Notatka. Ta lekcja opisuje materiały teoretyczne oraz rozwiązywanie problemów z geometrii na temat „mediana w trójkącie prostokątnym”. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrią, którego tu nie ma, napisz o tym na forum. Kurs prawie na pewno zostanie uzupełniony.

Właściwości mediany prawy trójkąt

Wyznaczanie mediany

• Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w tym punkcie na dwie części w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka kąta. Punkt ich przecięcia nazywany jest środkiem ciężkości trójkąta (stosunkowo rzadko w zagadnieniach używa się określenia „środek ciężkości” na oznaczenie tego punktu),
• Mediana dzieli trójkąt na dwa trójkąty o jednakowej wielkości.
• Trójkąt jest podzielony przez trzy środkowe na sześć równych trójkątów.
• Większy bok trójkąta odpowiada mniejszej środkowej.

Problemy z geometrią proponowane do rozwiązania wykorzystują głównie następujące elementy właściwości środkowej trójkąta prostokątnego.

• Suma kwadratów mediany upuszczonej na ramiona trójkąta prostokątnego jest równa pięciu kwadratów mediany upuszczonej na przeciwprostokątną (wzór 1)
• Mediana spadła do przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równy połowie przeciwprostokątnej(Formuła 2)
• Mediana przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wynosi równy promieniowi okręgu opisanego wokół dany trójkąt prostokątny (wzór 2)
• Mediana spadła do przeciwprostokątnej równy połowie pierwiastka kwadratowego z sumy kwadratów nóg(Formuła 3)
• Mediana obniżona do przeciwprostokątnej jest równa ilorazowi długości nogi podzielonej przez dwa sinusy kąta ostrego przeciwnego do nogi (wzór 4)
• Mediana obniżona do przeciwprostokątnej jest równa ilorazowi długości nogi podzielonej przez dwa cosinusy kąta ostrego sąsiadującego z nogą (wzór 4)
• Suma kwadratów boków trójkąta prostokątnego jest równa ośmiu kwadratom środkowej spuszczonej na jego przeciwprostokątną (wzór 5)

Zapis we wzorach:

a, b- nogi trójkąta prostokątnego

C- przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego

Jeśli więc oznaczymy trójkąt jako ABC

BC = A

(to jest boki a, b, c- są przeciwne do odpowiednich kątów)

M A- środkowy pociągnięty do nogi a

M B- środkowy pociągnięty do nogi b

M C - środkowa trójkąta prostokątnego, pociągnięty do przeciwprostokątnej z

α (alfa)- kąt CAB po przeciwnej stronie a

Problem dotyczący środkowej w trójkącie prostokątnym

Mediany trójkąta prostokątnego narysowanego do nóg wynoszą odpowiednio 3 cm i 4 cm. Znajdź przeciwprostokątną trójkąta

Rozwiązanie

Zanim zaczniemy rozwiązywać problem, zwróćmy uwagę na stosunek długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego i środkowej, która jest na nim opuszczona. Aby to zrobić, przejdźmy do formuł 2, 4, 5 własności środkowej w trójkącie prostokątnym. Wzory te wyraźnie wskazują stosunek przeciwprostokątnej do mediany, którą obniża się na nią jako 1 do 2. Dlatego dla wygody przyszłych obliczeń (co w żaden sposób nie wpłynie na poprawność rozwiązania, ale sprawi, że będzie ono bardziej wygodne), oznaczamy długości nóg AC i BC za pomocą zmiennych x i y jako 2x i 2y (nie x i y).

Rozważmy trójkąt prostokątny ADC. Kąt C jest prosty zgodnie z warunkami zadania, odnoga AC jest wspólna z trójkątem ABC, a odnoga CD jest równa połowie BC zgodnie z właściwościami mediany. Następnie zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

AC 2 + CD 2 = AD 2

Ponieważ AC = 2x, CD = y (ponieważ mediana dzieli nogę na dwie równe części), to
4x 2 + y 2 = 9

Jednocześnie rozważmy trójkąt prostokątny EBC. Ma również kąt prosty C zgodnie z warunkami zadania, noga BC jest wspólna z nogą BC pierwotnego trójkąta ABC, a noga EC, dzięki właściwości mediany, jest równa połowie nogi AC pierwotnego trójkąta ABC.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Ponieważ EC = x (mediana dzieli nogę na pół), zatem BC = 2y
x 2 + 4 lata 2 = 16

Ponieważ trójkąty ABC, EBC i ADC są połączone wspólnymi bokami, oba powstałe równania są również ze sobą powiązane.
Rozwiążmy powstały układ równań.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4 lata 2 = 16

Opis prezentacji według poszczególnych slajdów:

1 slajd

Opis slajdu:

Mediana trójkąta prostokątnego. Twierdzenie: Mediana narysowanego trójkąta prostokątnego prosty kąt, równa połowie przeciwprostokątnej Dane: ABC jest trójkątem prostokątnym, O jest środkiem AB, CO jest medianą, CO = ½AB = R Twierdzenie (odwrotne): jeśli mediana trójkąta jest równa połowie boku, do którego zostanie narysowany, wówczas trójkąt będzie prostokątny. СО – mediana, СО = ½ АВ => АВС – prostokąt.

2 slajd

Opis slajdu:

Zadanie nr 2 Przez podstawy dwusiecznych AD trójkąta równoramiennego ABC z wierzchołkiem B poprowadzono prostopadłą do tej dwusiecznej przecinającej prostą AC w ​​punkcie E. Znajdź odcinek AE, jeśli wiadomo, że CD = 4. Dane: ABC jest trójkątem równoramiennym. M – środek AE, CD = 4, DM = mediana, Znajdź: AE Rozwiązanie: 1) DM – środkowa trójkąta prostokątnego ADE narysowana z wierzchołka kąta prostego, => AM = DM = ME, 2) kąt BAC = kąt BCA = α. Zgodnie z twierdzeniem o kącie zewnętrznym => trójkąt DCM jest równoramienny. Dlatego AE = 2DM = 2DC = 8 Odpowiedź: 8.

3 slajd

Opis slajdu:

Zadanie nr 1.2 Mediana poprowadzona do przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równa m i dzieli kąt prosty w stosunku 1:2. Znajdź boki trójkąta. Dane: ABC to trójkąt prostokątny, kąt C to trójkąt prostokątny, CO = m Znajdź: AB, BC, CB Rozwiązanie: 1) 2) CO to mediana, zgodnie z twierdzeniem AB = 2m 3) Według własności a trójkąt prostokątny: z ABC: AC = m 4) Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: Odpowiedź: 2m, m,

4 slajd

Opis slajdu:

Zadanie nr 1.3 Mediana trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej dzieli go na dwa trójkąty o obwodach 8 i 9. Znajdź boki trójkąta. Biorąc pod uwagę, że ABC jest trójkątem prostokątnym, SO jest medianą, RASO = 8; RSOV = 9. Znajdź: AB, AC, SV. Rozwiązanie: 1) Oznaczmy przez x – CO; wówczas zgodnie z twierdzeniem CO = AO = OB = x y – AC; CB – z. 2) RASO = AC + AO + CO; PCOV = CB + OB + CO; AC + AO + CO = 8 AC + 2x = 8 AC = 8 – 2x AC > CB CB + OB + CO = 9; CB + 2x = 9; CB = 9 – 2x; CB = 1 + AC; 3) => x=2,5 Odpowiedź: 3, 4, 5.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz żądanie na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas dane osobowe pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.