Натуральные числа

Множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления.

Формально множество натуральных чисел можно задать с помощью системы аксиом Пеано.

С истема аксиом Пеано

1. Единица - натуральное число, которое не следует ни за каким числом.

2. Для любого натурального числа существует единственное число
которое непосредственно следует за .

3. Каждое натуральное число
следует непосредственно лишь за одним числом.

4. Если некоторое множество
содержит и вместе с каждым натуральным числом содержит непосредственно следующее за ним число то
(аксиома индукции).

Операции на множестве

Умножение

Вычитание :

Свойства вычитания: Если
то

Если
то

Делимость натуральных чисел

Деление : делится на
такое, что

Свойства операций:

1. Если
делятся на то
делится на

2. Если
и
делятся на то
делится на

3. Если
и делятся на то делится на

4. Если делится на то
делится на

5. Если
делятся на а не делятся на то то
не делится на

6. Если или делятся на то
делится на

7. Если делится на
то делится на и делится на

Теорема о делении с остатком Для любых натуральных чисел
существуют и единственные положительные числа
такие, что
причем

Доказательство . Пусть
Рассмотрим следующий алгоритм:

	Если Если то сделаем еще одно вычитание Продолжаем процесс вычитания до тех пор, пока остаток не будет меньше числа Существует число такое, что
	Сложим все строки данного алгоритма и получим требуемое выражение, где

Единственность представления будем доказывать методом "от противного".

Предположим, что существует два представления

и
Вычтем одно выражение из другого причем
Последнее равенство в целых числах возможно только в случае так как
при
□

Следствие 1 . Всякое натуральное число можно представить в виде:
или или

Следствие 2 . Если
подряд стоящих натуральных чисел, то одно из них делится на

Следствие 3 . Если
два последовательных четных числа, то одно из них делится на

Определение. Натуральное число называется простым, если оно не имеет делителей, кроме единицы и самого себя.

Следствие 4. Всякое простое число имеет вид
или

Действительно, всякое число можно представить в виде однако все числа этого ряда, кроме
точно являются составными. □

Следствие 5 . Если
простое число, то
делится на

Действительно,
три подрядстоящих натуральных числа, причем,
четные, а
нечетное простое. Следовательно, одно из четных чисел
и
делится на 4, а одно – еще и на □

Пример 2 . Справедливы следующие утверждения:

1.Квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток

2. Ни при каком натуральном n число n 2 +1 не делится на 3.

3. Используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), нельзя составить квадрат натурального числа.

Доказательство 1. Всякое нечетное число можно представить в виде
или
Возведем каждое из этих чисел в квадрат и получим требуемое утверждение.

Доказательство 2. Всякое натуральное число можно представить в виде
Тогда выражение
будет равно одному из выражений
которые не делятся на

Доказательство 3. Действительно, последняя цифра квадрата натурального числа не может заканчиваться ни на одну из этих цифр.

Признаки делимости

Определение. Десятичным представлением натурального числа называется представление числа в виде

Сокращенная запись

Признаки делимости на

Утв.6 Пусть
десятичное представление числа числа Тогда:

1. Число делится на
когда цифра - четная;

2. Число делится на когда двузначное число
делится на

3. Число делится на когда
либо

4. Число делится на
когда

5. Число делится на
когда двузначное число
- делится на

6. Число делится на

7. Число делится на когда сумма цифр числа делится на

8. Число делится на
когда сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на

Доказательство. Доказательство признаков 1)-5) легко получается из десятичной записи числа Докажем 6) и 7). Действительно,

Отсюда следует, что если делится (или
то сумма цифр числа тоже делится на

Докажем 11). Пусть делится на Представим число в виде

Так как все слагаемые суммы делятся на
то сумма тоже делится на □

Пример 3 . Найдите все пятизначные числа вида
, которые делятся на 45.

Доказательство.
Поэтомучисло делится на 5, и последняя цифра у него равна 0 или 5, т.е.
или
Исходное число делится и на 9, поэтому делится на 9, т.е.
или делится на 9, т.е.

