Rozważmy funkcję y=k/y. Wykres tej funkcji jest linią zwaną w matematyce hiperbolą. Ogólny widok hiperboli pokazano na poniższym rysunku. (Wykres pokazuje funkcję y równa się k podzieloną przez x, dla której k równa się jeden.)
Jak widać, wykres składa się z dwóch części. Części te nazywane są gałęziami hiperboli. Warto również zauważyć, że każda gałąź hiperboli zbliża się w jednym z kierunków coraz bliżej osi współrzędnych. Osie współrzędnych w tym przypadku nazywane są asymptotami.
Ogólnie rzecz biorąc, dowolne linie proste, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoność, ale do nich nie dociera, nazywane są asymptotami. Hiperbola, podobnie jak parabola, ma osie symetrii. Dla hiperboli pokazanej na powyższym rysunku jest to prosta y=x.
Przyjrzyjmy się teraz dwóm typowym przypadkom hiperboli. Wykres funkcji y = k/x dla k ≠0 będzie hiperbolą, której gałęzie leżą albo w pierwszym i trzecim kącie współrzędnych, dla k>0, albo w drugim i czwartym kącie współrzędnych, widelec<0.
Podstawowe własności funkcji y = k/x, dla k>0
Wykres funkcji y = k/x, dla k>0
5. y>0 przy x>0; y6. Funkcja maleje zarówno na przedziale (-∞;0), jak i na przedziale (0;+∞).
10. Zakres wartości funkcji to dwa otwarte przedziały (-∞;0) i (0;+∞).
Podstawowe własności funkcji y = k/x, dla k<0
Wykres funkcji y = k/x, przy k<0
1. Punkt (0;0) jest środkiem symetrii hiperboli.
2. Osie współrzędnych - asymptoty hiperboli.
4. Dziedziną definicji funkcji są wszystkie x z wyjątkiem x=0.
5. y>0 przy x0.
6. Funkcja rośnie zarówno na przedziale (-∞;0), jak i na przedziale (0;+∞).
7. Funkcja nie jest ograniczona ani od dołu, ani od góry.
8. Funkcja nie ma wartości maksymalnej ani minimalnej.
9. Funkcja jest ciągła na przedziale (-∞;0) i na przedziale (0;+∞). Ma przerwę przy x=0.
Lekcja algebry. 8 klasa.
Temat lekcji: „Funkcja y=k/x, jej własności i wykres.”
Cele lekcji:
Cel edukacyjny:nauczyć, jak zbudować wykres funkcji y=k/x, poznać właściwości funkcji, uzyskać jasne wyobrażenie o różnicach we właściwościach i położeniu wykresu funkcji w punkcie k 0 i k 0, poszerz wiedzę uczniów na temat funkcji.
Cel rozwojowy:kontynuować rozwój zainteresowań poznawczych studiowaniem algebry, rozwijać umiejętność analizowania, obserwacji, porównywania, logicznego myślenia, rozwijać umiejętności wzajemnej kontroli i samokontroli.
Cel edukacyjny:kultywowanie umiejętności komunikowania się w pracy, umiejętności słuchania i słyszenia innych, szacunku dla opinii przyjaciela, kultywowanie w uczniach takich cech moralnych, jak wytrwałość, dokładność, inicjatywa, dokładność, nawyk systematycznej pracy, samodzielność i aktywność.
Sprzęt: komputer, urządzenie multimedialne, materiały informacyjne, prezentacja lekcji.
Struktura lekcji:
- Ustalenie celu lekcji. (2 minuty)
- Aktualizacja podstawowej wiedzy i umiejętności uczniów. (8 minut)
- Przygotowanie do aktywnej nauki nowego materiału. (9 minut)
- Asymilacja nowej wiedzy. (16 minut)
- Utrwalenie zdobytej wiedzy. (5 minut)
- Odbicie. (3 minuty)
- Zadawanie zadań domowych. (2 minuty)
- Rezerwuj miejsca pracy.
Postęp lekcji.
- Moment organizacyjny. (slajd 1) Sformułowano temat lekcji i cel lekcji. Dziś nadal zapoznajemy się z funkcjami i rozważamy funkcję y=k/x jej właściwości oraz wykres, co ta funkcja nam pokazuje i jaką rolę odgrywa w życiu każdej osoby.
- Aktualizacja podstawowej wiedzy i umiejętności uczniów.
- Dwóch uczniów podchodzi do tablicy i wypełnia przygotowane na tablicy tabele.
