W tym artykule szczegółowo omówimy koncepcję iloczynu krzyżowego dwóch wektorów. Podamy niezbędne definicje, napiszemy wzór na znalezienie współrzędnych iloczynu wektorowego, wymienimy i uzasadnimy jego właściwości. Następnie zastanowimy się nad geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego dwóch wektorów i rozważymy rozwiązania różnych typowych przykładów.

Nawigacja strony.

Definicja produktu krzyżowego.

Przed zdefiniowaniem iloczynu wektorowego przyjrzyjmy się orientacji uporządkowanej trójki wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.

Narysujmy wektory z jednego punktu. W zależności od kierunku wektora, te trzy mogą być w prawo lub w lewo. Spójrzmy od końca wektora, jak najkrótszy zwrot od wektora do . Jeśli najkrótszy obrót nastąpi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, wówczas nazywana jest trójka wektorów Prawidłowy, W przeciwnym razie - lewy.

Weźmy teraz dwa niewspółliniowe wektory i . Wykreślmy wektory i z punktu A. Skonstruujmy wektor prostopadły do ​​obu i i . Oczywiście, konstruując wektor, możemy zrobić dwie rzeczy, nadając mu albo jeden kierunek, albo odwrotny (patrz ilustracja).

W zależności od kierunku wektora uporządkowana trójka wektorów może być prawoskrętna lub lewoskrętna.

To przybliża nas do definicji iloczynu wektorowego. Jest ona dana dla dwóch wektorów zdefiniowanych w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja.

Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów i , określone w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, nazywa się wektorem takim, że

Iloczyn wektorów i jest oznaczony jako .

Współrzędne iloczynu wektorowego.

Teraz podamy drugą definicję iloczynu wektorowego, która pozwala znaleźć jego współrzędne na podstawie współrzędnych danych wektorów i.

Definicja.

W prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej iloczyn wektorowy dwóch wektorów I jest wektorem , gdzie są wektory współrzędnych.

Definicja ta daje nam iloczyn krzyżowy w formie współrzędnych.

Wygodnie jest przedstawić iloczyn wektorowy jako wyznacznik macierzy kwadratowej trzeciego rzędu, której pierwszy rząd to wektory, drugi rząd zawiera współrzędne wektora, a trzeci zawiera współrzędne wektora w danym prostokątny układ współrzędnych:

Jeśli rozwiniemy ten wyznacznik na elementy pierwszego rzędu, otrzymamy równość z definicji iloczynu wektorowego we współrzędnych (w razie potrzeby odsyłamy do artykułu):

Należy zaznaczyć, że postać współrzędnych iloczynu wektorowego jest w pełni zgodna z definicją podaną w pierwszym akapicie tego artykułu. Co więcej, te dwie definicje iloczynu krzyżowego są równoważne. Dowód tego faktu można znaleźć w książce wymienionej na końcu artykułu.

Właściwości produktu wektorowego.

Ponieważ iloczyn wektorowy we współrzędnych można przedstawić jako wyznacznik macierzy, na tej podstawie można łatwo uzasadnić, co następuje: właściwości produktu krzyżowego:

Jako przykład udowodnijmy przemienną właściwość iloczynu wektorowego.

Z definicji I . Wiemy, że wartość wyznacznika macierzy ulega odwróceniu w przypadku zamiany dwóch wierszy, zatem , co dowodzi antyprzemiennej właściwości iloczynu wektorowego.

Produkt wektorowy - przykłady i rozwiązania.

Istnieją głównie trzy rodzaje problemów.

W zadaniach pierwszego typu podane są długości dwóch wektorów i kąt między nimi, a także należy znaleźć długość iloczynu wektorowego. W tym przypadku stosuje się formułę .

Przykład.

Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów i , jeśli jest znana .

Rozwiązanie.

Z definicji wiemy, że długość iloczynu wektorów i jest równa iloczynowi długości wektorów i sinusowi kąta między nimi, zatem .

Odpowiedź:

.

Problemy drugiego typu dotyczą współrzędnych wektorów, w których iloczyn wektorowy, jego długość lub cokolwiek innego jest przeszukiwany poprzez współrzędne danych wektorów I .

Możliwych jest tutaj wiele różnych opcji. Na przykład nie można określić współrzędnych wektorów i, ale ich rozwinięcia do wektorów współrzędnych postaci i , lub wektory i można je określić za pomocą współrzędnych ich punktów początkowego i końcowego.

Spójrzmy na typowe przykłady.

Przykład.

Dane są dwa wektory w prostokątnym układzie współrzędnych . Znajdź ich produkt krzyżowy.

Rozwiązanie.

Zgodnie z drugą definicją iloczyn wektorowy dwóch wektorów we współrzędnych zapisuje się jako:

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdyby iloczyn wektorowy został zapisany w kategoriach wyznacznika

Odpowiedź:

.

Przykład.

Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów i , gdzie są wektory jednostkowe prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych.

Rozwiązanie.

Najpierw znajdujemy współrzędne iloczynu wektorowego w danym prostokątnym układzie współrzędnych.

Ponieważ wektory i mają odpowiednio współrzędne i (w razie potrzeby zobacz współrzędne artykułu wektora w prostokątnym układzie współrzędnych), to z drugiej definicji iloczynu wektorowego mamy

Oznacza to, że produkt wektorowy ma współrzędne w danym układzie współrzędnych.

Długość iloczynu wektorowego obliczamy jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych (wzór na długość wektora otrzymaliśmy w części o wyznaczaniu długości wektora):

Odpowiedź:

.

Przykład.

W prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych podane są współrzędne trzech punktów. Znajdź jakiś wektor, który jest prostopadły i jednocześnie.

Rozwiązanie.

Wektory i mają odpowiednio współrzędne i (patrz artykuł o znajdowaniu współrzędnych wektora poprzez współrzędne punktów). Jeśli znajdziemy iloczyn wektorowy wektorów i , to z definicji jest to wektor prostopadły do ​​obu i do , czyli jest to rozwiązanie naszego problemu. Znajdźmy go

Odpowiedź:

- jeden z prostopadłych wektorów.

W zadaniach trzeciego typu sprawdzana jest umiejętność wykorzystania właściwości iloczynu wektorów wektorów. Po zastosowaniu właściwości stosowane są odpowiednie formuły.

Przykład.

Wektory i są prostopadłe, a ich długości wynoszą odpowiednio 3 i 4. Znajdź długość iloczynu poprzecznego .

Rozwiązanie.

Dzięki właściwości rozdzielczej iloczynu wektorowego możemy pisać

Ze względu na właściwość kombinacyjną współczynniki liczbowe pobieramy ze znaku iloczynów wektorowych w ostatnim wyrażeniu:

Produkty wektorowe i są równe zeru, ponieważ I , Następnie .

Ponieważ iloczyn wektorowy jest antyprzemienny, to .

Korzystając z właściwości iloczynu wektorowego, dotarliśmy do równości .

Pod warunkiem, wektory i są prostopadłe, to znaczy kąt między nimi jest równy . Oznacza to, że mamy wszystkie dane, aby znaleźć wymaganą długość

Odpowiedź:

.

Znaczenie geometryczne iloczynu wektorowego.

Z definicji długość iloczynu wektorów wektorów wynosi . A z kursu geometrii w szkole średniej wiemy, że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch boków trójkąta i sinusa kąta między nimi. W związku z tym długość iloczynu wektorowego jest równa dwukrotności pola trójkąta, którego bokami są wektory i , jeśli są wykreślone z jednego punktu. Innymi słowy, długość iloczynu wektorów wektorów i jest równa powierzchni równoległoboku o bokach i kącie między nimi równym . To jest geometryczne znaczenie iloczynu wektorowego.

7.1. Definicja produktu krzyżowego

Trzy niewspółpłaszczyznowe wektory a, b i c, wzięte we wskazanej kolejności, tworzą prawoskrętną trójkę, jeśli od końca trzeciego wektora c widać, że najkrótszy zwrot od pierwszego wektora a do drugiego wektora b być w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a trójka lewoskrętna, jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrz ryc. .16).

Iloczyn wektorowy wektora a i wektora b nazywa się wektorem c, który:

1. Prostopadle do wektorów a i b, tj. c ^ a i c ^ B ;

2. Ma długość równą liczbowo powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach a iB jak po bokach (patrz rys. 17), tj.

3. Wektory a, b i c tworzą prawoskrętną trójkę.

Iloczyn krzyżowy jest oznaczony jako a x b lub [a, b]. Z definicji iloczynu wektorowego wynikają bezpośrednio następujące zależności pomiędzy wektorami jednostkowymi, J I k

(patrz rys. 18):
ja x jot = k, jot x k = ja, k x ja = jot. Udowodnijmy to na przykład

ja xj = k. ^ 1) k ^ i, k

J ; 2) |k |=1, ale | ja x j

| = |i | I|J | grzech(90°)=1;

3) wektory i, j oraz

tworzą prawą potrójną (patrz ryc. 16).

7.2. Właściwości produktu krzyżowego = -(1. Podczas przestawiania czynników iloczyn wektorowy zmienia znak, tj.).

i xb =(b xa) (patrz rys. 19).

Wektory a xb i b xa są współliniowe, mają te same moduły (obszar równoległoboku pozostaje niezmieniony), ale są skierowane przeciwnie (potrójne a, b, a xb i a, b, b x a o przeciwnej orientacji). Dlatego axb b xa B 2. Iloczyn wektorowy ma właściwość łączenia w odniesieniu do współczynnika skalarnego, tj. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b). B Niech l > 0. Wektor l (a xb) jest prostopadły do ​​wektorów aib. wektor ( axb l axb topór axb b xa B jest również prostopadła do wektorów a i

(wektory a, axb ale leżą w tej samej płaszczyźnie). Oznacza to, że wektory axb(axb) i ( axb<0.

współliniowy. Oczywiste jest, że ich kierunki są zbieżne. Mają tę samą długość: B Dlatego<=>(axb)=

xb. Udowodniono to w podobny sposób dla

3. Dwa niezerowe wektory a i

(są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, tj. a ||b i xb =0. B W szczególności i *i =j *j =k *k =0 .

4. Iloczyn wektorowy ma właściwość rozkładu:

a+b)

xc = a xc + Z definicji iloczynu wektorowego wynikają bezpośrednio następujące zależności pomiędzy wektorami jednostkowymi, xs.

Przyjmiemy bez dowodu.

Niech będą dane dwa wektory a =a x i +a y Z definicji iloczynu wektorowego wynikają bezpośrednio następujące zależności pomiędzy wektorami jednostkowymi,+a z I oraz b = bx I+b y Z definicji iloczynu wektorowego wynikają bezpośrednio następujące zależności pomiędzy wektorami jednostkowymi,+b z I. Znajdźmy iloczyn wektorowy tych wektorów, mnożąc je jako wielomiany (zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego):

Otrzymaną formułę można zapisać jeszcze krócej:

ponieważ prawa strona równości (7.1) odpowiada rozwinięciu wyznacznika trzeciego rzędu pod względem elementów pierwszego rzędu. Równość (7.2) jest łatwa do zapamiętania.

