2. Naucz się rozwiązywać całą klasę równania wykładnicze. Nawet jeśli nic o nich nie słyszałeś.

3. Naucz się obliczać proste logarytmy.

Co więcej, do tego wystarczy znać tabliczkę mnożenia i podnosić liczbę do potęgi...

Czuję, że masz wątpliwości... No cóż, zaznacz czas! chodźmy!

Najpierw rozwiąż w głowie to równanie:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Logarytm liczby b (b > 0) o podstawie a (a > 0, a ≠ 1)– wykładnik, do którego należy podnieść liczbę a, aby otrzymać b.

Logarytm o podstawie 10 b można zapisać jako log(b) i logarytm o podstawie e ( logarytm naturalny) –ln(b).

Często używane przy rozwiązywaniu problemów z logarytmami:

Własności logarytmów

Istnieją cztery główne właściwości logarytmów.

Niech a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Właściwość 1. Logarytm iloczynu

Logarytm iloczynu równa sumie logarytmy:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Właściwość 2. Logarytm ilorazu

Logarytm ilorazu równa różnicy logarytmów:

log a (x / y) = log a x – log a y

Właściwość 3. Logarytm potęgi

Logarytm stopnia równy iloczynowi potęgi i logarytmu:

Jeśli podstawa logarytmu jest w potędze, wówczas obowiązuje inny wzór:

Właściwość 4. Logarytm pierwiastka

Właściwość tę można wyprowadzić z własności logarytmu potęgi, ponieważ n-ty pierwiastek potęgi jest równy potęgi 1/n:

Wzór na przeliczenie logarytmu o jednej podstawie na logarytm o innej podstawie

Formuła ta jest również często używana przy rozwiązywaniu różnych zadań na logarytmach:

Przypadek specjalny:

Porównywanie logarytmów (nierówności)

Mamy 2 funkcje f(x) i g(x) pod logarytmami o tych samych podstawach i pomiędzy nimi znajduje się znak nierówności:

Aby je porównać, musisz najpierw spojrzeć na podstawę logarytmów a:

• Jeśli a > 0, to f(x) > g(x) > 0
• Jeśli 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak rozwiązywać problemy z logarytmami: przykłady

Zadania z logarytmami zawarte w Unified State Exam z matematyki dla klasy 11 w zadaniu 5 i zadaniu 7, zadania z rozwiązaniami znajdziesz na naszej stronie internetowej w odpowiednich działach. W banku zadań matematycznych znajdują się także zadania z logarytmami. Wszystkie przykłady można znaleźć, przeszukując witrynę.

Co to jest logarytm

Logarytmy zawsze były uważane za trudny temat na szkolnych kursach matematyki. Istnieje wiele różnych definicji logarytmu, ale z jakiegoś powodu większość podręczników używa najbardziej złożonej i nieudanej z nich.

Zdefiniujemy logarytm prosto i jasno. W tym celu utwórzmy tabelę:

Mamy więc potęgę dwójki.

Logarytmy - właściwości, wzory, sposób rozwiązywania

Jeśli weźmiesz liczbę z dolnej linii, możesz łatwo znaleźć potęgę, do której będziesz musiał podnieść dwa, aby otrzymać tę liczbę. Na przykład, aby uzyskać 16, musisz podnieść dwa do potęgi czwartej. Aby otrzymać 64, musisz podnieść dwa do potęgi szóstej. Można to zobaczyć z tabeli.

A teraz - właściwie definicja logarytmu:

podstawą a argumentu x jest potęga, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

Oznaczenie: log a x = b, gdzie a to podstawa, x to argument, b to faktyczna wartość logarytmu.

Na przykład 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logarytm o podstawie 2 z 8 to trzy, ponieważ 2 3 = 8). Z tym samym sukcesem log 2 64 = 6, ponieważ 2 6 = 64.

Nazywa się operację znajdowania logarytmu liczby o zadanej podstawie. Dodajmy więc nową linię do naszej tabeli:

Niestety, nie wszystkie logarytmy można obliczyć tak łatwo. Na przykład spróbuj znaleźć log 2 5. Numeru 5 nie ma w tabeli, ale logika podpowiada, że ​​logarytm będzie leżał gdzieś w przedziale. Ponieważ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Liczby takie nazywane są niewymiernymi: liczby po przecinku można zapisywać w nieskończoność i nigdy się nie powtarzają. Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, lepiej go tak zostawić: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ważne jest, aby zrozumieć, że logarytm jest wyrażeniem zawierającym dwie zmienne (podstawę i argument). Na początku wiele osób myli, gdzie jest podstawa, a gdzie argument. Aby uniknąć irytujących nieporozumień, wystarczy spojrzeć na zdjęcie:

Przed nami nic więcej niż definicja logarytmu. Pamiętać: logarytm jest potęgą, w który należy wbudować bazę, aby uzyskać argument. Jest to podstawa podniesiona do potęgi - na zdjęciu jest ona zaznaczona na czerwono. Okazuje się, że podstawa jest zawsze na dole! Tę cudowną zasadę powtarzam moim uczniom już na pierwszej lekcji – i nie pojawia się żadne zamieszanie.