Ответ:

Признак делимости на и

Утв.7 Пусть десятичное представление числа числа Число делится на
когда разность между числом без трех последних знаков и числом, составленным из трех последних знаков, делится на

Доказательство. Представим в виде Так как число
делится на и
то
делится на и □

Пример 4 . Пусть
Тогда
делится на и, следовательно, число
делится на

Пусть
Тогда

делится на Тогда число
делится на

Простые числа

Решето Эратосфена

(Простой алгоритм получения всех простые чисел)

Алгоритм. Выписываем все числа от 1 до 100 и вычеркиваем сначала все четные. Затем, из оставшихся вычеркиваем делящиеся на 3, 5, 7 и т.д. В результате останутся только простые числа.

Теорема Евклида . Число простых чисел бесконечно.

Доказательство "от противного". Пусть число простых чисел конечно -
Рассмотрим число
Вопрос: число - простое или составное?

Если - составное число, то оно делится на некоторое простое число и, следовательно, единица делится на это простое число. Противоречие.

Если - простое число, то оно больше любого простого числа
а все простые числа мы выписали и пронумеровали. Опять противоречие. □

Утв.8 Если число является составным, то оно имеет простой делитель такой, что

Доказательство. Если - наименьший простой делитель составного числа
то

Следствие. Чтобы определить является ли число простым, надо определить имеет ли оно простые делители

Пример 5 . Пусть
Чтобы проверить, является ли число
простым, надо проверить, делится ли на простые числа Ответ: число
простое.

Генераторы простых чисел

Гипотеза: Все числа вида
простые.

При
- это простые числа
для
вручную и с помощью компьютера доказано, что все числа составные.

Например, (Эйлер)

Гипотеза: Все числа вида
простые.

При
это так, а
делится на 17.

Гипотеза : Все числа вида
простые.

При
это так, а

Гипотеза: Все числа вида простые. При
это так, а

Теорема. (Метод Ферма выделения множителей) Целое нечетное число не является простым
существуют натуральные числа и такие, что
Доказательство.

□

Пример 6 . Разложить на простые сомножители числа

Пример 7 . Разложить на множители число
Это число делится на 3
Далее, по методу выделения множителей,

Пример 8 . При каких целых число

простое?

Заметим, что Так как
простое, то либо
либо
Ответ:

Утв. 10 Натуральное число имеет нечетное число делителей когда оно является полным квадратом?

Доказательство. Если
делитель числа
то имеет две различные пары делителей
и
а при
обе пары будут равны.

Пример 9 . Числа имеют ровно по 99 делителей. Может ли число иметь ровно 100 делителей?

Ответ: нет. Действительно по предыдущему свойству и - полные квадраты, а их произведение – нет.

Пример 10 . Числа
простые. Найти

Решение. Всякое число можно представить в виде
Если
то получаются три простых числа
удовлетворяющих условию задачи. Если
то
составное. Если
то число
делится на а если
то число
делится на Таким образом, во всех рассмотренных вариантах три простых числа не получается. Ответ:

Определение. Число называется наибольшим общим делителем чисел и если оно делит и и является наибольшим из таких чисел.

Обозначение:

Определение . Числа и называются взаимно простыми, если

Пример 1 2 . Решить в натуральных числах уравнение

Решение. Пусть

Следовательно, уравнение имеет вид Ответ: Решений нет.

О сновная теорема арифметики

Теорема. Любое натуральное число больше либо является простым числом, либо может быть записано в виде произведения простых чисел, причем это произведение единственно с точностью до порядка сомножителей.

Следствие 1. Пусть

Тогда
равен произведению всех общих простых сомножителей с наименьшими степенями.

Следствие 2. Пусть
Тогда
равно произведению всех различных простых сомножителей с наибольшими степенями. делится на

10. Найдите последнюю цифру числа 7 2011 + 9 2011 .

11. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

12.К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получилось число в 23 раза больше первоначального. Найдите это число.

Вопросы по теории или упражнениям можно задать Валерию Петровичу Чувакову

chv @ uriit . ru

Дополнительная литература

1. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. –М.: Просвещение, 2008.

