrii w 1737 roku. Jednak grecki symbol Pi nadal nie był używany – stało się to dopiero w książce mniej znanego matematyka Williama Jonesa. Używał go już w 1706 roku, jednak przez długi czas pozostawał niezauważony. Z biegiem czasu naukowcy przyjęli tę nazwę i obecnie jest to najsłynniejsza wersja nazwy, chociaż wcześniej nazywano ją także liczbą Ludolfa.

Czy Pi jest normalną liczbą?

Pi to zdecydowanie dziwna liczba, ale w jakim stopniu podlega normalnym prawom matematycznym? Naukowcy rozwiązali już wiele pytań związanych z tą niewymierną liczbą, ale pewne tajemnice pozostają. Nie wiadomo np. jak często używane są wszystkie liczby – cyfry od 0 do 9 należy stosować w równych proporcjach. Statystyki można jednak prześledzić już od pierwszych bilionów cyfr, jednak ze względu na to, że liczba jest nieskończona, nie da się niczego udowodnić z całą pewnością. Istnieją inne problemy, które wciąż umykają naukowcom. Możliwe, że dalszy rozwój nauki pomoże rzucić na nie światło, ale na razie pozostaje to poza zasięgiem ludzkiej inteligencji.

Pi brzmi bosko

Naukowcy nie potrafią odpowiedzieć na niektóre pytania dotyczące liczby Pi, jednak z roku na rok coraz lepiej rozumieją jej istotę. Już w XVIII wieku udowodniono irracjonalność tej liczby. Ponadto udowodniono, że liczba ta jest transcendentalna. Oznacza to, że nie ma konkretnego wzoru, który pozwalałby obliczyć Pi za pomocą liczb wymiernych.

Niezadowolenie z liczby Pi

Wielu matematyków jest po prostu zakochanych w Pi, ale są też tacy, którzy uważają, że liczby te nie są szczególnie znaczące. Ponadto twierdzą, że Tau, które jest dwukrotnie większe od Pi, wygodniej jest używać jako liczby niewymiernej. Tau pokazuje związek między obwodem a promieniem, co według niektórych stanowi bardziej logiczną metodę obliczeń. Nie da się jednak niczego jednoznacznie ustalić w tej kwestii, a jedna i druga liczba zawsze będzie miała zwolenników, obie metody mają prawo do życia, więc jest to tylko ciekawostka, a nie powód, aby sądzić, że nie należy użyj liczby Pi.

NUMER P – stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą i niezależną od wielkości okręgu. Liczbę wyrażającą tę zależność oznacza się zazwyczaj grecką literą 241 (od „perijereia” – okrąg, peryferia). Zapis ten wszedł do użytku wraz z pracami Leonharda Eulera w 1736 r., ale po raz pierwszy został użyty przez Williama Jonesa (1675–1749) w 1706 r. Jak każda liczba niewymierna, jest ona reprezentowana przez nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny:

P= 3,141592653589793238462643... Potrzeby praktycznych obliczeń związanych z okręgami i ciałami okrągłymi zmusiły nas już w starożytności do poszukiwania 241 przybliżeń wykorzystujących liczby wymierne. Informację, że okrąg jest dokładnie trzy razy dłuższy od średnicy, można znaleźć na tabliczkach klinowych starożytnej Mezopotamii. Ta sama wartość liczbowa P znajduje się również w tekście Biblii: „I sporządził morze odlane z miedzi, mające dziesięć łokci od końca do końca, całkowicie okrągłe, na pięć łokci wysokie i owinięte sznurem na trzydzieści łokci” (1 Królów 7:23). Starożytni Chińczycy wierzyli w to samo. Ale już w 2 tysiącach pne. starożytni Egipcjanie używali bardziej precyzyjnej wartości liczby 241, którą uzyskuje się ze wzoru na pole średnicy koła D:

Reguła ta z 50. problemu papirusu Rhinda odpowiada wartości 4(8/9) 2 » 3,1605. Papirus Rhinda, znaleziony w 1858 roku, nosi imię swojego pierwszego właściciela, został przepisany przez skrybę Ahmesa około 1650 roku p.n.e., autor oryginału nieznany, ustalono jedynie, że tekst powstał w drugiej połowie w. XIX wiek. PRZED CHRYSTUSEM Chociaż z kontekstu nie jest jasne, w jaki sposób Egipcjanie otrzymali samą formułę. W tak zwanym papirusie moskiewskim, który został skopiowany przez pewnego ucznia między 1800 a 1600 rokiem p.n.e. ze starszego tekstu, około 1900 roku p.n.e., pojawia się kolejny ciekawy problem dotyczący obliczania powierzchni kosza „z otworem 4½”. Nie wiadomo, jaki kształt miał kosz, ale wszyscy badacze są zgodni, że tutaj chodzi o liczbę P przyjmuje się tę samą przybliżoną wartość 4(8/9) 2.

Aby zrozumieć, w jaki sposób starożytni naukowcy uzyskali ten lub inny wynik, musisz spróbować rozwiązać problem, korzystając wyłącznie z wiedzy i technik obliczeniowych tamtych czasów. Tak właśnie postępują badacze tekstów starożytnych, jednak rozwiązania, które udaje im się znaleźć, niekoniecznie są „takie same”. Bardzo często dla jednego problemu oferowanych jest kilka opcji rozwiązania; każdy może wybrać według własnych upodobań, ale nikt nie może twierdzić, że było to rozwiązanie stosowane w czasach starożytnych. Jeśli chodzi o pole koła, hipoteza A.E. Raika, autora licznych książek z historii matematyki, wydaje się wiarygodna: pole koła to średnica D porównuje się z obszarem opisanego wokół niego kwadratu, z którego usuwane są kolejno małe kwadraty o bokach i (ryc. 1). W naszym zapisie obliczenia będą wyglądać następująco: w pierwszym przybliżeniu pole koła S równa różnicy między polem kwadratu a jego bokiem D i łączna powierzchnia czterech małych kwadratów A z boku D:

Hipotezę tę potwierdzają podobne obliczenia w jednym z problemów papirusu moskiewskiego, w którym proponuje się liczyć

Od VI wieku PRZED CHRYSTUSEM matematyka rozwinęła się szybko w starożytnej Grecji. To starożytni greccy geometrzy ściśle udowodnili, że obwód koła jest proporcjonalny do jego średnicy ( l = 2P R; R– promień okręgu, ja – jego długość), a pole koła jest równe połowie iloczynu obwodu i promienia:

S = ½ l R = P R 2 .

Dowody te przypisuje się Eudoksosowi z Knidos i Archimedesowi.

W III wieku. PRZED CHRYSTUSEM Archimedes w swoim eseju O mierzeniu koła obliczył obwody wielokątów foremnych wpisanych w okrąg i opisanych na nim (ryc. 2) - od 6- do 96-kąta. W ten sposób ustalił, że liczba P wynosi od 3 10/71 do 3 1/7, tj. 3.14084< P < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (P„3.14166) odkrył słynny astronom, twórca trygonometrii Klaudiusz Ptolemeusz (II wiek), ale nie wszedł do użytku.

Wierzyli w to Hindusi i Arabowie P= . Znaczenie to nadaje także indyjski matematyk Brahmagupta (598 - ok. 660). W Chinach naukowcy w III wieku. zastosował wartość 3 7/50, czyli gorszą od przybliżenia Archimedesa, ale w drugiej połowie V wieku. Zu Chun Zhi (ok. 430 – ok. 501) otrzymał za P przybliżenie 355/113 ( P„3.1415927). Pozostało nieznane Europejczykom i zostało ponownie odkryte przez holenderskiego matematyka Adriana Antonisa dopiero w 1585 roku. Przybliżenie to powoduje błąd wynoszący tylko siódme miejsce po przecinku.

