Systemy nierówności racjonalnych
Tekst lekcji
streszczenie [Bezdenezhnykh L.V.]
Algebra, 9. klasa UMK: A.G. Mordkovich. Algebra. 9. klasa. O 2:00 Część 1. Podręcznik; Część 2. Książka problemów; M.: Mnemosyne, 2010 Poziom nauczania: podstawowy Temat lekcji: Systemy nierówności racjonalnych. (Pierwsza lekcja na ten temat, w sumie na jego studiowanie przeznaczono 3 godziny) Lekcja na temat studiowania nowego tematu. Cel lekcji: powtórzenie rozwiązywania nierówności liniowych; wprowadzić pojęcia układu nierówności, wyjaśnić rozwiązanie najprostszych układów nierówności liniowych; rozwinąć umiejętność rozwiązywania układów nierówności liniowych o dowolnej złożoności. Cele: dydaktyczne: poznanie tematu w oparciu o istniejącą wiedzę, ugruntowanie umiejętności praktycznych i umiejętności rozwiązywania w rezultacie układów nierówności liniowych niezależna praca studentów oraz działalność wykładowo-doradczą najlepiej przygotowanych z nich. Edukacyjne: rozwój zainteresowanie poznawcze, samodzielność myślenia, pamięć, inicjatywa uczniów poprzez zastosowanie metod komunikacyjnych i zadaniowych oraz elementów nauczania problemowego. Edukacyjne: kształtowanie umiejętności komunikacyjnych, kultura komunikacji, współpraca. Metody wykładu: - wykład z elementami konwersacji i nauczania problemowego; -samodzielna praca studentów z materiałem teoretycznym i praktycznym z podręcznika; -rozwój kultury formalizowania rozwiązań układów nierówności liniowych. Planowane rezultaty: uczniowie zapamiętają sposób rozwiązywania nierówności liniowych, zaznaczą przecięcie rozwiązań nierówności na osi liczbowej oraz nauczą się rozwiązywać układy nierówności liniowych. Wyposażenie lekcji: tablica, rozdawać(aplikacja), podręczniki, zeszyty ćwiczeń. Treść lekcji: 1. Moment organizacyjny. Sprawdzanie pracy domowej. 2. Aktualizowanie wiedzy. Uczniowie wraz z nauczycielem wypełniają na tablicy tabelę: Odstęp między figurami nierówności Poniżej znajduje się gotowa tabela: Odstęp między figurami nierówności 3. Dyktando matematyczne. Przygotowanie do postrzegania nowego tematu. 1. Korzystając z przykładowej tabeli, rozwiąż nierówności: Opcja 1 Opcja 2 Opcja 3 Opcja 4 2. Rozwiąż nierówności, narysuj dwa obrazki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Opcja 1 Opcja 2 Opcja 3 Opcja 4 4. Wyjaśnienie nowego materiału . Objaśnienie nowego materiału (s. 40-44): 1. Zdefiniuj układ nierówności (s. 41). Definicja: Kilka nierówności z jedną zmienną x tworzy układ nierówności, jeśli zadaniem jest znalezienie wszystkich takich wartości zmiennej, dla których każda z podanych nierówności ze zmienną zamienia się w poprawną nierówność liczbową. 2. Wprowadź pojęcie prywatnego i rozwiązanie ogólne systemy nierówności. Dowolną taką wartość x nazywamy rozwiązaniem (lub konkretnym rozwiązaniem) układu nierówności. Zbiór wszystkich szczegółowych rozwiązań systemu nierówności reprezentuje ogólne rozwiązanie systemu nierówności. 3. Rozważ w podręczniku rozwiązanie systemów nierówności według przykładu nr 3 (a, b, c). 4. Podsumuj rozumowanie, rozwiązując system:. 5. Konsolidacja nowego materiału. Rozwiąż zadania z nr 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Praca próbna Sprawdź przyswojenie nowego materiału aktywnie pomagając w rozwiązywaniu zadań według opcji: Opcja 1 a, c nr 4.6, 4.8 Opcja 2 b, d nr 4.6, 4.8 7. Podsumowanie. Refleksja Jakich nowych pojęć nauczyłeś się dzisiaj? Czy nauczyłeś się znajdować rozwiązania układu nierówności liniowych? W czym odniosłeś największy sukces, jakie aspekty udało Ci się osiągnąć najlepiej? 8. Praca domowa: nr 4,5, 4,7.; teoria w podręczniku s. 40-44; Dla uczniów ze zwiększoną motywacją nr 4.23 (c, d). Aplikacja. Opcja 1. Odstęp między rysowaniem nierówności 2.Rozwiąż nierówności, narysuj dwa rysunki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Rysowanie nierówności Odpowiedź na pytanie. Opcja 2. Odstęp między rysowaniem nierówności 2. Rozwiąż nierówności, narysuj dwa rysunki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Rysowanie nierówności Odpowiedź na pytanie. Opcja 3. Odstęp między rysowaniem nierówności 2. Rozwiąż nierówności, narysuj dwa rysunki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Rysowanie nierówności Odpowiedź na pytanie. Opcja 4. Odstęp między rysowaniem nierówności 2. Rozwiąż nierówności, narysuj dwa rysunki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Rysowanie nierówności Odpowiedź na pytanie.
Pobierz: Algebra 9kl - notatki [Bezdenezhnykh L.V.].docxnotatki z lekcji 2-4 [Zvereva L.P.]
