Rozumiemy proste pojęcia: sinus i cosinus i obliczenia cosinus kwadrat i sinus kwadrat.

Sinus i cosinus bada się w trygonometrii (badanie trójkątów prostokątnych).

Dlatego najpierw przypomnijmy sobie podstawowe pojęcia prawy trójkąt:

Przeciwprostokątna- strona, która zawsze leży naprzeciwko prosty kąt(kąt 90 stopni). Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego.

Nazywamy pozostałe dwa boki trójkąta prostokątnego nogi.

Należy również pamiętać, że trzy kąty w trójkącie zawsze dają 180°.

Przejdźmy teraz do cosinus i sinus kąta alfa (∠α)(można to nazwać dowolnym kątem pośrednim w trójkącie lub użyć jako oznaczenia x - „x”, co nie zmienia istoty).

Sinus kąta alfa (sin ∠α)– to jest postawa naprzeciwko noga (strona przeciwna do odpowiedniego kąta) do przeciwprostokątnej. Jeśli spojrzysz na rysunek, to grzech ∠ABC = AC / BC

Cosinus kąta alfa (cos ∠α)- postawa przylegający do kąta nogi do przeciwprostokątnej. Patrząc ponownie na powyższy rysunek, cos ∠ABC = AB / BC

I tak dla przypomnienia: cosinus i sinus nigdy nie będą większe od jedności, ponieważ każdy rzut jest krótszy od przeciwprostokątnej (a przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem każdego trójkąta, ponieważ najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta w trójkącie) .

Cosinus do kwadratu, sinus do kwadratu

Przejdźmy teraz do podstawowych wzorów trygonometrycznych: obliczania cosinusa do kwadratu i sinusa do kwadratu.

Aby je obliczyć należy pamiętać o podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

grzech 2 α + cos 2 α = 1(sinus kwadrat plus cosinus kwadrat jednego kąta zawsze równa się jeden).

Z tożsamości trygonometrycznej wyciągamy wnioski dotyczące sinusa:

grzech 2 α = 1 - cos 2 α

sinus kwadrat alfa jest równy jeden minus cosinus podwójnego kąta alfa i podziel to wszystko przez dwa.

grzech 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Z tożsamości trygonometrycznej wyciągamy wnioski dotyczące cosinusa:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

lub bardziej złożona wersja formuły: cosinus kwadrat alfa jest równe jeden plus cosinus podwójnego kąta alfa i także dzieli wszystko przez dwa.

cos 2 α = (1 + cos (2 α)) / 2

Te dwa bardziej złożone wzory na sinus kwadrat i cosinus kwadrat są również nazywane „redukowaniem potęgi kwadratowych funkcji trygonometrycznych”. Te. był drugi stopień, obniżyli go do pierwszego i obliczenia stały się wygodniejsze.

W V wieku p.n.e. starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:

Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś; w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.

Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.

Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie z stała prędkość. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale tak nie jest kompletne rozwiązanie problemy. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:

Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.

W tej aporii logiczny paradoks można to pokonać w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu różne momenty czasu, ale nie można na ich podstawie określić odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebne są dwa zdjęcia różne punkty przestrzeń w jednym momencie, ale nie można na ich podstawie ustalić faktu ruchu (oczywiście do obliczeń nadal potrzebne są dodatkowe dane, trygonometria pomoże). Na co chcę zwrócić uwagę szczególną uwagę, jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ zapewniają różne możliwości badawcze.

środa, 4 lipca 2018 r

Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.

Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Odpowiedni teoria matematyczna zestawy dla samych matematyków.

Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas zapewniać, że banknoty o tym samym nominale mają różne liczby rachunki, co oznacza, że ​​nie można ich uznać za elementy identyczne. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształów i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...

A teraz mam ich najwięcej ciekawe pytanie: gdzie jest linia, poza którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.

Spójrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że ​​mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Które jest prawidłowe? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.

Niedziela, 18 marca 2018 r

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.

Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.

Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co zrobiliśmy? Przekształciliśmy liczbę w graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.

2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia” prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.

Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Więc w różne systemy W rachunku różniczkowym suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z duża liczba 12345 Nie chcę oszukiwać głowy, spójrzmy na liczbę 26 z artykułu o . Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem; już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.

Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli prowadzą do tych samych działań z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości różne wyniki po ich porównaniu wynika, że ​​nie ma to nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.

Znak na drzwiach Otwiera drzwi i mówi:

Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieto! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.

Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle znajdujesz w swoim samochodzie dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, żeby ta dziewczyna była głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.

Trygonometria to dziedzina nauk matematycznych zajmująca się badaniem funkcji trygonometrycznych i ich zastosowaniem w geometrii. Rozwój trygonometrii rozpoczął się już w dawnych czasach starożytna Grecja. W średniowieczu istotny wkład w rozwój tej nauki wnieśli naukowcy z Bliskiego Wschodu i Indii.

Ten artykuł jest poświęcony podstawowe pojęcia i definicje trygonometrii. Omówiono definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Ich znaczenie zostało wyjaśnione i zilustrowane w kontekście geometrii.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Początkowo definicje funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest kąt, wyrażano w kategoriach stosunku boków trójkąta prostokątnego.

Definicje funkcji trygonometrycznych

Sinus kąta (sin α) to stosunek ramienia leżącego naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta (cos α) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta (t g α) - stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta (c t g α) - stosunek sąsiedniej strony do strony przeciwnej.

Te definicje podano dla kąta ostrego trójkąta prostokątnego!

Podajmy ilustrację.

W trójkącie ABC z kątem prostym C sinus kąta A jest równy stosunkowi ramienia BC i przeciwprostokątnej AB.

Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens pozwalają obliczyć wartości tych funkcji ze znanych długości boków trójkąta.

Ważne do zapamiętania!

Zakres wartości sinusa i cosinusa wynosi od -1 do 1. Innymi słowy, sinus i cosinus przyjmują wartości od -1 do 1. Zakres wartości tangensa i cotangensu to cała oś liczbowa, oznacza to, że funkcje te mogą przyjmować dowolne wartości.

Podane powyżej definicje dotyczą kątów ostrych. W trygonometrii wprowadza się pojęcie kąta obrotu, którego wartość w przeciwieństwie do kąta ostrego nie jest ograniczona do 0 do 90 stopni. Kąt obrotu w stopniach lub radianach wyraża się dowolną liczbą rzeczywistą od - ∞ do + ∞ .

W w tym kontekście Można zdefiniować sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wielkości. Wyobraźmy sobie okrąg jednostkowy ze środkiem w początku kartezjańskiego układu współrzędnych.

Punkt początkowy A o współrzędnych (1, 0) obraca się wokół środka okręgu jednostkowego o pewien kąt α i dociera do punktu A 1. Definicja podana jest w formie współrzędnych punktu A 1 (x, y).

Sinus (sin) kąta obrotu

Sinus kąta obrotu α jest rzędną punktu A 1 (x, y). grzech α = y

Cosinus (cos) kąta obrotu

Cosinus kąta obrotu α jest odciętą punktu A 1 (x, y). sałata α = x

Tangens (tg) kąta obrotu

Tangens kąta obrotu α jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 (x, y) do jego odciętej. t sol α = y x

Cotangens (ctg) kąta obrotu

Cotangens kąta obrotu α jest stosunkiem odciętej punktu A 1 (x, y) do jego rzędnej. do t sol α = x y

Sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnego kąta obrotu. Jest to logiczne, ponieważ odciętą i rzędną punktu po obrocie można wyznaczyć pod dowolnym kątem. Inaczej jest w przypadku stycznej i cotangensu. Styczna jest niezdefiniowana, gdy punkt po obrocie przechodzi do punktu z zerową odciętą (0, 1) i (0, - 1). W takich przypadkach wyrażenie na tangens t g α = y x po prostu nie ma sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Podobnie jest z kotangensem. Różnica polega na tym, że cotangens nie jest zdefiniowany w przypadkach, gdy rzędna punktu dąży do zera.

Ważne do zapamiętania!

Sinus i cosinus definiuje się dla dowolnych kątów α.

