Typy zależności

Przyjrzyjmy się ładowaniu akumulatora. Jako pierwszą wielkość przyjmijmy czas potrzebny na naładowanie. Druga wartość to czas pracy po naładowaniu. Im dłużej będziesz ładować baterię, tym dłużej będzie ona działać. Proces będzie kontynuowany aż do pełnego naładowania akumulatora.

Zależność czasu pracy akumulatora od czasu jego ładowania

Uwaga 1

Ta zależność nazywa się bezpośredni:

Wraz ze wzrostem jednej wartości rośnie także druga. Gdy jedna wartość maleje, druga również maleje.

Spójrzmy na inny przykład.

Jak więcej książek czytaj uczniowi, tym mniej błędów popełni w dyktandzie. Albo im wyżej wzniesiesz się w górach, tym niższe będzie ciśnienie atmosferyczne.

Uwaga 2

Ta zależność nazywa się odwracać:

Gdy jedna wartość rośnie, druga maleje. Gdy jedna wartość maleje, druga wzrasta.

Zatem na wszelki wypadek bezpośrednia zależność obie wielkości zmieniają się jednakowo (zarówno rosną, jak i maleją) oraz w przypadku odwrotna zależność– odwrotnie (jeden wzrasta, drugi maleje lub odwrotnie).

Wyznaczanie zależności pomiędzy wielkościami

Przykład 1

Czas potrzebny na odwiedzenie przyjaciela to 20 $ minut. Jeśli prędkość (pierwsza wartość) wzrośnie 2 $ razy, dowiemy się, jak zmieni się czas (druga wartość), który spędzimy w drodze do znajomego.

Oczywiście czas skróci się o 2 $ razy.

Uwaga 3

Ta zależność nazywa się proporcjonalny:

Ile razy zmienia się jedna wielkość, ile razy zmienia się druga wielkość.

Przykład 2

Za 2 dolary bochenków chleba w sklepie trzeba zapłacić 80 rubli. Jeśli musisz kupić bochenki chleba za 4 $ (ilość chleba wzrośnie 2 $ razy), ile razy więcej będziesz musiał zapłacić?

Oczywiście koszt również wzrośnie 2 razy. Mamy przykład zależności proporcjonalnej.

W obu przykładach uwzględniono zależności proporcjonalne. Ale w przykładzie z bochenkami chleba ilości zmieniają się w jednym kierunku, zatem zależność jest taka bezpośredni. A w przykładzie pójścia do domu przyjaciela, związek między prędkością a czasem jest taki odwracać. Tak jest zależność wprost proporcjonalna I zależność odwrotnie proporcjonalna.

Bezpośrednia proporcjonalność

Rozważmy proporcjonalne wielkości 2 $: liczbę bochenków chleba i ich koszt. Niech bochenek chleba za 2 dolary będzie kosztował 80 rubli. Jeśli liczba bułek wzrośnie 4 $ razy (bułki 8 $), ich całkowity koszt wyniesie 320 $ rubli.

Stosunek liczby bułek: $\frac(8)(2)=4$.

Stosunek kosztu bułki: $\frac(320)(80)=4$.

Jak widać, relacje te są sobie równe:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definicja 1

Równość dwóch stosunków nazywa się proporcja.

W przypadku zależności wprost proporcjonalnej zależność uzyskuje się, gdy zmiana pierwszej i drugiej wielkości pokrywa się:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definicja 2

Obie wielkości nazywane są wprost proporcjonalne, jeżeli gdy jedna z nich ulegnie zmianie (zwiększy się lub zmniejszy), druga wartość również ulegnie zmianie (odpowiednio zwiększeniu lub zmniejszeniu) o tę samą kwotę.

Przykład 3

Samochód przejechał 180 USD km w 2 USD godzin. Znajdź czas, w którym pokona dystans o wartości 2 $ z tą samą prędkością.

Rozwiązanie.

Czas jest wprost proporcjonalny do odległości:

$t=\frac(S)(v)$.

Ile razy zwiększy się odległość, kiedy stała prędkość, czas wzrośnie o tę samą wartość:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Samochód przejechał 180 USD km w 2 USD godzin

Samochód przejedzie 180 $ \cdot 2 = 360 $ km – w $x$ godzinach

Im dalej samochód jedzie, tym dłuższy czas będzie mu to potrzebne. W związku z tym związek między wielkościami jest wprost proporcjonalny.