2. Севрюков П.Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по матемаике. –М.: Илекса, 2009.

3. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. –М. МЦНМО, 2009.

4. Агаханов Н.А., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. –М.: Физматкнига, 2006

5. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных заадач, –М.:МЦНМО, 2004

Лекция

Конспект лекций по курсу «теория чисел»

Лекция

Следующие разделы теории чисел : теория делимости , простые и составные... Теорема. Пусть x>0, xR, dN. Количество натуральных чисел , кратных d и не превосходящих x, равно... Лекция 12 13 Лекция 13 15 Литература. 17 Конспект лекций по курсу «Теории чисел» ...

Конспект лекций по к ультурологии

Конспект

Павлюченков Конспект лекций по культурологии... неравномерно и существовали в рамках натурального хозяйства. Именно в полисе... исследования бесконечно малых чисел во многом завершили создание... то время как материальные делимы до бесконечности. Духовные...

Д А Шадрин Логика конспект лекций

Конспект

Представляет собой конспект лекций по дисциплине «Логика». Конспект лекций составлен в... этого служит определение натуральных чисел . Так, если 1 - натуральное число и n - натуральное число, то 1 ... исчерпывают весь объем делимого понятия, поэтому...

Образовательная область: естествознание.

Раздел: «Математика»

Исследовательская работа на тему:

«Признаки делимости натуральных чисел »

Руководитель: Лапко И.В.

учитель математики

Введение:

1. Факты из истории математики.

2. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5 ,6,8, 9, 10.

3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

4.Решение задач с использованием признаков делимости.

6.Список использованной литературы (источников).

Актуальность: Все мы в школе учили признаки делимости, которые по сей день помогают нам без лишней потери времени, быстро и безошибочно разделить то или иное число. Не так давно вспомнив эту тем, мне стало интересно, а существуют ли еще другие признаки делимости на натуральные числа. И именно эта мысль, подтолкнула меня на написание исследовательской работы.
Гипотеза: если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то вероятней всего есть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Цель: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.

Задачи:
1.Дать определение и повторить уже изученные признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10.
2. ​ Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность поднятого вопроса о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
3.Самостоятельно проверить и получить признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25.
4. Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11,12,13,14.
5.Сделать вывод.
Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

1. Факты из истории математики

1. При́знак дели́мости — алгоритм , позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леона́рдо Пиза́нским (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 - простые, т.к. делятся на 1 и само себя. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

2. Признаки делимости

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Примеры.

Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.

Признак делимости чисел на 5

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Признак делимости чисел на 8

На 8 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 Пример

Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8

Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.

Пр изнак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Примеры.
Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9

Признак делимости чисел на 10

Примеры.
8200 делится на 10 и на 100;
542000 делится на 10, 100, 1000.

3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

Из дополнительной литературы мы нашли подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Так же мы нашли несколько признаков делимости на 7:
1) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
Примеры:
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2) Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
Примеры:
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
3) Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.
Примеры:
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4) Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
Примеры:
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
5) Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.
Примеры:
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6) Четырехзначное натуральное число вида bаа, где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.
Примеры:
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Примеры:
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
Примеры:
10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).
Признаки делимости на 11 .
1) Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
Пример:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2) Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
3) Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Признак делимости на 12
Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.
Примеры:
636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.
587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.
27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.
Признаки делимости на 13
1) Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Примеры:
Число 465400 делится на 13, т.к. 465 - 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 - 184 = 72, 72 не делится на 13.
2) Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры, делится на 13.
Примеры:
988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.
853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.
Признак делимости на 14
Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.
Примеры:
Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.
Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.
Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.
Признак делимости на 19
Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
Примеры:
1534 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.
Признак делимости на 25 и 50
на 25 или на 50 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 25 или на 50.

Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится, и на 25, и на 50.

Число 79 450 делится на 25, и на 50, так как число, образованное двумя последними цифрами 50 делится и на 25, и на 50.

4.Решение задач с использованием признаков делимости.

Продавец в магазине.

Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 34,5 рубля, коробку творога, стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?

Решение: Стоимость купленных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (для товаров первых двух видов цена кратна 3-м, а для остальных - кол-во купленных товаров кратно 3-м).Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Число 296 на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.

Яблоки в ящи ке.

Число яблок в ящике меньше 200. Их можно разделить поровну между 2,3,4,5 и 6 детьми. Какое максимальное количество яблок может быть в ящике?

Решение.

НОК(2,3,4,5,6) = 60.

60х < 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Ответ: 180 яблок.

5. Вывод:

Выполняя работу, я познакомилась с историей развития признаков делимости, сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25,50 и нашла подтверждение этого из дополнительной литературы. А так же убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Список использованной литературы (источников):

1.​ Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.

2.​ Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.

3.​ Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. - С. 4-6.

4.​ Пельман Я.И. Математика - это интересно! - М.: ТЕРРА - Книжный клуб, 2006

5.​ Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1989. - С. 352.

6.​ Ресурсы- Internet.

Как уже отмечалось, натуральное число а делится нацело на натуральное число b, если существует натуральное число с, при умножении которого на b получается а:

Слово «нацело» обычно опускают – для краткости.

Если а делится на b, то говорят еще, что а кратно b. Например, число 48 кратно числу 24.

Теорема 1. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число .

Например, 15 делится на 3, значит, и 15∙11 делится на 3, потому что 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Эти рассуждения подходят и для общего случая. Пусть число а делится на с, тогда найдется такое натуральное число n, что a = n∙c. Рассмотрим произведение числа а и произвольного натурального числа b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Отсюда, по определению, вытекает, что произведение a∙b тоже делится на с. Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье .

Например, 777 делится на 111, потому что 777=7∙111, а 111 делится на 3, потому что 111 = 3∙37. Из этого следует, что 777 делится на 3, так как 777 = 3∙(37∙7).

В общем случае эти рассуждения можно повторить почти дословно. Пусть число а делится на число b, а число b делится на число с. Это означает, что найдутся такие натуральные числа n и m, что a = n∙b и b = m∙c. Тогда число а можно представить в виде: а = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Равенство а = (n∙m)∙c означает, что число а тоже делится на с.

Теорема 3. Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число .

Например, 100 делится на 4, потому что 100=25∙4; 36 тоже делится на 4, потому что 36 = 9∙4. Из этого следует, что 136 делится на 4, потому что

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Можно также заключить, что число 64 делится на 4, потому что

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Докажем теорему в общем случае. Пусть каждое из чисел а и b делится на число с. Тогда, по определению, найдутся такие натуральные числа n и m, что
а = n∙c и b = m∙c. Рассмотрим сумму чисел а и b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Отсюда следует, что а + b делится на с.

Аналогично, а – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Следовательно, а – b делится на с.

Теорема 4. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число .

Например, 148 делится на 37, потому что 148 = 4∙37, а 11 не делится на 37. Очевидно, что сумма 148 + 11 и разность 148 – 11 не делятся на 37, иначе это противоречило бы свойству 3.

Признаки делимости

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10 .

Например, число 4560 оканчивается цифрой 0, его можно представить в виде произведения 456∙10, которое делится на 10 (по теореме 1).

Число 4561 не делится на 10, потому что 4561 = 4560+1 – сумма числа 4560, делящегося на 10, и числа 1, не делящегося на 10 (по теореме 4).

Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5 .

Например, число 2300 делится на 5, потому что это число делится на 10, а 10 делится на 5 (по теореме 2).

Число 2305 оканчивается цифрой 5, оно делится на 5, так как его можно записать в виде суммы чисел, делящихся на 5: 2300 + 5 (по теореме 3).

Число 52 не делится на 5, потому что 52 = 50 + 2 – сумма числа 50, делящегося на 5, и числа 2, не делящегося на 5 (по теореме 4).

Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Например, число 130 оканчивается цифрой 0, оно делится на 10, а 10 делится на 2, следовательно, 130 делится на 2.