Jak liczyć logarytmy

Mamy już definicję – pozostaje tylko nauczyć się liczyć logarytmy, czyli: pozbądź się znaku „log”. Na początek zauważmy, że z definicji wynikają dwa ważne fakty:

1. Argument i podstawa muszą być zawsze większe od zera. Wynika to z definicji stopnia przez wykładnik wymierny, do którego sprowadza się definicja logarytmu.
2. Podstawa musi być różna od jednej, ponieważ jeden w jakimkolwiek stopniu nadal pozostaje jednym. Z tego powodu pytanie „do jakiej potęgi trzeba podnieść jednego, aby otrzymać dwa” jest pozbawione sensu. Nie ma takiego stopnia!

Takie ograniczenia nazywane są region dopuszczalne wartości (ODZ). Okazuje się, że ODZ logarytmu wygląda następująco: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Należy pamiętać, że nie ma ograniczeń co do liczby b (wartości logarytmu). Na przykład logarytm może być ujemny: log 2 · 0,5 = −1, ponieważ 0,5 = 2-1.

Jednak teraz rozważamy tylko wyrażenia liczbowe, w przypadku których nie jest wymagana znajomość VA logarytmu. Wszystkie ograniczenia zostały już uwzględnione przez autorów problemów. Kiedy jednak w grę wchodzą równania logarytmiczne i nierówności, wymagania DL staną się obowiązkowe. Przecież podstawa i argumentacja mogą zawierać bardzo mocne konstrukcje, które niekoniecznie odpowiadają powyższym ograniczeniom.

Przyjrzyjmy się teraz ogólnemu schematowi obliczania logarytmów. Składa się z trzech kroków:

1. Wyraź podstawę a i argument x jako potęgę o minimalnej możliwej podstawie większej niż jeden. Po drodze lepiej pozbyć się ułamków dziesiętnych;
2. Rozwiąż równanie dla zmiennej b: x = a b ;
3. Wynikowa liczba b będzie odpowiedzią.

To wszystko! Jeśli logarytm okaże się niewymierny, będzie to widoczne już w pierwszym kroku. Wymóg, aby podstawa była większa niż jedność, jest bardzo ważny: zmniejsza to prawdopodobieństwo błędu i znacznie upraszcza obliczenia. To samo z miejsca dziesiętne: jeśli natychmiast zamienisz je na zwykłe, błędów będzie znacznie mniej.

Zobaczmy, jak działa ten schemat na konkretnych przykładach:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 5 25

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę piątki: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Zadanie. Oblicz logarytm:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 4 64

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę dwójki: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Otrzymaliśmy odpowiedź: 3.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 16 1

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę dwójki: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Otrzymaliśmy odpowiedź: 0.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 7 14

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę siódemki: 7 = 7 1 ; 14 nie można przedstawić w postaci potęgi siódemki, ponieważ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z poprzedniego akapitu wynika, że ​​logarytm się nie liczy;
3. Odpowiedź brzmi bez zmian: log 7 14.

Mała uwaga do ostatniego przykładu. Jak możesz mieć pewność, że liczba nie jest dokładną potęgą innej liczby? To bardzo proste – wystarczy rozłożyć to na czynniki pierwsze. Jeśli rozwinięcie ma co najmniej dwa różne czynniki, liczba nie jest dokładną potęgą.

Zadanie. Dowiedz się, czy liczby są dokładnymi potęgami: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - dokładny stopień, ponieważ jest tylko jeden mnożnik;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie jest dokładną potęgą, ponieważ istnieją dwa czynniki: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - dokładny stopień;
35 = 7 · 5 – znowu nie jest to dokładna potęga;
14 = 7 · 2 – znowu nie jest to dokładny stopień;

Zauważmy też, że my sami liczby pierwsze są zawsze dokładnymi stopniami siebie.

Logarytm dziesiętny

Niektóre logarytmy są tak powszechne, że mają specjalną nazwę i symbol.

argumentu x jest logarytmem o podstawie 10, tj. Potęga, do której należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: lg x.

