Lekcja 1

Temat: 11 klasa (przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego)

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych. (2 godziny)

Cele:

• Systematyzowanie, uogólnianie i poszerzanie wiedzy i umiejętności uczniów w zakresie stosowania wzorów trygonometrycznych i rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych.

Sprzęt do lekcji:

Struktura lekcji:

1. Moment organizacyjny
2. Testowanie na laptopach. Dyskusja wyników.
3. Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
4. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych
5. Niezależna praca.
6. Podsumowanie lekcji. Wyjaśnienie zadania domowego.

1. Moment organizacyjny. (2 minuty)

Nauczyciel wita słuchaczy, ogłasza temat lekcji, przypomina, że ​​otrzymali wcześniej zadanie polegające na powtórzeniu wzorów trygonometrycznych i przygotowuje uczniów do sprawdzianu.

2. Testowanie. (15 min + 3 min dyskusja)

Celem jest sprawdzenie znajomości wzorów trygonometrycznych i umiejętności ich zastosowania. Każdy student ma na biurku laptopa z wersją testu.

Opcji może być wiele, podam przykład jednej z nich:

mam opcję.

Uprość wyrażenia:

a) podstawowe tożsamości trygonometryczne

1. grzech 2 3 lata + cos 2 3 lata + 1;

b) wzory na dodawanie

3. grzech5x - grzech3x;

c) zamiana iloczynu na sumę

6. 2sin8y cos3y;

d) wzory na kąt podwójny

7. 2sin5x cos5x;

e) wzory na półkąty

f) wzory na potrójny kąt

g) substytucja uniwersalna

h) obniżenie stopnia

16. cos 2 (3x/7);

Uczniowie widzą swoje odpowiedzi na laptopie obok każdej formuły.

Praca jest natychmiast sprawdzana przez komputer. Wyniki są wyświetlane na dużym ekranie i każdy może je zobaczyć.

Ponadto, po zakończeniu pracy, na laptopach uczniów wyświetlane są prawidłowe odpowiedzi. Każdy uczeń widzi, gdzie został popełniony błąd i jakie formuły musi powtórzyć.

3. Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych. (25 minut)

Celem jest powtórzenie, przećwiczenie i utrwalenie stosowania podstawowych wzorów trygonometrycznych. Rozwiązywanie zadań B7 z egzaminu Unified State Exam.

Na tym etapie wskazane jest podzielenie klasy na grupy uczniów mocnych (pracujących samodzielnie przy kolejnych testach) i uczniów słabych, współpracujących z nauczycielem.

Zadanie dla zdolnych uczniów (przygotowane wcześniej w formie drukowanej). Główny nacisk położony jest na wzory redukcji i podwójnego kąta, zgodnie z Unified State Exam 2011.

Uprość wyrażenia (dla silnych uczniów):

Jednocześnie nauczyciel pracuje ze słabszymi uczniami, omawiając i rozwiązując zadania na ekranie pod ich dyktando.

Obliczać:

5) grzech(270° - α) + cos (270° + α)

6)

Upraszczać:

Nadszedł czas na omówienie wyników pracy silnej grupy.

Odpowiedzi pojawiają się na ekranie, a także za pomocą kamery wideo wyświetlana jest praca 5 różnych uczniów (po jednym zadaniu dla każdego).

Grupa słaba widzi warunek i sposób rozwiązania. Trwają dyskusje i analizy. Przy zastosowaniu środków technicznych dzieje się to szybko.

4. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych. (30 minut)

Celem jest powtórzenie, usystematyzowanie i uogólnienie rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych oraz zapisanie ich pierwiastków. Rozwiązanie problemu B3.

Każde równanie trygonometryczne, niezależnie od tego, jak je rozwiążemy, prowadzi do najprostszego.

Podczas wykonywania zadania uczniowie powinni zwrócić uwagę na zapisanie pierwiastków równań przypadków specjalnych oraz widok ogólny oraz o wyborze pierwiastków w ostatnim równaniu.

Rozwiąż równania:

Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni jako odpowiedź.