1/x |
1/x |
2. W tym czasie trwa praca frontalna z resztą klasy.
Podaj definicję: jaka jest dziedzina definicji funkcji. (dziedzina funkcji to zbiór wszystkich wartości, jakie może przyjąć jej argument)
Określ zakres definiowania następujących funkcji (na slajdzie 2):
Y=x²+8, y=1/x-7, y=4x-1/5, y=2/x
Który rysunek z tabeli (slajd 3) przedstawia wykres:
1) wykres funkcji liniowej, napisz wzór,
2) proporcjonalność bezpośrednia, podaj przykłady bezpośredniej proporcjonalności z życia,
3) funkcja kwadratowa,
4) jaki jest znak współczynnika funkcji kwadratowej, który odpowiada wykresom na rysunkach 9 i 10.
Następnie wszyscy wspólnie sprawdzamy, czy tabele są prawidłowo wypełnione. Szczególną uwagę zwracamy na miejsce, w którym x=0.
- Przygotowanie do aktywnej nauki nowego materiału.
Wiemy, że każda z tych funkcji opisuje pewne procesy zachodzące w otaczającym nas świecie. Przejdźmy do fizyki i na jej przykładzie rozważmy jedno ze zjawisk fizycznych, z którymi wielu spotkało się w życiu. Chłopaki patrzą na slajd 4, który pokazuje model fizyczny i zjawisko fizyczne. Jakie zjawisko fizyczne zachodzi (nacisk ciała stałego na powierzchnię, im większa powierzchnia, tym mniejsze ciśnienie). Napisz formułę i wyjaśnij ten slajd za pomocą formuły.
Jak myślisz, jak możemy nazwać taką zależność zmiennych? (odwrotna proporcjonalność). (slajd5)
W matematyce taką zależność zapisuje się wzorem y=k/x, a wykresem takiej funkcji jest hiperbola. Jak wygląda, dowiemy się później. Wiem, że zetknąłeś się z pojęciem hiperboli w literaturze. A Katya Vedeneeva opowie nam o tym. (uczeń czyta raport)
- Asymilacja nowej wiedzy.
Nadszedł moment, w którym musimy nauczyć się wykreślać funkcję y=k/x i badać jej właściwości. Teraz będziecie pracować w parach. Przed tobą leżą kartki papieru z płaszczyzną współrzędnych i zapisana jest funkcja, którą należy skonstruować. (Załącznik 1). Co jest potrzebne do wykreślenia funkcji? (wypełnij tabelę). Powiedz mi, może jest już wypełniony? (tak, na desce). Chłopaki budują punkty na gotowej płaszczyźnie współrzędnych, a następnie sprawdzają je wspólnie z nauczycielem. (slajd 6,7).
Jak poprawnie podłączyć? Proszę zobaczyć, jak to się będzie działo na ekranie. Linie powstałe podczas łączenia punktów nie powinny łączyć się z osiami współrzędnych, dlatego po skrajnych punktach lepiej je przedłużyć o kolejne 2 milimetry. Otrzymane linie nazywane są gałęziami hiperboli. Połącz kropki (slajd 8,9)
Odpowiedź na pytanie: jak położenie wykresu funkcji y=k/x zależy od znaku współczynnika k? Studenci są przekonani, że jeśli k>0, to wykres znajduje się w 1. i 3. ćwiartce współrzędnych, a jeśli k
Po płaszczyźnie współrzędnych napisałeś właściwości, które należy dodać. Dwie głowy są dobre, ale cztery są lepsze. Dlatego jednoczymy się w grupach czteroosobowych. Sprawdzasz wykres funkcji w swojej grupie i dodajesz właściwości bezpośrednio na tej kartce papieru. Następnie następuje dyskusja grupowa, po której każda nieruchomość zostaje wyświetlona na ekranie. Sam nauczyciel pokazuje tylko jedną własność i wyjaśnia, że przez ciągłość funkcji rozumiemy linię ciągłą, którą można narysować bez odrywania ołówka od papieru. Dlatego nauczycielka sama wyjaśnia właściwość 5. Funkcja jest ciągła na przedziale od (-∞;0) do (0;+∞) i ulega nieciągłości w punkcie x=0.
Wykonałeś dobrą robotę i na dalsze lekcje podaję Ci streszczenie tego tematu, które będziesz wklejał. (slajd 10). (Załącznik 2)
Jesteśmy zmęczeni, odpocznijmy trochę. Proponuję obejrzeć ciekawe slajdy, na których zobaczysz jak można przedstawić przysłowia za pomocą naszej funkcji y=k/x. (slajd 11,12,13,14).
- Utrwalenie zdobytej wiedzy.
