Potęga jednomianu

W przypadku jednomianu istnieje pojęcie jego stopnia. Zastanówmy się, co to jest.

Definicja.

Potęga jednomianu postać standardowa to suma wykładników wszystkich zmiennych zawartych w jej zapisie; jeżeli w zapisie jednomianu nie ma zmiennych i jest on różny od zera, wówczas uwzględnia się jego stopień równy zeru; liczbę zero uważa się za jednomian, którego stopień jest nieokreślony.

Określenie stopnia jednomianu pozwala podać przykłady. Stopień jednomianu a jest równy jeden, ponieważ a wynosi 1. Potęga jednomianu 5 wynosi zero, ponieważ jest niezerowa i jego zapis nie zawiera zmiennych. A iloczyn 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 jest jednomianem ósmego stopnia, gdyż suma wykładników wszystkich zmiennych a, x i y wynosi 2+1+3+2=8.

Nawiasem mówiąc, stopień jednomianu niezapisanego w formie standardowej jest równy stopniowi odpowiedniego jednomianu w formie standardowej. Aby to zilustrować, obliczmy stopień jednomianu 3 x 2 lata 3 x (-2) x 5 lat. Ten jednomian w postaci standardowej ma postać −6·x 8 ·y 4, jego stopień wynosi 8+4=12. Zatem stopień pierwotnego jednomianu wynosi 12.

Współczynnik jednomianowy

Jednomian w postaci standardowej, który ma w swoim zapisie co najmniej jedną zmienną, jest iloczynem z jednym współczynnikiem liczbowym - współczynnikiem liczbowym. Współczynnik ten nazywany jest współczynnikiem jednomianowym. Sformułujmy powyższe argumenty w formie definicji.

Definicja.

Współczynnik jednomianowy jest współczynnikiem liczbowym jednomianu zapisanego w standardowej formie.

Teraz możemy podać przykłady współczynników różnych jednomianów. Liczba 5 jest z definicji współczynnikiem jednomianu 5·a 3, podobnie jednomian (−2,3)·x·y·z ma współczynnik −2,3.

Na szczególną uwagę zasługują współczynniki jednomianów równe 1 i -1. Rzecz w tym, że zwykle nie są one wyraźnie obecne w nagraniu. Uważa się, że współczynnik standardowych jednomianów, które nie mają w swoim zapisie czynnika liczbowego, jest równy jeden. Na przykład jednomiany a, x·z 3, a·t·x, itd. mają współczynnik 1, ponieważ a można uznać za 1·a, x·z 3 - jako 1·x·z 3, itd.

Podobnie współczynnik jednomianów, których wpisy w standardowej formie nie mają współczynnika liczbowego i zaczynają się od znaku minus, uważa się za minus jeden. Na przykład jednomiany −x, −x 3 y z 3 itd. mają współczynnik −1, ponieważ −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 itp.

Nawiasem mówiąc, pojęcie współczynnika jednomianu jest często określane jako jednomiany w postaci standardowej, które są liczbami bez współczynników literowych. Za te liczby uważa się współczynniki takich jednomianów-liczb. Na przykład współczynnik jednomianu 7 uważa się za równy 7.

Referencje.

• Algebra: podręcznik dla 7 klasy wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Lekcja na temat: „Standardowa forma jednomianu. Definicja. Przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Podręcznik elektroniczny „Zrozumiała Geometria” dla klas 7-9
Podręcznik multimedialny „Geometria w 10 minut” dla klas 7-9

Jednomian. Definicja

Jednomian jest wyrażeniem matematycznym będącym iloczynem czynnika pierwszego i jednej lub większej liczby zmiennych.

Jednomiany obejmują wszystkie liczby, zmienne i ich potęgi naturalny wskaźnik:
42; 

3; 
0; 

6 2 ; 

2 3 ; 

b3; 
topór 4; 
2. Wybierz wszystkie potęgi o tej samej podstawie i pomnóż je.
3. Powtórz punkt 2 dla wszystkich zmiennych.

Przykłady.
I. Sprowadź podany jednomian $3x^2zy^3*5y^2z^4$ do postaci standardowej.