Algebra 9. klasa UMK: ALGEBRA-9. KLASA, A.G. MORDKOVICH.P.V. Siemionow, 2014. Poziom - nauka podstawowa Temat lekcji: Układy nierówności wymiernych Łączna liczba godzin przeznaczona na przestudiowanie tematu - 4 godziny Miejsce lekcji w systemie zajęć z tematu Lekcja nr 2; Nr 4. Cel lekcji: Nauczenie studentów tworzenia układów nierówności, a także nauczenie rozwiązywania gotowych układów zaproponowanych przez autora podręcznika. Cele lekcji: Wykształcenie umiejętności: swobodnego rozwiązywania analitycznego układów nierówności, a także umiejętności przeniesienia rozwiązania na prostą w celu prawidłowego zapisania odpowiedzi, samodzielnej pracy z zadanym materiałem. Planowane rezultaty: Studenci powinni potrafić rozwiązywać gotowe układy, a także tworzyć układy nierówności w oparciu o warunki tekstowe zadań i rozwiązywać opracowany model. Wsparcie techniczne lekcji: UMK: ALGEBRA-9TH CLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Siemionow. Zeszyt ćwiczeń, projektor do wykonania liczenie mentalne, wydruki zadań dodatkowych dla mocnych uczniów. Dodatkowe wsparcie metodologiczne i dydaktyczne dla lekcji (możliwe są linki do zasobów internetowych): 1. Podręcznik N.N. Khlevnyuk, M.V. Iwanowa, V.G. Iwaszczenko, N.S. Melkova „Kształcenie umiejętności obliczeniowych na lekcjach matematyki, klasy 5-9” 2. G. G. Levitas „ Dyktanda matematyczne» klasy 7-11.3. T.G. Gulina „Symulator matematyczny” 5-11 (4 poziomy trudności) Nauczyciel matematyki: Zvereva L.P. Lekcja nr 2 Cele: Wykształcenie umiejętności rozwiązywania układu nierówności wymiernych z wykorzystaniem interpretacji geometrycznej w celu zilustrowania wyniku rozwiązania. Postęp lekcji 1. Moment organizacyjny: Przygotowanie klasy do pracy, przekazanie tematu i celu lekcji 11 Sprawdzenie pracy domowej 1. Część teoretyczna: * Jaki jest zapis analityczny nierówności racjonalnej * Jaki jest zapis analityczny systemu nierówności racjonalnych * Co to znaczy rozwiązać system nierówności * Jaki jest wynik rozwiązania układu nierówności racjonalnych.< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>2. Część praktyczna: *Rozwiąż na tablicy zadania, które sprawiały uczniom trudność. Podczas odrabiania zadań domowych II1 Wykonywanie ćwiczeń. 1.Powtórz metody rozkładu na czynniki wielomianu. 2. Powtórz, na czym polega metoda przedziałowa przy rozwiązywaniu nierówności. 3. Rozwiąż układ. Rozwiązanie prowadzi silny uczeń przy tablicy pod okiem nauczyciela. 1) Rozwiążmy nierówność 3x – 10 > 5x – 5; 3x – 5x> – 5 + 10; – 2х>5; X< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >Rozwiązanie tego układu nierówności x> Odpowiedź: x> 6. Rozwiąż zadanie nr 4.10 (c) na tablicy i w zeszytach. Rozwiążmy nierówność 5x2 – 2x + 1 ≤ 0. 5x2–2x + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Powtórzenie przestudiowanego wcześniej materiału. Rozwiąż nr 2.33. Niech prędkość początkowa rowerzysty będzie wynosić x km/h, po zmniejszeniu będzie wynosić (x – 3) km/h. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; wtedy x2 – 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 nie spełnia znaczenia problemu. ODPOWIEDŹ: 15 km/h; 12 km/godz. IV. Wnioski z lekcji: Na lekcji nauczyliśmy się rozwiązywać układy nierówności o postaci zespolonej, szczególnie modułowo, próbowaliśmy swoich sił w samodzielnej pracy. Robienie znaków. Praca domowa: wykonaj test pracy domowej nr 1 od nr 7 do nr 10 na s. 23. 32–33, nr 4,34 (a; b), nr 4,35 (a; b). Lekcja 4 Przygotowanie do testu Cele: podsumowanie i usystematyzowanie przestudiowanego materiału, przygotowanie uczniów do testu na temat „Systemy racjonalnych nierówności”. Postęp lekcji 1. Moment organizacyjny: Przygotowanie klasy do pracy, przekazanie tematu i celów lekcja.<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >11.Powtórzenie studiowanego materiału. *Co to znaczy rozwiązać układ nierówności *Jaki jest wynik rozwiązania układu nierówności racjonalnych 1. Zbierz kartki z testu domowego. 2. Jakie zasady stosuje się przy rozwiązywaniu nierówności? Wyjaśnij rozwiązanie nierówności: a) 3x – 8< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0; b) – 2x2 + x – 5 > 0; c) 3x2 – x + 4 ≤ 0. 4. Sformułuj definicję układu nierówności z dwiema zmiennymi. Co to znaczy rozwiązać układ nierówności? 5. Jaka jest metoda przedziałów, która jest aktywnie wykorzystywana w rozwiązywaniu nierówności wymiernych? Wyjaśnij to na przykładzie rozwiązania nierówności: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Ćwiczenia szkoleniowe. 1. Rozwiąż nierówność: a) 12(1 – x) ≥ 5x – (8x + 2); b) – 3x2 + 17x + 6< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0, x> – 2. Nie odpowiada to ani zadaniu a), ani zadaniu b). Oznacza to, że możemy założyć, że p ≠ 2, czyli podana nierówność jest kwadratowa. a) Nierówność kwadratowa postaci ax2 + bx + c> 0 nie ma rozwiązań, jeśli a< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>0 jest spełnione dla dowolnych wartości x, jeśli a> 0 i D
IV. Podsumowanie lekcji. Musisz powtórzyć cały materiał, którego się nauczyłeś w domu i przygotować się do testu. Praca domowa: nr 1.21 (b; d), nr 2.15 (c; d); nr 4,14 (g), nr 4,28 (g); Nr 4.19 (a), nr 4.33 (d).
