twierdzenie Pitagorasa- jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające zależność

między bokami trójkąta prostokątnego.

Uważa się, że udowodnił to grecki matematyk Pitagoras, od którego pochodzi nazwa.

Geometryczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie zostało pierwotnie sformułowane w następujący sposób:

W trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów,

zbudowany na cewnikach.

Algebraiczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

Oznacza to, że oznacza długość przeciwprostokątnej trójkąta przez C, a długości nóg przez A I B:

Oba preparaty twierdzenia pitagorasa są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, tak nie jest

wymaga pojęcia powierzchni. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można zweryfikować, nie wiedząc nic o obszarze i

mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa.

Jeżeli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to

trójkąt jest prostokątny.

Lub innymi słowy:

Dla dowolnej trójki liczb dodatnich A, B I C, takie że

istnieje trójkąt prostokątny z nogami A I B i przeciwprostokątna C.

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta równoramiennego.

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta równobocznego.

Dowody twierdzenia Pitagorasa.

W tej chwili w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie

Pitagoras jest jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Taka różnorodność

można wytłumaczyć jedynie fundamentalnym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.

Oczywiście, koncepcyjnie, wszystkie z nich można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejszy z nich:

dowód metoda obszarowa, aksjomatyczny I egzotyczne dowody(Na przykład,

używając równania różniczkowe).

1. Dowód twierdzenia Pitagorasa pod względem trójkątów podobnych.

Poniższy dowód sformułowania algebraicznego jest najprostszym ze skonstruowanych dowodów

wprost z aksjomatów. W szczególności nie używa pojęcia obszaru figury.

Pozwalać ABC istnieje trójkąt prostokątny C. Narysujmy wysokość z C i oznaczać

jego fundament przez H.

Trójkąt ACH podobny do trójkąta AB C w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH podobny ABC.

Wprowadzając notację:

otrzymujemy:

,

który pasuje -

Po złożeniu A 2 i B 2, otrzymujemy:

lub , co należało udowodnić.

2. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą powierzchniową.

Poniższe dowody, pomimo swojej pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszyscy

wykorzystać własności obszaru, którego dowód jest bardziej skomplikowany niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

• Dowód przez ekwiuzupełnienie.

Ułóż cztery równe prostokąty

trójkąt jak na zdjęciu

po prawej.

Czworokąt z bokami C- kwadrat,

ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90°, oraz

rozwinięty kąt wynosi 180°.

Pole całej figury to z jednej strony

pole kwadratu o boku ( a+b), a z drugiej strony suma pól czterech trójkątów i

co było do okazania

3. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą nieskończenie małych.

​

Biorąc pod uwagę rysunek pokazany na rysunku i

obserwując zmianę stronyA, możemy

napisz następującą zależność dla nieskończoności

mały przyrosty boczneZ I A(za pomocą podobieństwa

trójkąty):

Korzystając z metody separacji zmiennych, znajdujemy:

Bardziej ogólne wyrażenie na zmianę przeciwprostokątnej w przypadku przyrostów obu nóg:

Całkując to równanie i korzystając z warunków początkowych, otrzymujemy:

W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi:

Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w końcowym wzorze pojawia się z powodu liniowej

proporcjonalność między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy suma jest związana z niezależną

wkłady z przyrostu różnych nóg.

Prostszy dowód można uzyskać, jeśli założymy, że jedna z nóg nie doświadcza przyrostu

(w tym przypadku noga B). Wtedy dla stałej całkowania otrzymujemy:

Średni poziom

Trójkąt prostokątny. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. PIERWSZY POZIOM.

W problemach kąt prosty wcale nie jest potrzebny - lewy dolny, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prostokątny w tej formie,

i w takim

i w takim

Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... po pierwsze, są specjalne, piękne imiona dla jego przyjęć.

Uwaga na rysunek!

Zapamiętaj i nie myl: nogi - dwie, a przeciwprostokątna - tylko jedna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!

Cóż, omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsze: twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa.

To twierdzenie jest kluczem do rozwiązania wielu problemów związanych z trójkątem prostokątnym. Zostało to udowodnione przez Pitagorasa w zupełnie niepamiętnych czasach i od tego czasu przyniosło wiele korzyści tym, którzy go znają. A najlepsze w niej jest to, że jest prosta.

Więc, Twierdzenie Pitagorasa:

Pamiętasz dowcip: „Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron!”?

Narysujmy te bardzo pitagorejskie spodnie i spójrzmy na nie.

Czy to naprawdę wygląda jak szorty? No właśnie, po której stronie i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się żart? A żart ten łączy się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a dokładniej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. A sformułował to tak:

"Suma powierzchnia kwadratów, zbudowany na nogach, jest równy kwadratowy obszar zbudowany na przeciwprostokątnej.

Czy to nie brzmi trochę inaczej, prawda? I tak, kiedy Pitagoras narysował stwierdzenie swojego twierdzenia, właśnie taki obraz się pojawił.

Na tym obrazku suma pól małych kwadratów jest równa polu dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej pamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o pitagorejskich spodniach.

Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa

Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?

Widzisz, w starożytności nie było… algebry! Nie było żadnych znaków itp. Nie było żadnych napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak straszne było dla biednych starożytnych studentów zapamiętywanie wszystkiego za pomocą słów?! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, aby lepiej zapamiętać:

Teraz powinno być łatwo:

Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Otóż ​​omówiono najważniejsze twierdzenie o trójkącie prostokątnym. Jeśli ciekawi Cię, jak to jest udowodnione, przeczytaj kolejne poziomy teorii, a teraz przejdźmy dalej… w ciemny las… trygonometrii! Do strasznych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.

W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwej” definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale ty naprawdę nie chcesz, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:

Dlaczego chodzi o kąt? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak zdania 1–4 są zapisywane słownie. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!

