>>Matematyka: Co to jest stopień z wykładnikiem naturalnym

Co to jest stopień z wykładnikiem naturalnym?

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucje edukacyjne

Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Praktyka zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje planie kalendarza przez rok zalecenia metodologiczne programy dyskusyjne Zintegrowane Lekcje

Samouczek wideo 2: Stopień z naturalnym wskaźnikiem i jego właściwości

Wykład:

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Pod stopień jakiś numer "A" z jakimś wskaźnikiem "N" zrozumieć iloczyn liczby "A" samodzielnie "N" raz.

Kiedy mówimy o stopniu z wykładnikiem naturalnym, oznacza to, że jest to liczba "N" musi być liczbą całkowitą, a nie ujemną.

A- podstawa stopnia, która wskazuje, którą liczbę należy pomnożyć przez samą siebie,

N- wykładnik - mówi, ile razy należy pomnożyć podstawę przez samą siebie.

Na przykład:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

W w tym przypadku Za podstawę stopnia uważa się liczbę „8”, wykładnikiem stopnia jest liczba „4”, a wartością stopnia jest liczba „4096”.

Największym i najczęstszym błędem przy obliczaniu stopnia jest mnożenie wykładnika przez podstawę - TO NIE JEST PRAWIDŁOWE!

Gdy o czym mówimy o stopień z wykładnikiem naturalnym, co oznacza, że ​​tylko wykładnik (N) musi być liczbą naturalną.

Jako podstawę możesz przyjąć dowolną liczbę z osi liczbowej.

Na przykład,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Operacja matematyczna wykonywana na podstawie i wykładniku nazywa się potęgowaniem.

Dodawanie\odejmowanie to operacja matematyczna pierwszego etapu, mnożenie\dzielenie to akcja drugiego etapu, podnoszenie potęgi to czynność matematyczna trzeciego etapu, czyli jednego z najwyższych.

Ta hierarchia operacji matematycznych określa kolejność obliczeń. Jeśli ta akcja występuje w zadaniach spośród dwóch poprzednich, jest wykonywana jako pierwsza.

Na przykład:

15 + 6 *2 2 = 39

W tym przykładzie musisz najpierw podnieść 2 do potęgi, czyli

następnie pomnóż wynik przez 6, tj

Stopień z wykładnikiem naturalnym służy nie tylko do konkretnych obliczeń, ale także do ułatwienia zapisu duże liczby. W tym przypadku koncepcja jest również używana „standardowa forma liczby”. Zapis ten polega na pomnożeniu pewnej liczby od 1 do 9 przez potęgę równą 10 z pewnym wykładnikiem.

Na przykład, aby zapisać promień Ziemi w standardowej formie, użyj następującej notacji:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

a na przykład masę Ziemi zapisuje się w następujący sposób:

Właściwości stopnia

Dla wygody rozwiązywania przykładów za pomocą stopni musisz znać ich podstawowe właściwości:

1. Jeśli chcesz pomnożyć dwie potęgi o tej samej podstawie, to w tym przypadku podstawę należy pozostawić niezmienioną, a wykładniki dodać.

za n * za m = za n+m

Na przykład:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Jeśli konieczne jest podzielenie dwóch stopni o tej samej podstawie, wówczas w tym przypadku podstawę należy pozostawić niezmienioną, a wykładniki odjąć. Należy pamiętać, że w przypadku operacji na potęgach z wykładnikiem naturalnym wykładnik dzielnej musi być większy niż wykładnik dzielnika. W przeciwnym razie ilorazem tego działania będzie liczba z wykładnikiem ujemnym.

za n / za m = za n-m

Na przykład,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Jeśli konieczne jest podniesienie jednej potęgi do drugiej, podstawą wyniku pozostaje ta sama liczba, a wykładniki są mnożone.

(an) m = a n*m

Na przykład,

4. Jeśli konieczne jest podniesienie iloczynu dowolnych liczb do określonej potęgi, można zastosować pewne prawo rozdzielności, zgodnie z którym otrzymujemy iloczyn różnych podstaw do tej samej potęgi.

(a * b) m = za m * b m

Na przykład,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Podobną właściwość można wykorzystać do dzielenia potęg, innymi słowy do podniesienia zwykłej liczby podwójnej do potęgi.

(a / b) m = a m / b M

6. Każda liczba podniesiona do wykładnika równego jeden jest równa liczbie pierwotnej.

za 1 = za

Na przykład,

7. Podnosząc dowolną liczbę do potęgi z wykładnikiem zerowym, wynikiem tego obliczenia będzie zawsze jeden.

i 0 = 1

Na przykład,

Poniższy wzór będzie definicją stopnie z wykładnikiem naturalnym(a jest podstawą potęgi i współczynnika powtarzalności, a n jest wykładnikiem, który pokazuje, ile razy współczynnik się powtarza):

Wyrażenie to oznacza, że ​​potęga liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest iloczynem n czynników, mimo że każdy z czynników jest równy a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - stopień podstawowy,

5 - wykładnik,

1419857 — wartość stopni.