Poszukiwanie dokładniejszego przybliżenia P kontynuowane w przyszłości. Na przykład al-Kashi (pierwsza połowa XV wieku) w Traktat o Kręgu(1427) obliczył 17 miejsc po przecinku P. W Europie to samo znaczenie znaleziono w 1597 r. Aby to zrobić, musiał obliczyć bok zwykłego 800 335 168-kątów. Holenderski naukowiec Ludolf Van Zeijlen (1540–1610) znalazł dla niej 32 prawidłowe miejsca po przecinku (opublikowane pośmiertnie w 1615 r.), co jest przybliżeniem zwanym liczbą Ludolfa.

Numer P pojawia się nie tylko przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Od czasów F. Viety (1540–1603) poszukiwanie granic pewnych ciągów arytmetycznych zestawianych według prostych praw doprowadziło do tej samej liczby P. W związku z tym przy ustalaniu liczby P Wzięli w nim udział prawie wszyscy znani matematycy: F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. W. Leibniz, L. Euler. Otrzymali różne wyrażenia na 241 w postaci iloczynu nieskończonego, sumy szeregu, ułamka nieskończonego.

Na przykład w 1593 r. F. Viet (1540–1603) wyprowadził wzór

W 1658 r. Anglik William Brounker (1620–1684) znalazł przedstawienie liczby P jako nieskończony ułamek ciągły

nie wiadomo jednak, w jaki sposób doszedł do tego wyniku.

Udowodnił to w 1665 roku John Wallis (1616–1703).

Ta formuła nosi jego imię. Jest mało przydatny do praktycznego wyznaczania liczby 241, ale jest przydatny w różnych dyskusjach teoretycznych. Przeszedł do historii nauki jako jeden z pierwszych przykładów niekończących się dzieł.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) w 1673 r. ustalił następującą formułę:

wyrażanie liczby P/4 jako suma szeregu. Jednakże szereg ten zbiega się bardzo powoli. Aby obliczyć P z dokładnością do dziesięciu cyfr, należałoby, jak pokazał Izaak Newton, znaleźć sumę 5 miliardów liczb i spędzić nad tym około tysiąca lat ciągłej pracy.

Londyński matematyk John Machin (1680–1751) w 1706 r., stosując wzór

mam wyrażenie

który nadal jest uważany za jeden z najlepszych do obliczeń przybliżonych P. Znalezienie dokładnie tych samych dziesięciu miejsc po przecinku zajmuje tylko kilka godzin ręcznego liczenia. Obliczył to sam John Machin P ze 100 poprawnymi znakami.

Używanie tej samej serii dla arctg X i formuły

wartość liczbowa P uzyskano na komputerze z dokładnością do stu tysięcy miejsc po przecinku. Ten rodzaj obliczeń jest interesujący w związku z koncepcją liczb losowych i pseudolosowych. Przetwarzanie statystyczne uporządkowanego zbioru określonej liczby znaków P pokazuje, że ma wiele cech sekwencji losowej.

Istnieje kilka zabawnych sposobów zapamiętywania liczb P dokładniejszy niż tylko 3.14. Na przykład, poznawszy następujący czterowiersz, możesz z łatwością wymienić siedem miejsc po przecinku P:

Musisz po prostu spróbować

I pamiętaj wszystko tak, jak jest:

Trzy, czternaście, piętnaście,

Dziewięćdziesiąt dwa i sześć.

(S. Bobrow Magiczny dwurożec)

Zliczenie liczby liter w każdym słowie poniższych wyrażeń również daje wartość liczby P:

„Co wiem o kręgach?” ( P„3.1416). To powiedzenie zaproponował Ya.I. Perelman.

„Więc znam liczbę zwaną Pi. - Dobrze zrobiony!" ( P„3.1415927).