Aby rozwiązać system nierówności racjonalnych, należy znaleźć wszystkie rozwiązania każdej nierówności w systemie. Wtedy wspólną częścią wszystkich znalezionych rozwiązań będzie rozwiązanie układu.
Przykład: Rozwiązać układ nierówności
(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,
Najpierw rozwiązujemy nierówność
(x - 1) (x - 5) (x - 7)< 0.
Korzystając z metody przedziałowej (rys. 1) stwierdzamy, że zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (2) składa się z dwóch przedziałów: (-, 1) i (5, 7).
Rysunek 1
Teraz rozwiążmy nierówność
Stosując metodę przedziałową (rys. 2) stwierdzamy, że zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (3) składa się również z dwóch przedziałów: (2, 3) i (4, +).
Teraz musimy znaleźć część wspólną rozwiązania nierówności (2) i (3). Narysujmy oś współrzędnych x i zaznaczmy znalezione na niej rozwiązania. Teraz jest jasne, że wspólną częścią rozwiązania nierówności (2) i (3) jest przedział (5, 7) (ryc. 3).
Zatem zbiór wszystkich rozwiązań układu nierówności (1) stanowi przedział (5, 7).
Przykład: Rozwiązać układ nierówności
x2 - 6x + 10< 0,
Najpierw rozwiążmy nierówność
x 2 - 6 x + 10< 0.
Możemy to napisać stosując metodę izolowania pełnego kwadratu
x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.
Dlatego nierówność (2) można zapisać w postaci
(x - 3) 2 + 1< 0,
z czego jasno wynika, że nie ma rozwiązania.
Teraz nie musisz rozwiązywać nierówności
ponieważ odpowiedź jest już jasna: układ (1) nie ma rozwiązania.
Przykład: Rozwiązać układ nierówności
Przyjrzyjmy się najpierw pierwszej nierówności; mamy
1 < 0, < 0.
Korzystając z krzywej znaku, znajdujemy rozwiązania tej nierówności: x< -2; 0 < x < 2.
Rozwiążmy teraz drugą nierówność danego układu. Mamy x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Po zanotowaniu znalezionych rozwiązań pierwszej i drugiej nierówności na ogólnej osi liczbowej (ryc. 6) znajdujemy takie przedziały, w których te rozwiązania się pokrywają (przecięcie rozwiązania): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Przykład: Rozwiązać układ nierówności
Przekształćmy pierwszą nierówność układu:
x 3 (x - 10)(x + 10) 0 lub x(x - 10)(x + 10) 0
(ponieważ czynniki potęg nieparzystych można zastąpić odpowiednimi współczynnikami pierwszej potęgi); Stosując metodę przedziałową znajdziemy rozwiązania ostatniej nierówności: -10 x 0, x 10.
Rozważmy drugą nierówność układu; mamy
Znajdujemy (ryc. 8) x -9; 3< x < 15.
Łącząc znalezione rozwiązania otrzymujemy (ryc. 9) x 0; x > 3.
Przykład: Znajdź rozwiązania całkowite układu nierówności:
x + y< 2,5,
Rozwiązanie: Doprowadźmy system do formy
Dodając pierwszą i drugą nierówności, mamy y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
gdzie -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
Dzięki tej lekcji poznasz nierówności racjonalne i ich systemy. Układ nierówności wymiernych rozwiązuje się za pomocą przekształceń równoważnych. Rozważa definicję równoważności, sposób zastąpienia nierówności ułamkowo-wymiernej nierównością kwadratową, a także rozumie różnicę między nierównością a równaniem oraz sposób przeprowadzania przekształceń równoważnych.
Algebra 9. klasa
Końcowa powtórka kursu algebry dla klasy 9
Racjonalne nierówności i ich systemy. Systemy nierówności racjonalnych.
1.1 Abstrakcyjny.
1. Transformacje równoważne nierówności wymiernych.
Decydować racjonalna nierówność oznacza znalezienie wszystkich jego rozwiązań. W przeciwieństwie do równania, przy rozwiązywaniu nierówności z reguły powstaje nieskończona liczba rozwiązań. Niezliczonych rozwiązań nie można zweryfikować przez podstawienie. Należy zatem przekształcić pierwotną nierówność tak, aby w każdej kolejnej linii otrzymać nierówność z tym samym zestawem rozwiązań.
Racjonalne nierówności można rozwiązać tylko przy pomocy równowartość lub równoważne przekształcenia. Przekształcenia takie nie zniekształcają zbioru rozwiązań.
Definicja. Racjonalne nierówności zwany równowartość, jeśli zbiory ich rozwiązań pokrywają się.
Aby wskazać równorzędność użyj znaku
2. Rozwiązanie układu nierówności
Pierwsza i druga nierówności są ułamkowymi nierównościami wymiernymi. Metody ich rozwiązywania są naturalną kontynuacją metod rozwiązywania nierówności liniowych i kwadratowych.
Przesuńmy liczby po prawej stronie w lewo z przeciwnym znakiem.