7.4. Niektóre zastosowania produktów krzyżowych

Ustalanie kolinearności wektorów

Znalezienie pola równoległoboku i trójkąta

Zgodnie z definicją iloczynu wektorów wektorów A i b |a xb | =|a| * |b |sing, tj. S par = |a x b |. A zatem D S =1/2|a x b |.

Wyznaczanie momentu siły względem punktu

Niech w punkcie A zostanie przyłożona siła F = AB i niech O- jakiś punkt w przestrzeni (patrz ryc. 20).

Z fizyki wiadomo, że moment siły F w stosunku do punktu O zwany wektorem M, który przechodzi przez punkt O I:

1) prostopadle do płaszczyzny przechodzącej przez punkty O, A, B;

2) liczbowo równy iloczynowi siły na ramię

3) tworzy prawą trójkę z wektorami OA i A B.

Dlatego M = OA x F.

Znalezienie liniowej prędkości obrotowej

Prędkość w punkt M ciała sztywnego obracającego się z prędkością kątową w wokół ustalonej osi, wyznacza się wzorem Eulera v = w xr, gdzie r = OM, gdzie O jest pewnym stałym punktem osi (patrz rys. 21).

Zanim podamy koncepcję iloczynu wektorowego, przejdźmy do kwestii orientacji uporządkowanej trójki wektorów a →, b →, c → w przestrzeni trójwymiarowej.

Na początek odłóżmy wektory a → , b → , c → z jednego punktu. Orientacja trójki a → , b → , c → może być prawa lub lewa, w zależności od kierunku samego wektora c →. Rodzaj trójki a → , b → , c → zostanie określony na podstawie kierunku, w którym zostanie wykonany najkrótszy zwrot z wektora a → do b → od końca wektora c → .

Jeśli najkrótszy obrót zostanie wykonany w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, wówczas nazywa się trójkę wektorów a → , b → , c → Prawidłowy, jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara – lewy.

Następnie weź dwa niewspółliniowe wektory a → i b →. Wykreślmy następnie wektory A B → = a → i A C → = b → z punktu A. Skonstruujmy wektor A D → = c →, który jest jednocześnie prostopadły zarówno do A B →, jak i A C →. Zatem konstruując sam wektor A D → = c →, możemy to zrobić na dwa sposoby, nadając mu albo jeden kierunek, albo odwrotny (patrz ilustracja).

Uporządkowana trójka wektorów a → , b → , c → może, jak się okazało, być prawa lub lewa, w zależności od kierunku wektora.

Z powyższego możemy wprowadzić definicję iloczynu wektorowego. Definicja ta jest podana dla dwóch wektorów zdefiniowanych w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja 1

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a → i b → taki wektor nazwiemy zdefiniowanym w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej takim, że:

• jeśli wektory a → i b → są współliniowe, będzie to zero;
• będzie prostopadły zarówno do wektora a →​​, jak i wektora b → tj. ∠ za → do → = ∠ b → do → = π 2 ;
• jego długość jest określona wzorem: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• trójka wektorów a → , b → , c → ma taką samą orientację jak dany układ współrzędnych.

Iloczyn wektorowy wektorów a → i b → ma następującą notację: a → × b →.

Współrzędne iloczynu wektorowego

Ponieważ każdy wektor ma określone współrzędne w układzie współrzędnych, możemy wprowadzić drugą definicję iloczynu wektorowego, która pozwoli nam znaleźć jego współrzędne na podstawie podanych współrzędnych wektorów.

Definicja 2

W prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej iloczyn wektorowy dwóch wektorów a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) nazywa się wektorem c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , gdzie i → , j → , k → są wektorami współrzędnych.

Iloczyn wektorowy można przedstawić jako wyznacznik macierzy kwadratowej trzeciego rzędu, gdzie pierwszy rząd zawiera wektory i → , j → , k → , drugi rząd zawiera współrzędne wektora a → , a trzeci rząd zawiera współrzędne wektora b → w danym prostokątnym układzie współrzędnych, to jest wyznacznik macierzy wygląda następująco: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Rozbudowując ten wyznacznik na elementy pierwszego rzędu, otrzymujemy równość: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) ja → + (a z b x - a x b z) jot → + (a x b y - a y b x) k →

Właściwości produktu krzyżowego

Wiadomo, że iloczyn wektorowy we współrzędnych jest reprezentowany jako wyznacznik macierzy c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , to na podstawie właściwości wyznacznika macierzy wyświetlane są następujące informacje właściwości produktu wektorowego:

1. antyprzemienność a → × b → = - b → × a → ;
2. rozdzielność a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → lub a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. łączność λ a → × b → = λ a → × b → lub a → × (λ b →) = λ a → × b →, gdzie λ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Właściwości te mają proste dowody.

Jako przykład możemy udowodnić przemienną właściwość iloczynu wektorowego.

Dowód antyprzemienności

Z definicji a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A jeśli zamienimy dwa wiersze macierzy, to wartość wyznacznika macierzy powinna zmienić się na odwrotną, zatem a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , co i dowodzi, że iloczyn wektorowy jest antyprzemienny.

Produkt wektorowy - przykłady i rozwiązania

W większości przypadków istnieją trzy rodzaje problemów.

W zadaniach pierwszego typu zwykle podaje się długości dwóch wektorów i kąt między nimi, a następnie trzeba znaleźć długość iloczynu wektorowego. W tym przypadku należy zastosować następującą formułę c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Przykład 1

Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów a → i b →, jeśli znasz a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rozwiązanie

Wyznaczając długość iloczynu wektorów wektorów a → i b → rozwiązujemy następujący problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Odpowiedź: 15 2 2 .