Число 136 оканчивается цифрой 6, оно делится на 2, так как его можно записать в виде суммы чисел, делящихся на 2: 130 + 6 (по теореме 3).

Число 137 не делится на 2, потому что 137 = 130 + 7 – сумма числа 130, делящегося на 2, и числа 7, не делящегося на 2 (по теореме 4).

Число, делящееся на 2, называют четным.

Число, не делящееся на 2, называют нечетным .

Например, числа 152 и 790 – четные, а числа 111 и 293 – нечетные.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9 .

Например, сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5 = 18 числа 7245 делится на 9. Число 7245 делится на 9, потому что его можно представить в виде суммы 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), где сумма в первых скобках делится на 9, а во вторых скобках – сумма цифр данного числа – также делится на 9 (по теореме 3).

Число 375 не делится на 9, так как сумма его цифр 3 + 7 + 5=15 не делится на 9 Это можно доказать следующим образом: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), где сумма в первых скобках делится на 9, а во вторых скобках – сумма цифр числа 375 – не делится на 9 (по теореме 4).

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3 .

Например, у числа 375 сумма цифр 3 + 7 + 5=15 делится на 3, и оно само делится на 3 потому, что 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках – сумма цифр числа 375 – также делится на 3.

Сумма цифр числа 679, равная 6 + 7 + 9 = 22, не делится на 3, и само число не делится на 3, потому что 679 = (6∙99 + 7∙9) + (6 + 7 + 9), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках – сумма цифр числа 679 – не делится на 3.

Примечание . Когда говорят «число оканчивается цифрой...» имеют в виду «десятичная запись числа заканчивается цифрой...»

Простые и составные числа

Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя:

р:1=р, р:р=1.

Простым числом называют такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .

Вот первые десять простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Непростые натуральные числа, большие единицы, называют составными . Каждое составное число делится на 1, само на себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Вот все составные числа, меньшие 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Таким образом, множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы.

Простых чисел бесконечно много, есть первое число – 2, но нет последнего простого числа.

Делители натурального числа

Если натуральное число а делится на натуральное число b, то число b называют делителем числа а.

Например, делителями числа 13 являются числа 1 и 13, делителями числа 4 – числа 1, 2, 4, а делителями числа 12 – числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Каждое простое число имеет только два делителя – единицу и само себя, а каждое составное число, кроме единицы и себя, имеет и другие делители.

Если делитель – простое число, то его называют простым делителем. Например, число 13 имеет простой делитель 13, число 4 – простой делитель 2, а число 12 – простые делители 2 и 3.

Каждое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей. Например,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = З 4 ;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28, 22, 81 и 100.

Разложить данное составное число на простые множители – значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней.

Покажем, как можно разложить число 90 на простые множители.

1) 90 делится на 2, 90:2 = 45;

2) 45 не делится на 2, но делится на 3, 45:3= 15;

3) 15 делится на 3, 15:3 = 5;

4) 5 делится на 5, 5:5 = 1.

Таким образом, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Наибольший общий делитель

Число 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 12. Число 54 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Мы видим, что числа 12 и 54 имеют общие делители 1, 2, 3, 6.

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6.

Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают: НОД (а, b).

Например, НОД (12, 54) = 6.

Наименьшее общее кратное

Число, делящееся на 12, называется кратным числу 12. Числу 12 кратны числа 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 и т.д. Числу 18 кратны числа 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д.

Мы видим, что имеются числа, кратные одновременно 12 и 18. Например, 36, 72, 108, ... . Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на а и b. Это число обозначают: НОК (а, b).

Наименьшее общее кратное двух чисел обычно находят одним из двух способов. Рассмотрим их.

Найдем НОК(18, 24).

I способ. Будем выписывать числа, кратные 24 (большему из данных чисел), проверяя, делится ли каждое из них на 18: 24∙1=24 – не делится на 18, 24∙2 = 48 – не делится на 18, 24∙3 = 72 – делится на 18, поэтому НОК (24, 18) =
= 72.