W rezultacie prawa strona pozostanie równa 0. Ta transformacja jest równoważna. Wskazuje na to znak
Wykonajmy działania, które zaleca algebra. Odejmij „1” w pierwszej nierówności i „2” w drugiej.
3. Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową
1) Przedstawmy funkcję. Musimy wiedzieć, kiedy ta funkcja jest mniejsza niż 0.
2) Znajdźmy dziedzinę definicji funkcji: w mianowniku nie powinno być 0. „2” jest punktem przerwania. Przy x=2 funkcja jest niezdefiniowana.
3) Znajdź pierwiastki funkcji. Funkcja jest równa 0, jeśli licznik zawiera 0.
Umieszczone punkty dzielą oś liczbową na trzy przedziały - są to przedziały o znaku stałym. W każdym przedziale funkcja zachowuje swój znak. Ustalmy znak na pierwszym przedziale. Zastąpmy jakąś wartość. Na przykład 100. Oczywiste jest, że zarówno licznik, jak i mianownik są większe od 0. Oznacza to, że cały ułamek jest dodatni.
Wyznaczmy znaki na pozostałych przedziałach. Przy przejściu przez punkt x=2 zmienia się tylko mianownik. Oznacza to, że cały ułamek zmieni znak i będzie ujemny. Przeprowadźmy podobne rozumowanie. Przy przejściu przez punkt x=-3 zmienia się tylko licznik. Oznacza to, że ułamek zmieni znak i będzie dodatni.
Wybierzmy przedział odpowiadający warunkowi nierówności. Zacieniujmy to i zapiszmy jako nierówność
4. Rozwiązywanie nierówności za pomocą nierówności kwadratowej
Ważny fakt.
Porównując z 0 (w przypadku ścisłej nierówności), ułamek można zastąpić iloczynem licznika i mianownika lub licznik lub mianownik można zamienić.
Dzieje się tak, ponieważ wszystkie trzy nierówności są spełnione, pod warunkiem, że u i v mają różne znaki. Te trzy nierówności są równoważne.
Wykorzystajmy ten fakt i zamieńmy nierówność ułamkowo-wymierną na nierówność kwadratową.
Rozwiążmy nierówność kwadratową.
Wprowadźmy funkcję kwadratową. Znajdźmy jego pierwiastki i skonstruujmy szkic jego wykresu.
Oznacza to, że ramiona paraboli są skierowane ku górze. W przedziale pierwiastków funkcja zachowuje swój znak. Ona jest negatywna.
Poza przedziałem pierwiastków funkcja jest dodatnia.
Rozwiązanie pierwszej nierówności:
5. Rozwiązanie nierówności
Przedstawmy funkcję:
Znajdźmy jego przedziały znaku stałego:
W tym celu znajdziemy pierwiastki i punkty nieciągłości dziedziny definicji funkcji. Zawsze wytykamy punkty krytyczne. (x=3/2) Wykopujemy pierwiastki w zależności od znaku nierówności. Nasza nierówność jest ścisła. Dlatego wykopujemy korzeń.
Umieśćmy znaki:
Zapiszmy rozwiązanie:
Skończmy rozwiązywać system. Znajdźmy przecięcie zbioru rozwiązań pierwszej nierówności i zbioru rozwiązań drugiej nierówności.
Rozwiązanie układu nierówności polega na znalezieniu punktu przecięcia zbioru rozwiązań pierwszej nierówności i zbioru rozwiązań drugiej nierówności. Dlatego po rozwiązaniu pierwszej i drugiej nierówności oddzielnie należy zapisać uzyskane wyniki w jednym systemie.
Przedstawmy rozwiązanie pierwszej nierówności na osi Wołu.
Kontynuujemy zgłębianie tematu „rozwiązywania nierówności za pomocą jednej zmiennej”. Nierówności liniowe i kwadratowe są już nam znane. Są to przypadki szczególne racjonalne nierówności, które będziemy teraz studiować. Zacznijmy od dowiedzenia się, jaki rodzaj nierówności nazywamy racjonalnymi. Następnie przyjrzymy się ich podziale na nierówności racjonalne całkowite i ułamkowe. Następnie nauczymy się, jak rozwiązywać racjonalne nierówności za pomocą jednej zmiennej, zapiszemy odpowiednie algorytmy i rozważymy rozwiązania typowych przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.
Nawigacja strony.
Czym są nierówności racjonalne?
Gdy w szkole na lekcjach algebry zaczyna się rozmowa o rozwiązywaniu nierówności, od razu spotykamy się z nierównościami racjonalnymi. Jednak na początku nie nazywa się ich po imieniu, ponieważ na tym etapie rodzaje nierówności są mało interesujące, a głównym celem jest zdobycie początkowych umiejętności pracy z nierównościami. Sam termin „racjonalna nierówność” zostaje wprowadzony w dalszej części 9. klasy, kiedy rozpoczyna się szczegółowe badanie nierówności tego konkretnego typu.
Dowiedzmy się, czym są racjonalne nierówności. Oto definicja:
Podana definicja nie mówi nic o liczbie zmiennych, co oznacza, że dozwolona jest ich dowolna liczba. W zależności od tego rozróżnia się racjonalne nierówności z jednym, dwoma itp. zmienne. Nawiasem mówiąc, podręcznik podaje podobną definicję, ale dla racjonalnych nierówności z jedną zmienną. Jest to zrozumiałe, ponieważ szkoła skupia się na rozwiązywaniu nierówności za pomocą jednej zmiennej (poniżej będziemy także mówić tylko o rozwiązywaniu nierówności racjonalnych za pomocą jednej zmiennej). Nierówności z dwiema zmiennymi uważa się za niewielkie, a nierównościom z trzema lub więcej zmiennymi praktycznie nie zwraca się uwagi.