Styczna jest zdefiniowana dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Decydując praktyczne przykłady nie mów „sinus kąta obrotu α”. Po prostu pominięto słowa „kąt obrotu”, co sugeruje, że z kontekstu wiadomo już, o czym mowa o czym mówimy.

Takty muzyczne

A co z określeniem sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu liczby, a nie kąta obrotu?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens liczby

Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby T to liczba równa odpowiednio sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi T radian.

Na przykład sinus liczby 10 π jest równy sinusowi kąta obrotu 10 π rad.

Istnieje inne podejście do wyznaczania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu liczby. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Dowolna liczba rzeczywista T punkt na okręgu jednostkowym jest powiązany ze środkiem w początku prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych. Sinus, cosinus, tangens i cotangens wyznacza się poprzez współrzędne tego punktu.

Punktem początkowym na okręgu jest punkt A o współrzędnych (1, 0).

Liczba dodatnia T

Liczba ujemna T odpowiada punktowi, do którego dojdzie punkt początkowy, jeśli porusza się po okręgu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i pójdzie swoją drogą T.

Teraz, gdy ustalono już związek między liczbą a punktem na okręgu, przechodzimy do definicji sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa.

Sinus (grzech) t

Sinus liczby T- rzędna punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie T. grzech t = y

Cosinus (cos) t

Cosinus liczby T- odcięta punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie T. ponieważ t = x

Tangens (tg) t

Tangens liczby T- stosunek rzędnej do odciętej punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającej liczbie T. t sol t = y x = grzech t koszt t

Najnowsze definicje są zgodne i nie są sprzeczne z definicją podaną na początku tego akapitu. Wskaż okrąg odpowiadający liczbie T, pokrywa się z punktem, do którego dochodzi punkt początkowy po skręcie o kąt T radian.

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i numerycznego

Każdej wartości kąta α odpowiada pewna wartość sinusa i cosinusa tego kąta. Podobnie jak wszystkie kąty α inne niż α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odpowiadają pewnej wartości tangensa. Cotangens, jak podano powyżej, jest zdefiniowany dla wszystkich α z wyjątkiem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Można powiedzieć, że sin α, cos α, t g α, c t g α są funkcjami kąta alfa, czyli funkcjami argumentu kątowego.

Podobnie możemy mówić o sinusie, cosinusie, tangensie i cotangensie jako funkcjach argumentu liczbowego. Każda liczba rzeczywista T odpowiada określonej wartości sinusa lub cosinusa liczby T. Wszystkie liczby inne niż π 2 + π · k, k ∈ Z odpowiadają wartości stycznej. Podobnie cotangens jest definiowany dla wszystkich liczb z wyjątkiem π · k, k ∈ Z.

Podstawowe funkcje trygonometrii

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe funkcje trygonometryczne.

Z kontekstu zazwyczaj jasno wynika, z jakim argumentem funkcji trygonometrycznej (argumentem kątowym czy argumentem liczbowym) mamy do czynienia.

Wróćmy do definicji podanych na samym początku i kąta alfa, który mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni. Trygonometryczne definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens są całkowicie zgodne z definicjami geometrycznymi wynikającymi ze współczynników kształtu trójkąta prostokątnego. Pokażmy to.

Weźmy okrąg jednostkowy ze środkiem w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Obróćmy punkt początkowy A (1, 0) o kąt do 90 stopni i narysujmy prostopadłą do osi odciętych z powstałego punktu A 1 (x, y). W powstałym trójkącie prostokątnym kąt A 1 O H jest równy kątowi obrotu α, długość nogi O H jest równa odciętej punktu A 1 (x, y). Długość nogi przeciwnej do kąta jest równa rzędnej punktu A 1 (x, y), a długość przeciwprostokątnej jest równa jeden, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego.

Zgodnie z definicją z geometrii sinus kąta α jest równy stosunkowi strony przeciwnej do przeciwprostokątnej.

grzech α = ZA 1 H. O ZA 1 = y 1 = y

Oznacza to, że wyznaczenie sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym poprzez współczynnik kształtu jest równoznaczne z wyznaczeniem sinusa kąta obrotu α, przy czym alfa mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni.