1.
Właściwie brzmi to tak:

A co z kątem? Czy istnieje noga przeciwna do rogu, czyli przeciwna noga (dla rogu)? Oczywiście, że mam! To jest katet!

Ale co z kątem? Przypatrz się. Która noga przylega do rogu? Oczywiście kot. Tak więc dla kąta noga sąsiaduje i

A teraz uwaga! Zobacz, co mamy:

Zobacz, jakie to wspaniałe:

Przejdźmy teraz do tangensa i cotangensa.

Jak to teraz ubrać w słowa? Jaka jest noga w stosunku do rogu? Naprzeciwko, oczywiście - „leży” naprzeciwko rogu. A cewnik? Przylegający do rogu. Więc co dostaliśmy?

Widzisz, jak zamieniono licznik i mianownik?

A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:

Streszczenie

Pokrótce napiszmy, czego się dowiedzieliśmy.

Twierdzenie Pitagorasa:

Głównym twierdzeniem o trójkącie prostokątnym jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Nawiasem mówiąc, czy dobrze pamiętasz, jakie są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie, to spójrz na obrazek - odśwież swoją wiedzę

Możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy kiedykolwiek zastanawiałeś się, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe. Jak byś to udowodnił? Zróbmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat o boku.

Widzicie, jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na odcinki długości i!

Teraz połączmy zaznaczone punkty

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na zdjęcie i zastanawiasz się, dlaczego.

Jakie jest pole większego kwadratu? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy dwie z nich i oparliśmy się o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Tak więc obszar „sadzonek” jest równy.

Połączmy to teraz.

przekształćmy:

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - udowodniliśmy jego twierdzenie w starożytny sposób.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:

Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniego ramienia do przeciwległego ramienia.

I jeszcze raz to wszystko w formie talerza:

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

I. Na dwóch nogach

II. Nogą i przeciwprostokątną

III. Przez przeciwprostokątną i kąt ostry

IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego

A)

B)

Uwaga! Tutaj bardzo ważne jest, aby nogi „odpowiadały”. Na przykład, jeśli to idzie tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, pomimo faktu, że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować w obu trójkątach noga była obok lub w obu - naprzeciw.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Przyjrzyj się tematowi i zwróć uwagę, że dla równości „zwykłych” trójkątów potrzebna jest równość ich trzech elementów: dwóch boków i kąta między nimi, dwóch kątów i boku między nimi lub trzech boków. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiadające sobie elementy. To świetnie, prawda?

W przybliżeniu ta sama sytuacja z oznakami podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Oznaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

I. Ostry róg

II. Na dwóch nogach

III. Nogą i przeciwprostokątną

Mediana w trójkącie prostokątnym

Dlaczego tak jest?

Rozważ cały prostokąt zamiast trójkąta prostokątnego.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

A co z tego wynika?

Tak się złożyło, że

1. - mediana:

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że sytuacja odwrotna jest również prawdziwa.

Co dobrego można zyskać z faktu, że mediana poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na obrazek

Przypatrz się. Mamy: , to znaczy odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, w odległości od którego wszystkie trzy wierzchołki trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK opisanego okręgu. Więc co się stało?

Zacznijmy więc od tego „poza tym…”.

Spójrzmy na I.

Ale w podobnych trójkątach wszystkie kąty są równe!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Jaki pożytek można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa.

Cóż, na przykład - dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Piszemy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:

Obie te formuły trzeba bardzo dobrze zapamiętać i tę, która jest wygodniejsza w stosowaniu. Zapiszmy je ponownie.

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg:

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• na dwóch nogach:
• wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej: lub
• wzdłuż nogi i przyległego kąta ostrego: lub
• wzdłuż nogi i przeciwległy kąt ostry: lub
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.

Oznaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:

• jeden ostry róg: lub
• z proporcjonalności obu nóg:
• z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym

• Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:
• Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
• Tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:
• Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwległej:

Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.

W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .

Powierzchnia trójkąta prostokątnego:

• przez cewniki:

Potencjał kreatywności przypisuje się zwykle naukom humanistycznym, pozostawiając przyrodoznawczą analizę, praktyczne podejście i suchy język formuł i liczb. Matematyki nie można zaliczyć do przedmiotów humanistycznych. Ale bez kreatywności w „królowej wszystkich nauk” daleko nie zajdziesz – ludzie wiedzą o tym od dawna. Na przykład od czasów Pitagorasa.

Podręczniki szkolne niestety zwykle nie wyjaśniają, że w matematyce ważne jest nie tylko wkuwanie twierdzeń, aksjomatów i wzorów. Ważne jest, aby zrozumieć i poczuć jego podstawowe zasady. A jednocześnie staraj się uwolnić swój umysł od utartych schematów i elementarnych prawd – tylko w takich warunkach rodzą się wielkie odkrycia.

Do takich odkryć należy to, które dziś znamy jako twierdzenie Pitagorasa. Z jej pomocą postaramy się pokazać, że matematyka nie tylko może, ale i powinna być zabawą. I że ta przygoda jest odpowiednia nie tylko dla nerdów w grubych okularach, ale dla każdego, kto jest silny na umyśle i silny na duchu.

Z historii sprawy

Ściśle mówiąc, chociaż twierdzenie to nazywa się „twierdzeniem Pitagorasa”, sam Pitagoras go nie odkrył. Trójkąt prostokątny i jego specjalne właściwości były badane na długo przed nim. Istnieją dwa biegunowe punkty widzenia w tej kwestii. Według jednej wersji Pitagoras jako pierwszy znalazł pełny dowód twierdzenia. Według innego dowód nie należy do autorstwa Pitagorasa.

Dziś już nie można sprawdzić, kto ma rację, a kto się myli. Wiadomo tylko, że dowód Pitagorasa, jeśli kiedykolwiek istniał, nie zachował się. Istnieją jednak sugestie, że słynny dowód z Elementów Euklidesa może należeć do Pitagorasa, a Euklides tylko go zapisał.