„Naucz się i poznaj liczbę kryjącą się za liczbą, jak zauważyć szczęście” ( P„3.14159265359).

Nauczyciel w jednej z moskiewskich szkół wymyślił zdanie: „Wiem to i doskonale pamiętam”, a jego uczeń ułożył zabawną kontynuację: „I wiele znaków jest mi niepotrzebnych, na próżno”. Ten dwuwiersz umożliwia zdefiniowanie 12 cyfr.

Tak wygląda liczba 101 P bez zaokrągleń

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

W dzisiejszych czasach za pomocą komputera znaczenie liczby P obliczone z milionami poprawnych znaków, ale taka precyzja nie jest potrzebna w żadnych obliczeniach. Ale możliwość analitycznego określenia liczby ,

W ostatnim wzorze licznik zawiera wszystkie liczby pierwsze, a mianowniki różnią się od nich o jeden, a mianownik jest większy od licznika, jeśli ma postać 4 N+ 1 i mniej w przeciwnym razie.

Choć od końca XVI w., tj. Odkąd powstały pojęcia liczb wymiernych i niewymiernych, wielu naukowców było o tym przekonanych P- liczba niewymierna, ale dopiero w 1766 r. niemiecki matematyk Johann Heinrich Lambert (1728–1777), w oparciu o odkrytą przez Eulera relację między funkcjami wykładniczą i trygonometryczną, ściśle to udowodnił. Numer P nie można przedstawić w postaci ułamka prostego, niezależnie od tego, jak duży jest licznik i mianownik.

W 1882 roku profesor uniwersytetu monachijskiego Carl Louise Ferdinand Lindemann (1852–1939), korzystając z wyników uzyskanych przez francuskiego matematyka C. Hermite’a, udowodnił, że P– liczba przestępna, tj. nie jest pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego za n x n + za n– 1 xn– 1 + … + za 1 x+a 0 = 0 ze współczynnikami całkowitymi. Dowód ten położył kres historii starożytnego matematycznego problemu kwadratury koła. Przez tysiąclecia problem ten opierał się wysiłkom matematyków; wyrażenie „kwadrat koła” stało się synonimem problemu nierozwiązywalnego. I cała sprawa okazała się transcendentalna natura liczby P.

Na pamiątkę tego odkrycia w sali przed audytorium matematycznym Uniwersytetu w Monachium ustawiono popiersie Lindemanna. Na cokole pod jego imieniem znajduje się okrąg przecięty kwadratem o równej powierzchni, wewnątrz którego wpisana jest litera P.

Marina Fedosowa

Ile wynosi Pi? znamy i pamiętamy ze szkoły. Jest równa 3,1415926 i tak dalej... Zwykłemu człowiekowi wystarczy wiedza, że ​​liczbę tę otrzymuje się dzieląc obwód koła przez jego średnicę. Ale wiele osób wie, że liczba Pi pojawia się w nieoczekiwanych obszarach nie tylko matematyki i geometrii, ale także fizyki. Cóż, jeśli zagłębisz się w szczegóły natury tej liczby, zauważysz wiele zaskakujących rzeczy wśród nieskończonej serii liczb. Czy to możliwe, że Pi skrywa najgłębsze tajemnice wszechświata?

Nieskończona liczba

Sama liczba Pi pojawia się w naszym świecie jako długość koła, którego średnica jest równa jeden. Ale pomimo tego, że odcinek równy Pi jest dość skończony, liczba Pi zaczyna się od 3,1415926 i zmierza do nieskończoności w rzędach liczb, które nigdy się nie powtarzają. Pierwszym zaskakującym faktem jest to, że liczby tej, stosowanej w geometrii, nie można wyrazić jako ułamka liczb całkowitych. Innymi słowy, nie można tego zapisać jako stosunku dwóch liczb a/b. Ponadto liczba Pi jest przestępna. Oznacza to, że nie ma równania (wielomianu) o współczynnikach całkowitych, którego rozwiązaniem byłaby liczba Pi.