Zagadnienia drugiego typu mają związek ze współrzędnymi wektorów, w tym z iloczynem wektorowym, jego długością itp. przeszukiwane są poprzez znane współrzędne danych wektorów a → = (a x; za y; za z) I b → = (b x ; b y ; b z) .

W przypadku tego typu problemu można rozwiązać wiele opcji zadań. Na przykład nie można określić współrzędnych wektorów a → i b →, ale ich rozwinięcia na wektory współrzędnych postaci b → = b x · ja → + b y · jot → + b z · k → i c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → lub wektory a → i b → można określić poprzez współrzędne ich początku i punkty końcowe.

Rozważ następujące przykłady.

Przykład 2

W prostokątnym układzie współrzędnych dane są dwa wektory: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Znajdź ich produkt krzyżowy.

Rozwiązanie

Zgodnie z drugą definicją, znajdujemy iloczyn wektorowy dwóch wektorów o danych współrzędnych: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · ja → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · jot → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 ja → - 2 jot → - 2 k → .

Jeśli napiszemy iloczyn wektorowy przez wyznacznik macierzy, to rozwiązanie tego przykładu wygląda następująco: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ja → - 2 jot → - 2 k → .

Odpowiedź: a → × b → = - 2 ja → - 2 jot → - 2 k → .

Przykład 3

Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów i → - j → i i → + j → + k →, gdzie i →, j →, k → są wektorami jednostkowymi prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Najpierw znajdźmy współrzędne danego iloczynu wektorowego i → - j → × i → + j → + k → w danym prostokątnym układzie współrzędnych.

Wiadomo, że wektory i → - j → oraz i → + j → + k → mają odpowiednio współrzędne (1; - 1; 0) i (1; 1; 1). Znajdźmy długość iloczynu wektorowego korzystając z wyznacznika macierzy, wówczas mamy i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - jot → + 2 k → .

Dlatego iloczyn wektorowy i → - j → × i → + j → + k → ma współrzędne (- 1 ; - 1 ; 2) w danym układzie współrzędnych.

Długość iloczynu wektorowego wyznaczamy za pomocą wzoru (patrz rozdział o znajdowaniu długości wektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Odpowiedź: ja → - jot → × ja → + jot → + k → = 6 . .

Przykład 4

W prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych podane są współrzędne trzech punktów A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Znajdź wektor prostopadły do ​​A B → i A C → w tym samym czasie.

Rozwiązanie

Wektory A B → i A C → mają odpowiednio współrzędne (- 1 ; 2 ; 2) i (0 ; 4 ; 1). Po znalezieniu iloczynu wektorów A B → i A C → widać, że z definicji jest to wektor prostopadły zarówno do A B →, jak i A C →, czyli jest rozwiązaniem naszego problemu. Znajdźmy to A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Odpowiedź: - 6 ja → + jot → - 4 k → . - jeden z prostopadłych wektorów.

Zagadnienia trzeciego typu skupiają się na wykorzystaniu własności iloczynu wektorów wektorów. Po ich zastosowaniu otrzymamy rozwiązanie zadanego problemu.

Przykład 5

Wektory a → i b → są prostopadłe, a ich długości wynoszą odpowiednio 3 i 4. Znajdź długość iloczynu wektorowego 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · za → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Rozwiązanie

Dzięki właściwości rozdzielczej iloczynu wektorowego możemy zapisać 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Dzięki właściwości asocjatywności współczynniki liczbowe pobieramy ze znaku iloczynów wektorowych w ostatnim wyrażeniu: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Iloczyny wektorowe a → × a → i b → × b → są równe 0, ponieważ a → × a → = a → · a → · grzech 0 = 0 i b → × b → = b → · b → · grzech 0 = 0, wtedy 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Z antyprzemienności iloczynu wektorowego wynika - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Korzystając z właściwości iloczynu wektorowego, otrzymujemy równość 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Warunkowo wektory a → i b → są prostopadłe, to znaczy kąt między nimi jest równy π 2. Teraz pozostaje tylko podstawić znalezione wartości do odpowiednich wzorów: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · grzech (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · grzech π 2 = 60 .

Odpowiedź: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Długość iloczynu wektorów z definicji jest równa a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Ponieważ wiadomo już (z kursu szkolnego), że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości jego dwóch boków pomnożonej przez sinus kąta między tymi bokami. W związku z tym długość iloczynu wektorowego jest równa polu równoległoboku - podwójnego trójkąta, a mianowicie iloczynu boków w postaci wektorów a → i b →, rozmieszczonych z jednego punktu przez sinus kąt między nimi sin ∠ a →, b →.

To jest geometryczne znaczenie iloczynu wektorowego.

Fizyczne znaczenie produktu wektorowego

W mechanice, jednej z gałęzi fizyki, dzięki iloczynowi wektorowemu można wyznaczyć moment siły względem punktu w przestrzeni.