Wiadomo również dzisiaj, że problemy dotyczące trójkąta prostokątnego znajdują się w źródłach egipskich z czasów faraona Amenemheta I, na babilońskich glinianych tabliczkach z czasów króla Hammurabiego, w starożytnym indyjskim traktacie Sulva Sutra i starożytnym chińskim dziele Zhou -bi suan jin.

Jak widać, twierdzenie Pitagorasa zaprząta umysły matematyków od czasów starożytnych. Około 367 różnych dowodów, które istnieją dzisiaj, służy jako potwierdzenie. Żadne inne twierdzenie nie może z nim konkurować pod tym względem. Znani autorzy dowodów to Leonardo da Vinci i 20. prezydent Stanów Zjednoczonych, James Garfield. Wszystko to świadczy o nadzwyczajnym znaczeniu tego twierdzenia dla matematyki: większość twierdzeń geometrii wywodzi się z niego lub jest z nim w ten czy inny sposób powiązana.

Dowody twierdzenia Pitagorasa

Podręczniki szkolne w większości podają dowody algebraiczne. Ale istota twierdzenia tkwi w geometrii, więc najpierw rozważmy te dowody słynnego twierdzenia, które są oparte na tej nauce.

Dowód 1

Aby uzyskać najprostszy dowód twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, musisz ustawić idealne warunki: niech trójkąt będzie nie tylko prostokątny, ale także równoramienny. Istnieją powody, by sądzić, że właśnie taki trójkąt był pierwotnie rozważany przez starożytnych matematyków.

Oświadczenie „kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów zbudowanych na jego nogach” można zilustrować następującym rysunkiem:

Spójrz na trójkąt prostokątny równoramienny ABC: Na przeciwprostokątnej AC możesz zbudować kwadrat składający się z czterech trójkątów równy pierwotnemu trójkątowi ABC. A na nogach AB i BC zbudowanych na kwadracie, z których każdy zawiera dwa podobne trójkąty.

Nawiasem mówiąc, ten rysunek stał się podstawą wielu anegdot i kreskówek poświęconych twierdzeniu Pitagorasa. Być może najbardziej znany jest „Spodnie pitagorejskie są równe we wszystkich kierunkach”:

Dowód 2

Ta metoda łączy algebrę i geometrię i może być postrzegana jako wariant starożytnego indyjskiego dowodu matematyka Bhaskari.

Skonstruuj trójkąt prostokątny z bokami a, b i c(Rys. 1). Następnie zbuduj dwa kwadraty o bokach równych sumie długości dwóch nóg - (a+b). W każdym z kwadratów wykonaj konstrukcje, jak na rysunkach 2 i 3.

W pierwszym kwadracie zbuduj cztery takie same trójkąty jak na rysunku 1. W rezultacie otrzymasz dwa kwadraty: jeden o boku a, drugi o boku B.

W drugim kwadracie cztery podobne trójkąty zbudowane tworzą kwadrat o boku równym przeciwprostokątnej C.

Suma obszarów skonstruowanych kwadratów na ryc. 2 jest równa polu kwadratu, który skonstruowaliśmy z bokiem c na ryc. 3. Można to łatwo sprawdzić, obliczając pola kwadratów na ryc. 2 według wzoru. A obszar wpisanego kwadratu na ryc. 3. odejmując obszary czterech równych trójkątów prostokątnych wpisanych w kwadrat od obszaru dużego kwadratu o boku (a+b).

Składając to wszystko mamy: za 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Rozwiń nawiasy, wykonaj wszystkie niezbędne obliczenia algebraiczne i zdobądź to za 2 + b 2 = za 2 + b 2. Jednocześnie obszar wpisany na ryc.3. kwadrat można również obliczyć za pomocą tradycyjnego wzoru S=c2. Te. a2+b2=c2 Udowodniłeś twierdzenie Pitagorasa.

Dowód 3

Ten sam starożytny dowód indyjski opisany jest w XII wieku w traktacie „Korona wiedzy” („Siddhanta Shiromani”), a jako główny argument autor posługuje się apelem skierowanym do matematycznych talentów i zdolności obserwacji studentów i wyznawcy: „Patrz!”.

Ale przeanalizujemy ten dowód bardziej szczegółowo:

Wewnątrz kwadratu zbuduj cztery trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku. Zaznaczony jest bok dużego kwadratu, który jest jednocześnie przeciwprostokątną Z. Nazwijmy nogi trójkąta A I B. Zgodnie z rysunkiem bok wewnętrznego kwadratu to (a-b).

Skorzystaj ze wzoru na pole kwadratu S=c2 obliczyć pole zewnętrznego kwadratu. I jednocześnie oblicz tę samą wartość, dodając powierzchnię wewnętrznego kwadratu i powierzchnię wszystkich czterech trójkątów prostokątnych: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Możesz użyć obu opcji do obliczenia pola kwadratu, aby mieć pewność, że dadzą ten sam wynik. I to daje ci prawo do zapisania tego do 2 = (a-b) 2 +4*1\2*a*b. W wyniku rozwiązania otrzymasz wzór twierdzenia Pitagorasa c2=a2+b2. Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód 4

Ten ciekawy starożytny chiński materiał dowodowy został nazwany "Krzesłem Panny Młodej" - z powodu przypominającej krzesło figury wynikającej ze wszystkich konstrukcji:

Wykorzystuje rysunek, który widzieliśmy już na rysunku 3 w drugim dowodzie. A wewnętrzny kwadrat o boku c jest skonstruowany w taki sam sposób, jak w starożytnym indyjskim dowodzie podanym powyżej.