Potęga o wykładniku zerowym jest równa 1, pod warunkiem, że a\neq 0:

a^0=1 .

Na przykład: 2^0=1

Kiedy pisać duża liczba zwykle używa się potęg liczby 10.

Na przykład jeden z najstarszych dinozaurów na Ziemi żył około 280 milionów lat temu. Jego wiek zapisano następująco: 2,8 \cdot 10^8 .

Każdą liczbę większą niż 10 można zapisać jako \cdot 10^n , pod warunkiem, że 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют widok standardowy takty muzyczne.

Przykłady takich liczb: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Możesz powiedzieć zarówno „a do n-tej potęgi”, jak i „n-tą potęgą liczby a” oraz „a do n-tej potęgi”.

4^5 - „cztery do potęgi 5” lub „4 do potęgi piątej” lub możesz też powiedzieć „piąta potęga 4”

W tym przykładzie 4 to podstawa, a 5 to wykładnik.

Podajmy teraz przykład z ułamkami zwykłymi i liczbami ujemnymi. Aby uniknąć nieporozumień, w nawiasach zwyczajowo zapisuje się podstawy inne niż liczby naturalne:

(7,38)^2 , \lewo(\frac 12 \prawo)^7, (-1)^4 itd.

Zwróć także uwagę na różnicę:

(-5)^6 - oznacza potęgę liczby ujemnej −5 z naturalnym wykładnikiem równym 6.

5^6 - odpowiada przeciwnej liczbie 5^6.

Własności stopni z wykładnikiem naturalnym

Podstawowa właściwość stopnia

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Podstawa pozostaje taka sama, ale wykładniki są dodawane.

Na przykład: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Własność ilorazu potęg o tych samych podstawach

a^n: a^k=a^(n-k), jeśli n > k.

Wykładniki są odejmowane, ale podstawa pozostaje taka sama.

To ograniczenie n > k zostało wprowadzone, aby nie wykraczać poza wykładniki naturalne. Rzeczywiście, dla n > k wykładnik a^(n-k) będzie liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie to albo liczba ujemna (k< n ), либо нулем (k-n ).

Na przykład: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Właściwość podnoszenia potęgi do potęgi

(a^n)^k=a^(nk)

Podstawa pozostaje ta sama, mnożone są tylko wykładniki.

Na przykład: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Właściwość potęgowania iloczynu

Każdy czynnik jest podnoszony do potęgi n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Na przykład: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Własność potęgowania ułamka

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Zarówno licznik, jak i mianownik ułamka podnoszone są do potęgi. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

I. Praca N czynników, z których każdy jest równy A zwany N-ta potęga liczby A i jest wyznaczony AN.

Przykłady. Napisz produkt jako stopień.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Rozwiązanie.

1) mmmm=m 4, ponieważ z definicji stopień jest iloczynem czterech czynników, z których każdy jest równy M, będzie czwarta potęga m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5,5,5,5,ccc=5 4 do 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Działanie, za pomocą którego znajduje się iloczyn kilku równych czynników, nazywa się potęgowaniem. Liczbę podniesioną do potęgi nazywamy podstawą potęgi. Liczbę pokazującą, do jakiej potęgi podniesiona jest podstawa, nazywamy wykładnikiem. Więc, AN- stopień, A– podstawa stopnia, N– wykładnik. Na przykład:

2 3 — to stopień. Numer 2 jest podstawą stopnia, wykładnik jest równy 3 . Wartość stopnia 2 3 równa się 8, ponieważ 2 3 =2·2·2=8.

Przykłady. Zapisz poniższe wyrażenia bez wykładnika.

5) 4 3; 6) za 3 b 2 do 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Rozwiązanie.

5) 4 3 = 4.4.4 ; 6) za 3 b 2 do 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. i 0 = 1 Dowolna liczba (z wyjątkiem zera) do potęgi zerowej jest równa jeden. Na przykład 25 0 =1.
IV. a 1 = aKażda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie.

V. jestem∙ jakiś= jestem + N Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach podstawa i wykładniki pozostają takie same fałdowy

Przykłady. Upraszczać:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 + b 2 b 3 ; 11) do 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Rozwiązanie.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) do 2 do 0 do do 4 = 1 do 2 do do 4 = do 2+1+4 = do 7 .