Zróbmy proporcję:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 4 $ godzin.

Odwrotna proporcjonalność

Definicja 3

Rozwiązanie.

Czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości:

$t=\frac(S)(v)$.

O ile razy prędkość wzrasta, przy tej samej drodze, czas zmniejsza się o tę samą wartość:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Zapiszmy warunek problemu w formie tabeli:

Samochód przejechał 60 $ km – w 6 $ godzin

Samochód przejedzie 120 $ km – w $x$ godzin

Im większa prędkość samochodu, tym mniej czasu to zajmie. W związku z tym zależność między wielkościami jest odwrotnie proporcjonalna.

Zróbmy proporcję.

Ponieważ proporcjonalność jest odwrotna, druga zależność w proporcji jest odwrócona:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 3 $ godzin.

Dziś przyjrzymy się, jakie wielkości nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi, jak wygląda wykres odwrotnej proporcjonalności i jak to wszystko może ci się przydać nie tylko na lekcjach matematyki, ale także poza szkołą.

Takie inne proporcje

Proporcjonalność podaj dwie wielkości wzajemnie od siebie zależne.

Zależność może być bezpośrednia i odwrotna. W związku z tym zależności między wielkościami są opisane linią prostą i odwrotna proporcjonalność.

Bezpośrednia proporcjonalność– jest to taka zależność pomiędzy dwiema wielkościami, w której zwiększenie lub zmniejszenie jednej z nich powoduje zwiększenie lub zmniejszenie drugiej. Te. ich postawa się nie zmienia.

Na przykład im więcej wysiłku włożysz w naukę do egzaminów, tym wyższe będziesz mieć oceny. Albo im więcej rzeczy zabierzesz ze sobą na wędrówkę, tym cięższy będzie Twój plecak. Te. Ilość wysiłku włożonego w przygotowanie się do egzaminów jest wprost proporcjonalna do uzyskanych ocen. A ilość rzeczy spakowanych w plecaku jest wprost proporcjonalna do jego wagi.

Odwrotna proporcjonalność– jest to zależność funkcjonalna, w której kilkukrotne zmniejszenie lub zwiększenie wartości niezależnej (nazywa się to argumentem) powoduje proporcjonalne (tj. taką samą liczbę razy) zwiększenie lub zmniejszenie wartości zależnej (nazywa się to funkcjonować).

Zilustrujmy prosty przykład. Chcesz kupić jabłka na rynku. Jabłka na ladzie i ilość pieniędzy w portfelu są odwrotnie proporcjonalne. Te. Im więcej jabłek kupisz, tym mniej pieniędzy Ci zostanie.

Funkcja i jej wykres

Funkcję odwrotnej proporcjonalności można opisać jako y = k/x. w którym X≠ 0 i k≠ 0.

Funkcja ta ma następujące właściwości:

1. Jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Zakres obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nie ma wartości maksymalnych ani minimalnych.
4. Jest to dziwne, a jego wykres jest symetryczny względem początku.
5. Nieokresowe.
6. Jego wykres nie przecina osi współrzędnych.
7. Nie ma zer.
8. Jeśli k> 0 (czyli argument rośnie), funkcja maleje proporcjonalnie na każdym swoim przedziale. Jeśli k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. W miarę wzrostu argumentu ( k> 0) wartości ujemne funkcji znajdują się w przedziale (-∞; 0), a wartości dodatnie w przedziale (0; +∞). Kiedy argument maleje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Wykres funkcji odwrotnej proporcjonalności nazywa się hiperbolą. Pokazane w następujący sposób:

Problemy odwrotnej proporcjonalności

Aby było to jaśniejsze, spójrzmy na kilka zadań. Nie są one zbyt skomplikowane, a rozwiązanie ich pomoże Ci zwizualizować sobie, czym jest odwrotna proporcjonalność i jak ta wiedza może przydać się w Twoim codziennym życiu.

Zadanie nr 1. Samochód jedzie z prędkością 60 km/h. Dotarcie do celu zajęło mu 6 godzin. Ile czasu zajmie mu pokonanie tej samej odległości, jeśli porusza się z dwukrotnie większą prędkością?