Jeśli odetniesz w myślach dwa zielone trójkąty prostokątne z rysunku na ryc. 1, przesuniesz je na przeciwne strony kwadratu o boku c i połączysz przeciwprostokątne z przeciwprostokątnymi liliowych trójkątów, otrzymasz figurę zwaną „krzesłem panny młodej ” (ryc. 2). Dla jasności możesz zrobić to samo z papierowymi kwadratami i trójkątami. Zobaczysz, że „krzesło panny młodej” tworzą dwa kwadraty: mały z bokiem B i duży z boku A.

Konstrukcje te pozwoliły starożytnym chińskim matematykom i nam podążającym za nimi dojść do wniosku, że c2=a2+b2.

Dowód 5

To kolejny sposób na znalezienie rozwiązania twierdzenia Pitagorasa na podstawie geometrii. Nazywa się to metodą Garfielda.

Skonstruuj trójkąt prostokątny ABC. Musimy to udowodnić BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Aby to zrobić, kontynuuj nogę AC i zbudować segment płyta CD, która jest równa nodze AB. Dolny prostopadły OGŁOSZENIE odcinek ED. Segmenty ED I AC są równe. Połącz kropki mi I W, I mi I Z i otrzymaj rysunek jak na poniższym obrazku:

Aby udowodnić wieżę, ponownie uciekamy się do metody, którą już przetestowaliśmy: znajdujemy obszar wynikowej figury na dwa sposoby i porównujemy ze sobą wyrażenia.

Znajdź obszar wielokąta ŁÓŻKO można to zrobić, dodając obszary trzech trójkątów, które go tworzą. I jeden z nich ERU, jest nie tylko prostokątny, ale także równoramienny. Nie zapominajmy też o tym AB=CD, AC=ED I pne=CE- pozwoli nam to uprościć nagranie i nie przeciążać go. Więc, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Jednocześnie jest to oczywiste ŁÓŻKO jest trapezem. Dlatego obliczamy jego powierzchnię za pomocą wzoru: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Dla naszych obliczeń wygodniej i wyraźniej jest przedstawić segment OGŁOSZENIE jako suma segmentów AC I płyta CD.

Zapiszmy obydwa sposoby obliczania pola figury, wstawiając między nimi znak równości: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Używamy równości segmentów już nam znanej i opisanej powyżej, aby uprościć prawą stronę zapisu: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. A teraz otwieramy nawiasy i przekształcamy równość: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Po zakończeniu wszystkich przekształceń otrzymujemy dokładnie to, czego potrzebujemy: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Udowodniliśmy twierdzenie.

Oczywiście ta lista dowodów jest daleka od zakończenia. Twierdzenie Pitagorasa można również udowodnić za pomocą wektorów, liczb zespolonych, równań różniczkowych, stereometrii itp. A nawet fizycy: jeśli na przykład ciecz zostanie wlana do kwadratowych i trójkątnych objętości podobnych do tych pokazanych na rysunkach. Wlewając płyn, można udowodnić równość obszarów iw rezultacie samo twierdzenie.

Kilka słów o trójkach pitagorejskich

Zagadnienie to jest mało lub nie jest badane w szkolnym programie nauczania. Tymczasem jest to bardzo interesujące i ma ogromne znaczenie w geometrii. Trójki pitagorejskie są używane do rozwiązywania wielu problemów matematycznych. Pomysł na nie może ci się przydać w dalszej edukacji.

Czym więc są trojaczki pitagorejskie? Tak zwane liczby naturalne zebrane w trójki, których suma kwadratów dwóch jest równa trzeciej liczbie do kwadratu.

Trójki pitagorejskie mogą być:

• prymitywne (wszystkie trzy liczby są względnie pierwsze);
• nie-prymitywny (jeśli każda liczba trójki zostanie pomnożona przez tę samą liczbę, otrzymasz nową trójkę, która nie jest prymitywna).

Jeszcze przed naszą erą starożytni Egipcjanie byli zafascynowani manią liczb pitagorejskich trojaczków: w zadaniach uważali trójkąt prostokątny o bokach 3,4 i 5 jednostek. Nawiasem mówiąc, każdy trójkąt, którego boki są równe liczbom z trójki pitagorejskiej, jest domyślnie prostokątny.

Przykłady trójek pitagorejskich: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktyczne zastosowanie twierdzenia

Twierdzenie Pitagorasa znajduje zastosowanie nie tylko w matematyce, ale także w architekturze i budownictwie, astronomii, a nawet w literaturze.

Najpierw o konstrukcji: twierdzenie Pitagorasa jest w nim szeroko stosowane w problemach o różnym stopniu złożoności. Na przykład spójrz na okno romańskie:

Oznaczmy szerokość okna jako B, to promień wielkiego półkola można oznaczyć jako R i wyrazić przez b: R=b/2. Promień mniejszych półokręgów można również wyrazić w postaci b: r=b/4. W tym zadaniu interesuje nas promień wewnętrznego okręgu okna (nazwijmy go P).

Twierdzenie Pitagorasa po prostu przydaje się do obliczeń R. Aby to zrobić, używamy trójkąta prostokątnego, który jest oznaczony przerywaną linią na rysunku. Przeciwprostokątna trójkąta składa się z dwóch promieni: b/4+p. Jedna noga to promień b/4, inny b/2-p. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa piszemy: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Następnie otwieramy nawiasy i otrzymujemy b 2 /16+ pz / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Przekształćmy to wyrażenie na bp/2=b2 /4-bp. A następnie dzielimy wszystkie wyrazy na B, dajemy podobne do zdobycia 3/2*p=b/4. I w końcu to znajdujemy p=b/6- czego potrzebowaliśmy.

Korzystając z twierdzenia, możesz obliczyć długość krokwi dla dachu dwuspadowego. Określ, jak wysoka jest potrzebna wieża mobilna, aby sygnał dotarł do określonej osady. A nawet systematycznie instalować choinkę na miejskim placu. Jak widać, to twierdzenie żyje nie tylko na kartach podręczników, ale często jest przydatne w prawdziwym życiu.