Zatem nierówność wymierną można rozpoznać po jej zapisie; w tym celu wystarczy spojrzeć na wyrażenia po jej lewej i prawej stronie i upewnić się, że są to wyrażenia wymierne. Rozważania te pozwalają nam podać przykłady racjonalnych nierówności. Na przykład x>4 , x 3 +2 y≤5 (y-1) (x 2 +1), są nierównościami racjonalnymi. I nierówność
nie jest wymierne, ponieważ jego lewa strona zawiera zmienną pod znakiem pierwiastka, a zatem nie jest wyrażeniem wymiernym. Nierówność również nie jest racjonalna, ponieważ obie jej części nie są wyrażeniami racjonalnymi.Dla wygody dalszego opisu wprowadzamy podział nierówności wymiernych na nierówności całkowite i ułamkowe.
Definicja.
Nazwiemy ją nierównością racjonalną cały, jeśli obie jego części są całymi wyrażeniami wymiernymi.
Definicja.
Ułamkowa nierówność racjonalna jest nierównością wymierną, której przynajmniej jedna część jest wyrażeniem ułamkowym.
Zatem 0,5 x≤3 (2−5 lat) ,
są nierównościami całkowitymi, a 1:x+3>0 i 
- częściowo racjonalne.Teraz mamy jasne zrozumienie, czym są nierówności wymierne i można bezpiecznie zacząć rozumieć zasady rozwiązywania nierówności wymiernych całkowitych i ułamkowych za pomocą jednej zmiennej.
Rozwiązywanie całych nierówności
Postawmy sobie zadanie: musimy rozwiązać całą nierówność wymierną z jedną zmienną x postaci r(x)
Przesuńmy wyrażenie z prawej strony na lewą, co doprowadzi nas do równoważnej nierówności w postaci r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) z zerem po prawej stronie. Oczywiście wyrażenie r(x)−s(x) utworzone po lewej stronie jest również liczbą całkowitą i wiadomo, że dowolne . Po przekształceniu wyrażenia r(x)−s(x) na identycznie równy wielomian h(x) (tutaj zauważamy, że wyrażenia r(x)−s(x) i h(x) mają tę samą zmienną x), przechodzimy do równoważnej nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥).
W najprostszych przypadkach wykonane przekształcenia wystarczą do uzyskania pożądanego rozwiązania, ponieważ doprowadzą nas od pierwotnej całej nierówności wymiernej do nierówności, którą umiemy rozwiązać, na przykład do nierówności liniowej lub kwadratowej. Spójrzmy na przykłady.
Przykład.
Znajdź rozwiązanie całej nierówności wymiernej x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.
Rozwiązanie.
Najpierw przenosimy wyrażenie z prawej strony na lewą: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Po ukończeniu wszystkiego po lewej stronie dochodzimy do nierówność liniowa 3 x−2≤0 , co jest równoważne pierwotnej nierówności całkowitej. Rozwiązanie nie jest trudne:
3x≤2 ,
x≤2/3.Odpowiedź:
x≤2/3.
Przykład.
Rozwiąż nierówność (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).
Rozwiązanie.
Zaczynamy jak zwykle od przeniesienia wyrażenia z prawej strony, a następnie wykonujemy przekształcenia po lewej stronie za pomocą:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .Zatem dokonując równoważnych przekształceń doszliśmy do nierówności 1>0, która jest prawdziwa dla dowolnej wartości zmiennej x. Oznacza to, że rozwiązaniem pierwotnej nierówności całkowitej jest dowolna liczba rzeczywista.
Odpowiedź:
x - dowolny.
Przykład.
Rozwiąż nierówność x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Rozwiązanie.
Po prawej stronie znajduje się zero, więc nie ma potrzeby niczego od niego przesuwać. Przekształćmy całe wyrażenie po lewej stronie na wielomian:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .Otrzymaliśmy nierówność kwadratową, która jest równoważna pierwotnej nierówności. Rozwiązujemy go dowolną znaną nam metodą. Rozwiążmy nierówność kwadratową graficznie.
Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego −2 x 2 +11 x+6:
Wykonujemy schematyczny rysunek, na którym zaznaczamy znalezione zera i uwzględniamy, że gałęzie paraboli są skierowane w dół, ponieważ współczynnik wiodący jest ujemny:
Ponieważ rozwiązujemy nierówność ze znakiem >, interesują nas przedziały, w których parabola znajduje się nad osią x. Dzieje się tak w przedziale (-0,5, 6), który jest pożądanym rozwiązaniem.
Odpowiedź:
(−0,5, 6) .
W więcej trudne przypadki po lewej stronie powstałej nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥) będzie wielomianem trzeciego lub wyższego stopnia. Aby rozwiązać takie nierówności, odpowiednia jest metoda przedziałowa, w której pierwszym kroku należy znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu h(x), co często odbywa się poprzez .
Przykład.
Znajdź rozwiązanie całej nierówności wymiernej (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Rozwiązanie.