Odpoczęliśmy, wróćmy do notatek pomocniczych. Nie byłem ostrożny i popełniłem błąd podczas ich wpisywania. Proszę spojrzeć i znaleźć w nich błąd. Proszę naprawić ten błąd. (slajd 15)
- Odbicie:
Czego nowego nauczyłeś się na lekcji?
Czego użyłeś do odkrycia nowej wiedzy?
Jakie trudności napotkałeś?
- Zadanie domowe (slajd 17)
- §18 s. 96-100, nr 18.3, 18.4,
Wymyśl przykłady z różnych dziedzin ludzkiej działalności, które opisano za pomocą odwrotnej proporcjonalności pomiędzy wielkościami i wyraż tę zależność w postaci funkcji y=k/x, wykonaj szkic.
- Zarezerwować:
Pracuj w grupach.
Zadanie:
Cena produktu ulega obniżeniu – wzrasta ilość kupowanego towaru. I odwrotnie. Wymyśl zadanie. Zapisz formułę i wykonaj szkic.
Podpisy slajdów:
Funkcja y=k/x, jej własności i wykres.
Określ zakres definiowania poniższych funkcji
xЄ(-∞;∞)
xЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
xЄ(-∞;∞)
xЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
1. Który rysunek z tabeli przedstawia wykres funkcji liniowej? Napisać formułę?
2. Który rysunek w tabeli przedstawia wykres bezpośredniej proporcjonalności?
3. Podaj przykłady bezpośredniej proporcjonalności z życia?
4. Który rysunek z tabeli przedstawia wykres funkcji kwadratowej?
5. Jaki znak ma współczynnik funkcji kwadratowej odpowiadający wykresom na rysunkach 9 i 10?
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,
y=kx+b
9,10
Funkcje w świecie fizyki
Model fizyczny
Przykłady zjawisk fizycznych
Odwrotna proporcjonalność
Model matematyczny odwrotnej proporcjonalności: y=k/x, gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności
Wykres tej funkcji nazywa się hiperbolą
Na
X
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Funkcja y=1/x
Na
X
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Funkcja y=-1/x
Na
X
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Funkcja y=1/x
Na
X
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Funkcja y=-1/x
y = k/x, k>0
2. y>0 przy x>
największy
najmniej
Dziedzina definicji funkcji x(-∞;0) (0;+∞)
2. y > 0 przy x 0
5. Funkcja ma punkt przerwania x = 0
6. Zakres funkcji y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - nie istnieje y - nie istnieje
największy
najmniej
y = k / x, k „Popisywać się od najmłodszych lat i umrzeć z głodu na starość”
Bogactwo, ubrania, jedzenie
wiek
„Żyliśmy do momentu, w którym nie pozostało już nic”
czas
bogactwo
„Bogaty człowiek je słodycze i źle śpi”
marzenie
bogate życie
„Mów mniej, słuchaj więcej”
У Liczba usłyszanych
X Liczba rozmów
y = k/x, k>0
Dziedzina definicji funkcji x(-∞;0) (0;+∞)
2. y>0 dla x>0; y 3. Funkcja malejąca na przedziale (-∞;0) i (0;+∞)
5. Funkcja ma punkt przerwania x = 0
6. Zakres funkcji y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - nie istnieje y - nie istnieje
największy
najmniej
Dziedzina definicji funkcji x(-∞;0) (0;+∞)
2. y > 0 przy x 0
3. Funkcja rosnąca na przedziale (-∞;0) i (0;+∞)
5. Funkcja ma punkt przerwania x = 0
6. Zakres funkcji y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - nie istnieje y - nie istnieje
największy
najmniej
y = k / x, k Praca domowa: §18 s. 96-100, nr 18.3, 18.4, wymyśl przykłady z różnych obszarów działalności człowieka, które opisano za pomocą odwrotnie proporcjonalnej zależności między wielkościami i wyraż tę zależność w postaci funkcji y=k /x, zrób szkic.
Dziękuję za lekcję
Funkcja liniowa nazywamy funkcją formy y = kx + b, zdefiniowany na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Tutaj k– nachylenie (liczba rzeczywista), B – termin wolny (liczba rzeczywista), X– zmienna niezależna.
W szczególnym przypadku, jeśli k = 0, otrzymujemy stałą funkcję y = b, którego wykres jest linią prostą równoległą do osi Wół przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0; b).
Jeśli b = 0, wtedy otrzymujemy funkcję y = kx, czyli bezpośrednia proporcjonalność.