Jeśli chodzi o literaturę, twierdzenie Pitagorasa inspirowało pisarzy od starożytności i nadal to robi. Na przykład XIX-wieczny niemiecki pisarz Adelbert von Chamisso zainspirował się nią do napisania sonetu:

Światło prawdy nie zgaśnie prędko,
Ale po zaświeceniu jest mało prawdopodobne, aby się rozproszył
I tak jak tysiące lat temu,
Nie spowoduje wątpliwości i sporów.

Najmądrzejszy, gdy dotyka oka
Światło prawdy, dzięki bogom;
I sto byków, zadźganych, kłamie -
Powrotny prezent szczęśliwego Pitagorasa.

Od tego czasu byki ryczą desperacko:
Na zawsze podnieciło plemię byków
wspomniane tutaj wydarzenie.

Myślą, że już czas
I znowu zostaną poświęcone
Jakieś świetne twierdzenie.

(przetłumaczone przez Wiktora Toporowa)

A w XX wieku radziecki pisarz Jewgienij Wełtistow w swojej książce „Przygody elektroniki” poświęcił cały rozdział dowodom twierdzenia Pitagorasa. I pół rozdziału opowieści o dwuwymiarowym świecie, który mógłby istnieć, gdyby twierdzenie Pitagorasa stało się fundamentalnym prawem, a nawet religią dla jednego świata. Żyłoby się w nim dużo łatwiej, ale też dużo nudniej: na przykład nikt tam nie rozumie znaczenia słów „okrągły” i „puszysty”.

A w książce „Przygody elektroniki” autor ustami nauczyciela matematyki Taratary mówi: „Najważniejsze w matematyce jest ruch myśli, nowe idee”. To właśnie ten twórczy bieg myśli generuje twierdzenie Pitagorasa - nie bez powodu ma ono tak wiele różnorodnych dowodów. Pomaga wyjść poza to, co zwykle i spojrzeć na znane rzeczy w nowy sposób.

Wniosek

Ten artykuł został stworzony, abyś mógł spojrzeć poza szkolny program nauczania matematyki i poznać nie tylko te dowody twierdzenia Pitagorasa, które są podane w podręcznikach „Geometria 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i „Geometria 7-11 ” (A.V. Pogorelov), ale także inne ciekawe sposoby udowodnienia słynnego twierdzenia. Zobacz także przykłady zastosowania twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym.

Po pierwsze, te informacje pozwolą Ci ubiegać się o wyższe wyniki na lekcjach matematyki - informacje na ten temat z dodatkowych źródeł są zawsze bardzo mile widziane.

Po drugie, chcieliśmy pomóc Ci poczuć, jak interesująca jest matematyka. Przekonać się konkretnymi przykładami, że zawsze jest w tym miejsce na kreatywność. Mamy nadzieję, że twierdzenie Pitagorasa i ten artykuł zainspirują Cię do własnych badań i ekscytujących odkryć w matematyce i innych naukach.

Powiedz nam w komentarzach, czy dowody przedstawione w artykule były dla Ciebie interesujące. Czy te informacje przydały Ci się w nauce? Daj nam znać, co myślisz o twierdzeniu Pitagorasa i tym artykule - chętnie omówimy to z Tobą.

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Tych, których interesuje historia twierdzenia Pitagorasa, które jest studiowane w szkolnym programie nauczania, zainteresuje również taki fakt, jak opublikowanie w 1940 roku książki zawierającej trzysta siedemdziesiąt dowodów tego pozornie prostego twierdzenia. Ale zaintrygowała umysły wielu matematyków i filozofów różnych epok. W Księdze Rekordów Guinnessa jest to zapisane jako twierdzenie z maksymalną liczbą dowodów.

Historia twierdzenia Pitagorasa

Związane z imieniem Pitagorasa twierdzenie było znane na długo przed narodzinami wielkiego filozofa. Tak więc w Egipcie podczas budowy konstrukcji brano pod uwagę stosunek boków trójkąta prostokątnego pięć tysięcy lat temu. Teksty babilońskie wspominają o tym samym stosunku boków trójkąta prostokątnego 1200 lat przed narodzinami Pitagorasa.

Powstaje pytanie, dlaczego więc historia mówi - pojawienie się twierdzenia Pitagorasa należy do niego? Odpowiedź może być tylko jedna - udowodnił stosunek boków w trójkącie. Zrobił to, czego przed wiekami nie zrobili ci, którzy po prostu używali proporcji i przeciwprostokątnej ustalonych przez doświadczenie.

Z życia Pitagorasa

Przyszły wielki naukowiec, matematyk, filozof urodził się na wyspie Samos w 570 rpne. W dokumentach historycznych zachowały się informacje o ojcu Pitagorasa, który był rzeźbiarzem, ale nie ma informacji o jego matce. O urodzonym chłopcu mówiono, że był wybitnym dzieckiem, które od dzieciństwa wykazywało zamiłowanie do muzyki i poezji. Historycy przypisują Hermodamanta i Ferekidesa z Syros nauczycielom młodego Pitagorasa. Pierwszy wprowadził chłopca w świat Muz, a drugi, będąc filozofem i założycielem włoskiej szkoły filozoficznej, skierował wzrok młodzieńca na logos.

W wieku 22 lat (548 pne) Pitagoras udał się do Naucratis, aby studiować język i religię Egipcjan. Co więcej, jego ścieżka leżała w Memfis, gdzie dzięki kapłanom, przechodząc przez ich pomysłowe testy, zrozumiał egipską geometrię, co być może skłoniło dociekliwego młodzieńca do udowodnienia twierdzenia Pitagorasa. Historia przypisze później tę nazwę twierdzeniu.