II способ. Разложим числа 24 и 18 на простые множители: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

НОК(24, 18) должно делиться и на 24, и на 18. Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 (т. е. числа 2, 2, 2, 3) и еще недостающие множители из разложения меньшего числа 18 (еще одно число 3). Поэтому НОК(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, 24 и 25 – взаимно простые числа. Поэтому НОК (24, 25) = 24∙25 = 600.

Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. Например, 120 делится нацело на 24, следовательно, НОК (120, 24)= 120.

Целые числа

Напоминание. Числа, которые используют при подсчете количества предметов, называют натуральными числами . Нуль не считается натуральным числом. Натуральные числа и нуль, записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют ряд целых неотрицательных чисел:

В этой разделе будут введены новые числа – целые отрицательные .

Целые отрицательные числа

Базовый пример из жизни – термометр. Предположим, он показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания: 7 – 4 = 3. Если температура понизится на 7°, то термометр покажет 0°: 7 – 7 = 0.

Если же температура понизится на 8°, то термометр покажет –1° (1° мороза). Но результат вычитания 7 – 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля, хотя он имеет реальный смысл.

Отсчитать в ряду неотрицательных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 – 8 стало выполнимым, расширим ряд неотрицательных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак «–», показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи –1, –2, –3, ... читают «минус 1», «минус 2», «минус 3» и т. д.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел. Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными.

Материалом этой статьи начинается теория делимости целых чисел . Здесь мы введем понятие делимости и укажем принятые термины и обозначения. Это нам позволит перечислить и обосновать основные свойства делимости.

Навигация по странице.

Понятие делимости

Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости и в частных случаях - о делимости . Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.

Целое число a делится на целое число b , которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q ), что справедливо равенство a=b·q . В этом случае также говорят, что b делит a . При этом целое число b называется делителем числа a , целое число a называется кратным числа b (для получения более детальной информации о делителях и кратных обращайтесь к статье делители и кратные), а целое число q называют частным .

Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело . Слово «нацело» в этом случае дополнительно подчеркивает, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом.

В некоторых случаях для данных целых чисел a и b не существует такого целого числа q , при котором справедливо равенство a=b·q . В таких случаях говорят, что целое число a не делится на целое число b (при этом имеется в виду, что a не делится на b нацело). Однако в этих случаях прибегают к .

Разберемся с понятием делимости на примерах.

Любое целое число a делится на число a , на число −a , a , на единицу и на число −1 .

Докажем это свойство делимости.

Для любого целого числа a справедливы равенства a=a·1 и a=1·a , из которых следует, что a делится на a , причем частное равно единице, и что a делится на 1 , причем частное равно a . Для любого целого числа a также справедливы равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a) , из которых следует делимость a на число, противоположное числу a , а также делимость a на минус единицу.

Отметим, что свойство делимости целого числа a на себя называют свойством рефлексивности.

Следующее свойство делимости утверждает, что нуль делится на любое целое число b .

Действительно, так как 0=b·0 для любого целого числа b , то нуль делится на любое целое число.

В частности, нуль делится и на нуль. Это подтверждает равенство 0=0·q , где q – любое целое число. Из этого равенства вытекает, что частным от деления нуля на нуль является любое целое число.

Также нужно отметить, что на 0 не делится никакое другое целое число a , отличное нуля. Поясним это. Если бы нуль делил целое число a , отличное от нуля, то должно было бы быть справедливо равенство a=0·q , где q – некоторое целое число, а последнее равенство возможно только при a=0 .

Если целое число a делится на целое число b и a меньше модуля числа b , то a равно нулю. В буквенном виде это свойство делимости записывается так: если ab и , то a=0 .

Доказательство.

Так как a делится на b , то существует целое число q , при котором верно равенство a=b·q . Тогда должно быть справедливо и равенство , а в силу должно быть справедливо и равенство вида . Если q не равно нулю, то , откуда следует, что . Учитывая полученное неравенство, из равенства следует, что . Но это противоречит условию . Таким образом, q может быть равно только нулю, при этом получим a=b·q=b·0=0 , что и требовалось доказать.