Rozwiązanie.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Teraz przedstawiamy podobne terminy $15x^2y^5z^5$.

II. Sprowadź podany jednomian $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ do postaci standardowej.

Rozwiązanie.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Teraz przedstawimy podobne terminy $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

W tej lekcji podamy ścisłą definicję jednomianu, rozważmy różne przykłady z podręcznika. Przypomnijmy sobie zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie. Zdefiniujmy standardową formę jednomianu, współczynnik jednomianu i jego część literową. Rozważmy dwie główne typowe operacje na jednomianach, a mianowicie redukcję do postaci standardowej i obliczenie określonej wartości liczbowej jednomianu dla danych wartości zawartych w nim zmiennych dosłownych. Sformułujmy regułę redukcji jednomianu do postaci standardowej. Nauczmy się rozwiązywać typowe zadania z dowolnymi jednomianami.

Temat:Jednomiany. Działania arytmetyczne na jednomianach

Lekcja:Pojęcie jednomianu. Widok standardowy jednomian

Rozważ kilka przykładów:

3. ;

Znajdziemy cechy wspólne dla podanych wyrażeń. We wszystkich trzech przypadkach wyrażenie jest iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do potęgi. Na tej podstawie dajemy definicja jednomianu : Jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się z iloczynu potęg i liczb.

Teraz podajemy przykłady wyrażeń, które nie są jednomianami:

Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi. Polega ona na tym, że w przykładach 4-7 występują operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia, natomiast w przykładach 1-3, które są jednomianami, tych operacji nie ma.

Oto kilka dodatkowych przykładów:

Wyrażenie numer 8 jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem potęgi i liczby, podczas gdy przykład 9 nie jest jednomianem.

Teraz dowiedzmy się działania na jednomianach .

1. Uproszczenie. Spójrzmy na przykład nr 3 ;i przykład nr 2 /

W drugim przykładzie widzimy tylko jeden współczynnik – każda zmienna występuje tylko raz, czyli zmienna „ A„” jest reprezentowane w jednym egzemplarzu, ponieważ „”, podobnie zmienne „” i „” pojawiają się tylko raz.

Przeciwnie, w przykładzie nr 3 występują dwa różne współczynniki - i , zmienną „” widzimy dwa razy - jako „” i jako „”, podobnie zmienna „” pojawia się dwukrotnie. Oznacza to, że wyrażenie to należy uprościć i w ten sposób dochodzimy do pierwszą czynnością wykonywaną na jednomianach jest redukcja jednomianu do postaci standardowej . W tym celu sprowadzimy wyrażenie z Przykładu 3 do postaci standardowej, następnie zdefiniujemy tę operację i nauczymy się jak sprowadzić dowolny jednomian do postaci standardowej.

Rozważmy więc przykład:

Pierwszą czynnością w operacji redukcji do postaci standardowej jest zawsze pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych:

;

Wynik tej akcji zostanie wywołany współczynnik jednomianu .

Następnie musisz pomnożyć potęgi. Pomnóżmy potęgi zmiennej „ X„zgodnie z zasadą mnożenia potęg o tej samej podstawie, która stanowi, że przy mnożeniu wykładniki dodawane są:

Teraz pomnóżmy potęgi ” Na»:

;

Oto uproszczone wyrażenie:

;

Każdy jednomian można sprowadzić do postaci standardowej. Sformułujmy zasada standaryzacji :

Pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;

Umieść wynikowy współczynnik na pierwszym miejscu;

Pomnóż wszystkie stopnie, to znaczy uzyskaj część literową;

Oznacza to, że każdy jednomian charakteryzuje się współczynnikiem i częścią literową. Patrząc w przyszłość, zauważamy, że jednomiany, które mają tę samą część literową, nazywane są podobnymi.

Teraz musimy poćwiczyć technika redukcji jednomianów do postaci standardowej . Rozważ przykłady z podręcznika:

Zadanie: doprowadź jednomian do postaci standardowej, podaj współczynnik i część literową.

Do wykonania zadania posłużymy się regułą sprowadzania jednomianu do postaci standardowej oraz własnościami potęg.