Fakt, że liczba Pi jest przestępna, udowodnił w 1882 roku niemiecki matematyk von Lindemann. To właśnie ten dowód dał odpowiedź na pytanie, czy można za pomocą kompasu i linijki narysować kwadrat, którego pole jest równe polu danego koła. Problem ten, znany jako poszukiwanie kwadratury koła, nurtuje ludzkość od czasów starożytnych. Wydawało się, że ten problem ma proste rozwiązanie i wkrótce zostanie rozwiązany. Ale to właśnie niezrozumiała właściwość liczby Pi pokazała, że ​​nie ma rozwiązania problemu kwadratury koła.

Od co najmniej czterech i pół tysiącleci ludzkość próbuje uzyskać coraz dokładniejszą wartość Pi. Na przykład w Biblii, w Trzeciej Księdze Królewskiej (7:23), za liczbę Pi przyjmuje się 3.

Wartość Pi z niezwykłą dokładnością można znaleźć w piramidach w Gizie: stosunek obwodu i wysokości piramid wynosi 22/7. Ułamek ten daje przybliżoną wartość Pi równą 3,142... O ile oczywiście Egipcjanie nie ustalili tego stosunku przez przypadek. Tę samą wartość uzyskał już w odniesieniu do obliczenia liczby Pi w III wieku p.n.e. przez wielkiego Archimedesa.

W Papirusie Ahmesa, starożytnym egipskim podręczniku matematyki datowanym na 1650 rok p.n.e., liczbę Pi oblicza się jako 3,160493827.

W starożytnych tekstach indyjskich około IX wieku p.n.e. najdokładniejszą wartość wyrażała liczba 339/108, która była równa 3,1388...

Przez prawie dwa tysiące lat po Archimedesie ludzie próbowali znaleźć sposoby obliczenia liczby Pi. Byli wśród nich zarówno znani, jak i nieznani matematycy. Na przykład rzymski architekt Marek Witruwiusz Pollio, egipski astronom Klaudiusz Ptolemeusz, chiński matematyk Liu Hui, indyjski mędrzec Aryabhata, średniowieczny matematyk Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, arabski naukowiec Al-Khwarizmi, od którego imienia pochodzi słowo pojawił się „algorytm”. Wszyscy oni i wiele innych osób poszukiwało najdokładniejszych metod obliczania Pi, ale aż do XV wieku nie udało im się uzyskać więcej niż 10 miejsc po przecinku ze względu na złożoność obliczeń.

Wreszcie w 1400 roku indyjski matematyk Madhava z Sangamagramu obliczył Pi z dokładnością do 13 cyfr (choć w dwóch ostatnich nadal się mylił).

Liczba znaków

W XVII wieku Leibniz i Newton odkryli analizę wielkości nieskończenie małych, która umożliwiła obliczanie liczby Pi w sposób bardziej progresywny – poprzez szeregi potęgowe i całki. Sam Newton obliczył 16 miejsc po przecinku, ale nie wspomniał o tym w swoich książkach - stało się to znane po jego śmierci. Newton twierdził, że obliczył Pi wyłącznie z nudów.

Mniej więcej w tym samym czasie wystąpili także inni, mniej znani matematycy, którzy zaproponowali nowe wzory na obliczanie liczby Pi za pomocą funkcji trygonometrycznych.

Na przykład jest to wzór zastosowany do obliczenia Pi przez nauczyciela astronomii Johna Machina w 1706 roku: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Korzystając z metod analitycznych, Machin wyprowadził z tego wzoru liczbę Pi z dokładnością do stu miejsc po przecinku.