Definicja 3

Przez moment siły F → przyłożonej do punktu B względem punktu A zrozumiemy następujący iloczyn wektorowy A B → × F →.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W tej lekcji przyjrzymy się dwóm kolejnym operacjom na wektorach: iloczyn wektorowy wektorów I mieszany produkt wektorów (link natychmiastowy dla potrzebujących). W porządku, czasami zdarza się, że dla pełnego szczęścia dodatkowo Iloczyn skalarny wektorów potrzeba coraz więcej. To jest uzależnienie od wektorów. Może się wydawać, że wkraczamy w dżunglę geometrii analitycznej. To jest błędne. W tej części wyższej matematyki jest ogólnie mało drewna, może z wyjątkiem Pinokia. W rzeczywistości materiał jest bardzo powszechny i ​​​​prosty - niewiele bardziej skomplikowany niż ten sam produkt kropkowy, będzie jeszcze mniej typowych zadań. Najważniejsze w geometrii analitycznej, o czym wielu się przekona lub już przekonało, to NIE POPEŁNIAĆ BŁĘDÓW W OBLICZENIACH. Powtarzaj jak zaklęcie, a będziesz szczęśliwy =)

Jeśli wektory błyszczą gdzieś daleko, jak błyskawica na horyzoncie, nie ma to znaczenia, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów przywrócenie lub ponowne zdobycie podstawowej wiedzy o wektorach. Bardziej przygotowani czytelnicy mogą zapoznać się z informacjami wybiórczo; starałem się zebrać jak najpełniejszy zbiór przykładów, które często można znaleźć w pracy praktycznej

Co sprawi, że od razu będziesz szczęśliwy? Kiedy byłem mały, potrafiłem żonglować dwiema, a nawet trzema piłkami. To zadziałało dobrze. Teraz nie będziesz musiał w ogóle żonglować, ponieważ rozważymy tylko wektory przestrzenne, a wektory płaskie z dwiema współrzędnymi zostaną pominięte. Dlaczego? Tak narodziły się te działania - wektor i iloczyn mieszany wektorów są definiowane i działają w przestrzeni trójwymiarowej. To już jest łatwiejsze!

Operacja ta, podobnie jak iloczyn skalarny, obejmuje dwa wektory. Niech to będą listy niezniszczalne.

Sama akcja oznaczony przez w następujący sposób: . Istnieją inne opcje, ale jestem przyzwyczajony do oznaczania iloczynu wektorów w ten sposób, w nawiasach kwadratowych z krzyżykiem.

I od razu pytanie: jeśli w Iloczyn skalarny wektorów w grę wchodzą dwa wektory i tutaj także dwa wektory są mnożone jaka jest różnica? Oczywistą różnicą jest przede wszystkim WYNIK:

Wynikiem iloczynu skalarnego wektorów jest LICZBA:

Wynikiem iloczynu wektorów jest WEKTOR: , czyli mnożymy wektory i ponownie otrzymujemy wektor. Zamknięty klub. Właściwie stąd wzięła się nazwa operacji. W różnej literaturze edukacyjnej oznaczenia mogą się również różnić; będę używał tej litery.

Definicja produktu krzyżowego

Najpierw będzie definicja ze zdjęciem, potem komentarze.

Definicja: Produkt wektorowy niewspółliniowy wektory, podjęte w tej kolejności, zwany WEKTOREM, długość czyli liczbowo równy obszarowi równoległoboku, zbudowane na tych wektorach; wektor ortogonalne do wektorów, i jest skierowany tak, aby podstawa miała właściwą orientację:

Rozłóżmy definicję kawałek po kawałku, jest tu wiele interesujących rzeczy!

Można zatem wyróżnić następujące istotne punkty:

1) Oryginalne wektory, z definicji oznaczone czerwonymi strzałkami nie współliniowy. Przypadek wektorów współliniowych będzie odpowiedni do rozważenia nieco później.

2) Pobierane są wektory w ściśle określonej kolejności: – „a” jest mnożone przez „być”, a nie „być” z „a”. Wynik mnożenia wektorów to WEKTOR, zaznaczony na niebiesko. Jeśli wektory pomnożymy w odwrotnej kolejności, otrzymamy wektor o równej długości i przeciwnym kierunku (kolor malinowy). Oznacza to, że równość jest prawdziwa .

3) Teraz zapoznajmy się z geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego. To bardzo ważny punkt! DŁUGOŚĆ niebieskiego wektora (a zatem wektora szkarłatnego) jest liczbowo równa POWIERZCHNI równoległoboku zbudowanego na wektorach. Na rysunku ten równoległobok jest zacieniowany na czarno.

Notatka : rysunek jest schematyczny i oczywiście nominalna długość produktu wektorowego nie jest równa powierzchni równoległoboku.

Przypomnijmy jeden ze wzorów geometrycznych: Pole równoległoboku jest równe iloczynowi sąsiednich boków i sinusowi kąta między nimi. Dlatego na podstawie powyższego obowiązuje wzór na obliczenie DŁUGOŚCI iloczynu wektorowego:

Podkreślam, że wzór dotyczy DŁUGOŚCI wektora, a nie samego wektora. Jakie jest praktyczne znaczenie? Znaczenie jest takie, że w problemach geometrii analitycznej obszar równoległoboku często znajduje się poprzez koncepcję iloczynu wektorowego:

Uzyskajmy drugi ważny wzór. Przekątna równoległoboku (czerwona przerywana linia) dzieli go na dwa równe trójkąty. Dlatego pole trójkąta zbudowanego na wektorach (czerwone cieniowanie) można znaleźć za pomocą wzoru:

4) Równie ważnym faktem jest to, że wektor jest ortogonalny do wektorów, tzn . Oczywiście wektor skierowany przeciwnie (malinowa strzałka) jest również ortogonalny do wektorów oryginalnych.