Podobnie zgodność definicji można wykazać dla cosinusa, stycznej i cotangensu.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Ujednolicony egzamin państwowy dla 4 osób? Nie pękniesz ze szczęścia?

Pytanie, jak mówią, ciekawe... Można, można zdać na 4! A jednocześnie nie pękać... Podstawowym warunkiem jest regularna aktywność fizyczna. Oto podstawowe przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Ze wszystkimi sekretami i tajemnicami egzaminu Unified State Exam, o których nie przeczytasz w podręcznikach... Przestudiuj tę sekcję, rozwiązuj więcej zadań z różnych źródeł - i wszystko się ułoży! Zakłada się, że podstawowa sekcja „AC wystarczy Ci!” nie sprawi Ci żadnych trudności. Ale jeśli nagle... Skorzystaj z linków, nie bądź leniwy!

A zaczniemy od wielkiego i strasznego tematu.

Trygonometria

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Temat ten sprawia uczniom wiele problemów. Uważany jest za jeden z najcięższych. Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens? Co to jest okrąg liczbowy? Gdy tylko zadasz te nieszkodliwe pytania, osoba blednie i próbuje odwrócić uwagę od rozmowy... Ale na próżno. Ten proste pojęcia. A ten temat nie jest trudniejszy niż inne. Musisz tylko od samego początku jasno zrozumieć odpowiedzi na te pytania. To jest bardzo ważne. Jeśli rozumiesz, spodoba ci się trygonometria. Więc,

Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens?

Zacznijmy od czasów starożytnych. Nie martw się, przejdziemy przez wszystkie 20 wieków trygonometrii w około 15 minut i niezauważalnie powtórzymy fragment geometrii z ósmej klasy.

Narysujmy trójkąt prostokątny z bokami a, b, c i kąt X. Oto jest.

Przypomnę, że boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. a i c– nogi. Jest ich dwóch. Pozostała strona nazywana jest przeciwprostokątną. Z– przeciwprostokątna.

Trójkąt i trójkąt, tylko pomyśl! Co z tym zrobić? Ale starożytni ludzie wiedzieli, co robić! Powtórzmy ich działania. Zmierzmy bok V. Na rysunku komórki są specjalnie narysowane, jak na Zadania z egzaminu jednolitego stanu To się zdarza. Strona V równa czterem komórkom. OK. Zmierzmy bok A. Trzy komórki.

Teraz podzielmy długość boku A na długość boku V. Lub, jak to mówią, przyjmijmy postawę A Do V. a/w= 3/4.

Wręcz przeciwnie, można dzielić V NA A. Dostajemy 4/3. Móc V podzielić przez Z. Przeciwprostokątna Z Nie da się policzyć według komórek, ale jest to równe 5. Dostajemy wysoka jakość= 4/5. Krótko mówiąc, możesz podzielić długości boków przez siebie i uzyskać pewne liczby.

No to co? Jaki w tym sens interesująca aktywność? Jeszcze żaden. Bezsensowne ćwiczenie, mówiąc wprost.)

Teraz zróbmy to. Powiększmy trójkąt. Przedłużamy boki w i z, ale tak, aby trójkąt pozostał prostokątny. Narożnik X oczywiście się nie zmienia. Aby to zobaczyć, najedź myszką na zdjęcie lub dotknij go (jeśli masz tablet). Strony a, b i c zamieni się w m, n, k, i oczywiście długości boków ulegną zmianie.

Ale ich związek taki nie jest!

Postawa a/w był: a/w= 3/4, stało się m/n= 6/8 = 3/4. Powiązania innych istotnych stron również są nie zmieni się . Możesz dowolnie zmieniać długości boków w trójkącie prostokątnym, zwiększać, zmniejszać, bez zmiany kąta x – relacje między zainteresowanymi stronami nie ulegną zmianie . Możesz to sprawdzić lub zaufać starożytnym ludziom na słowo.