Nawiasem mówiąc, w tym samym 1706 roku liczba Pi otrzymała oficjalne oznaczenie w postaci greckiej litery: William Jones użył jej w swojej pracy nad matematyką, przyjmując pierwszą literę greckiego słowa „peryferie”, co oznacza „okrąg” .” Wielki Leonhard Euler, urodzony w 1707 r., spopularyzował to oznaczenie, znane dziś każdemu uczniowi.

Przed erą komputerów matematycy skupiali się na obliczaniu jak największej liczby znaków. W związku z tym czasami pojawiały się zabawne rzeczy. Matematyk-amator W. Shanks obliczył w 1875 roku 707 cyfr liczby Pi. Te siedemset znaków zostało uwiecznionych na ścianie Palais des Discoverys w Paryżu w 1937 roku. Jednak dziewięć lat później uważni matematycy odkryli, że tylko pierwszych 527 znaków zostało poprawnie obliczonych. Aby naprawić błąd, muzeum musiało ponieść znaczne wydatki – teraz wszystkie dane są prawidłowe.

Kiedy pojawiły się komputery, liczbę cyfr Pi zaczęto obliczać w zupełnie niewyobrażalnej kolejności.

Jeden z pierwszych komputerów elektronicznych, ENIAC, stworzony w 1946 roku, był ogromnych rozmiarów i generował tyle ciepła, że ​​w pomieszczeniu nagrzało się do 50 stopni Celsjusza, co obliczyło pierwsze 2037 cyfr Pi. Obliczenia te zajęły maszynie 70 godzin.

W miarę udoskonalania komputerów nasza wiedza na temat liczby Pi przesuwała się coraz dalej w nieskończoność. W 1958 r. obliczono 10 tysięcy cyfr tej liczby. W 1987 roku Japończycy obliczyli 10 013 395 znaków. W 2011 roku japoński badacz Shigeru Hondo przekroczył granicę 10 bilionów znaków.

Gdzie jeszcze można spotkać Pi?

Często więc nasza wiedza o liczbie Pi pozostaje na poziomie szkolnym i wiemy na pewno, że liczba ta jest niezastąpiona przede wszystkim w geometrii.

Oprócz wzorów na długość i pole koła liczbę Pi stosuje się we wzorach na elipsy, kule, stożki, cylindry, elipsoidy i tak dalej: w niektórych miejscach wzory są proste i łatwe do zapamiętania, ale w innych zawierają bardzo złożone całki.

Wtedy liczbę Pi możemy spotkać we wzorach matematycznych, gdzie na pierwszy rzut oka geometria nie jest widoczna. Na przykład całka nieoznaczona z 1/(1-x^2) jest równa Pi.

Liczba Pi jest często używana w analizie szeregowej. Jako przykład, oto prosty szereg zbieżny do Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Spośród szeregów Pi pojawia się najbardziej nieoczekiwanie w słynnej funkcji zeta Riemanna. Nie da się o tym w skrócie porozmawiać, powiedzmy, że kiedyś liczba Pi pomoże znaleźć wzór na obliczanie liczb pierwszych.

I absolutnie zaskakujące: Pi pojawia się w dwóch najpiękniejszych „królewskich” wzorach matematyki – wzorze Stirlinga (pomagającym znaleźć przybliżoną wartość silni i funkcji gamma) oraz wzorze Eulera (który łączy aż pięć stałych matematycznych).

Jednak najbardziej nieoczekiwane odkrycie czekało matematyków zajmujących się teorią prawdopodobieństwa. Liczba Pi również tam jest.

Na przykład prawdopodobieństwo, że dwie liczby będą względnie pierwsze, wynosi 6/PI^2.

Pi pojawia się w sformułowanym w XVIII wieku przez Buffona problemie rzucania igłą: jakie jest prawdopodobieństwo, że igła rzucona na kartkę papieru w linie przekroczy jedną z linii. Jeśli długość igły wynosi L, a odległość między liniami wynosi L, a r > L, to możemy w przybliżeniu obliczyć wartość Pi, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo 2L/rPI. Wyobraź sobie - możemy uzyskać Pi ze zdarzeń losowych. A tak przy okazji, Pi występuje w normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa, pojawia się w równaniu słynnej krzywej Gaussa. Czy to oznacza, że ​​liczba Pi jest jeszcze bardziej fundamentalna niż tylko stosunek obwodu do średnicy?