5) Wektor jest skierowany tak, że podstawa ma Prawidłowy orientacja. Na lekcji o przejście na nową podstawę Mówiłem wystarczająco szczegółowo o orientacja płaska, a teraz dowiemy się, jaka jest orientacja przestrzenna. Wyjaśnię ci to na palcach prawa ręka. Mentalnie połączmy siły palec wskazujący z wektorem i palec środkowy z wektorem. Palec serdeczny i mały palec wciśnij go w dłoń. W rezultacie kciuk– produkt wektorowy wyświetli się. Jest to podstawa zorientowana na prawo (jest to ta na rysunku). Teraz zmień wektory ( palce wskazujące i środkowe) w niektórych miejscach, w wyniku czego kciuk się obróci, a produkt wektorowy będzie już patrzył w dół. Jest to również podstawa zorientowana na prawo. Możesz mieć pytanie: która podstawa opuściła orientację? „Przypisz” do tych samych palców lewa ręka wektory i uzyskaj lewą podstawę i lewą orientację przestrzeni (w tym przypadku kciuk będzie zlokalizowany w kierunku dolnego wektora). Mówiąc obrazowo, podstawy te „przekręcają” lub orientują przestrzeń w różnych kierunkach. I tej koncepcji nie należy uważać za coś naciąganego lub abstrakcyjnego - na przykład najzwyklejsze lustro zmienia orientację przestrzeni, a jeśli „wyciągniesz odbity przedmiot z lustra”, to w ogólnym przypadku będzie to nie będzie możliwości połączenia go z „oryginałem”. Przy okazji podnieś trzy palce do lustra i przeanalizuj odbicie ;-)

...jak dobrze, że teraz o tym wiesz zorientowane na prawo i lewo baz, bo wypowiedzi niektórych wykładowców o zmianie orientacji są przerażające =)

Iloczyn krzyżowy wektorów współliniowych

Definicja została omówiona szczegółowo, okaże się, co się stanie, gdy wektory będą współliniowe. Jeśli wektory są współliniowe, to można je ułożyć na jednej prostej i nasz równoległobok również „dodaje” się do jednej prostej. Obszar taki, jak mówią matematycy, zdegenerowany równoległobok jest równy zero. To samo wynika ze wzoru - sinus zera lub 180 stopni jest równy zeru, co oznacza, że ​​pole wynosi zero

Zatem jeśli , to I . Należy pamiętać, że sam iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, ale w praktyce jest to często zaniedbywane i pisze się, że jest również równy zero.

Szczególnym przypadkiem jest iloczyn wektorowy wektora samego siebie:

Za pomocą iloczynu wektorowego można sprawdzić kolinearność wektorów trójwymiarowych, będziemy także analizować m.in. ten problem.

Aby rozwiązać praktyczne przykłady, których możesz potrzebować tablica trygonometryczna znaleźć z niego wartości sinusów.

No to rozpalmy ogień:

Przykład 1

a) Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów, jeśli

b) Znajdź obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach, jeśli

Rozwiązanie: Nie, to nie jest literówka, celowo ustaliłem, że początkowe dane w klauzulach są takie same. Ponieważ projekt rozwiązań będzie inny!

a) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć długość wektor (iloczyn krzyżowy). Zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Ponieważ pytanie dotyczyło długości, w odpowiedzi podajemy wymiar - jednostki.

b) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć kwadrat równoległobok zbudowany na wektorach. Pole tego równoległoboku jest liczbowo równe długości iloczynu wektorowego:

Odpowiedź:

Należy pamiętać, że odpowiedź w ogóle nie mówi o produkcie wektorowym; obszar figury odpowiednio wymiar jest jednostkami kwadratowymi.

Zawsze sprawdzamy, CO musimy znaleźć w zależności od warunku, i na tej podstawie formułujemy jasne odpowiedź. Może się to wydawać dosłowne, ale jest wśród nich mnóstwo nauczycieli zajmujących się dosłownością, a zadanie ma dużą szansę na zwrot do powtórki. Choć nie jest to szczególnie naciągana sprzeczka – jeśli odpowiedź jest błędna, to można odnieść wrażenie, że dana osoba nie rozumie prostych rzeczy i/lub nie zrozumiała istoty zadania. Tę kwestię należy zawsze mieć pod kontrolą przy rozwiązywaniu wszelkich problemów z matematyki wyższej, a także z innych przedmiotów.

Gdzie podziała się wielka litera „en”? W zasadzie można było to dodatkowo podpiąć do rozwiązania, jednak w celu skrócenia wpisu tego nie zrobiłem. Mam nadzieję, że wszyscy to rozumieją i jest to oznaczenie tego samego.

Popularny przykład rozwiązania typu „zrób to sam”:

Przykład 2

Znajdź obszar trójkąta zbudowanego na wektorach jeśli

Wzór na znalezienie pola trójkąta poprzez iloczyn wektorowy podano w komentarzach do definicji. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

W praktyce zadanie jest naprawdę bardzo powszechne; trójkąty mogą ogólnie cię dręczyć.

Aby rozwiązać inne problemy, będziemy potrzebować:

Własności iloczynu wektorowego wektorów

Rozważaliśmy już niektóre właściwości produktu wektorowego, jednak uwzględnię je na tej liście.

W przypadku dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) W innych źródłach informacji ta pozycja zwykle nie jest wyróżniona we właściwościach, ale jest bardzo ważna z praktycznego punktu widzenia. Więc niech tak będzie.

2) – nieruchomość jest również omawiana powyżej, czasami jest nazywana antykomutacyjność. Innymi słowy, kolejność wektorów ma znaczenie.

3) – asocjacyjne lub asocjacyjny prawa dotyczące produktów wektorowych. Stałe można łatwo przenosić poza iloczyn wektorowy. Właściwie, co powinni tam robić?