5. Samodzielna praca (10 min.)

Celem jest sprawdzenie nabytych umiejętności, identyfikacja problemów, błędów i sposobów ich eliminacji.

Praca wielopoziomowa oferowana jest według wyboru studenta.

Opcja „3”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Uprość wyrażenie 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rozwiąż równanie

Opcja dla „4”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Rozwiąż równanie Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni w swojej odpowiedzi.

Opcja dla „5”

1) Znajdź tanα jeśli

2) Znajdź pierwiastek równania Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni jako odpowiedź.

6. Podsumowanie lekcji (5 min.)

Nauczyciel podsumowuje fakt, że podczas lekcji powtarzali i utrwalali wzory trygonometryczne oraz rozwiązywali najprostsze równania trygonometryczne.

Praca domowa jest zadawana (przygotowana wcześniej na podstawie wydruku) z wyrywkowym sprawdzeniem na następnej lekcji.

Rozwiąż równania:

9)

10) W swojej odpowiedzi wskaż najmniejszy pierwiastek dodatni.

Lekcja 2

Temat: 11 klasa (przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego)

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Wybór korzenia. (2 godziny)

Cele:

• Uogólnić i usystematyzować wiedzę na temat rozwiązywania równań trygonometrycznych różnych typów.
• Promowanie rozwoju myślenia matematycznego uczniów, umiejętności obserwacji, porównywania, uogólniania i klasyfikowania.
• Zachęcaj uczniów do pokonywania trudności w procesie aktywności umysłowej, do samokontroli i introspekcji swoich działań.

Sprzęt do lekcji: KRMu, laptopy dla każdego ucznia.

Struktura lekcji:

1. Moment organizacyjny
2. Dyskusja na temat d/z i siebie. praca z ostatniej lekcji
3. Przegląd metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
5. Dobór pierwiastków w równaniach trygonometrycznych.
6. Niezależna praca.
7. Podsumowanie lekcji. Praca domowa.

1. Chwila organizacyjna (2 min.)

Nauczyciel wita się z publicznością, ogłasza temat lekcji i plan pracy.

2. a) Analiza praca domowa(5 minut)

Celem jest sprawdzenie wykonania. Jedna praca jest wyświetlana na ekranie za pomocą kamery wideo, pozostałe są zbierane selektywnie do sprawdzenia przez nauczyciela.

b) Analiza niezależna praca(3 minuty)

Celem jest analiza błędów i wskazanie sposobów ich przezwyciężenia.

Odpowiedzi i rozwiązania są wyświetlane na ekranie; uczniowie mają wcześniej rozdane zadania. Analiza przebiega szybko.

3. Przegląd metod rozwiązywania równań trygonometrycznych (5 min.)

Celem jest przypomnienie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Zapytaj uczniów, jakie metody rozwiązywania równań trygonometrycznych znają. Podkreśl, że istnieją tzw. metody podstawowe (często stosowane):

• wymiana zmienna,
• faktoryzacja,
• równania jednorodne,

i jest stosowane metody:

• korzystanie ze wzorów na przeliczenie sumy na iloczyn i iloczynu na sumę,
• zgodnie ze wzorami na zmniejszanie stopnia,
• uniwersalne podstawienie trygonometryczne
• wprowadzenie kąta pomocniczego,
• pomnożenie przez niektórych funkcja trygonometryczna.

Należy również pamiętać, że jedno równanie można rozwiązać na różne sposoby.

4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych (30 min.)

Celem jest uogólnienie i utrwalenie wiedzy i umiejętności na ten temat, aby przygotować się do rozwiązania C1 z egzaminu Unified State Exam.

Uważam, że wskazane jest wspólne rozwiązywanie równań dla poszczególnych metod.

Uczeń dyktuje rozwiązanie, nauczyciel zapisuje je na tablecie, a cały proces wyświetla się na ekranie. Dzięki temu szybko i efektywnie przywołasz w pamięci przerobiony materiał.

Rozwiąż równania:

1) zastępując zmienną 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) rozkład na czynniki 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) równania jednorodne grzech 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) przeliczenie sumy na iloczyn cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) przeliczenie iloczynu na sumę 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) redukcja stopnia sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) uniwersalne podstawienie trygonometryczne sinx + 5cosx + 5 = 0.