Ale to już jest bardzo ważne! Stosunki boków w trójkącie prostokątnym nie zależą w żaden sposób od długości boków (pod tym samym kątem). Jest to o tyle ważne, że relacja między stronami zyskała swoją szczególną nazwę. Wasze imiona, że ​​tak powiem.) Spotkajcie się.

Jaki jest sinus kąta x ? Jest to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:

sinx = a/c

Jaki jest cosinus kąta x ? Jest to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Zosx= wysoka jakość

Co to jest tangens x ? Jest to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej:

tgx =a/w

Jaki jest cotangens kąta x ? Jest to stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego:

ctgx = v/a

To bardzo proste. Sinus, cosinus, tangens i cotangens to tylko niektóre liczby. Bezwymiarowy. Tylko liczby. Każdy kąt ma swój własny.

Dlaczego tak nudno wszystko powtarzam? Więc co to jest? muszę pamiętać. Ważne jest, aby pamiętać. Zapamiętywanie może być łatwiejsze. Czy zwrot „Zacznijmy od daleka…” jest znajomy? Zacznij więc z daleka.

Zatoka kąt jest stosunkiem odległy od kąta nogi do przeciwprostokątnej. Cosinus– stosunek sąsiada do przeciwprostokątnej.

Tangens kąt jest stosunkiem odległy od kąta nogi do bliższego. Cotangens- odwrotnie.

To łatwiejsze, prawda?

Cóż, jeśli pamiętasz, że w stycznej i cotangensie są tylko nogi, a w sinusie i cosinusie pojawia się przeciwprostokątna, wszystko stanie się całkiem proste.

Nazywana jest także cała ta chwalebna rodzina - sinus, cosinus, tangens i cotangens funkcje trygonometryczne.

Teraz pytanie do rozważenia.

Dlaczego mówimy sinus, cosinus, tangens i cotangens? narożnik? Mówimy o relacji między stronami, jak... Co to ma z tym wspólnego? narożnik?

Spójrzmy na drugie zdjęcie. Dokładnie taki sam jak pierwszy.

Najedź myszką na zdjęcie. Zmieniłem kąt X. Zwiększono to z x do x. Wszystkie relacje się zmieniły! Postawa a/w wynosił 3/4 i odpowiedni stosunek telewizja stało się 6/4.

I wszystkie inne relacje stały się inne!

Dlatego stosunki boków nie zależą w żaden sposób od ich długości (pod jednym kątem x), ale silnie zależą od tego właśnie kąta! I tylko od niego. Dlatego terminy sinus, cosinus, tangens i cotangens odnoszą się do narożnik. Kąt tutaj jest główny.

Należy jasno zrozumieć, że kąt jest nierozerwalnie związany z jego funkcjami trygonometrycznymi. Każdy kąt ma swój własny sinus i cosinus. I prawie każdy ma swoją własną styczną i cotangens. To jest ważne. Uważa się, że jeśli dany jest nam kąt, to jego sinus, cosinus, tangens i cotangens wiemy ! I odwrotnie. Biorąc pod uwagę sinus lub jakąkolwiek inną funkcję trygonometryczną, oznacza to, że znamy kąt.

Istnieją specjalne tabele, w których dla każdego kąta opisano jego funkcje trygonometryczne. Nazywa się je tabelami Bradisa. Zostały opracowane bardzo dawno temu. Kiedy nie było jeszcze kalkulatorów i komputerów...

Oczywiście nie da się zapamiętać funkcji trygonometrycznych wszystkich kątów. Wymagane jest ich poznanie tylko pod kilkoma kątami, więcej o tym później. Ale zaklęcie Znam kąt, czyli znam jego funkcje trygonometryczne” – zawsze działa!

Powtórzyliśmy więc fragment geometrii z ósmej klasy. Czy potrzebujemy go do egzaminu Unified State Exam? Niezbędny. Oto typowy problem z egzaminu Unified State Exam. Aby rozwiązać ten problem, wystarczy 8 klasa. Dane zdjęcie:

Wszystko. Nie ma więcej danych. Musimy znaleźć długość boku samolotu.

Komórki niewiele pomagają, trójkąt jest jakoś źle ustawiony... Chyba celowo... Z informacji wynika, że ​​jest to długość przeciwprostokątnej. 8 komórek. Z jakiegoś powodu podano kąt.