VI. jestem: jakiś= jestem - NPrzy dzieleniu potęg o tej samej podstawie podstawę pozostawia się taką samą, a wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.

Przykłady. Upraszczać:

12) a 8: a 3 ; 13) m 11:m 4; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=za 8-3 =za 5 ; 13)m 11:m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (jestem) N= miesiąc Przy podnoszeniu potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki są mnożone.

Przykłady. Upraszczać:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3.4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

Uwaga, które, ponieważ iloczyn nie zmienia się w wyniku zmiany układu czynników, To:

15) (za 3) 4 = (za 4) 3 ; 16) (do 5) 2 = (do 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n

Przykłady. Upraszczać:

Podnosząc iloczyn do potęgi, każdy z czynników podnosi się do tej potęgi.

Rozwiązanie.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2,5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Podnosząc ułamek do potęgi, licznik i mianownik ułamka podnoszone są do tej potęgi.

Przykłady. Upraszczać:

Rozwiązanie.

Strona 1 z 1 1

§ 1 Stopień z wykładnikiem naturalnym

Przypomnijmy sobie tak znaną operację, jak dodanie kilku identycznych terminów. Na przykład 5 + 5 + 5. Matematyk zastąpi ten zapis krótszym:

5 ∙ 3. Lub 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 zostanie zapisane jako 7 ∙ 6

Ale zapisanie a + a + a + …+ a (gdzie n terminów a) w ogóle nie zadziała, ale zapisze a ∙ n. W ten sam sposób matematyk nie napisze szczegółowo iloczynu kilku identycznych czynników. Iloczyn 2 ∙ 2 ∙ 2 zostanie zapisany jako 23 (2 do potęgi trzeciej). A iloczyn 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 jest jak 46 (4 do potęgi szóstej). Ale jeśli to konieczne, możesz zastąpić krótki wpis dłuższym. Na przykład 74 (7 do potęgi czwartej) zapisuje się jako 7∙7∙7∙7. Teraz podamy definicję.

Pod hasłem an (gdzie n oznacza liczba naturalna) zrozumieć iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a.

Sam zapis an nazywany jest potęgą liczby a, liczba a jest podstawą potęgi, a liczba n jest wykładnikiem.

Wpis an można odczytać jako „a do n-tej potęgi” lub jako „a do en-tej potęgi”. Wartości a2 (a do potęgi drugiej) można odczytać jako „kwadrat”, a wpis a3 (a do potęgi trzeciej) można odczytać jako „sześcian”. Innym szczególnym przypadkiem jest stopień z wykładnikiem 1. Należy tutaj zauważyć, co następuje:

Potęga liczby a z wykładnikiem 1 nazywana jest samą liczbą. Te. a1 = a.

Każda potęga liczby 1 jest równa 1.

Przyjrzyjmy się teraz niektórym potęgom o podstawie 10.

Czy zauważyłeś, że potęga dziesięciu to jeden, po którym następuje wiele zer. Jaki jest wykładnik? Ogólnie rzecz biorąc, 10n = 100..0 (gdzie we wpisie jest n zer).

§ 2 Przykłady dotyczące tematu lekcji

Przykład 1. Zapisz iloczyn (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) jako potęgę.

Ponieważ istnieją tutaj 4 identyczne czynniki, z których każdy jest równy -2, mamy zapis (-2)4.

Przykład 2. Oblicz 1,52.

Wykładnik 2 mówi, że musimy znaleźć iloczyn dwóch identycznych czynników, z których każdy jest równy 1,5. Te. oblicz iloczyn 1,5∙1,5 = 2,25.

Przykład 3. Oblicz iloczyn 102 ∙ (-1)3.

Najpierw obliczamy 102 = 100. Następnie obliczamy (-1)3 = -1. Na koniec pomnóżmy 100 i -1. Dostajemy -100.

Lista wykorzystanej literatury:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, Część 1, Podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego/A.G. Mordkowicz. – wyd. 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, Część 2, Zeszyt zadań dla instytucji kształcenia ogólnego/[A.G. Mordkovich i inni]; pod redakcją A.G. Mordkovich – wydanie 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007
3. JEJ. Tulchinskaya, Algebra 7. klasa. Ankieta Blitz: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących, wydanie 4, poprawione i rozszerzone, Moskwa, „Mnemosyne”, 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. klasa. Tematyczny praca testowa V nowa forma dla uczniów szkół ogólnokształcących, pod red. A.G. Mordkovich, Moskwa, „Mnemosyne”, 2011
5. Aleksandrowa Los Angeles Algebra w klasie 7. Niezależna praca dla uczniów szkół ogólnokształcących, pod red. A.G. Mordkovich – wydanie VI, stereotypowe, Moskwa, „Mnemosyne”, 2010