B – długość segmentu, który jest odcięty linią prostą wzdłuż osi Oy, licząc od początku.
Geometryczne znaczenie współczynnika k – kąt nachylenia prosto do dodatniego kierunku osi Wółu, rozpatrywanego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Własności funkcji liniowej:
1) Dziedziną definicji funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista;
2) Jeśli k ≠ 0, wówczas zakresem wartości funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista. Jeśli k = 0, wówczas zakres wartości funkcji liniowej składa się z liczby B;
3) Równość i nieparzystość funkcji liniowej zależą od wartości współczynników k I B.
A) b ≠ 0, k = 0, stąd, y = b – parzysty;
B) b = 0, k ≠ 0, stąd y = kx – nieparzyste;
C) b ≠ 0, k ≠ 0, stąd y = kx + b – funkcja postaci ogólnej;
D) b = 0, k = 0, stąd y = 0 – zarówno funkcje parzyste, jak i nieparzyste.
4) Funkcja liniowa nie ma właściwości okresowości;
5) Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:
Wół: y = kx + b = 0, x = -b/k, stąd (-b/k; 0)– punkt przecięcia z osią odciętej.
Oj: y = 0k + b = b, stąd (0; b)– punkt przecięcia z osią rzędnych.
Uwaga: jeśli b = 0 I k = 0, a następnie funkcja y = 0 dąży do zera dla dowolnej wartości zmiennej X. Jeśli b ≠ 0 I k = 0, a następnie funkcja y = b nie znika dla żadnej wartości zmiennej X.
6) Przedziały stałości znaku zależą od współczynnika k.
A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b– pozytywne, kiedy X z (-b/k; +∞),
y = kx + b– negatywne, kiedy X z (-∞; -b/k).
B) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b– pozytywne, kiedy X z (-∞; -b/k),
y = kx + b– negatywne, kiedy X z (-b/k; +∞).
C) k = 0, b > 0; y = kx + b dodatni w całym zakresie definicji,
k = 0, b< 0; y = kx + b ujemny w całym zakresie definicji.
7) Przedziały monotoniczności funkcji liniowej zależą od współczynnika k.
k > 0, stąd y = kx + b rośnie w całym obszarze definicji,
k< 0 , stąd y = kx + b maleje w całym obszarze definicji.
8) Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Aby zbudować linię prostą, wystarczy znać dwa punkty. Położenie prostej na płaszczyźnie współrzędnych zależy od wartości współczynników k I B. Poniżej znajduje się tabela, która wyraźnie to ilustruje.
Funkcja Współczynnik k może przyjmować dowolną wartość z wyjątkiem k = 0. Rozważmy najpierw przypadek, gdy k = 1; więc najpierw porozmawiamy o funkcji.
Aby zbudować wykres funkcji, zrobimy to samo, co w poprzednim akapicie: podamy zmiennej niezależnej x kilka konkretnych wartości i obliczymy (korzystając ze wzoru) odpowiadające im wartości zmiennej zależnej zmienny ty To prawda, że tym razem wygodniej jest przeprowadzać obliczenia i konstrukcje stopniowo, najpierw podając argumentowi tylko wartości dodatnie, a potem tylko ujemne.
Pierwszy etap. Jeżeli x = 1, to y = 1 (przypomnijmy, że korzystamy ze wzoru);
Drugi etap.
Krótko mówiąc, przygotowaliśmy następującą tabelę:
Połączmy teraz te dwa etapy w jeden, czyli utworzymy jeden z dwóch cyfr 24 i 26 (rysunek 27). To jest to wykres funkcji nazywa się to hiperbolą.
Spróbujmy opisać właściwości geometryczne hiperboli za pomocą rysunku.
Po pierwsze, zauważamy, że ta linia wygląda równie pięknie jak parabola, ponieważ ma symetrię. Dowolna prosta przechodząca przez początek współrzędnych O i znajdująca się w pierwszym i trzecim kącie współrzędnych przecina hiperbolę w dwóch punktach leżących na tej prostej po przeciwnych stronach punktu O, ale w równych odległościach od niego (ryc. 28). Jest to nieodłącznie związane w szczególności z punktami (1; 1) i (- 1; - 1),
Itd. Oznacza to - O jest środkiem symetrii hiperboli. Mówią też, że hiperbola jest symetryczna względem początku współrzędne.
Po drugie, widzimy, że hiperbola składa się z dwóch części, które są symetryczne względem początku; nazywane są zwykle gałęziami hiperboli.