Rozwiązując to równanie, należy zauważyć, że przy użyciu tę metodę prowadzi do zawężenia zakresu definicji, gdyż sinus i cosinus zastępuje się przez tg(x/2). Dlatego przed zapisaniem odpowiedzi należy sprawdzić, czy liczby ze zbioru π + 2πn, n Z są końmi tego równania.

8) wprowadzenie kąta pomocniczego √3sinx + cosx - √2 = 0

9) mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Wybór pierwiastków równań trygonometrycznych (20 min.)

Ponieważ w warunkach ostrej konkurencji przy wejściu na uniwersytet samo rozwiązanie pierwszej części egzaminu nie wystarczy, większość studentów powinna zwrócić uwagę na zadania z drugiej części (C1, C2, C3).

Dlatego celem tego etapu lekcji jest przypomnienie sobie przestudiowanego materiału i przygotowanie się do rozwiązania zadania C1 z egzaminu Unified State Exam 2011.

Tam są równania trygonometryczne, w którym podczas zapisywania odpowiedzi należy wybrać pierwiastki. Wynika to z pewnych ograniczeń, na przykład: mianownik ułamka nie jest równy zeru, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystym jest nieujemne, wyrażenie pod znakiem logarytmu jest dodatnie itd.

Takie równania są uważane za równania o zwiększonej złożoności i in wersja ujednoliconego egzaminu państwowego znajdują się w drugiej części, a mianowicie C1.

Rozwiąż równanie:

Jeśli wtedy ułamek jest równy zero za pomocą okręgu jednostkowego wybierzemy pierwiastki (patrz rysunek 1)

Rysunek 1.

otrzymujemy x = π + 2πn, n Z

Odpowiedź: π + 2πn, n Z

Na ekranie wybór korzeni jest pokazany w okręgu na kolorowym obrazie.

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero, a łuk nie traci na znaczeniu. Następnie

Za pomocą okręgu jednostkowego wybieramy pierwiastki (patrz rysunek 2)

Lekcja wideo „Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych” ma na celu rozwinięcie umiejętności uczniów w zakresie rozwiązywania problemy trygonometryczne przy użyciu podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Podczas lekcji wideo omawiane są rodzaje tożsamości trygonometrycznych oraz przykłady rozwiązywania problemów z ich wykorzystaniem. Stosowanie pomoc wizualna nauczycielowi łatwiej jest osiągnąć cele lekcji. Żywa prezentacja materiału sprzyja zapamiętywaniu ważne punkty. Zastosowanie efektów animacji oraz lektora pozwala całkowicie zastąpić lektora na etapie wyjaśniania materiału. Tym samym, wykorzystując tę ​​pomoc wizualną na lekcjach matematyki, nauczyciel może zwiększyć efektywność nauczania.

Na początku lekcji wideo ogłaszany jest jej temat. Następnie przypominamy sobie badane wcześniej tożsamości trygonometryczne. Na ekranie wyświetlane są równości sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdzie t≠π/2+πk dla kϵZ, ctg t=cos t/sin t, poprawne dla t≠πk, gdzie kϵZ, tg t· ctg t=1, dla t≠πk/2, gdzie kϵZ, nazywane podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi. Należy zauważyć, że tożsamości te są często używane przy rozwiązywaniu problemów, gdy konieczne jest udowodnienie równości lub uproszczenie wyrażenia.