W tym miejscu należy od razu pamiętać o trygonometrii. Kąt istnieje, co oznacza, że ​​znamy wszystkie jego funkcje trygonometryczne. Której z czterech funkcji powinniśmy użyć? Zobaczmy, co wiemy? Znamy przeciwprostokątną i kąt, ale musimy znaleźć przylegający cewnik do tego rogu! To jasne, cosinus należy zastosować! Zaczynamy. Po prostu piszemy, zgodnie z definicją cosinusa (stosunek przylegający noga do przeciwprostokątnej):

cosC = BC/8

Nasz kąt C wynosi 60 stopni, a jego cosinus wynosi 1/2. Musisz to wiedzieć, bez żadnych tabel! Więc:

1/2 = BC/8

Podstawowy równanie liniowe. Nieznany – Słoneczny. Ci, którzy zapomnieli, jak rozwiązywać równania, spójrz na link, reszta rozwiąże:

BC = 4

Kiedy starożytni ludzie zdali sobie sprawę, że każdy kąt ma swój własny zestaw funkcji trygonometrycznych, zadali rozsądne pytanie. Czy sinus, cosinus, tangens i cotangens są ze sobą w jakiś sposób powiązane? Czyli znając jedną funkcję kąta, można znaleźć pozostałe? Bez obliczania samego kąta?

Byli tacy niespokojni...)

Zależność funkcji trygonometrycznych jednego kąta.

Oczywiście sinus, cosinus, tangens i cotangens tego samego kąta są ze sobą powiązane. Wszelkie powiązania między wyrażeniami podaje się w matematyce za pomocą wzorów. W trygonometrii istnieje kolosalna liczba formuł. Ale tutaj przyjrzymy się najbardziej podstawowym. Formuły te nazywane są: podstawowe tożsamości trygonometryczne. Oto one:

Musisz dokładnie poznać te formuły. Bez nich w trygonometrii generalnie nie ma nic do roboty. Z tych podstawowych tożsamości wynikają trzy kolejne tożsamości pomocnicze:

Od razu ostrzegam, że trzy ostatnie formuły szybko wypadają z pamięci. Z jakiegoś powodu.) Możesz oczywiście wyprowadzić te wzory z pierwszych trzech. Wepchnąć się trudny moment... Rozumiesz.)

W przypadku standardowych problemów, takich jak te poniżej, istnieje sposób na uniknięcie tych zapominalnych formuł. I radykalnie zmniejszyć liczbę błędów z powodu zapomnienia, a także w obliczeniach. Praktykę tę opisano w rozdziale 555, lekcja „Relacje między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta”.

W jakich zadaniach i w jaki sposób wykorzystywane są podstawowe tożsamości trygonometryczne? Najpopularniejszym zadaniem jest znalezienie jakiejś funkcji kąta, jeśli podana jest inna. W Unified State Examination takie zadanie pojawia się z roku na rok.) Na przykład:

Znajdź wartość sinx, jeśli x jest kątem ostrym i cosx=0,8.

Zadanie jest niemal elementarne. Szukamy wzoru zawierającego sinus i cosinus. Oto formuła:

grzech 2 x + sałata 2 x = 1

Podstawiamy tutaj znaną wartość, a mianowicie 0,8 zamiast cosinusa:

grzech 2 x + 0,8 2 = 1

Cóż, liczymy jak zwykle:

grzech 2 x + 0,64 = 1

grzech 2 x = 1 - 0,64

To praktycznie wszystko. Obliczyliśmy kwadrat sinusa, pozostaje tylko wyciągnąć pierwiastek kwadratowy i odpowiedź jest gotowa! Pierwiastek z 0,36 wynosi 0,6.

Zadanie jest niemal elementarne. Ale słowo „prawie” pojawiło się nie bez powodu... Faktem jest, że odpowiedź sinx= - 0,6 również jest odpowiednia... (-0,6) 2 również będzie wynosić 0,36.