1. ;

3. ;

Komentarze do pierwszego przykładu: Najpierw ustalmy, czy to wyrażenie jest rzeczywiście jednomianem; w tym celu sprawdźmy, czy zawiera ono operacje mnożenia liczb i potęg oraz czy zawiera operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia. Można powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem, gdyż powyższy warunek jest spełniony. Następnie, zgodnie z zasadą redukcji jednomianu do postaci standardowej, mnożymy czynniki liczbowe:

- znaleźliśmy współczynnik danego jednomianu;

; ; ; oznacza to, że uzyskuje się dosłowną część wyrażenia:;

Zapiszmy odpowiedź: ;

Komentarze do drugiego przykładu: Kierując się zasadą, którą wykonujemy:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

2) pomnóż potęgi:

Zmienne prezentowane są w jednym egzemplarzu, to znaczy nie można ich przez nic pomnożyć, przepisuje się je bez zmian, stopień jest mnożony:

Zapiszmy odpowiedź:

;

W tym przykładzie współczynnik jednomianu jest równy jeden, a część literowa to .

Komentarze do trzeciego przykładu: a Podobnie jak w poprzednich przykładach wykonujemy następujące czynności:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

;

2) pomnóż potęgi:

;

Zapiszmy odpowiedź: ;

W w tym przypadku współczynnik jednomianu to „”, a część dosłowna .

Teraz rozważmy druga standardowa operacja na jednomianach . Ponieważ jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się ze zmiennych literalnych, które mogą przyjmować określone wartości liczbowe, mamy arytmetykę wyrażenie numeryczne, które należy obliczyć. Oznacza to, że następną operacją na wielomianach jest obliczenie ich konkretnej wartości liczbowej .

Spójrzmy na przykład. Podany jednomian:

ten jednomian został już zredukowany do postaci standardowej, jego współczynnik jest równy jeden, a część literowa

Wcześniej powiedzieliśmy, że wyrażenia algebraicznego nie zawsze można obliczyć, to znaczy zmienne w nim zawarte nie mogą przyjmować żadnej wartości. W przypadku jednomianu zawarte w nim zmienne mogą być dowolne; jest to cecha jednomianu.

Zatem w podanym przykładzie musisz obliczyć wartość jednomianu w , , , .

W tej lekcji podamy ścisłą definicję jednomianu i przyjrzymy się różnym przykładom z podręcznika. Przypomnijmy sobie zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie. Zdefiniujmy standardową formę jednomianu, współczynnik jednomianu i jego część literową. Rozważmy dwie główne typowe operacje na jednomianach, a mianowicie redukcję do postaci standardowej i obliczenie określonej wartości liczbowej jednomianu dla danych wartości zawartych w nim zmiennych dosłownych. Sformułujmy regułę redukcji jednomianu do postaci standardowej. Nauczmy się, jak rozwiązywać standardowe problemy z dowolnymi jednomianami.

Temat:Jednomiany. Działania arytmetyczne na jednomianach

Lekcja:Pojęcie jednomianu. Standardowa forma jednomianu

Rozważ kilka przykładów:

3. ;

Znajdźmy cechy wspólne dla danych wyrażeń. We wszystkich trzech przypadkach wyrażenie jest iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do potęgi. Na tej podstawie dajemy definicja jednomianu : Jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się z iloczynu potęg i liczb.

Teraz podajemy przykłady wyrażeń, które nie są jednomianami:

Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi. Polega ona na tym, że w przykładach 4-7 występują operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia, natomiast w przykładach 1-3, które są jednomianami, tych operacji nie ma.

Oto kilka dodatkowych przykładów:

Wyrażenie numer 8 jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem potęgi i liczby, podczas gdy przykład 9 nie jest jednomianem.

Teraz dowiedzmy się działania na jednomianach .

1. Uproszczenie. Spójrzmy na przykład nr 3 ;i przykład nr 2 /

W drugim przykładzie widzimy tylko jeden współczynnik – każda zmienna występuje tylko raz, czyli zmienna „ A„” jest reprezentowane w jednym egzemplarzu, ponieważ „”, podobnie zmienne „” i „” pojawiają się tylko raz.