Poniżej rozważamy przykłady zastosowania tych tożsamości w rozwiązywaniu problemów. W pierwszej kolejności proponuje się rozważyć rozwiązanie problemów upraszczania wyrażeń. W przykładzie 1 konieczne jest uproszczenie wyrażenia cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t. Aby rozwiązać przykład, najpierw usuń z nawiasów wspólny współczynnik cos 2 t. W wyniku tej transformacji w nawiasach otrzymuje się wyrażenie 1- cos 2 t, którego wartość z głównej tożsamości trygonometrii jest równa sin 2 t. Po przekształceniu wyrażenia widać, że można usunąć z nawiasu kolejny wspólny czynnik sin 2 t, po czym wyrażenie przyjmuje postać sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Z tej samej podstawowej tożsamości wyprowadzamy wartość wyrażenia w nawiasie równą 1. W wyniku uproszczenia otrzymujemy cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

W przykładzie 2 wyrażenie koszt/(1- sint)+ koszt/(1+ sint) wymaga uproszczenia. Ponieważ liczniki obu ułamków zawierają koszt wyrażenia, można go wyjąć z nawiasów jako wspólny współczynnik. Następnie ułamki w nawiasach sprowadzamy do wspólnego mianownika poprzez pomnożenie (1- sint)(1+ sint). Po wprowadzeniu podobnych terminów licznik pozostaje 2, a mianownik 1 - grzech 2 t. Po prawej stronie ekranu przywołana jest podstawowa tożsamość trygonometryczna sin 2 t+cos 2 t=1. Korzystając z niego, znajdujemy mianownik ułamka cos 2 t. Po skróceniu ułamka otrzymujemy uproszczoną postać wyrażenia koszt/(1-sint)+ koszt/(1+ sint)=2/koszt.

Następnie rozważymy przykłady dowodów tożsamości wykorzystujących zdobytą wiedzę na temat podstawowych tożsamości trygonometrii. W przykładzie 3 należy udowodnić tożsamość (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Po prawej stronie ekranu wyświetlane są trzy tożsamości, które będą potrzebne do dowodu - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t z ograniczeniami. Aby udowodnić identyczność, najpierw otwiera się nawiasy, po czym tworzy się iloczyn odzwierciedlający wyrażenie głównej tożsamości trygonometrycznej tg t·ctg t=1. Następnie, zgodnie z tożsamością z definicji cotangensu, przekształca się ctg 2 t. W wyniku przekształceń otrzymuje się wyrażenie 1-cos 2 t. Korzystając z tożsamości głównej, znajdujemy znaczenie wyrażenia. Tym samym udowodniono, że (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

W przykładzie 4 musisz znaleźć wartość wyrażenia tg 2 t+ctg 2 t jeśli tg t+ctg t=6. Aby obliczyć wyrażenie, najpierw podnieś prawą i lewą stronę równości (tg t+ctg t) 2 =6 2. Skrócona formuła mnożenia zostanie przywołana po prawej stronie ekranu. Po otwarciu nawiasów po lewej stronie wyrażenia powstaje suma tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, do przekształcenia której można zastosować jedną z tożsamości trygonometrycznych tg t·ctg t=1 , którego forma jest przywoływana po prawej stronie ekranu. Po przekształceniu otrzymuje się równość tg 2 t+ctg 2 t=34. Lewa strona równości pokrywa się z warunkiem zadania, więc odpowiedź brzmi 34. Problem został rozwiązany.

Do stosowania w tradycyjnych metodach zaleca się lekcję wideo „Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych”. lekcja szkolna matematyka. Materiał będzie przydatny także dla nauczyciela wdrażającego nauka na odległość. W celu rozwinięcia umiejętności rozwiązywania problemów trygonometrycznych.

DEKODOWANIE TEKSTU:

„Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych”.

Równości

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kwadrat te plus cosinus kwadrat te równa się jeden)

2)tgt =, dla t ≠ + πk, kϵZ (styczna te jest równa stosunkowi sinusa te do cosinusa te gdzie te nie jest równe pi przez dwa plus pi ka, ka należy do zet)

3)ctgt = , dla t ≠ πk, kϵZ (cotangens te jest równy stosunkowi cosinusa te do sinusa te przy czym te nie jest równe pi ka, ka należy do zet).

4)tgt ∙ ctgt = 1 dla t ≠ , kϵZ (iloczyn stycznej te przez cotangens te jest równy jeden, gdy te nie jest równe pikowi ka, podzielone przez dwa, ka należy do zet)

nazywane są podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi.

Są często używane do upraszczania i dowodzenia wyrażeń trygonometrycznych.

Przyjrzyjmy się przykładom użycia tych wzorów do uproszczenia wyrażeń trygonometrycznych.