Możemy zacząć od zapisania wzoru opisującego zależność pomiędzy czasem, drogą i prędkością: t = S/V. Zgadzam się, bardzo przypomina nam to funkcję odwrotnej proporcjonalności. Wskazuje także, że czas, jaki samochód spędza na drodze, i prędkość, z jaką się porusza, są odwrotnie proporcjonalne.

Aby to sprawdzić, znajdźmy V 2, które w zależności od warunku jest 2 razy większe: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Następnie obliczamy odległość korzystając ze wzoru S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie jest trudno znaleźć czas t 2, który jest od nas wymagany zgodnie z warunkami problemu: t 2 = 360/120 = 3 godziny.

Jak widać czas podróży i prędkość są rzeczywiście odwrotnie proporcjonalne: przy prędkości 2 razy większej niż prędkość pierwotna samochód spędzi w drodze 2 razy mniej czasu.

Rozwiązanie tego problemu można również zapisać jako proporcję. Stwórzmy więc najpierw ten diagram:

↓ 60 km/h – 6 godz

↓120 km/h – x godz

Strzałki wskazują zależność odwrotnie proporcjonalną. Sugerują też, że przy sporządzaniu proporcji należy odwrócić prawą stronę zapisu: 60/120 = x/6. Skąd mamy x = 60 * 6/120 = 3 godziny.

Zadanie nr 2. W warsztacie zatrudnionych jest 6 pracowników, którzy są w stanie wykonać zadaną ilość pracy w ciągu 4 godzin. Jeśli liczba pracowników zmniejszy się o połowę, ile czasu zajmie pozostałym pracownikom wykonanie tej samej ilości pracy?

Zapiszmy warunki problemu w formie diagramu wizualnego:

↓ 6 pracowników – 4 godziny

↓ 3 pracowników – x godz

Zapiszmy to jako proporcję: 6/3 = x/4. I otrzymujemy x = 6 * 4/3 = 8 godzin. Jeśli pracowników będzie 2 razy mniej, pozostali spędzą 2 razy więcej czasu na wykonaniu całej pracy.

Zadanie nr 3. Do basenu prowadzą dwie rury. Przez jedną rurę woda przepływa z prędkością 2 l/s i napełnia basen w ciągu 45 minut. Przez inną rurę basen napełni się w ciągu 75 minut. Z jaką prędkością woda wpływa do basenu tą rurą?

Na początek sprowadźmy wszystkie wielkości dane nam zgodnie z warunkami zadania do tych samych jednostek miary. Aby to zrobić, wyrażamy prędkość napełniania basenu w litrach na minutę: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Ponieważ warunek ten oznacza, że ​​basen napełnia się wolniej przez drugą rurę, oznacza to, że natężenie przepływu wody jest mniejsze. Proporcjonalność jest odwrotna. Wyraźmy nieznaną prędkość poprzez x i narysujmy następujący diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

I wtedy tworzymy proporcję: 120/x = 75/45, skąd x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

W zadaniu prędkość napełniania basenu wyrażona jest w litrach na sekundę; otrzymaną odpowiedź sprowadźmy do tej samej postaci: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadanie nr 4. Mała prywatna drukarnia drukuje wizytówki. Pracownik drukarni pracuje z szybkością 42 wizytówek na godzinę i przepracowuje cały dzień – 8 godzin. Gdyby pracował szybciej i wydrukował 48 wizytówek w godzinę, ile wcześniej mógłby wrócić do domu?

Podążamy sprawdzoną ścieżką i sporządzamy diagram zgodnie z warunkami problemu, wyznaczając pożądaną wartość jako x:

↓ 42 wizytówki/godzinę – 8 godzin

↓ 48 wizytówek/h – x godz

Mamy zależność odwrotnie proporcjonalną: ile razy więcej wizytówek wydrukuje pracownik drukarni w ciągu godziny, tyle samo razy mniej czasu będzie potrzebował na wykonanie tej samej pracy. Wiedząc o tym, utwórzmy proporcję:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 godzin.

Tym samym po ukończeniu pracy w 7 godzin pracownik drukarni mógł wrócić do domu godzinę wcześniej.