Przeciwnie, w przykładzie nr 3 występują dwa różne współczynniki - i , zmienną „” widzimy dwa razy - jako „” i jako „”, podobnie zmienna „” pojawia się dwukrotnie. Oznacza to, że wyrażenie to należy uprościć i w ten sposób dochodzimy do pierwszą czynnością wykonywaną na jednomianach jest redukcja jednomianu do postaci standardowej . W tym celu sprowadzimy wyrażenie z Przykładu 3 do postaci standardowej, następnie zdefiniujemy tę operację i nauczymy się jak sprowadzić dowolny jednomian do postaci standardowej.

Rozważmy więc przykład:

Pierwszą czynnością w operacji redukcji do postaci standardowej jest zawsze pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych:

;

Wynik tej akcji zostanie wywołany współczynnik jednomianu .

Następnie musisz pomnożyć potęgi. Pomnóżmy potęgi zmiennej „ X„zgodnie z zasadą mnożenia potęg o tej samej podstawie, która stanowi, że przy mnożeniu wykładniki dodawane są:

Teraz pomnóżmy potęgi ” Na»:

;

Oto uproszczone wyrażenie:

;

Każdy jednomian można sprowadzić do postaci standardowej. Sformułujmy zasada standaryzacji :

Pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;

Umieść wynikowy współczynnik na pierwszym miejscu;

Pomnóż wszystkie stopnie, to znaczy uzyskaj część literową;

Oznacza to, że każdy jednomian charakteryzuje się współczynnikiem i częścią literową. Patrząc w przyszłość, zauważamy, że jednomiany, które mają tę samą część literową, nazywane są podobnymi.

Teraz musimy poćwiczyć technika redukcji jednomianów do postaci standardowej . Rozważ przykłady z podręcznika:

Zadanie: doprowadź jednomian do postaci standardowej, podaj współczynnik i część literową.

Do wykonania zadania posłużymy się regułą sprowadzania jednomianu do postaci standardowej oraz własnościami potęg.

1. ;

3. ;

Komentarze do pierwszego przykładu: Najpierw ustalmy, czy to wyrażenie jest rzeczywiście jednomianem; w tym celu sprawdźmy, czy zawiera ono operacje mnożenia liczb i potęg oraz czy zawiera operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia. Można powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem, gdyż powyższy warunek jest spełniony. Następnie, zgodnie z zasadą redukcji jednomianu do postaci standardowej, mnożymy czynniki liczbowe:

- znaleźliśmy współczynnik danego jednomianu;

; ; ; oznacza to, że uzyskuje się dosłowną część wyrażenia:;

Zapiszmy odpowiedź: ;

Komentarze do drugiego przykładu: Kierując się zasadą, którą wykonujemy:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

2) pomnóż potęgi:

Zmienne prezentowane są w jednym egzemplarzu, to znaczy nie można ich przez nic pomnożyć, przepisuje się je bez zmian, stopień jest mnożony:

Zapiszmy odpowiedź:

;

W tym przykładzie współczynnik jednomianu jest równy jeden, a część literowa to .

Komentarze do trzeciego przykładu: a Podobnie jak w poprzednich przykładach wykonujemy następujące czynności:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

;

2) pomnóż potęgi:

;

Zapiszmy odpowiedź: ;

W tym przypadku współczynnikiem jednomianu jest „”, a część literowa .

Teraz rozważmy druga standardowa operacja na jednomianach . Ponieważ jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się ze zmiennych literalnych, które mogą przyjmować określone wartości liczbowe, mamy do czynienia z arytmetycznym wyrażeniem liczbowym, które należy obliczyć. Oznacza to, że następną operacją na wielomianach jest obliczenie ich konkretnej wartości liczbowej .

Spójrzmy na przykład. Podany jednomian:

ten jednomian został już zredukowany do postaci standardowej, jego współczynnik jest równy jeden, a część literowa

Wcześniej powiedzieliśmy, że wyrażenia algebraicznego nie zawsze można obliczyć, to znaczy zmienne w nim zawarte nie mogą przyjmować żadnej wartości. W przypadku jednomianu zawarte w nim zmienne mogą być dowolne; jest to cecha jednomianu.

Zatem w podanym przykładzie musisz obliczyć wartość jednomianu w , , , .