Przesuwamy wszystko na lewą stronę, po czym następuje:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x-6<0 .Dokonane manipulacje prowadzą nas do nierówności równoważnej pierwotnej. Po jego lewej stronie znajduje się wielomian trzeciego stopnia. Można to rozwiązać metodą przedziałową. Aby to zrobić, najpierw musisz znaleźć pierwiastki wielomianu opartego na x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Przekonajmy się, czy ma pierwiastki wymierne, które mogą znajdować się tylko wśród dzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb ±1, ±2, ±3, ±6. Podstawiając te liczby kolejno zamiast zmiennej x do równania x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, dowiadujemy się, że pierwiastkami równania są liczby 1, 2 i 3. To pozwala nam przedstawić wielomian x 3 +4 x 2 +11 x−6 jako iloczyn (x−1) (x−2) (x−3) i nierówność x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
I wtedy pozostaje już tylko wykonać standardowe kroki metody przedziałowej: zaznaczyć na osi liczbowej punkty o współrzędnych 1, 2 i 3, które dzielą tę prostą na cztery przedziały, określić i umieścić znaki, narysować cienie na przedziały ze znakiem minus (ponieważ rozwiązujemy nierówność ze znakiem minus<) и записать ответ.
Skąd mamy (−∞, 1)∪(2, 3) .
Odpowiedź:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Należy zauważyć, że czasami nie wypada z nierówności r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) przejdź do nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥), gdzie h(x) jest wielomianem stopnia większego niż dwa. Dotyczy to przypadków, gdy trudniej jest rozłożyć wielomian h(x) na czynniki, niż przedstawić wyrażenie r(x)−s(x) jako iloczyn dwumianów liniowych i trójmianów kwadratowych, na przykład poprzez rozłożenie wspólnego czynnika . Wyjaśnijmy to na przykładzie.
Przykład.
Rozwiąż nierówność (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).
Rozwiązanie.
To jest cała nierówność. Jeśli przeniesiemy wyrażenie z prawej strony na lewą, następnie otworzymy nawiasy i dodamy podobne wyrazy, otrzymamy nierówność x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Rozwiązanie tego jest bardzo trudne, gdyż wymaga znalezienia pierwiastków wielomianu czwartego stopnia. Łatwo sprawdzić, że nie ma ona pierwiastków wymiernych (mogą to być liczby 1, -1, 19 lub -19), jednak szukanie innych pierwiastków jest problematyczne. Dlatego ta droga jest ślepą uliczką.
Poszukajmy innych możliwych rozwiązań. Łatwo zauważyć, że po przeniesieniu wyrażenia z prawej strony pierwotnej nierówności całkowitej na lewą stronę możemy wyciągnąć z nawiasów wspólny współczynnik x 2 −2 x−1:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.Przeprowadzona transformacja jest równoważna, więc rozwiązanie powstałej nierówności będzie jednocześnie rozwiązaniem nierówności pierwotnej.
I teraz możemy znaleźć zera wyrażenia znajdującego się po lewej stronie wynikowej nierówności, potrzebujemy do tego x 2 −2·x−1=0 i x 2 −2·x−19=0. Ich korzenie to liczby
. Dzięki temu możemy przejść do równoważnej nierówności i możemy ją rozwiązać metodą przedziałową: 
Odpowiedź zapisujemy zgodnie z rysunkiem.
Odpowiedź:
Na zakończenie tego punktu dodam tylko, że nie zawsze jest możliwe znalezienie wszystkich pierwiastków wielomianu h(x) i w konsekwencji rozwinięcie go do iloczynu dwumianów liniowych i trójmianów kwadratowych. W takich przypadkach nie ma możliwości rozwiązania nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥), co oznacza, że nie ma możliwości znalezienia rozwiązania pierwotnego równania wymiernego w postaci liczb całkowitych.
Rozwiązywanie ułamkowych nierówności wymiernych
Rozwiążmy teraz następujący problem: powiedzmy, że musimy rozwiązać ułamkową nierówność wymierną z jedną zmienną x w postaci r(x)
Algorytm rozwiązywania ułamkowych nierówności wymiernych z jedną zmienną r(x)
- Najpierw musisz znaleźć zakres dopuszczalnych wartości (APV) zmiennej x dla pierwotnej nierówności.
- Następnie należy przenieść wyrażenie z prawej strony nierówności na lewą i wynikowe wyrażenie r(x)−s(x) przekształcić do postaci ułamka p(x)/q(x) , gdzie p(x) i q(x) są wyrażeniami w postaci liczb całkowitych, które są iloczynami dwumianów liniowych, nierozkładalnych trójmianów kwadratowych i ich potęg z wykładnikiem naturalnym.
- Następnie musimy rozwiązać powstałą nierówność metodą przedziałową.
- Ostatecznie z rozwiązania otrzymanego w poprzednim kroku należy wykluczyć punkty, które nie wchodzą w skład ODZ zmiennej x dla pierwotnej nierówności, która została znaleziona w kroku pierwszym.
W ten sposób otrzymamy pożądane rozwiązanie ułamkowej nierówności wymiernej.
Wyjaśnienia wymaga drugi krok algorytmu. Przeniesienie wyrażenia z prawej strony nierówności na lewą daje nierówność r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), który jest odpowiednikiem oryginału. Tutaj wszystko jest jasne. Jednak dalsze przekształcenie do postaci p(x)/q(x) rodzi pytania<0 (≤, >, ≥).
Pytanie pierwsze brzmi: „Czy zawsze da się to przeprowadzić”? Teoretycznie tak. Wiemy, że wszystko jest możliwe. Licznik i mianownik ułamka wymiernego zawierają wielomiany. Z podstawowego twierdzenia algebry i twierdzenia Bezouta wynika, że dowolny wielomian stopnia n z jedną zmienną można przedstawić jako iloczyn dwumianów liniowych. To wyjaśnia możliwość przeprowadzenia tej transformacji.
W praktyce rozłożenie wielomianów na czynniki jest dość trudne, a jeśli ich stopień jest większy niż cztery, nie zawsze jest to możliwe. Jeśli faktoryzacja jest niemożliwa, nie będzie możliwości znalezienia rozwiązania pierwotnej nierówności, ale takie przypadki zwykle nie zdarzają się w szkole.