PRZYKŁAD 1. Uprość wyrażenie: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (wyrażenie cosinus kwadrat te minus cosinus czwartego stopnia te plus sinus czwartego stopnia te).

Rozwiązanie. cos 2 t - cos 4 t + grzech 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + grzech 4 t =cos 2 t ∙ grzech 2 t + grzech 4 t = grzech 2 t (cos 2 t + grzech 2 t) = grzech 2 t 1 = grzech 2 t

(wyciągamy wspólny czynnik cosinus kwadrat te, w nawiasach otrzymujemy różnicę między jednością a kwadratem cosinus te, który jest równy kwadratowi sinus te przez pierwszą tożsamość. Otrzymujemy sumę czwartej potęgi sinus te iloczyn cosinus kwadrat te i sinus kwadrat te Poza nawiasami wyciągamy wspólny czynnik sinus kwadrat te, w nawiasach otrzymujemy sumę kwadratów cosinusa i sinusa, która zgodnie z podstawową tożsamością trygonometryczną jest równa jedności. W rezultacie otrzymujemy kwadrat sinusa te).

PRZYKŁAD 2. Uprość wyrażenie: + .

(wyrażenie be jest sumą dwóch ułamków w liczniku pierwszego cosinusa te w mianowniku jeden minus sinus te, w liczniku drugiego cosinusa te w mianowniku drugiego plus sinus te).

(Wyjmijmy z nawiasów wspólny czynnik cosinus te i w nawiasach sprowadźmy go do wspólnego mianownika, który jest iloczynem jeden minus sinus te przez jeden plus sinus te.

W liczniku otrzymujemy: jeden plus sinus te plus jeden minus sinus te, podajemy podobne, licznik równa się dwa po doprowadzeniu podobnych.

W mianowniku można zastosować skrócony wzór na mnożenie (różnicę kwadratów) i otrzymać różnicę między jednością a kwadratem sinusa te, co zgodnie z podstawową tożsamością trygonometryczną

równy kwadratowi cosinusa te. Po redukcji przez cosinus te otrzymujemy ostateczną odpowiedź: dwa podzielone przez cosinus te).

Przyjrzyjmy się przykładom użycia tych wzorów podczas dowodzenia wyrażeń trygonometrycznych.

PRZYKŁAD 3. Udowodnij tożsamość (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (iloczyn różnicy kwadratów stycznej te i sinus te przez kwadrat cotangens te jest równy kwadratowi sinus te).

Dowód.

Przekształćmy lewą stronę równości:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = grzech 2 t

(Otwórzmy nawiasy; z wcześniej otrzymanej zależności wiadomo, że iloczyn kwadratów stycznej te przez cotangens te jest równy jeden. Przypomnijmy, że cotangens te jest równy stosunkowi cosinus te przez sinus te, który oznacza, że ​​kwadrat cotangens jest stosunkiem kwadratu cosinus te do kwadratu sinus te.

Po redukcji przez sinus kwadrat te otrzymujemy różnicę między jednością a cosinusem kwadratem te, który jest równy sinusowi kwadratowi te). co było do okazania

PRZYKŁAD 4. Znajdź wartość wyrażenia tg 2 t + ctg 2 t jeśli tgt + ctgt = 6.

(suma kwadratów stycznej te i cotangensu te, jeśli suma stycznej i cotangensu wynosi sześć).

Rozwiązanie. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Podstawmy obie strony pierwotnej równości:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kwadrat sumy stycznej te i cotangens te jest równy sześciu kwadratom). Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie: Kwadrat sumy dwóch wielkości jest równy kwadratowi pierwszej plus dwukrotność iloczynu pierwszej przez drugą plus kwadrat drugiej. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Otrzymujemy tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (styczna do kwadratu te plus podwójna iloczyn stycznej te i cotangens te plus cotangens do kwadratu te równa się trzydzieści sześć).

Ponieważ iloczyn stycznej te i cotangens te jest równy jeden, to tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (suma kwadratów stycznej te i cotangens te i dwa wynosi trzydzieści sześć),