Pi możemy spotkać także w fizyce. Pi pojawia się w prawie Coulomba, które opisuje siłę oddziaływania dwóch ładunków, w trzecim prawie Keplera, które pokazuje okres obrotu planety wokół Słońca, a nawet pojawia się w układzie orbitali elektronowych atomu wodoru. I znowu najbardziej niewiarygodne jest to, że liczba Pi ukryta jest we wzorze zasady nieoznaczoności Heisenberga – podstawowego prawa fizyki kwantowej.

Sekrety Pi

W powieści Carla Sagana Kontakt, na której powstał film o tym samym tytule, kosmici mówią bohaterce, że wśród znaków Pi kryje się tajemne przesłanie od Boga. Od pewnego miejsca cyfry w liczbie przestają być przypadkowe i stanowią kod, w którym zapisane są wszystkie tajemnice Wszechświata.

W tej powieści odzwierciedlono tajemnicę, która zaprząta umysły matematyków na całym świecie: czy Pi jest normalną liczbą, w której cyfry są rozproszone z równą częstotliwością, czy też jest coś nie tak z tą liczbą? I chociaż naukowcy skłaniają się ku pierwszej opcji (ale nie mogą jej udowodnić), liczba Pi wygląda bardzo tajemniczo. Pewien Japończyk obliczył kiedyś, ile razy liczby od 0 do 9 występują w pierwszym bilionie cyfr Pi. I zobaczyłem, że liczby 2, 4 i 8 były częstsze niż pozostałe. Może to być jedna z wskazówek, że liczba Pi nie jest całkowicie normalna, a zawarte w niej liczby rzeczywiście nie są przypadkowe.

Zapamiętajmy wszystko, co przeczytaliśmy powyżej i zadajmy sobie pytanie, jaką inną liczbę irracjonalną i transcendentalną tak często można spotkać w prawdziwym świecie?

A w sklepie jest więcej dziwactw. Na przykład suma pierwszych dwudziestu cyfr Pi wynosi 20, a suma pierwszych 144 cyfr jest równa „liczbie bestii” 666.

Główny bohater amerykańskiego serialu „Podejrzany”, profesor Finch, powiedział uczniom, że ze względu na nieskończoność liczby Pi można w niej znaleźć dowolną kombinację liczb, począwszy od liczb z datą urodzenia po liczby bardziej zespolone . Na przykład na pozycji 762 znajduje się ciąg sześciu dziewiątek. Pozycję tę nazwano punktem Feynmana na cześć słynnego fizyka, który zauważył tę interesującą kombinację.

Wiemy również, że liczba Pi zawiera ciąg 0123456789, ale znajduje się na 17 387 594 880 cyfrze.

Wszystko to sprawia, że ​​w nieskończoności liczby Pi można znaleźć nie tylko ciekawe kombinacje liczb, ale także zakodowany tekst „Wojny i pokoju”, Biblię, a nawet Główną Tajemnicę Wszechświata, jeśli taka istnieje.

Przy okazji, o Biblii. Słynny popularyzator matematyki Martin Gardner stwierdził w 1966 roku, że milionową cyfrą Pi (wówczas jeszcze nieznaną) będzie liczba 5. Swoje obliczenia tłumaczył tym, że w angielskiej wersji Biblii, w 3. księga, rozdział 14, 16 wersetów (3-14-16) siódme słowo zawiera pięć liter. Liczba milionowa została osiągnięta osiem lat później. To był numer pięć.

Czy warto po tym twierdzić, że liczba Pi jest losowa?