Pytanie drugie: „Czy nierówność p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) jest równoważne nierówności r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), a zatem do oryginału”? Może być równoważny lub nierówny. Jest to równoważne, gdy ODZ dla wyrażenia p(x)/q(x) pokrywa się z ODZ dla wyrażenia r(x)−s(x) . W tym przypadku ostatni krok algorytm będzie zbędny. Ale ODZ dla wyrażenia p(x)/q(x) może być szerszy niż ODZ dla wyrażenia r(x)−s(x) . Rozszerzanie ODZ może nastąpić, gdy ułamki zostaną zmniejszone, jak na przykład podczas przenoszenia
Do . Również ekspansję ODZ można ułatwić wprowadzając podobne warunki, jak na przykład przy przeprowadzce 
Do . Ostatni krok algorytmu przeznaczony jest dla tego przypadku, w którym wyklucza się decyzje zewnętrzne wynikające z rozbudowy ODZ. Postępujmy zgodnie z tym, patrząc na rozwiązania poniższych przykładów.>>Matematyka: Racjonalne nierówności
Nierówność wymierna z jedną zmienną x jest nierównością postaci - wyrażeń wymiernych, tj. wyrażenia algebraiczne składające się z liczb i zmiennej x, wykorzystujące operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi naturalnej. Oczywiście zmienną można oznaczyć dowolną inną literą, ale w matematyce najczęściej preferowana jest litera x.
Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych stosuje się trzy reguły sformułowane powyżej w § 1. Za pomocą tych reguł daną nierówność wymierną zwykle przekształca się do postaci / (x) > 0, gdzie / (x) jest liczbą algebraiczną. ułamek (lub wielomian). Następnie rozłóż licznik i mianownik ułamka f (x) na czynniki postaci x - a (jeśli oczywiście jest to możliwe) i zastosuj metodę przedziałową, o której już wspomnieliśmy powyżej (patrz przykład 3 w poprzednim ustęp).
Przykład 1. Rozwiąż nierówność (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.
Rozwiązanie. Rozważmy wyrażenie f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).
W punktach 1,-1,2 zmienia się na 0; Zaznaczmy te punkty na osi liczbowej. Oś liczbowa jest podzielona przez wskazane punkty na cztery przedziały (ryc. 6), w każdym z których wyrażenie f (x) zachowuje znak stały. Aby to zweryfikować, przeprowadźmy cztery argumenty (odrębnie dla każdego ze wskazanych przedziałów).
Weźmy dowolny punkt x z przedziału (2. Punkt ten leży na osi liczbowej na prawo od punktu -1, na prawo od punktu 1 i na prawo od punktu 2. Oznacza to, że x > -1, x > 1, x > 2 (ryc. 7). Ale wtedy x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, a zatem f (x) > 0 (jako iloczyn wymiernej nierówności trzech liczby dodatnie). Zatem nierówność f (x) zachodzi na całym przedziale ) > 0.
Weźmy dowolny punkt x z przedziału (1,2). Punkt ten leży na osi liczbowej na prawo od punktu-1, na prawo od punktu 1, ale na lewo od punktu 2. Oznacza to x > -1, x > 1, ale x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.
Weźmy dowolny punkt x z przedziału (-1,1). Punkt ten leży na osi liczbowej na prawo od punktu -1, na lewo od punktu 1 i na lewo od punktu 2. Oznacza to x > -1, ale x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (jako iloczyn dwóch liczb ujemnych i jednej dodatniej). Zatem na przedziale (-1,1) zachodzi nierówność f (x) > 0.
Na koniec weź dowolny punkt x z promienia otwartego (-oo, -1). Punkt ten leży na osi liczbowej na lewo od punktu -1, na lewo od punktu 1 i na lewo od punktu 2. Oznacza to, że x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.
Podsumujmy. Znaki wyrażenia f(x) w wybranych przedziałach przedstawiono na ryc. 11. Nas interesują te z nich, dla których zachodzi nierówność f (x) > 0. Korzystając z modelu geometrycznego przedstawionego na ryc. 11 ustalamy, że nierówność f (x) > 0 zachodzi na przedziale (-1, 1) lub na półprostej
Odpowiedź: -1 < х < 1; х > 2.
Przykład 2. Rozwiąż nierówność
Rozwiązanie. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, narysujmy niezbędne informacje z ryc. 11, ale z dwiema zmianami w porównaniu z przykładem 1. Po pierwsze, ponieważ interesuje nas, jakie wartości x posiada nierówność f (x)< 0, нам придется выбрать промежутки
Po drugie, zadowalają nas również te punkty, w których zachodzi równość f (x) = 0. Są to punkty -1, 1, 2, zaznaczymy je na rysunku ciemnymi kółkami i uwzględnimy w odpowiedzi. Na ryc. Na rysunku 12 przedstawiono model geometryczny odpowiedzi, z którego łatwo przejść do zapisu analitycznego.
Odpowiedź:
Przykład 3. Rozwiąż nierówność
Rozwiązanie. Rozłóżmy na czynniki licznik i mianownik ułamka algebraicznego fx zawartego po lewej stronie nierówności. W liczniku mamy x 2 - x = x(x - 1).Rozkładając na czynniki kwadratowy trójmian x 2 - bx ~ 6 zawarty w mianowniku ułamka, znajdujemy jego pierwiastki. Z równania x 2 - 5x - 6 = 0 znajdujemy x 1 = -1, x 2 = 6. Oznacza to
(użyliśmy wzoru na rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego: ax 2 + bx + c = a(x - x 1 - x 2)).