4) – dystrybucja lub dystrybucyjny prawa dotyczące produktów wektorowych. Nie ma też problemów z otwieraniem zamków.

Aby to zademonstrować, spójrzmy na krótki przykład:

Przykład 3

Znajdź jeśli

Rozwiązanie: Warunek ponownie wymaga znalezienia długości iloczynu wektorowego. Pomalujmy naszą miniaturę:

(1) Zgodnie z prawami asocjacji stałe są poza zakresem iloczynu wektorowego.

(2) Przesuwamy stałą poza moduł, a moduł „zjada” znak minus. Długość nie może być ujemna.

(3) Reszta jest jasna.

Odpowiedź:

Czas dołożyć drewna do ognia:

Przykład 4

Oblicz pole trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Rozwiązanie: Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru . Problem polega na tym, że wektory „tse” i „de” są same w sobie przedstawiane jako sumy wektorów. Algorytm tutaj jest standardowy i nieco przypomina przykłady nr 3 i 4 z lekcji Iloczyn skalarny wektorów. Dla przejrzystości rozwiązanie podzielimy na trzy etapy:

1) W pierwszym kroku wyrażamy iloczyn wektorowy poprzez iloczyn wektorowy, w rzeczywistości wyrażmy wektor za pomocą wektora. Nie ma jeszcze słowa na temat długości!

(1) Zastąp wyrażenia wektorami.

(2) Korzystając z praw rozdzielności, otwieramy nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

(3) Używając praw asocjacji, przenosimy wszystkie stałe poza iloczyny wektorowe. Przy odrobinie doświadczenia kroki 2 i 3 można wykonać jednocześnie.

(4) Pierwszy i ostatni wyraz są równe zeru (wektor zerowy) ze względu na własność nice. W drugim członie korzystamy z własności antyprzemienności iloczynu wektorowego:

(5) Przedstawiamy podobne terminy.

W rezultacie wektor okazał się wyrażony poprzez wektor, co należało osiągnąć:

2) W drugim kroku znajdujemy potrzebną długość iloczynu wektorowego. Ta akcja jest podobna do przykładu 3:

3) Znajdź obszar wymaganego trójkąta:

Etapy 2-3 rozwiązania można było zapisać w jednym wierszu.

Odpowiedź:

Rozważany problem jest dość powszechny w testach, oto przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 5

Znajdź jeśli

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Zobaczmy, jak uważny byłeś, studiując poprzednie przykłady ;-)

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych

, określone w bazie ortonormalnej, wyrażone wzorem:

Wzór jest naprawdę prosty: w górnym wierszu wyznacznika zapisujemy wektory współrzędnych, w drugim i trzecim wierszu „ustawiamy” współrzędne wektorów i umieszczamy w ścisłym porządku– najpierw współrzędne wektora „ve”, następnie współrzędne wektora „podwójnego ve”. Jeśli zachodzi potrzeba pomnożenia wektorów w innej kolejności, należy zamienić wiersze:

Przykład 10

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
A)
B)

Rozwiązanie: Sprawdzenie opiera się na jednym ze stwierdzeń z tej lekcji: jeśli wektory są współliniowe, to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru (wektor zerowy): .

a) Znajdź iloczyn wektorowy:

Zatem wektory nie są współliniowe.

b) Znajdź iloczyn wektorowy:

Odpowiedź: a) nie współliniowy, b)

Być może tutaj znajdują się wszystkie podstawowe informacje na temat iloczynu wektorów wektorów.

Ta sekcja nie będzie zbyt obszerna, ponieważ istnieje niewiele problemów, gdy używany jest mieszany iloczyn wektorów. W rzeczywistości wszystko będzie zależeć od definicji, znaczenia geometrycznego i kilku działających wzorów.

Iloczyn mieszany wektorów to iloczyn trzech wektorów:

Ustawili się zatem w kolejce jak pociąg i nie mogą się doczekać, aż zostaną zidentyfikowani.

Na początek jeszcze raz definicja i obraz:

Definicja: Praca mieszana niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w tej kolejności, zwany objętość równoległościenna, zbudowane na tych wektorach, oznaczone znakiem „+”, jeśli podstawa jest prawidłowa, oraz znakiem „–”, jeśli podstawa jest pozostawiona.

Zróbmy rysunek. Linie niewidoczne dla nas rysujemy liniami przerywanymi:

Przejdźmy do definicji:

2) Pobierane są wektory w określonej kolejności, czyli przegrupowanie wektorów w iloczynie, jak można się domyślić, nie następuje bez konsekwencji.

3) Zanim skomentuję znaczenie geometryczne, zwrócę uwagę na oczywisty fakt: mieszany iloczyn wektorów to LICZBA: . W literaturze edukacyjnej projekt może być nieco inny; jestem przyzwyczajony do oznaczania produktu mieszanego przez , a wynik obliczeń literą „pe”.

Z definicji produkt mieszany to objętość równoległościanu, zbudowane na wektorach (rysunek jest rysowany za pomocą czerwonych wektorów i czarnych linii). Oznacza to, że liczba jest równa objętości danego równoległościanu.

Notatka : Rysunek ma charakter schematyczny.

4) Nie martwmy się już o koncepcję orientacji podstawy i przestrzeni. Znaczenie ostatniej części jest takie, że do objętości można dodać znak minus. Krótko mówiąc, produkt mieszany może być negatywny: .

Bezpośrednio z definicji wynika wzór na obliczenie objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach.