Po trzecie, zauważamy, że każda gałąź hiperboli w jednym kierunku zbliża się coraz bardziej do osi odciętych, a w drugim do osi rzędnych. W takich przypadkach odpowiednie linie proste nazywane są asymptotami.
Oznacza to, że wykres funkcji, tj. hiperbola ma dwie asymptoty: oś x i oś y.
Jeśli dokładnie przeanalizujesz wykreślony wykres, możesz odkryć jeszcze jedną właściwość geometryczną, nie tak oczywistą jak trzy poprzednie (matematycy zwykle mówią tak: „bardziej subtelna właściwość”). Hiperbola ma nie tylko środek symetrii, ale także osie symetrii.
W rzeczywistości zbudujmy linię prostą y = x (ryc. 29). Teraz spójrz: kropki 
zlokalizowane po przeciwnych stronach przewodu bezpośredni, ale w równych odległościach od niego. Są symetryczne względem tej linii prostej. To samo można powiedzieć o punktach, gdzie oczywiście oznacza to, że prosta y = x jest osią symetrii hiperboli (podobnie jak y = -x)
Przykład 1. Znajdź najmniejsze i największe wartości funkcji a) w segmencie ; b) na odcinku [- 8, - 1].
Rozwiązanie a) Skonstruujmy wykres funkcji i wybierzmy jego część, która odpowiada wartościom zmiennej x z odcinka (ryc. 30). Dla wybranej części wykresu znajdujemy:
b) Skonstruuj wykres funkcji i wybierz jego część, która odpowiada wartościom zmiennej x z segment[- 8, - 1] (ryc. 31). Dla wybranej części wykresu znajdujemy:
Przyjrzeliśmy się więc funkcji dla przypadku, gdy k= 1. Niech teraz k będzie liczbą dodatnią różną od 1, na przykład k = 2.
Spójrzmy na funkcję i zróbmy tabelę wartości tej funkcji:
Konstruujmy punkty (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),
na płaszczyźnie współrzędnych (ryc. 32). Wyznaczają pewną linię składającą się z dwóch gałęzi; Wykonajmy to (ryc. 33). Podobnie jak wykres funkcji, linia ta nazywana jest hiperbolą.
Rozważmy teraz przypadek, gdy k< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).
W poprzednim akapicie zauważyliśmy, że wykres funkcji y = -f(x) jest symetryczny względem wykresu funkcji y = f(x) względem osi x. W szczególności oznacza to, że wykres funkcji y = - f(x) jest symetryczny do wykresu funkcji y = f(x) względem osi x. W szczególności oznacza to, że harmonogram, jest symetryczny do wykresu względem osi x (ryc. 34). W ten sposób otrzymujemy hiperbolę, której gałęzie znajdują się w drugim i czwartym kącie współrzędnych.
Ogólnie wykres funkcji 
jest hiperbolą, której gałęzie znajdują się w pierwszym i trzecim kącie współrzędnych, jeśli k > 0 (ryc. 33), oraz w drugim i czwartym kącie współrzędnych, jeśli k< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.
Zwykle mówi się, że dwie wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, jeśli są powiązane zależnością xy = k (gdzie k jest liczbą inną niż 0), czyli, co to samo, . Z tego powodu funkcję tę czasami nazywa się odwrotną proporcjonalnością (przez analogię do funkcji y – kx, która jak zapewne wiesz,
pamiętajcie, nazywa się to bezpośrednią proporcjonalnością); liczba k - współczynnik odwrotny proporcjonalność.
Własności funkcji dla k > 0
Opisując właściwości tej funkcji, będziemy opierać się na jej modelu geometrycznym - hiperboli (patrz ryc. 33).
2. y > 0 dla x>0;y<0 при х<0.
3. Funkcja maleje na przedziałach (-°°, 0) i (0, +°°).
5. Ani najmniejsza, ani największa wartość funkcji
Własności funkcji w k< 0
Opisując własności tej funkcji będziemy opierać się na jej geometrii model- hiperbola (patrz ryc. 34).
1. Dziedzina funkcji składa się ze wszystkich liczb z wyjątkiem x = 0.
2. y > 0 w x< 0; у < 0 при х > 0.
3. Funkcja rośnie na przedziałach (-oo, 0) i (0, +oo).
4. Funkcja nie jest ograniczona ani od dołu, ani od góry.
5. Funkcja nie ma ani najmniejszych, ani największych wartości.
6. Funkcja jest ciągła na przedziałach (-oo, 0) i (0, +oo) i ulega nieciągłości w punkcie x = 0.
Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Praktyka zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok; zalecenia metodologiczne; program dyskusji; Zintegrowane Lekcje