Istnieją dwie różne odpowiedzi. I potrzebujesz jednego. To drugie jest błędne. Jak być!? Tak, jak zwykle.) Przeczytaj uważnie zadanie. Z jakiegoś powodu mówi:... jeśli x jest kątem ostrym... A w zadaniach każde słowo ma znaczenie, tak... To zdanie jest dodatkową informacją do rozwiązania.

Kąt ostry to kąt mniejszy niż 90°. I na takich zakrętach Wszystko funkcje trygonometryczne — sinus, cosinus i tangens z cotangensem — pozytywny. Te. Po prostu odrzucamy tutaj odpowiedź negatywną. Mamy prawo.

Właściwie ósmoklasiści nie potrzebują takich subtelności. Działają tylko z trójkątami prostokątnymi, gdzie rogi mogą być tylko ostre. I nie wiedzą, szczęśliwi, że istnieją zarówno kąty ujemne, jak i kąty 1000°... A wszystkie te straszne kąty mają swoje własne funkcje trygonometryczne, zarówno plus, jak i minus...

Ale dla uczniów szkół średnich, bez uwzględnienia znaku - nie ma mowy. Duża wiedza mnoży smutki, tak...) A dla prawidłowego rozwiązania w zadaniu koniecznie muszą znajdować się dodatkowe informacje (jeśli jest to konieczne). Można go podać na przykład za pomocą następującego wpisu:

Albo w inny sposób. Zobaczysz w poniższych przykładach.) Aby rozwiązać takie przykłady, musisz wiedzieć W jaką ćwiartkę wpada dany kąt x i jaki znak ma w tej ćwiartce pożądana funkcja trygonometryczna?

Te podstawy trygonometrii omawiane są na lekcjach na temat tego, czym jest okrąg trygonometryczny, pomiar kątów na tym okręgu, radialna miara kąta. Czasami trzeba znać tabelę sinusów, cosinusów stycznych i cotangensów.

Zwróćmy więc uwagę na najważniejsze:

Praktyczne porady:

1. Zapamiętaj definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. To będzie bardzo przydatne.

2. Rozumiemy jasno: sinus, cosinus, tangens i cotangens są ściśle powiązane z kątami. Wiemy jedno, co oznacza, że ​​wiemy co innego.

3. Rozumiemy jasno: sinus, cosinus, tangens i cotangens jednego kąta są ze sobą powiązane podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi. Znamy jedną funkcję, co oznacza, że ​​możemy (jeśli mamy niezbędne dodatkowe informacje) obliczyć wszystkie pozostałe.

A teraz, jak zwykle, podejmijmy decyzję. Najpierw zadania z zakresu klasy 8. Ale uczniowie szkół średnich też mogą to zrobić...)

1. Oblicz wartość tgA jeśli ctgA = 0,4.

2. β jest kątem w trójkącie prostokątnym. Znajdź wartość tanβ, jeśli sinβ = 12/13.

3. Wyznacz sinus kąta ostrego x, jeśli tgх = 4/3.

4. Znajdź znaczenie wyrażenia:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Znajdź znaczenie wyrażenia:

(1-cosx)(1+cosx), jeśli sinx = 0,3

Odpowiedzi (oddzielone średnikami, w nieładzie):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Czy to zadziałało? Świetnie! Ósmoklasiści mogą już zdobyć piątki.)

Czy nie wszystko się udało? Zadania 2 i 3 jakoś nie są zbyt dobre...? Bez problemu! Jest jedna piękna technika takich zadań. Wszystko da się rozwiązać praktycznie bez żadnych formuł! A zatem bez błędów. Technikę tę opisano w lekcji: „Związki między funkcjami trygonometrycznymi jednego kąta” w rozdziale 555. Tam też załatwiane są wszystkie inne zadania.

Były to problemy w rodzaju Unified State Exam, ale w okrojonej wersji. Egzamin Państwowy Jednolity – lekki). A teraz prawie te same zadania, ale w pełnoprawnym formacie. Dla obciążonych wiedzą uczniów szkół średnich.)