Если целое число a отлично от нуля и делится на целое число b , то модуль числа a не меньше модуля числа b . То есть, если a≠0 и ab , то . Это свойство делимости непосредственно вытекает из предыдущего.

Делителями единицы являются только целые числа 1 и −1 .

Во-первых, покажем, что единица делится на 1 и на −1 . Это следует из равенств 1=1·1 и 1=(−1)·(−1) .

Осталось доказать, что никакое другое целое число не является делителем единицы.

Предположим, что целое число b , отличное от 1 и −1 , является делителем единицы. Так как единица делится на b , то в силу предыдущего свойства делимости должно выполняться неравенство , которое равносильно неравенству . Этому неравенству удовлетворяют только три целых числа: 1 , 0 , и −1 . Так как мы приняли, что b отлично от 1 и −1 , то остается лишь b=0 . Но b=0 не может быть делителем единицы (что мы показали при описании второго свойства делимости). Этим доказано, что никакие числа, отличные от 1 и −1 , не являются делителями единицы.

Чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b .

Докажем сначала необходимость.

Пусть a делится на b , тогда существует такое целое число q , что a=b·q . Тогда . Так как является целым числом, то из равенства следует делимость модуля числа a на модуль числа b .

Теперь достаточность.

Пусть модуль числа a делится на модуль числа b , тогда существует такое целое число q , что . Если числа a и b положительные, то справедливо равенство a=b·q , которое доказывает делимость a на b . Если a и b отрицательные, то верно равенство −a=(−b)·q , которое можно переписать как a=b·q . Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем −a=b·q , это равенство равносильно равенству a=b·(−q) . Если a – положительное, а b – отрицательное, то имеем a=(−b)·q , и a=b·(−q) . Так как и q и −q являются целыми числами, то полученные равенства доказывают, что a делится на b .

Следствие 1.

Если целое число a делится на целое число b , то a также делится на число −b , противоположное числу b .

Следствие 2.

Если целое число a делится на целое число b , то и −a делится на b .

Важность только что рассмотренного свойства делимости сложно переоценить - теорию делимости можно описывать на множестве целых положительных чисел, а это свойства делимости распространяет ее и на целые отрицательные числа.

Делимость обладает свойством транзитивности: если целое число a делится на некоторое целое число m , а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b , то a делится на b . То есть, если am и mb , то ab .

Приведем доказательство этого свойства делимости.

Так как a делится на m , то существует некоторое целое число a 1 такое, что a=m·a 1 . Аналогично, так как m делится на b , то существует некоторое целое число m 1 такое, что m=b·m 1 . Тогда a=m·a 1 =(b·m 1)·a 1 =b·(m 1 ·a 1) . Так как произведение двух целых чисел является целым числом, то m 1 ·a 1 - это некоторое целое число. Обозначив его q , приходим к равенству a=b·q , которое доказывает рассматриваемое свойство делимости.

Делимость обладает свойством антисимметричности, то есть, если a делится на b и одновременно b делится на a , то равны либо целые числа a и b , либо числа a и −b .

Из делимости a на b и b на a можно говорить о существовании целых чисел q 1 и q 2 таких, что a=b·q 1 и b=a·q 2 . Подставив во второе равенство b·q 1 вместо a , или подставив в первое равенство a·q 2 вместо b , получим, что q 1 ·q 2 =1 , а учитывая, что q 1 и q 2 – целые, это возможно лишь при q 1 =q 2 =1 или при q 1 =q 2 =−1 . Отсюда следует, что a=b или a=−b (или, что то же самое, b=a или b=−a ).

Для любого целого и отличного от нуля числа b найдется такое целое число a , не равное b , которое делится на b .

Таким числом будет любое из чисел a=b·q , где q – любое целое число, не равное единице. Можно переходить к следующему свойству делимости.

Если каждое из двух целых слагаемых a и b делится на целое число c , то сумма a+b также делится на c .