Na przykład log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od teraz, gdy w podręczniku pojawi się sformułowanie typu „Znajdź lg 0,01”, wiedz: to nie jest literówka. To jest logarytm dziesiętny. Jeśli jednak nie znasz tego zapisu, zawsze możesz go przepisać:
log x = log 10 x

Wszystko, co jest prawdziwe w przypadku logarytmów zwykłych, jest również prawdziwe w przypadku logarytmów dziesiętnych.

Logarytm naturalny

Istnieje inny logarytm, który ma swoje własne oznaczenie. W pewnym sensie jest to nawet ważniejsze niż liczba dziesiętna. Chodzi o o logarytmie naturalnym.

argumentu x jest logarytmem o podstawie e, tj. potęga, do której należy podnieść liczbę e, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: ln x.

Wielu zapyta: jaka jest liczba e? To liczba niewymierna dokładna wartość niemożliwe do odnalezienia i nagrania. Podam tylko pierwsze liczby:
e = 2,718281828459…

Nie będziemy szczegółowo omawiać, czym jest ta liczba i dlaczego jest potrzebna. Pamiętaj tylko, że e jest podstawą logarytmu naturalnego:
ln x = log e x

Zatem ln e = 1; ln mi 2 = 2; ln mi 16 = 16 - itd. Z drugiej strony ln 2 jest liczbą niewymierną. Ogólnie rzecz biorąc, logarytm naturalny dowolnego liczba wymierna irracjonalny. Z wyjątkiem oczywiście jednego: ln 1 = 0.

W przypadku logarytmów naturalnych obowiązują wszystkie zasady obowiązujące dla logarytmów zwykłych.

Zobacz także:

Logarytm. Własności logarytmu (potęga logarytmu).

Jak przedstawić liczbę jako logarytm?

Korzystamy z definicji logarytmu.

Logarytm to wykładnik, do którego należy podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę pod znakiem logarytmu.

Zatem, aby przedstawić pewną liczbę c jako logarytm o podstawie a, należy pod znakiem logarytmu umieścić potęgę o tej samej podstawie co podstawa logarytmu i zapisać tę liczbę c jako wykładnik:

Absolutnie dowolną liczbę można przedstawić jako logarytm - dodatni, ujemny, całkowity, ułamkowy, wymierny, irracjonalny:

Aby nie pomylić a i c w stresujących warunkach testu lub egzaminu, możesz zastosować następującą zasadę zapamiętywania:

to, co jest na dole, spada, to, co jest na górze, idzie w górę.

Na przykład musisz przedstawić liczbę 2 jako logarytm o podstawie 3.

Mamy dwie liczby - 2 i 3. Liczby te to podstawa i wykładnik, który zapiszemy pod znakiem logarytmu. Pozostaje ustalić, które z tych liczb należy zapisać do podstawy stopnia, a które do wykładnika.

Podstawa 3 w zapisie logarytmu znajduje się na dole, co oznacza, że ​​jeśli przedstawimy dwa jako logarytm o podstawie 3, zapiszemy również 3 do podstawy.

2 jest wyższe niż trzy. A w zapisie stopnia drugiego piszemy nad trzecim, czyli jako wykładnik:

Logarytmy. Poziom wejścia.

Logarytmy

Logarytm liczba dodatnia B na podstawie A, Gdzie a > 0, a ≠ 1, nazywa się wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę A dostać B.

Definicja logarytmu można krótko zapisać tak:

Ta równość jest ważna dla b > 0, a > 0, a ≠ 1. Zwykle się to nazywa tożsamość logarytmiczna.
Nazywa się czynność polegającą na znajdowaniu logarytmu liczby logarytmem.

Właściwości logarytmów:

Logarytm iloczynu:

Logarytm ilorazu:

Zastępowanie podstawy logarytmu:

Logarytm stopnia:

Logarytm pierwiastka:

Logarytm z podstawą mocy:

Logarytmy dziesiętne i naturalne.

Logarytm dziesiętny liczby wywołują logarytm tej liczby o podstawie 10 i zapisują   lg B
Logarytm naturalny liczby nazywane są logarytmem tej liczby o podstawie mi, Gdzie mi- liczba niewymierna w przybliżeniu równa 2,7. Jednocześnie piszą ln B.

Inne notatki z algebry i geometrii

Podstawowe własności logarytmów

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Zacznijmy więc.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: zarejestruj x i zarejestruj a y. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczowy punkt Tutaj - identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Dziennik 6 4 + dziennik 6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele z nich opiera się na tym fakcie testy. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo to zauważyć ostatnia zasada podąża za pierwszymi dwoma. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Aż do samego ostatnia chwila pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy ułamek skrócić - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech będzie podany logarytm log a x. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie zostaje „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko można znaleźć w konwencjonalnych wyrażenia numeryczne. Tylko podejmując decyzję, można ocenić, jak wygodne są równania logarytmiczne i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie można rozwiązać, chyba że przeprowadzka do nowego fundamentu. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie.