6. Znajdź wartość tanβ, jeśli sinβ = 12/13, oraz

7. Wyznacz sinх, jeśli tgх = 4/3, a x należy do przedziału (- 540°; - 450°).

8. Znajdź wartość wyrażenia sinβ cosβ, jeśli ctgβ = 1.

Odpowiedzi (w nieładzie):

0,8; 0,5; -2,4.

Tutaj, w zadaniu 6, kąt nie jest określony bardzo wyraźnie... Ale w zadaniu 8 nie jest on w ogóle określony! To jest celowe). Dodatkowe informacje nie tylko wzięte z zadania, ale także z głowy.) Ale jeśli zdecydujesz, jedno poprawne zadanie gwarantowane!

A co jeśli jeszcze się nie zdecydowałeś? Hmm... Cóż, sekcja 555 będzie tutaj pomocna. Tam szczegółowo opisano rozwiązania wszystkich tych zadań, trudno tego nie zrozumieć.

Ta lekcja zapewnia bardzo ograniczone zrozumienie funkcji trygonometrycznych. W 8 klasie. A starsi wciąż mają pytania...

Na przykład, jeśli kąt X(patrz drugie zdjęcie na tej stronie) - czyń to głupim!? Trójkąt całkowicie się rozpadnie! Co więc powinniśmy zrobić? Nie będzie nogi, nie będzie przeciwprostokątnej... Sinus zniknął...

Gdyby starożytni ludzie nie znaleźli wyjścia z tej sytuacji, nie mielibyśmy teraz telefonów komórkowych, telewizji ani elektryczności. Tak, tak! Podstawa teoretyczna wszystkie te rzeczy bez funkcji trygonometrycznych wynoszą zero bez kija. Ale starożytni ludzie nie zawiedli. Jak się wydostali, opowiem w następnej lekcji.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Informacje referencyjne na temat funkcji trygonometrycznych sinus (sin x) i cosinus (cos x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tabela sinusów i cosinusów, pochodnych, całek, rozwinięć szeregów, siecznych, cosekansów. Wyrażenia poprzez zmienne zespolone. Związek z funkcjami hiperbolicznymi.

Geometryczna definicja sinusa i cosinusa

|BD|- długość łuku okręgu o środku w punkcie A.
α - kąt wyrażony w radianach.

Definicja
Sinus (sin α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwnej nogi |BC| do długości przeciwprostokątnej |AC|.

Cosinus (cos α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwprostokątnej |AC|.

Zaakceptowane oznaczenia

;
;
.

;
;
.

Wykres funkcji sinus, y = sin x

Wykres funkcji cosinus, y = cos x

Własności sinusa i cosinusa

Okresowość

Funkcje y = grzech x i y = bo x okresowe z okresem 2π.

Parytet

Funkcja sinus jest nieparzysta. Funkcja cosinus jest parzysta.

Dziedzina definicji i wartości, ekstrema, wzrost, spadek

Funkcje sinus i cosinus są ciągłe w swojej dziedzinie definicji, to znaczy dla każdego x (patrz dowód ciągłości). Ich główne właściwości przedstawiono w tabeli (n - liczba całkowita).

	y = grzech x	y = bo x
Zakres i ciągłość	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Zakres wartości	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Wzrastający
Malejąco
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Zera, y = 0
Punkty przecięcia z osią współrzędnych, x = 0	y = 0	y = 1

Podstawowe formuły

Suma kwadratów sinusa i cosinusa

Wzory na sinus i cosinus z sumy i różnicy

;
;

Wzory na iloczyn sinusów i cosinusów

Wzory na sumę i różnicę

Wyrażanie sinusa przez cosinus

;
;
;
.

Wyrażanie cosinusa poprzez sinus

;
;
;
.

Wyrażenie poprzez tangens

; .

Kiedy , mamy:
; .

Na :
; .

Tabela sinusów i cosinusów, stycznych i kotangentów

Ta tabela pokazuje wartości sinusów i cosinusów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia poprzez zmienne zespolone

;

Wzór Eulera

{ -∞ < x < +∞ }

Sieczna, cosekansowa

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do sinusa i cosinusa odpowiadają odpowiednio arcsinus i arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arcosinus, arccos

Wykorzystana literatura:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.