Так как a и b делятся на c , то можно записать a=c·q 1 и b=c·q 2 . Тогда a+b=c·q 1 +c·q 2 =c·(q 1 +q 2) (последний переход возможен в силу ). Так как сумма двух целых чисел является целым числом, то равенство a+b=c·(q 1 +q 2) доказывает делимость суммы a+b на c .

Это свойство можно распространить на сумму трех, четырех и большего количества слагаемых.

Если еще вспомнить, что вычитание из целого числа a целого числа b представляет собой сложение числа a с числом −b (смотрите ), то данное свойство делимости справедливо и для разности чисел. Например, если целые числа a и b делятся на c , то разность a−b также делится на с .

Если известно, что в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Допустим, этим членом является p (мы можем взять любой из членов равенства, что не повлияет на рассуждения). Тогда p=k+l+…+n−q−…−s . Выражение, получившееся в правой части равенства, делится на b в силу предыдущего свойства. Следовательно, число p также делится на b .

Если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k , где k – произвольное целое число, делится на b .

Так как a делится на b , то справедливо равенство a=b·q , где q – некоторое целое число. Тогда a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (последний переход осуществлен в силу ). Так как произведение двух целых чисел есть целое число, то равенство a·k=b·(q·k) доказывает делимость произведения a·k на b .

Следствие: если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k 1 ·k 2 ·…·k n , где k 1 , k 2 , …, k n – некоторые целые числа, делится на b .

Если целые числа a и b делятся на c , то сумма произведений a·u и b·v вида a·u+b·v , где u и v – произвольные целые числа, делится на c .

Доказательство этого свойства делимости аналогично двум предыдущим. Из условия имеем a=c·q 1 и b=c·q 2 . Тогда a·u+b·v=(c·q 1)·u+(c·q 2)·v=c·(q 1 ·u+q 2 ·v) . Так как сумма q 1 ·u+q 2 ·v является целым числом, то равенство вида a·u+b·v=c·(q 1 ·u+q 2 ·v) доказывает, что a·u+b·v делится на c .

На этом закончим обзор основных свойств делимости.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

• Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
• Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
• Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
• Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители . Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Примеры. Разложить составное число столбиком на простые множители:

1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
Запишем число 48, справа от него проведем вертикальную линию. Начинаем перебирать простые делители числа 48, начиная с самого меньшего — числа 2 . Записываем 2 справа от линии. Под числом 48 запишем частное от деления числа 48 на 2. Это число 24, которое тоже делится на 2 . Справа от числа 24 записываем 2, а под числом 24 — результат деления 24 на 2. Это число 12, которое опять делим на 2 . Число 2 пишем справа, а под числом 12 ставим 6. Число 6 опять делим на 2 , получаем число 3, которое пишем под числом 6. Число 3 делим на 3 и, наконец, под числом 3 пишем 1. Таким образом, получаем разложение числа 48 на простые множители: 48=2·2·2·2·3 или 48=2 4 ∙3.

Наименьший простой делитель числа 75 — это число 3 , его ставим справа от вертикальной линии. В результате деления числа 75 на 3 получаем 25. Число 25 запишем под числом 75. Число 25 делится на 5 , поэтому, число 5 пишем справа от числа 25, а под числом 25 запишем число 5 — результат от деления 25 на 5. Число 5 делится на 5 , под ним ставим число 1. Результат: 75=3·5·5 или 75=3∙5 2 .

Число 80 оканчивается нулем, значит, делится на 10. Число 10 — составное, он равно произведению простых чисел 2 и 5 , поэтому, удобно записать справа от вертикальной черты произведение 2·5 . тогда под числом 80 запишем число 8. Число 8 делим на 2 (пишем справа 2), под числом 8 записываем число 4. Снова делим на 2 , получаем 2, делим на 2 , остается 1. Результат: 80=2 4 ∙5.

Число 120 разделим сразу на 10. Так как 10=2·5, то справа от вертикальной черты запишем 2·5 . Под числом 120 записываем 12. Число 12 делим на 2 , записываем под числом 12 число 6, которое делим на 2 , а затем полученное число 3 делим на 3 , получив в результате число 1. Результат: 120=2 3 ∙3∙5.

Страница 1 из 1 1