W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wziąłem kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. log a a = 1 wynosi. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
2. log a 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

(z greckiego λόγος - „słowo”, „relacja” i ἀριθμός - „liczba”) liczby B na podstawie A(log α B) nazywa się taką liczbą C, I B= c, to znaczy rejestruje log α B=C I b=aC są równoważne. Logarytm ma sens, jeśli a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Innymi słowy logarytm takty muzyczne B na podstawie A sformułowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę A aby uzyskać numer B(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenie x= log α B, jest równoważne rozwiązaniu równania a x = b.

Na przykład:

log 2 8 = 3, ponieważ 8 = 2 3 .

Podkreślmy, że wskazane sformułowanie logarytmu pozwala na natychmiastowe określenie wartość logarytmu, gdy liczba pod znakiem logarytmu pełni rolę pewnej potęgi podstawy. Rzeczywiście, sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić to, jeśli b=a do, a następnie logarytm liczby B na podstawie A równa się Z. Oczywiste jest również, że temat logarytmów jest ściśle powiązany z tematem potęgi liczby.

Obliczanie logarytmu nazywa się logarytm. Logarytm to operacja matematyczna polegająca na braniu logarytmu. Podczas obliczania logarytmów iloczyny czynników przekształca się w sumy wyrazów.

Wzmocnienie jest odwrotną operacją matematyczną logarytmu. Podczas wzmacniania, dana zasada jest zwiększana do stopnia ekspresji, przy którym następuje wzmocnienie. W tym przypadku sumy wyrazów przekształca się w iloczyn czynników.

Dość często stosuje się logarytmy rzeczywiste o podstawie 2 (binarnie), liczbie Eulera e ≈ 2,718 (logarytm naturalny) i 10 (dziesiętnie).

Na tym etapie warto to rozważyć próbki logarytmiczne log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

A wpisy lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nie mają sensu, ponieważ w pierwszym z nich pod znakiem logarytmu umieszczona jest liczba ujemna, w drugim liczba ujemna w podstawie, a w trzeciej pod znakiem logarytmu znajduje się liczba ujemna, a u podstawy jednostka.

Warunki wyznaczania logarytmu.

Warto osobno rozważyć warunki a > 0, a ≠ 1, b > 0. przy których otrzymujemy definicja logarytmu. Zastanówmy się, dlaczego wprowadzono te ograniczenia. Pomoże nam w tym równość postaci x = log α B, zwaną podstawową tożsamością logarytmiczną, co bezpośrednio wynika z podanej powyżej definicji logarytmu.

Weźmy warunek a≠1. Ponieważ jeden do dowolnej potęgi jest równy jeden, równość x=log α B może istnieć tylko wtedy, gdy b=1, ale log 1 1 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Aby wyeliminować tę dwuznaczność, bierzemy a≠1.

Udowodnimy konieczność warunku a>0. Na a=0 zgodnie ze sformułowaniem logarytmu może istnieć tylko wtedy, gdy b=0. I odpowiednio wtedy zaloguj 0 0 może być dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, ponieważ zero do dowolnej niezerowej potęgi wynosi zero. Tę niejednoznaczność można wyeliminować za pomocą warunku a≠0. I kiedy A<0 musielibyśmy odrzucić analizę racjonalnych i niewymiernych wartości logarytmu, ponieważ stopień z wymiernym i irracjonalnym wykładnikiem jest definiowany tylko dla podstaw nieujemnych. Z tego powodu postawiono warunek a>0.

I ostatni warunek b>0 wynika z nierówności a>0, ponieważ x=log α B i wartość stopnia o podstawie dodatniej A zawsze pozytywne.

Cechy logarytmów.

Logarytmy charakteryzuje się charakterystycznością cechy, co doprowadziło do ich powszechnego stosowania w celu znacznego ułatwienia żmudnych obliczeń. Przenosząc się „w świat logarytmów”, mnożenie przekształca się w znacznie łatwiejsze dodawanie, dzielenie w odejmowanie, a potęgowanie i ekstrakcja pierwiastkowa przekształcają się odpowiednio w mnożenie i dzielenie przez wykładnik.

Formułowanie logarytmów i tabela ich wartości (dla funkcje trygonometryczne) została po raz pierwszy opublikowana w 1614 roku przez szkockiego matematyka Johna Napiera. Tablice logarytmiczne, powiększone i szczegółowe przez innych naukowców, były szeroko stosowane w obliczeniach naukowych i inżynieryjnych i pozostawały aktualne aż do pojawienia się kalkulatorów elektronicznych i komputerów.