Schwytany przez króla Babilonu

W drodze do domu do Hellady Pitagoras zostaje schwytany przez króla Babilonu. Ale bycie w niewoli skorzystało na dociekliwym umyśle początkującego matematyka, musiał się wiele nauczyć. Rzeczywiście, w tamtych latach matematyka w Babilonie była bardziej rozwinięta niż w Egipcie. Spędził dwanaście lat studiując matematykę, geometrię i magię. I być może to geometria babilońska była zaangażowana w dowód stosunku boków trójkąta i historię odkrycia twierdzenia. Pitagoras miał na to dość wiedzy i czasu. Ale że stało się to w Babilonie, nie ma żadnego potwierdzenia ani zaprzeczenia tego w dokumentach.

W 530 pne Pitagoras ucieka z niewoli do ojczyzny, gdzie przebywa na dworze tyrana Polikratesa w stanie półniewolnika. Takie życie nie pasuje Pitagorasowi i udaje się na emeryturę do jaskiń Samos, a następnie udaje się na południe Włoch, gdzie w tym czasie znajdowała się grecka kolonia Croton.

Tajny zakon zakonny

Na bazie tej kolonii Pitagoras zorganizował tajny zakon monastyczny, będący jednocześnie związkiem religijnym i towarzystwem naukowym. To społeczeństwo miało swój statut, który mówił o przestrzeganiu specjalnego stylu życia.

Pitagoras argumentował, że aby zrozumieć Boga, człowiek musi znać takie nauki, jak algebra i geometria, znać astronomię i rozumieć muzykę. Prace badawcze ograniczały się do poznania mistycznej strony liczb i filozofii. Należy zauważyć, że zasady głoszone w tamtym czasie przez Pitagorasa mają sens w naśladowaniu w obecnych czasach.

Przypisuje mu się wiele odkryć dokonanych przez uczniów Pitagorasa. Krótko mówiąc, historia powstania twierdzenia Pitagorasa przez starożytnych historyków i biografów tamtych czasów jest bezpośrednio związana z imieniem tego filozofa, myśliciela i matematyka.

Nauki Pitagorasa

Być może pomysł związku twierdzenia z imieniem Pitagorasa został podyktowany stwierdzeniem historyków wielkiego Greka, że ​​\u200b\u200bw słynnym trójkącie z nogami i przeciwprostokątną zaszyfrowane są wszystkie zjawiska naszego życia. A ten trójkąt jest „kluczem” do rozwiązania wszystkich pojawiających się problemów. Wielki filozof powiedział, że trzeba zobaczyć trójkąt, wtedy możemy założyć, że problem jest w dwóch trzecich rozwiązany.

Pitagoras opowiadał o swoim nauczaniu tylko swoim uczniom ustnie, nie robiąc żadnych notatek, utrzymując to w tajemnicy. Niestety nauki największego filozofa nie przetrwały do ​​dziś. Część z nich wyciekła, ale nie można powiedzieć, ile z tego, co się stało, jest prawdą, a ile fałszem. Nawet z historią twierdzenia Pitagorasa nie wszystko jest pewne. Historycy matematyki wątpią w autorstwo Pitagorasa, ich zdaniem twierdzenie to było używane wiele wieków przed jego narodzinami.

twierdzenie Pitagorasa

Może się to wydawać dziwne, ale nie ma historycznych faktów potwierdzających twierdzenie samego Pitagorasa - ani w archiwach, ani w żadnych innych źródłach. We współczesnej wersji uważa się, że należy do nikogo innego jak samego Euclida.

Istnieją dowody jednego z największych historyków matematyki, Moritza Cantora, który odkrył na papirusie przechowywanym w Muzeum Berlińskim, napisanym przez Egipcjan około 2300 roku pne. mi. równości, które brzmiały: 3² + 4² = 5².

Krótko z historii twierdzenia Pitagorasa

Sformułowanie twierdzenia z Euklidesowych „Początków” w tłumaczeniu brzmi tak samo, jak we współczesnej interpretacji. Nie ma nic nowego w jego odczytaniu: kwadrat boku przeciwległego do kąta prostego jest równy sumie kwadratów boków przylegających do kąta prostego. Fakt, że starożytne cywilizacje Indii i Chin stosowały to twierdzenie, potwierdza traktat Zhou Bi Suan Jin. Zawiera informacje o trójkącie egipskim, który opisuje proporcje jako 3:4:5.

Nie mniej interesująca jest inna chińska książka matematyczna „Chu-pei”, która również wspomina o trójkącie Pitagorasa z wyjaśnieniem i rysunkami pokrywającymi się z rysunkami hinduskiej geometrii Baskhary. O samym trójkącie książka mówi, że jeśli kąt prosty można rozłożyć na jego części składowe, to linia łącząca końce boków będzie równa pięciu, jeśli podstawa to trzy, a wysokość to cztery.

Indyjski traktat „Sulva Sutra”, datowany na około VII-V wiek pne. e. opowiada o budowie kąta prostego za pomocą trójkąta egipskiego.

Dowód twierdzenia

W średniowieczu studenci uważali, że udowodnienie twierdzenia jest zbyt trudne. Słabi uczniowie uczyli się twierdzeń na pamięć, nie rozumiejąc sensu dowodu. W związku z tym otrzymali przydomek „osły”, ponieważ twierdzenie Pitagorasa było dla nich przeszkodą nie do pokonania, jak most dla osła. W średniowieczu studenci wymyślili żartobliwy werset na temat tego twierdzenia.

Aby w najprostszy sposób udowodnić twierdzenie Pitagorasa, należy po prostu zmierzyć jego boki, nie używając w dowodzie pojęcia pól. Długość boku przeciwnego do kąta prostego wynosi c, a przylegające do niego a i b, w wyniku otrzymujemy równanie: a 2 + b 2 \u003d c 2. To stwierdzenie, jak wspomniano powyżej, jest weryfikowane przez pomiar długości boków trójkąta prostokątnego.