ILOCZYN MIESZANY TRZECH WEKTORÓW I JEGO WŁAŚCIWOŚCI

Praca mieszana trzy wektory nazywane są liczbą równą . Wyznaczony . Tutaj pierwsze dwa wektory są mnożone wektorowo, a następnie powstały wektor jest mnożony skalarnie przez trzeci wektor. Oczywiście taki produkt to pewna liczba.

Rozważmy właściwości mieszanego produktu.

1. Znaczenie geometryczne praca mieszana. Iloczyn mieszany 3 wektorów, aż do znaku, jest równy objętości równoległościanu zbudowanego na tych wektorach, jak na krawędziach, tj. .

   Zatem i .

   

   Dowód. Odłóżmy wektory ze wspólnego początku i zbudujmy na nich równoległościan. Oznaczmy i zauważmy, że . Z definicji iloczynu skalarnego

   Zakładając to i oznaczając przez H znajdź wysokość równoległościanu.

   Zatem kiedy

   Jeśli, to tak. Stąd, .

   Łącząc oba te przypadki, otrzymujemy lub .

   W szczególności z dowodu tej własności wynika, że ​​jeśli trójka wektorów jest prawoskrętna, to iloczyn mieszany jest , a jeśli jest lewoskrętny, to .

2. Dla dowolnych wektorów , , równość jest prawdziwa

   Dowód tej własności wynika z Własności 1. Rzeczywiście łatwo jest wykazać, że i . Co więcej, znaki „+” i „–” są brane jednocześnie, ponieważ kąty między wektorami i oraz i są zarówno ostre, jak i rozwarte.

3. Kiedy dowolne dwa czynniki zostaną przestawione, zmieszany produkt zmienia znak.

   Rzeczywiście, jeśli weźmiemy pod uwagę produkt mieszany, to na przykład lub

4. Iloczyn mieszany wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest równy zero lub wektory są współpłaszczyznowe.

   Dowód.

   Zatem warunkiem koniecznym i wystarczającym współpłaszczyznowości 3 wektorów jest to, aby ich iloczyn mieszany był równy zero. Ponadto wynika, że ​​trzy wektory tworzą bazę w przestrzeni, jeśli .

   Jeśli wektory są podane w postaci współrzędnych, można wykazać, że ich iloczyn mieszany można znaleźć według wzoru:

   .

   Zatem iloczyn mieszany jest równy wyznacznikowi trzeciego rzędu, który ma współrzędne pierwszego wektora w pierwszej linii, współrzędne drugiego wektora w drugiej linii i współrzędne trzeciego wektora w trzeciej linii.

   Przykłady.

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Równanie F(x, y, z)= 0 określa w przestrzeni Oksyz jakąś powierzchnię, tj. miejsce punktów, których współrzędne x, y, z spełniają to równanie. Równanie to nazywa się równaniem powierzchni i x, y, z– aktualne współrzędne.

Często jednak powierzchnia nie jest określona równaniem, ale zbiorem punktów w przestrzeni, które mają tę lub inną właściwość. W takim przypadku konieczne jest znalezienie równania powierzchni na podstawie jej właściwości geometrycznych.

SAMOLOT.

NORMALNY WEKTOR PŁASKI.

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY PRZECHODZĄCEJ PRZEZ OKREŚLONY PUNKT

Rozważmy dowolną płaszczyznę σ w przestrzeni. Jego położenie wyznacza się poprzez podanie wektora prostopadłego do tej płaszczyzny i jakiegoś stałego punktu M0(x 0, y 0, z 0), leżącego w płaszczyźnie σ.

Nazywa się wektor prostopadły do ​​płaszczyzny σ normalna wektor tej płaszczyzny. Niech wektor ma współrzędne .

Wyprowadźmy równanie płaszczyzny σ przechodzącej przez ten punkt M0 i mając wektor normalny. Aby to zrobić, weź dowolny punkt na płaszczyźnie σ M(x, y, z) i rozważ wektor .

Dla dowolnego punktu MО σ jest wektorem, dlatego ich iloczyn skalarny jest równy zero. Ta równość jest warunkiem, że punkt M O σ. Obowiązuje ona dla wszystkich punktów tej płaszczyzny i zostaje naruszona już w punkcie M będzie poza płaszczyzną σ.

Jeśli oznaczymy punkty wektorem promienia M, – wektor promienia punktu M0, to równanie można zapisać w postaci

To równanie nazywa się wektor równanie płaszczyzny. Zapiszmy to w postaci współrzędnych. Od tego czasu

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt. Zatem, aby utworzyć równanie płaszczyzny, należy znać współrzędne wektora normalnego oraz współrzędne jakiegoś punktu leżącego na płaszczyźnie.

Należy pamiętać, że równanie płaszczyzny jest równaniem pierwszego stopnia w odniesieniu do aktualnych współrzędnych x, y I z.

Przykłady.

OGÓLNE RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

Można wykazać, że dowolne równanie pierwszego stopnia w odniesieniu do współrzędnych kartezjańskich x, y, z reprezentuje równanie pewnej płaszczyzny. Równanie to zapisuje się jako:

Topór+By+Cz+D=0

i nazywa się równanie ogólne płaszczyzna i współrzędne A, B, C oto współrzędne wektora normalnego płaszczyzny.

Rozważmy szczególne przypadki równania ogólnego. Dowiedzmy się, jak płaszczyzna jest położona względem układu współrzędnych, jeśli jeden lub więcej współczynników równania wynosi zero.

A jest długością odcinka odciętego przez płaszczyznę na osi Wół. Podobnie można to wykazać B I C– długości odcinków odciętych przez rozpatrywaną płaszczyznę na osiach Oj I Oz.

Do konstruowania płaszczyzn wygodnie jest używać równania płaszczyzny w odcinkach.