W ten sposób podaną nierówność przekształciliśmy do postaci
Rozważ wyrażenie:
Licznik tego ułamka zwraca się do 0 w punktach 0 i 1 oraz do 0 w punktach -1 i 6. Zaznaczmy te punkty na osi liczbowej (ryc. 13). Oś liczbowa jest podzielona przez wskazane punkty na pięć przedziałów i w każdym przedziale wyrażenie fx) zachowuje znak stały. Rozumując analogicznie jak w przykładzie 1, dochodzimy do wniosku, że znaki wyrażenia fх) w wybranych przedziałach są takie, jak pokazano na ryc. 13. Interesuje nas, gdzie zachodzi nierówność f (x).< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).0odpowiedź: -1
Przykład 4. Rozwiąż nierówność
Rozwiązanie. Rozwiązując nierówności racjonalne, z reguły wolą pozostawić tylko liczbę 0 po prawej stronie nierówności. Dlatego przekształcamy nierówność w formę
Następny:
Jak pokazuje doświadczenie, jeśli po prawej stronie nierówności znajduje się tylko liczba 0, wygodniej jest przeprowadzić wnioskowanie, gdy po lewej stronie zarówno licznik, jak i mianownik mają dodatni współczynnik wiodący. I co mamy w tym? mianowniku, ułamki w tym sensie są w porządku (współczynnik wiodący, czyli współczynnik x 2, jest równy 6 - liczba dodatnia), ale nie wszystko jest w porządku w liczniku - współczynnik wiodący (współczynnik x) jest równe -4 (liczba ujemna). -1 i zmieniając znak nierówności na przeciwny, otrzymujemy równoważną nierówność
Rozwińmy licznik i mianownik ułamek algebraiczny przez mnożniki. W liczniku wszystko jest proste:
Rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy zawarty w mianowniku ułamka
(ponownie użyliśmy wzoru na rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego).
W ten sposób sprowadziliśmy daną nierówność do postaci
Rozważ wyrażenie
Licznik tego ułamka zwraca się do 0 w punkcie, a mianownik w punktach Zaznaczamy te punkty na osi liczbowej (ryc. 14), która jest podzielona przez wskazane punkty na cztery przedziały, a w każdym przedziale wyrażenie. f (x) zachowuje znak stały (znaki te pokazano na ryc. 14). Nas interesują te przedziały, na których zachodzi nierówność fx< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
We wszystkich rozważanych przykładach podaną nierówność przekształciliśmy w równoważną nierówność postaci f (x) > 0 lub f (x)<0,где
W takim przypadku liczba czynników w liczniku i mianowniku ułamka może być dowolna. Następnie na osi liczbowej zaznaczono punkty a, b, c, d. i wyznaczyłem znaki wyrażenia f(x) na wybranych przedziałach. Zauważyliśmy, że na prawym z wybranych przedziałów zachodzi nierówność f (x) > 0, a następnie wzdłuż przedziałów znaki wyrażenia f (x) zmieniają się (patrz rys. 16a). Wygodnie jest zilustrować tę zmianę za pomocą falistej krzywej, która jest rysowana od prawej do lewej i od góry do dołu (ryc. 166). W tych przedziałach, w których ta krzywa (czasami nazywana krzywą znaku) znajduje się powyżej osi x, zachodzi nierówność f (x) > 0; gdzie krzywa ta znajduje się poniżej osi x, nierówność f (x) jest spełniona< 0.
Przykład 5. Rozwiąż nierówność
Rozwiązanie. Mamy
(obie strony poprzedniej nierówności pomnożono przez 6).
Aby zastosować metodę przedziałową należy zaznaczyć punkty na osi liczbowej
(w tych punktach licznik ułamka zawartego po lewej stronie nierówności staje się zerem) i punktów (w tych punktach mianownik wskazanego ułamka staje się zerem). Zazwyczaj punkty zaznacza się schematycznie, biorąc pod uwagę kolejność ich występowania (czyli z prawej, czyli z lewej strony) i bez szczególnego zwracania uwagi na zachowanie skali. To jasne 
Sytuacja z liczbami jest bardziej skomplikowana. Z pierwszego oszacowania wynika, że obie liczby są nieco większe od 2,6, z czego nie da się stwierdzić, która ze wskazanych liczb jest większa, a która mniejsza. Załóżmy (losowo), że Wtedy 
Nierówność okazała się słuszna, co oznacza, że nasze przypuszczenia się potwierdziły: faktycznie
Więc,
Zaznaczmy wskazane 5 punktów we wskazanej kolejności na osi liczbowej (ryc. 17a). Uporządkujmy znaki wyrazu
na powstałych odstępach: po prawej stronie znajduje się znak +, a następnie znaki zmieniają się (ryc. 176). Narysujmy krzywą znaków i zaznaczmy (cieniując) te przedziały, na których spełniona jest interesująca nas nierówność f (x) > 0 (rys. 17c). Weźmy to w końcu pod uwagę o czym mówimy o nieścisłej nierówności f (x) > 0, co oznacza, że interesują nas także te punkty, w których wyrażenie f (x) zanika. Są to pierwiastki licznika ułamka f (x), tj. zwrotnica
Zaznaczmy je na ryc. 17c w ciemnych kółkach (i oczywiście zostanie uwzględniony w odpowiedzi). Teraz jest ryż. Na rysunku 17c przedstawiono kompletny model geometryczny rozwiązań danej nierówności.