Jeśli rozpoczniemy dowód twierdzenia od rozważenia pola prostokątów zbudowanych na bokach trójkąta, możemy wyznaczyć pole całej figury. Będzie równy polu kwadratu o boku (a + b), az drugiej strony sumie pól czterech trójkątów i kwadratu wewnętrznego.

(za + b) 2 = 4 x ab/2 + do 2 ;

za 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , co należało udowodnić.

Praktyczne znaczenie twierdzenia Pitagorasa polega na tym, że można go użyć do znalezienia długości odcinków bez ich mierzenia. Podczas budowy konstrukcji obliczane są odległości, rozmieszczenie podpór i belek, określane są środki ciężkości. Twierdzenie Pitagorasa jest również stosowane we wszystkich nowoczesnych technologiach. Nie zapomnieli o twierdzeniu podczas tworzenia filmów w wymiarach 3D-6D, gdzie oprócz zwykłych 3 wartości: wysokość, długość, szerokość, czas, zapach i smak są brane pod uwagę. W jaki sposób smaki i zapachy są powiązane z twierdzeniem, pytasz? Wszystko jest bardzo proste - wyświetlając film, trzeba obliczyć, gdzie i jakie zapachy i smaki skierować na widownię.

To dopiero początek. Na dociekliwe umysły czekają nieograniczone możliwości odkrywania i tworzenia nowych technologii.

twierdzenie Pitagorasa: Suma pól kwadratów podpartych nogami ( A I B), jest równy polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej ( C).

Formuła geometryczna:

Twierdzenie zostało pierwotnie sformułowane w następujący sposób:

Sformułowanie algebraiczne:

Oznacza to, że oznacza długość przeciwprostokątnej trójkąta przez C, a długości nóg przez A I B :

A 2 + B 2 = C 2

Oba sformułowania twierdzenia są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można zweryfikować, nie wiedząc nic o polu i mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa:

Dowód

W tej chwili w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie Pitagorasa jest jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Taką różnorodność można wytłumaczyć jedynie fundamentalnym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.

Oczywiście, koncepcyjnie, wszystkie z nich można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejsze z nich: dowody metodą powierzchniową, dowody aksjomatyczne i egzotyczne (np. za pomocą równań różniczkowych).

Przez podobne trójkąty

Poniższy dowód sformułowania algebraicznego jest najprostszym z dowodów zbudowanych bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie używa pojęcia pola figury.

Pozwalać ABC istnieje trójkąt prostokątny C. Narysujmy wysokość z C i oznaczmy jego podstawę przez H. Trójkąt ACH podobny do trójkąta ABC w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH podobny ABC. Wprowadzenie notacji

dostajemy

Co jest równoważne

Dodając, otrzymujemy

Dowody powierzchniowe

Poniższe dowody, pomimo swojej pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszystkie wykorzystują własności pola, którego dowód jest bardziej skomplikowany niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

Dowód przez równoważność

1. Ułóż cztery równe trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku 1.
2. Czworokąt z bokami C jest kwadratem, ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90°, a kąt prosty 180°.
3. Pole całej figury jest z jednej strony równe polu kwadratu o boku (a + b), a z drugiej strony sumie pól czterech trójkątów i dwóch wewnętrznych kwadraty.

co było do okazania

Dowód przez równoważność

Elegancki dowód permutacji

Przykład jednego z tych dowodów pokazano na rysunku po prawej stronie, gdzie kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest zamieniany przez permutację na dwa kwadraty zbudowane na nogach.

Dowód Euklidesa

Rysunek do dowodu Euklidesa

Ilustracja do dowodu Euklidesa

Idea dowodu Euklidesa jest następująca: spróbujmy udowodnić, że połowa pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie połówek kwadratów zbudowanych na nogach, a następnie pól duże i dwa małe kwadraty są równe.

Rozważ rysunek po lewej stronie. Zbudowaliśmy na nim kwadraty po bokach trójkąta prostokątnego i narysowaliśmy promień s z wierzchołka kąta prostego C prostopadłego do przeciwprostokątnej AB, przecina on kwadrat ABIK zbudowany na przeciwprostokątnej na dwa prostokąty - BHJI i HAKJ odpowiednio. Okazuje się, że pola tych prostokątów są dokładnie równe powierzchniom kwadratów zbudowanych na odpowiednich nogach.

Spróbujmy udowodnić, że pole kwadratu DECA jest równe polu prostokąta AHJK W tym celu wykorzystujemy obserwację pomocniczą: Pole trójkąta o takiej samej wysokości i podstawie jak podana prostokąt jest równy połowie pola danego prostokąta. Jest to konsekwencja zdefiniowania pola trójkąta jako połowy iloczynu podstawy i wysokości. Z tej obserwacji wynika, że ​​pole trójkąta ACK jest równe polu trójkąta AHK (nie pokazano), które z kolei jest równe połowie pola prostokąta AHJK.

Udowodnijmy teraz, że pole trójkąta ACK jest również równe połowie pola kwadratu DECA. Jedyne, co należy w tym celu zrobić, to udowodnić równość trójkątów ACK i BDA (ponieważ pole trójkąta BDA jest równe połowie powierzchni kwadratu według powyższej właściwości). Ta równość jest oczywista, trójkąty są równe z dwóch stron i kąta między nimi. Mianowicie - AB=AK,AD=AC - równość kątów CAK i BAD łatwo udowodnić metodą ruchową: obróćmy trójkąt CAK o 90° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, wtedy oczywiste jest, że odpowiednie boki dwóch rozważanych trójkątów będą pokrywają się (ponieważ kąt przy wierzchołku kwadratu wynosi 90°).

Argument o równości pól kwadratu BCFG i prostokąta BHJI jest całkowicie analogiczny.

W ten sposób udowodniliśmy, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest sumą pól kwadratów zbudowanych na nogach. Ideę tego dowodu dodatkowo ilustruje powyższa animacja.

Dowód Leonarda da Vinci

Dowód Leonarda da Vinci

Głównymi elementami dowodu są symetria i ruch.

Rozważ rysunek, jak widać z symetrii, segmentu CI rozcina kwadrat ABHJ na dwie identyczne części (ponieważ trójkąty ABC I JHI są równe w budowie). Używając obrotu o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, widzimy równość zacieniowanych figur CAJI I GDAB . Teraz jest jasne, że pole zacienionej przez nas figury jest równe sumie połowy pól kwadratów zbudowanych na nogach i pola oryginalnego trójkąta. Z drugiej strony jest równy połowie pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej plus pole pierwotnego trójkąta. Ostatni krok w dowodzie pozostawiono czytelnikowi.

Dowód metodą nieskończenie małych

Poniższy dowód za pomocą równań różniczkowych jest często przypisywany słynnemu angielskiemu matematykowi Hardy'emu, który żył w pierwszej połowie XX wieku.

Biorąc pod uwagę rysunek pokazany na rysunku i obserwując zmianę boku A, możemy napisać następującą zależność dla nieskończenie małych przyrostów boku Z I A(używając podobnych trójkątów):

Dowód metodą nieskończenie małych

Stosując metodę separacji zmiennych, znajdujemy

Bardziej ogólne wyrażenie na zmianę przeciwprostokątnej w przypadku przyrostów obu nóg

Całkując to równanie i korzystając z warunków początkowych, otrzymujemy

C 2 = A 2 + B 2 + stała.

W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi

C 2 = A 2 + B 2 .

Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze pojawia się z powodu liniowej proporcjonalności między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy suma wynika z niezależnych wkładów z przyrostu różnych nóg.

Prostszy dowód można uzyskać, jeśli założymy, że jedna z nóg nie doznaje przyrostu (w tym przypadku noga B). Następnie dla stałej integracji otrzymujemy

Wariacje i uogólnienia

• Jeśli zamiast kwadratów na nogach zbudowane są inne podobne figury, to prawdziwe jest następujące uogólnienie twierdzenia Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym suma pól figur podobnych zbudowanych na nogach jest równa polu figury zbudowanej na przeciwprostokątnej. W szczególności:
  • Suma obszarów regularnych trójkątów zbudowanych na nogach jest równa polu regularnego trójkąta zbudowanego na przeciwprostokątnej.
  • Suma obszarów półkola zbudowanych na nogach (jak na średnicy) jest równa polu półkola zbudowanego na przeciwprostokątnej. Przykład ten służy do udowodnienia właściwości figur ograniczonych łukami dwóch kół i noszących nazwę hipokratesa lunula.

Fabuła

Chu-pei 500–200 pne. Po lewej stronie napis: suma kwadratów długości wysokości i podstawy to kwadrat długości przeciwprostokątnej.

Starożytna chińska książka Chu-pei mówi o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5: W tej samej książce proponuje się rysunek, który pokrywa się z jednym z rysunków hinduskiej geometrii Baskhary.

Kantor (największy niemiecki historyk matematyki) uważa, że ​​równość 3 ² + 4 ² = 5² była znana Egipcjanom już około 2300 roku pne. e., w czasach króla Amenemheta I (według papirusu 6619 Muzeum Berlińskiego). Według Cantora harpedonapty, czyli „podłużnice”, budowały kąty proste, używając trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5.

Bardzo łatwo jest odtworzyć ich sposób budowy. Weź linę o długości 12 m i przywiąż ją wzdłuż kolorowego paska w odległości 3 m. z jednego końca i 4 metry od drugiego. Między bokami o długości 3 i 4 m będzie zawarty kąt prosty. Harpedonaptom można by zarzucić, że ich sposób budowania staje się zbędny, jeśli użyje się na przykład drewnianego kwadratu używanego przez wszystkich stolarzy. Rzeczywiście znane są rysunki egipskie, w których znajduje się takie narzędzie, na przykład rysunki przedstawiające warsztat stolarski.

Nieco więcej wiadomo o twierdzeniu Pitagorasa wśród Babilończyków. W jednym tekście datowanym na czasy Hammurabiego, czyli na rok 2000 pne. e. podano przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Z tego możemy wywnioskować, że w Mezopotamii byli w stanie wykonywać obliczenia z trójkątami prostokątnymi, przynajmniej w niektórych przypadkach. Opierając się z jednej strony na obecnym stanie znajomości matematyki egipskiej i babilońskiej, a z drugiej na krytycznej analizie źródeł greckich, Van der Waerden (matematyk holenderski) doszedł do następujących wniosków:

Literatura

Po rosyjsku

• Skopets Z. A. Miniatury geometryczne. M., 1990
• Jeleński Sz. Podążając śladami Pitagorasa. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Przebudzenie nauki. Matematyka starożytnego Egiptu, Babilonu i Grecji. M., 1959
• Glazer GI Historia matematyki w szkole. M., 1982
• W. Litzman, „Twierdzenie Pitagorasa” M., 1960.
  • Strona o twierdzeniu Pitagorasa z dużą liczbą dowodów, materiał pochodzi z książki W. Litzmana, duża liczba rysunków jest prezentowana jako osobne pliki graficzne.
• Twierdzenie Pitagorasa i trójki pitagorejskie rozdział z książki D. V. Anosova „Spojrzenie na matematykę i coś z niej”
• O twierdzeniu Pitagorasa i metodach jego dowodu G. Glaser, akademik Rosyjskiej Akademii Edukacji, Moskwa

Po angielsku

• Twierdzenie Pitagorasa w WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, sekcja dotycząca twierdzenia Pitagorasa, około 70 dowodów i obszerne informacje dodatkowe (ang.)

Fundacja Wikimedia. 2010 .