Wniosek

Wydaje nam się, że te problemy odwrotnej proporcjonalności są naprawdę proste. Mamy nadzieję, że teraz i Wy tak o nich myślicie. A najważniejsze jest to, że wiedza o odwrotnie proporcjonalnej zależności wielkości może naprawdę przydać ci się więcej niż raz.

Nie tylko na lekcjach matematyki i egzaminach. Ale nawet wtedy, gdy szykujesz się do wyjazdu, na zakupy, decydujesz się dorobić w czasie wakacji itp.

Opowiedz nam w komentarzach, jakie przykłady odwrotnych i bezpośrednich relacji proporcjonalnych zauważasz wokół siebie. Niech to będzie taka gra. Zobaczysz jakie to ekscytujące. Nie zapomnij udostępnić tego artykułu na sieci społecznościowe aby Twoi przyjaciele i koledzy z klasy również mogli grać.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

I. Wielkości wprost proporcjonalne.

Niech wartość y zależy od rozmiaru X. Jeśli przy zwiększaniu X kilka razy większy Na wzrasta o tę samą kwotę, to takie wartości X I Na nazywane są wprost proporcjonalnymi.

Przykłady.

1 . Ilość zakupionego towaru i cena zakupu (przy stałej cenie za jednostkę towaru - 1 sztuka lub 1 kg itp.) Ile razy więcej towarów kupiono, tym więcej razy więcej zapłacono.

2 . Przebyta odległość i czas na niej spędzony (ze stałą prędkością). Ile razy dłuższa jest ścieżka, ile razy więcej czasu zajmie jej pokonanie.

3 . Objętość ciała i jego masa. ( Jeśli jeden arbuz jest 2 razy większy od drugiego, wówczas jego masa będzie 2 razy większa)

II. Własność bezpośredniej proporcjonalności wielkości.

Jeżeli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch dowolnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.

Zadanie 1. Na dżem malinowy wzięliśmy 12 kg maliny i 8 kg Sahara. Ile cukru będziesz potrzebować, jeśli go weźmiesz? 9 kg maliny?

Rozwiązanie.

Rozumujemy w ten sposób: niech to będzie konieczne x kg cukier za 9 kg maliny Masa malin i masa cukru to wielkości wprost proporcjonalne: ile razy mniej jest malin, tyle samo razy mniej cukru potrzeba. Dlatego stosunek zebranych malin (wagowo) ( 12:9 ) będzie równy stosunkowi przyjętego cukru ( 8:x). Otrzymujemy proporcję:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Odpowiedź: NA 9 kg maliny trzeba wziąć 6 kg Sahara.

Rozwiązanie problemu Można to zrobić w ten sposób:

Udać 9 kg maliny trzeba wziąć x kg Sahara.

(Strzałki na rysunku są skierowane w jednym kierunku, w górę lub w dół nie ma znaczenia. Znaczenie: ile razy liczba 12 więcej numeru 9 , tyle samo razy 8 więcej numeru X, czyli zachodzi tu bezpośrednia zależność).

Odpowiedź: NA 9 kg Muszę zjeść trochę malin 6 kg Sahara.

Zadanie 2. Samochód dla 3 godziny przebył dystans 264 km. Ile czasu zajmie mu podróż? 440 km, jeśli jedzie z tą samą prędkością?

Rozwiązanie.

Pozwól na x godzin samochód pokona tę odległość 440 km.

Odpowiedź: samochód przejedzie 440 km w 5 godzin.

Przykład

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 itd. Czynnik proporcjonalności Nazywa się stałą zależnością wielkości proporcjonalnych

Bezpośrednia proporcjonalność

Bezpośrednia proporcjonalność współczynnik proporcjonalności . Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę drugiej.- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, zmienne te ulegają zmianie

proporcjonalnie

, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmieni się dwukrotnie w dowolnym kierunku, wówczas funkcja również zmieni się dwukrotnie w tym samym kierunku.(X) = Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako wzór:X,Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako wzór: = FACoN

Odwrotna proporcjonalność

S T

Odwrotna proporcjonalność

- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalne zmniejszenie wartości zależnej (funkcji).

Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako wzór:

Właściwości funkcji: