Dzięki tej lekcji poznasz nierówności racjonalne i ich systemy. Układ nierówności wymiernych rozwiązuje się za pomocą przekształceń równoważnych. Definicja równoważności, metoda zastępowania ułamka zwykłego racjonalna nierówność- kwadratowy, a także rozumie różnicę pomiędzy nierównością a równaniem oraz sposób przeprowadzania przekształceń równoważnych.

Algebra 9. klasa

Końcowa powtórka kursu algebry dla klasy 9

Nierówności racjonalne i ich systemy. Systemy nierówności racjonalnych.

1.1 Abstrakcyjny.

1. Transformacje równoważne nierówności wymiernych.

Decydować racjonalna nierówność oznacza znalezienie wszystkich jego rozwiązań. W przeciwieństwie do równania, przy rozwiązywaniu nierówności z reguły powstaje nieskończona liczba rozwiązań. Niezliczonych rozwiązań nie można zweryfikować przez podstawienie. Należy zatem przekształcić pierwotną nierówność w taki sposób, aby w każdej kolejnej linii otrzymać nierówność z tym samym zestawem rozwiązań.

Racjonalne nierówności można rozwiązać tylko przy pomocy równowartość lub równoważne przekształcenia. Przekształcenia takie nie zniekształcają zbioru rozwiązań.

Definicja. Racjonalne nierówności zwany równowartość, jeśli zbiory ich rozwiązań pokrywają się.

Aby wskazać równorzędność użyj znaku

2. Rozwiązanie układu nierówności

Pierwsza i druga nierówności są ułamkowymi nierównościami wymiernymi. Metody ich rozwiązywania są naturalną kontynuacją metod rozwiązywania nierówności liniowych i kwadratowych.

Przesuńmy liczby po prawej stronie w lewo z przeciwnym znakiem.

W rezultacie prawa strona pozostanie 0. Ta transformacja jest równoważna. Wskazuje na to znak

Wykonajmy działania, które zaleca algebra. Odejmij „1” w pierwszej nierówności i „2” w drugiej.

3. Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową

1) Przedstawmy funkcję. Musimy wiedzieć, kiedy ta funkcja jest mniejsza niż 0.

2) Znajdźmy dziedzinę definicji funkcji: w mianowniku nie powinno być 0. Punktem przerwania jest „2”. Przy x=2 funkcja jest niezdefiniowana.

3) Znajdź pierwiastki funkcji. Funkcja jest równa 0, jeśli licznik zawiera 0.

Umieszczone punkty dzielą oś liczbową na trzy przedziały - są to przedziały o znaku stałym. W każdym przedziale funkcja zachowuje swój znak. Ustalmy znak na pierwszym przedziale. Zastąpmy jakąś wartość. Na przykład 100. Oczywiste jest, że zarówno licznik, jak i mianownik są większe od 0. Oznacza to, że cały ułamek jest dodatni.

Wyznaczmy znaki na pozostałych przedziałach. Przy przejściu przez punkt x=2 zmienia się tylko mianownik. Oznacza to, że cały ułamek zmieni znak i będzie ujemny. Przeprowadźmy podobne rozumowanie. Przy przejściu przez punkt x=-3 zmienia się tylko licznik. Oznacza to, że ułamek zmieni znak i będzie dodatni.

Wybierzmy przedział odpowiadający warunkowi nierówności. Zacieniujmy to i zapiszmy jako nierówność

4. Rozwiązywanie nierówności za pomocą nierówności kwadratowej

Ważny fakt.

Porównując z 0 (w przypadku ścisłej nierówności), ułamek można zastąpić iloczynem licznika i mianownika lub licznik lub mianownik można zamienić.

Dzieje się tak, ponieważ wszystkie trzy nierówności są spełnione pod warunkiem, że u i v inny znak. Te trzy nierówności są równoważne.

Wykorzystajmy ten fakt i zamieńmy nierówność ułamkowo-wymierną na nierówność kwadratową.

Rozwiążmy nierówność kwadratową.

Przedstawmy funkcja kwadratowa. Znajdźmy jego pierwiastki i skonstruujmy szkic jego wykresu.

Oznacza to, że ramiona paraboli są skierowane ku górze. W przedziale pierwiastków funkcja zachowuje swój znak. Ona jest negatywna.

Poza przedziałem pierwiastków funkcja jest dodatnia.

Rozwiązanie pierwszej nierówności:

5. Rozwiązanie nierówności

Przedstawmy funkcję:

Znajdźmy jego przedziały znaku stałego:

Aby to zrobić, znajdziemy pierwiastki i punkty przerwania dziedziny definicji funkcji. Zawsze wytykamy punkty krytyczne. (x=3/2) Wykopujemy pierwiastki w zależności od znaku nierówności. Nasza nierówność jest ścisła. Dlatego wykopujemy korzeń.

Umieśćmy znaki:

Zapiszmy rozwiązanie:

Skończmy rozwiązywać system. Znajdźmy przecięcie zbioru rozwiązań pierwszej nierówności i zbioru rozwiązań drugiej nierówności.

Rozwiązanie układu nierówności polega na znalezieniu punktu przecięcia zbioru rozwiązań pierwszej nierówności i zbioru rozwiązań drugiej nierówności. Dlatego po rozwiązaniu pierwszej i drugiej nierówności oddzielnie należy zapisać uzyskane wyniki w jednym systemie.

Przedstawmy rozwiązanie pierwszej nierówności na osi Wołu.

Kontynuujemy zgłębianie tematu „rozwiązywania nierówności za pomocą jednej zmiennej”. Nierówności liniowe i kwadratowe są już nam znane. Są to przypadki szczególne racjonalne nierówności, które będziemy teraz studiować. Zacznijmy od dowiedzenia się, jaki rodzaj nierówności nazywamy racjonalnymi. Następnie przyjrzymy się ich podziale na nierówności racjonalne całkowite i ułamkowe. Następnie nauczymy się, jak rozwiązywać racjonalne nierówności za pomocą jednej zmiennej, zapiszemy odpowiednie algorytmy i rozważymy rozwiązania typowych przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.

Nawigacja strony.

Czym są nierówności racjonalne?

Gdy w szkole na lekcjach algebry zaczyna się rozmowa o rozwiązywaniu nierówności, od razu spotykamy się z nierównościami racjonalnymi. Jednak na początku nie nazywa się ich po imieniu, ponieważ na tym etapie rodzaje nierówności są mało interesujące, a głównym celem jest zdobycie początkowych umiejętności pracy z nierównościami. Sam termin „racjonalna nierówność” zostaje wprowadzony później w 9. klasie, kiedy rozpoczyna się szczegółowe badanie nierówności tego konkretnego typu.

Dowiedzmy się, czym są racjonalne nierówności. Oto definicja:

Podana definicja nie mówi nic o liczbie zmiennych, co oznacza, że ​​dozwolona jest ich dowolna liczba. W zależności od tego rozróżnia się racjonalne nierówności z jednym, dwoma itp. zmienne. Nawiasem mówiąc, podręcznik podaje podobną definicję, ale dla racjonalnych nierówności z jedną zmienną. Jest to zrozumiałe, ponieważ szkoła skupia się na rozwiązywaniu nierówności za pomocą jednej zmiennej (poniżej będziemy także mówić tylko o rozwiązywaniu nierówności racjonalnych za pomocą jednej zmiennej). Nierówności z dwiema zmiennymi są uważane za małe, a nierówności z trzema i duża liczba Prawie w ogóle nie zwraca się uwagi na zmienne.

Zatem nierówność wymierną można rozpoznać po jej zapisie; w tym celu wystarczy spojrzeć na wyrażenia po jej lewej i prawej stronie i upewnić się, że są to wyrażenia wymierne. Rozważania te pozwalają nam podać przykłady racjonalnych nierówności. Na przykład x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), są nierównościami racjonalnymi. I nierówność nie jest wymierne, ponieważ jego lewa strona zawiera zmienną pod znakiem pierwiastka, a zatem nie jest wyrażeniem wymiernym. Nierówność również nie jest racjonalna, ponieważ obie jej części nie są wyrażeniami racjonalnymi.

Dla wygody dalszego opisu wprowadzamy podział nierówności wymiernych na nierówności całkowite i ułamkowe.

Definicja.

Nazwiemy ją nierównością racjonalną cały, jeśli obie jego części są całymi wyrażeniami wymiernymi.

Definicja.

Ułamkowa nierówność racjonalna jest nierównością wymierną, której przynajmniej jedna część jest wyrażeniem ułamkowym.

Zatem 0,5 x≤3 (2−5 lat) , są nierównościami całkowitymi, a 1:x+3>0 i - częściowo racjonalne.

Teraz mamy jasne zrozumienie, czym są nierówności wymierne i można bezpiecznie zacząć rozumieć zasady rozwiązywania nierówności wymiernych całkowitych i ułamkowych za pomocą jednej zmiennej.

Rozwiązywanie całych nierówności

Postawmy sobie zadanie: powiedzmy, że musimy rozwiązać całą nierówność wymierną z jedną zmienną x postaci r(x) , ≥), gdzie r(x) i s(x) są pewnymi wyrażeniami wymiernymi w postaci liczb całkowitych. Aby go rozwiązać, zastosujemy równoważne przekształcenia nierówności.

Przesuńmy wyrażenie z prawej strony na lewą, co doprowadzi nas do równoważnej nierówności w postaci r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) z zerem po prawej stronie. Oczywiście wyrażenie r(x)−s(x) utworzone po lewej stronie jest również liczbą całkowitą i wiadomo, że dowolne . Po przekształceniu wyrażenia r(x)−s(x) na identycznie równy wielomian h(x) (tutaj zauważamy, że wyrażenia r(x)−s(x) i h(x) mają tę samą zmienną x), przechodzimy do równoważnej nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥).

W najprostszych przypadkach wykonane przekształcenia wystarczą do uzyskania pożądanego rozwiązania, ponieważ doprowadzą nas od pierwotnej całej nierówności wymiernej do nierówności, którą umiemy rozwiązać, na przykład do nierówności liniowej lub kwadratowej. Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź rozwiązanie całej nierówności wymiernej x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.

Rozwiązanie.

Najpierw przenosimy wyrażenie z prawej strony na lewą: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Po ukończeniu wszystkiego po lewej stronie dochodzimy do nierówność liniowa 3·x−2≤0 , co jest równoważne pierwotnej nierówności całkowitej. Rozwiązanie nie jest trudne:
3x≤2 ,
x≤2/3.

Odpowiedź:

x≤2/3.

Przykład.

Rozwiąż nierówność (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).

Rozwiązanie.

Zaczynamy jak zwykle od przeniesienia wyrażenia z prawej strony, a następnie wykonujemy przekształcenia po lewej stronie za pomocą:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Zatem dokonując równoważnych przekształceń doszliśmy do nierówności 1>0, która jest prawdziwa dla dowolnej wartości zmiennej x. Oznacza to, że rozwiązaniem pierwotnej nierówności całkowitej jest dowolna liczba rzeczywista.

Odpowiedź:

x - dowolny.

Przykład.

Rozwiąż nierówność x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

Rozwiązanie.

Po prawej stronie znajduje się zero, więc nie ma potrzeby niczego od niego przesuwać. Przekształćmy całe wyrażenie po lewej stronie na wielomian:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową, która jest równoważna pierwotnej nierówności. Rozwiązujemy go dowolną znaną nam metodą. Rozwiążmy nierówność kwadratową graficznie.

Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego −2 x 2 +11 x+6:

Wykonujemy schematyczny rysunek, na którym zaznaczamy znalezione zera i uwzględniamy, że gałęzie paraboli są skierowane w dół, ponieważ współczynnik wiodący jest ujemny:

Ponieważ rozwiązujemy nierówność ze znakiem >, interesują nas przedziały, w których parabola znajduje się nad osią x. Dzieje się tak w przedziale (-0,5, 6), który jest pożądanym rozwiązaniem.

Odpowiedź:

(−0,5, 6) .

W więcej trudne przypadki po lewej stronie powstałej nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥) będzie wielomianem trzeciego lub wyższego stopnia. Aby rozwiązać takie nierówności, odpowiednia jest metoda przedziałowa, w której pierwszym kroku należy znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu h(x), co często odbywa się poprzez .

Przykład.

Znajdź rozwiązanie całej nierówności wymiernej (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Rozwiązanie.

Przesuwamy wszystko na lewą stronę, po czym następuje:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x-6<0 .

Dokonane manipulacje prowadzą nas do nierówności równoważnej pierwotnej. Po jego lewej stronie znajduje się wielomian trzeciego stopnia. Można to rozwiązać metodą przedziałową. Aby to zrobić, najpierw musisz znaleźć pierwiastki wielomianu opartego na x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Przekonajmy się, czy ma pierwiastki wymierne, które mogą znajdować się jedynie wśród dzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb ±1, ±2, ±3, ±6. Podstawiając te liczby kolejno zamiast zmiennej x do równania x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, dowiadujemy się, że pierwiastkami równania są liczby 1, 2 i 3. To pozwala nam przedstawić wielomian x 3 +4 x 2 +11 x−6 jako iloczyn (x−1) (x−2) (x−3) i nierówność x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

I wtedy pozostaje już tylko wykonać standardowe kroki metody przedziałowej: zaznaczyć na osi liczbowej punkty o współrzędnych 1, 2 i 3, które dzielą tę prostą na cztery przedziały, określić i umieścić znaki, narysować cienie na przedziały ze znakiem minus (ponieważ rozwiązujemy nierówność ze znakiem minus<) и записать ответ.

Skąd mamy (−∞, 1)∪(2, 3) .

Odpowiedź:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Należy zauważyć, że czasami nie wypada z nierówności r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) przejdź do nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥), gdzie h(x) jest wielomianem stopnia większego niż dwa. Dotyczy to przypadków, gdy trudniej jest rozłożyć wielomian h(x) na czynniki, niż przedstawić wyrażenie r(x)−s(x) jako iloczyn dwumianów liniowych i trójmianów kwadratowych, na przykład poprzez rozłożenie wspólnego czynnika . Wyjaśnijmy to na przykładzie.

Przykład.

Rozwiąż nierówność (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

Rozwiązanie.

To jest cała nierówność. Jeśli przeniesiemy wyrażenie z prawej strony na lewą, następnie otworzymy nawiasy i dodamy podobne wyrazy, otrzymamy nierówność x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Rozwiązanie tego jest bardzo trudne, gdyż wymaga znalezienia pierwiastków wielomianu czwartego stopnia. Łatwo sprawdzić, że nie ma ona pierwiastków wymiernych (mogą to być liczby 1, -1, 19 lub -19), jednak szukanie innych pierwiastków jest problematyczne. Dlatego ta droga jest ślepą uliczką.

Poszukajmy innych możliwych rozwiązań. Łatwo zauważyć, że po przeniesieniu wyrażenia z prawej strony pierwotnej nierówności całkowitej na lewą stronę możemy wyjąć z nawiasów wspólny czynnik x 2 −2 x−1:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

Przeprowadzona transformacja jest równoważna, więc rozwiązanie powstałej nierówności będzie jednocześnie rozwiązaniem nierówności pierwotnej.

I teraz możemy znaleźć zera wyrażenia znajdującego się po lewej stronie wynikowej nierówności, potrzebujemy do tego x 2 −2·x−1=0 i x 2 −2·x−19=0. Ich korzenie to liczby . Dzięki temu możemy przejść do równoważnej nierówności i możemy ją rozwiązać metodą przedziałową:

Odpowiedź zapisujemy zgodnie z rysunkiem.

Odpowiedź:

Na zakończenie tego punktu dodam tylko, że nie zawsze jest możliwe znalezienie wszystkich pierwiastków wielomianu h(x) i w konsekwencji rozwinięcie go do iloczynu dwumianów liniowych i trójmianów kwadratowych. W takich przypadkach nie ma możliwości rozwiązania nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥), co oznacza, że ​​nie ma możliwości znalezienia rozwiązania pierwotnego równania wymiernego w postaci liczb całkowitych.

Rozwiązywanie ułamkowych nierówności wymiernych

Rozwiążmy teraz następujący problem: powiedzmy, że musimy rozwiązać ułamkową nierówność wymierną z jedną zmienną x w postaci r(x) , ≥), gdzie r(x) i s(x) są wyrażeniami wymiernymi i przynajmniej jedno z nich jest ułamkowe. Przedstawmy od razu algorytm jego rozwiązania, po czym dokonamy niezbędnych wyjaśnień.

Algorytm rozwiązywania ułamkowych nierówności wymiernych z jedną zmienną r(x) , ≥):

• Najpierw musisz znaleźć zakres dopuszczalnych wartości (APV) zmiennej x dla pierwotnej nierówności.
• Następnie należy przenieść wyrażenie z prawej strony nierówności na lewą i utworzone tam wyrażenie r(x)−s(x) przekształcić do postaci ułamka p(x)/q(x) , gdzie p(x) i q(x) są wyrażeniami w postaci liczb całkowitych, które są iloczynami dwumianów liniowych, nierozkładalnych trójmianów kwadratowych i ich potęg z wykładnikiem naturalnym.
• Następnie musimy rozwiązać powstałą nierówność metodą przedziałową.
• Ostatecznie z rozwiązania otrzymanego w poprzednim kroku należy wykluczyć punkty, które nie wchodzą w skład ODZ zmiennej x dla pierwotnej nierówności, która została znaleziona w kroku pierwszym.

W ten sposób otrzymamy pożądane rozwiązanie ułamkowej nierówności wymiernej.

Wyjaśnienia wymaga drugi krok algorytmu. Przeniesienie wyrażenia z prawej strony nierówności na lewą daje nierówność r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), który jest odpowiednikiem oryginału. Tutaj wszystko jest jasne. Jednak dalsze przekształcenie do postaci p(x)/q(x) rodzi pytania<0 (≤, >, ≥).

Pytanie pierwsze brzmi: „Czy zawsze da się to przeprowadzić”? Teoretycznie tak. Wiemy, że wszystko jest możliwe. Licznik i mianownik ułamka wymiernego zawierają wielomiany. Z podstawowego twierdzenia algebry i twierdzenia Bezouta wynika, że ​​dowolny wielomian stopnia n z jedną zmienną można przedstawić jako iloczyn dwumianów liniowych. To wyjaśnia możliwość przeprowadzenia tej transformacji.

W praktyce rozłożenie wielomianów na czynniki jest dość trudne, a jeśli ich stopień jest większy niż cztery, nie zawsze jest to możliwe. Jeśli faktoryzacja jest niemożliwa, nie będzie możliwości znalezienia rozwiązania pierwotnej nierówności, ale takie przypadki zwykle nie zdarzają się w szkole.

Pytanie drugie: „Czy nierówność p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) jest równoważne nierówności r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), a zatem do oryginału”? Może być równoważny lub nierówny. Jest to równoważne, gdy ODZ dla wyrażenia p(x)/q(x) pokrywa się z ODZ dla wyrażenia r(x)−s(x) . W tym przypadku ostatni krok algorytmu będzie zbędny. Ale ODZ dla wyrażenia p(x)/q(x) może być szerszy niż ODZ dla wyrażenia r(x)−s(x) . Rozszerzanie ODZ może nastąpić, gdy ułamki zostaną zmniejszone, jak na przykład podczas przenoszenia Do . Również ekspansję ODZ można ułatwić wprowadzając podobne warunki, jak na przykład przy przeprowadzce Do . Ostatni krok algorytmu przeznaczony jest dla tego przypadku, w którym wyklucza się decyzje zewnętrzne wynikające z rozbudowy ODZ. Postępujmy zgodnie z tym, patrząc na rozwiązania poniższych przykładów.

Ale dzisiaj racjonalne nierówności nie mogą rozwiązać wszystkiego. Dokładniej, nie tylko każdy może decydować. Niewiele osób może to zrobić.
Kliczko

Ta lekcja będzie trudna. Tak trudne, że tylko Wybrani dotrą do końca. Dlatego przed rozpoczęciem czytania polecam usunąć kobiety, koty, dzieci w ciąży i... z ekranów.

Daj spokój, to właściwie proste. Załóżmy, że opanowałeś metodę przedziałów (jeśli jej nie opanowałeś, polecam wrócić i przeczytać ją) i nauczyłeś się rozwiązywać nierówności w postaci $P\left(x \right) \gt 0$, gdzie $ P\left(x \right)$ jest jakimś wielomianem lub iloczynem wielomianów.

Myślę, że nie będzie Ci trudno rozwiązać np. coś takiego (swoją drogą, spróbuj na rozgrzewkę):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Teraz skomplikujmy trochę problem i rozważmy nie tylko wielomiany, ale tak zwane ułamki wymierne postaci:

gdzie $P\left(x \right)$ i $Q\left(x \right)$ są tymi samymi wielomianami postaci $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, czyli iloczyn takich wielomianów.

Będzie to nierówność racjonalna. Zasadniczą kwestią jest obecność zmiennej $x$ w mianowniku. Są to na przykład nierówności racjonalne:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

I nie jest to nierówność wymierna, ale najczęstsza nierówność, którą można rozwiązać metodą przedziałową:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Patrząc w przyszłość, powiem od razu: istnieją co najmniej dwa sposoby rozwiązywania nierówności racjonalnych, ale wszystkie w ten czy inny sposób sprowadzają się do znanej nam metody przedziałów. Dlatego zanim przeanalizujemy te metody, przypomnijmy sobie stare fakty, inaczej nowy materiał nie będzie miał sensu.

Co już musisz wiedzieć

Ważnych faktów nigdy za wiele. Tak naprawdę potrzebujemy tylko czterech.

Skrócone wzory na mnożenie

Tak, tak: będą nas prześladować przez cały szkolny program nauczania matematyki. I na uniwersytecie też. Istnieje wiele takich formuł, ale potrzebujemy tylko następujących:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\lewo(a-b \prawo)\lewo(a+b \prawo); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\lewo(a+b \prawo)\lewo(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \prawo); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\lewo(a-b \prawo)\lewo(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\prawo). \\ \end(align)\]

Zwróć uwagę na dwa ostatnie wzory - są to suma i różnica kostek (a nie sześcian sumy lub różnicy!). Łatwo je zapamiętać, jeśli zauważymy, że znak w pierwszym nawiasie pokrywa się ze znakiem w wyrażeniu oryginalnym, a w drugim jest przeciwny do znaku w wyrażeniu oryginalnym.

Równania liniowe

Są to najprostsze równania w postaci $ax+b=0$, gdzie $a$ i $b$ to liczby zwykłe, a $a\ne 0$. Równanie to można rozwiązać w prosty sposób:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Zaznaczę, że mamy prawo dzielić przez współczynnik $a$, bo $a\ne 0$. To wymaganie jest całkiem logiczne, ponieważ dla $a=0$ otrzymujemy to:

Po pierwsze, w tym równaniu nie ma zmiennej $x$. To, ogólnie rzecz biorąc, nie powinno nas mylić (dzieje się to, powiedzmy, w geometrii i dość często), ale mimo to nie jest to już równanie liniowe.

Po drugie, rozwiązanie tego równania zależy wyłącznie od współczynnika $b$. Jeśli $b$ również wynosi zero, to nasze równanie ma postać $0=0$. Ta równość jest zawsze prawdziwa; oznacza to, że $x$ to dowolna liczba (zwykle zapisana w ten sposób: $x\in \mathbb(R)$). Jeśli współczynnik $b$ nie jest równy zero, to równość $b=0$ nigdy nie jest spełniona, tzn. nie ma odpowiedzi (wpisz $x\in \varnothing $ i przeczytaj „zestaw rozwiązań jest pusty”).

Aby uniknąć tych wszystkich trudności, przyjmujemy po prostu $a\ne 0$, co wcale nie ogranicza nas w dalszym myśleniu.

Równania kwadratowe

Przypomnę, że tak nazywa się równanie kwadratowe:

Tutaj po lewej stronie wielomian drugiego stopnia i znowu $a\ne 0$ (w przeciwnym razie zamiast równania kwadratowego otrzymamy równanie liniowe). Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się następujące równania:

1. Jeśli $D \gt 0$, otrzymamy dwa różne pierwiastki;
2. Jeśli $D=0$, to pierwiastek będzie taki sam, ale drugiej krotności (co to za krotność i jak ją uwzględnić - o tym później). Lub możemy powiedzieć, że równanie ma dwa identyczne pierwiastki;
3. Dla $D \lt 0$ w ogóle nie ma pierwiastków, a znak wielomianu $a((x)^(2))+bx+c$ dla dowolnego $x$ pokrywa się ze znakiem współczynnika $a $. Nawiasem mówiąc, jest to bardzo przydatny fakt, o którym z jakiegoś powodu zapominają mówić na lekcjach algebry.

Same korzenie oblicza się za pomocą dobrze znanego wzoru:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Stąd, nawiasem mówiąc, ograniczenia dotyczące dyskryminatora. Przecież pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje. Wielu uczniów ma straszny mętlik w głowie odnośnie pierwiastków, dlatego specjalnie zapisałam sobie całą lekcję: czym jest pierwiastek w algebrze i jak go obliczyć - gorąco polecam przeczytać :)

Działania na ułamkach wymiernych

Wiesz już wszystko, co napisano powyżej, jeśli przestudiowałeś metodę interwałową. Ale to, co teraz przeanalizujemy, nie ma analogii w przeszłości - to zupełnie nowy fakt.

Definicja. Ułamek wymierny jest wyrazem formy

\[\frac(P\lewo(x \prawo))(Q\lewo(x \prawo))\]

gdzie $P\lewo(x \prawo)$ i $Q\lewo(x \prawo)$ są wielomianami.

Oczywiście łatwo jest uzyskać nierówność z takiego ułamka – wystarczy dodać znak „większy niż” lub „mniejszy niż” po prawej stronie. A nieco dalej odkryjemy, że rozwiązywanie takich problemów to przyjemność, wszystko jest bardzo proste.

Problemy zaczynają się, gdy w jednym wyrażeniu występuje kilka takich ułamków. Trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika – a to właśnie w tym momencie popełnia się dużą liczbę błędów w ofensywie.

Dlatego, aby skutecznie rozwiązywać równania wymierne, musisz mocno zrozumieć dwie umiejętności:

1. Rozkładanie wielomianu na czynniki $P\left(x \right)$;
2. A właściwie sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Jak rozłożyć wielomian na czynniki? Bardzo proste. Załóżmy, że mamy wielomian o postaci

Przyrównujemy to do zera. Otrzymujemy równanie $n$tego stopnia:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Powiedzmy, że rozwiązaliśmy to równanie i otrzymaliśmy pierwiastki $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nie przejmuj się: w większości przypadków będzie nie więcej niż dwa z tych korzeni). W tym przypadku nasz pierwotny wielomian można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\lewo(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

To wszystko! Uwaga: wiodący współczynnik $((a)_(n))$ nigdzie nie zniknął - będzie to osobny mnożnik przed nawiasami i w razie potrzeby można go wstawić w którykolwiek z tych nawiasów (pokazuje praktyka) że przy $((a)_ (n))\ne \pm 1$ prawie zawsze są ułamki między pierwiastkami).

Zadanie. Uprość wyrażenie:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Rozwiązanie. Najpierw spójrzmy na mianowniki: wszystkie są dwumianami liniowymi i nie ma tu nic do uwzględnienia. Rozłóżmy więc liczniki na czynniki:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\lewo(x-\frac(3)(2) \prawo)\lewo(x-1 \prawo)=\lewo(2x- 3 \prawo)\lewo(x-1 \prawo); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\lewo(x+2 \prawo)\lewo(x-\frac(2)(5) \prawo)=\lewo(x +2 \prawo)\lewo(2-5x \prawo). \\\end(align)\]

Uwaga: w drugim wielomianie wiodący współczynnik „2”, zgodnie z naszym schematem, najpierw pojawił się przed nawiasem, a następnie został uwzględniony w pierwszym nawiasie, ponieważ tam pojawił się ułamek.

To samo wydarzyło się w trzecim wielomianie, tylko tam również kolejność wyrazów jest odwrotna. Jednak współczynnik „-5” został ostatecznie uwzględniony w drugim nawiasie (pamiętajcie: współczynnik można wpisać w jednym i tylko jednym nawiasie!), co oszczędziło nam niedogodności związanych z pierwiastkami ułamkowymi.

Jeśli chodzi o pierwszy wielomian, wszystko jest proste: jego pierwiastków szukamy albo standardowo poprzez dyskryminator, albo korzystając z twierdzenia Viety.

Wróćmy do pierwotnego wyrażenia i przepiszmy je z uwzględnieniem liczników:

\[\begin(macierz) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(macierz)\]

Odpowiedź: $5x+4$.

Jak widać nic skomplikowanego. Trochę matematyki dla klas 7-8 i to wszystko. Celem wszystkich transformacji jest uzyskanie czegoś prostego i łatwego w obsłudze ze złożonej i przerażającej ekspresji.

Jednak nie zawsze tak będzie. Zatem teraz zajmiemy się poważniejszym problemem.

Ale najpierw wymyślmy, jak doprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika. Algorytm jest niezwykle prosty:

1. Uwzględnij oba mianowniki;
2. Rozważ pierwszy mianownik i dodaj do niego czynniki, które występują w drugim mianowniku, ale nie w pierwszym. Powstały produkt będzie wspólnym mianownikiem;
3. Dowiedz się, jakich czynników brakuje każdemu z pierwotnych ułamków, aby mianowniki stały się równe wspólnemu.

Może się wydawać, że ten algorytm przypomina po prostu tekst zawierający „dużo liter”. Dlatego spójrzmy na wszystko na konkretnym przykładzie.

Zadanie. Uprość wyrażenie:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Rozwiązanie. Lepiej jest rozwiązywać tak duże problemy w częściach. Zapiszmy, co jest w pierwszym nawiasie:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

W przeciwieństwie do poprzedniego problemu, tutaj mianowniki nie są takie proste. Rozważmy każdy z nich.

Trójmianu kwadratowego $((x)^(2))+2x+4$ nie można rozłożyć na czynniki, ponieważ równanie $((x)^(2))+2x+4=0$ nie ma pierwiastków (wyróżnik jest ujemny ). Pozostawiamy to bez zmian.

Drugi mianownik - wielomian sześcienny $((x)^(3))-8$ - po dokładnym zbadaniu jest różnicą sześcianów i można go łatwo rozszerzyć za pomocą skróconych wzorów na mnożenie:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\lewo(x-2 \prawo)\lewo(((x) ^(2))+2x+4 \prawo)\]

Nic innego nie można rozłożyć na czynniki, ponieważ w pierwszym nawiasie znajduje się dwumian liniowy, a w drugim znajduje się już nam znana konstrukcja, która nie ma prawdziwych pierwiastków.

Wreszcie trzeci mianownik to dwumian liniowy, którego nie można rozwinąć. Zatem nasze równanie będzie miało postać:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\lewo(x-2 \prawo)\lewo (((x)^(2))+2x+4 \prawo))-\frac(1)(x-2)\]

Jest całkiem oczywiste, że wspólnym mianownikiem będzie dokładnie $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ i aby sprowadzić do niego wszystkie ułamki zwykłe należy pomnożyć pierwszy ułamek przez $\left(x-2 \right)$, a ostatni przez $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Następnie pozostaje tylko podać podobne:

\[\begin(macierz) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ prawo))+\frac(((x)^(2))+8)(\lewo(x-2 \prawo)\lewo(((x)^(2))+2x+4 \prawo))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \prawo))(\lewo(x-2 \prawo)\lewo(((x)^(2))+2x+4 \prawo))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\lewo(x-2\prawo)\lewo (((x)^(2))+2x+4 \prawo))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\lewo(x-2 \prawo)\ lewy(((x)^(2))+2x+4 \prawy)). \\ \end(macierz)\]

Zwróć uwagę na drugą linię: gdy mianownik jest już wspólny, tj. Zamiast trzech oddzielnych ułamków pisaliśmy jeden duży; nie należy od razu pozbywać się nawiasów. Lepiej napisać dodatkową linię i zauważyć, że powiedzmy, przed trzecim ułamkiem był minus - i nigdzie nie pójdzie, ale „zawiesi się” w liczniku przed nawiasem. Dzięki temu unikniesz wielu błędów.

Cóż, w ostatniej linijce warto rozłożyć licznik na czynniki. Co więcej, jest to dokładny kwadrat i znowu pomagają nam skrócone formuły mnożenia. Mamy:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\lewo(x-2 \prawo)\lewo(((x)^(2))+2x+4 \prawo))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Teraz zajmiemy się drugim nawiasem dokładnie w ten sam sposób. Tutaj napiszę po prostu łańcuch równości:

\[\begin(macierz) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\lewo(x-2 \prawo)\lewo(x+2 \prawo))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\lewo(x-2 \prawo)\lewo(x+2 \prawo))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(macierz)\]

Wróćmy do pierwotnego problemu i spójrzmy na produkt:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \prawo)\lewo(x+2 \prawo))=\frac(1)(x+2)\]

Odpowiedź: \[\frac(1)(x+2)\].

Znaczenie tego zadania jest takie samo jak poprzedniego: pokazać, jak można uprościć wyrażenia wymierne, jeśli mądrze podejdzie się do ich przekształcenia.

A teraz, gdy już to wszystko wiesz, przejdźmy do głównego tematu dzisiejszej lekcji - rozwiązywania ułamkowych nierówności racjonalnych. Co więcej, po takim przygotowaniu same nierówności będziecie łamać jak orzechy :)

Główny sposób rozwiązywania racjonalnych nierówności

Istnieją co najmniej dwa podejścia do rozwiązywania racjonalnych nierówności. Teraz przyjrzymy się jednemu z nich - temu, który jest ogólnie przyjęty na szkolnym kursie matematyki.

Ale najpierw zwróćmy uwagę na ważny szczegół. Wszystkie nierówności dzielą się na dwa typy:

1. Ścisłe: $f\lewo(x \prawo) \gt 0$ lub $f\lewo(x \prawo) \lt 0$;
2. Lax: $f\lewo(x \prawo)\ge 0$ lub $f\lewo(x \prawo)\le 0$.

Nierówności drugiego typu można łatwo sprowadzić do pierwszego, a także równania:

Ten mały „dodatek” $f\left(x \right)=0$ prowadzi do tak nieprzyjemnej rzeczy jak wypełnione punkty - poznaliśmy je w metodzie interwałowej. W przeciwnym razie nie ma różnic między nierównościami ścisłymi i nieścisłymi, więc spójrzmy na uniwersalny algorytm:

1. Zbierz wszystkie niezerowe elementy po jednej stronie znaku nierówności. Na przykład po lewej stronie;
2. Sprowadź wszystkie ułamki do wspólnego mianownika (jeśli jest kilka takich ułamków), przynieś podobne. Następnie, jeśli to możliwe, rozłóż licznik i mianownik na czynniki. Tak czy inaczej otrzymamy nierówność postaci $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, gdzie „ptaszek” jest znakiem nierówności .
3. Przyrównujemy licznik do zera: $P\left(x \right)=0$. Rozwiązujemy to równanie i otrzymujemy pierwiastki $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Następnie wymagamy że mianownik nie jest równy zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Oczywiście w skrócie musimy rozwiązać równanie $Q\left(x \right)=0$ i otrzymamy pierwiastki $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (w rzeczywistych problemach nie będzie więcej niż trzy takie pierwiastki).
4. Wszystkie te pierwiastki (zarówno z gwiazdkami, jak i bez) zaznaczamy na jednej osi liczbowej, pierwiastki bez gwiazdek zamalowujemy, a te z gwiazdkami przebijamy.
5. Umieszczamy znaki „plus” i „minus”, wybieramy potrzebne interwały. Jeżeli nierówność ma postać $f\left(x \right) \gt 0$, to odpowiedzią będą przedziały oznaczone „plusem”. Jeśli $f\left(x \right) \lt 0$, to patrzymy na przedziały z „minusami”.

Praktyka pokazuje, że największe trudności sprawiają punkty 2 i 4 - właściwe przekształcenia i prawidłowe ułożenie liczb w kolejności rosnącej. Cóż, na ostatnim etapie zachowaj szczególną ostrożność: zawsze umieszczamy znaki na podstawie ostatnia nierówność zapisana przed przejściem do równań. Jest to uniwersalna reguła, odziedziczona z metody przedziałowej.

Zatem istnieje pewien schemat. Poćwiczmy.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Rozwiązanie. Mamy ścisłą nierówność w postaci $f\left(x \right) \lt 0$. Oczywiście punkty 1 i 2 z naszego diagramu zostały już spełnione: wszystkie elementy nierówności zebrano po lewej stronie, nie ma potrzeby sprowadzania czegokolwiek do wspólnego mianownika. Przejdźmy zatem od razu do punktu trzeciego.

Przyrównujemy licznik do zera:

\[\begin(wyrównaj) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

I mianownik:

\[\begin(wyrównaj) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

W tym miejscu wiele osób utknie, ponieważ teoretycznie trzeba zapisać $x+7\ne 0$, zgodnie z wymogami ODZ (nie można dzielić przez zero, to wszystko). Ale w przyszłości będziemy wybijać punkty, które wyszły z mianownika, więc nie ma potrzeby jeszcze raz komplikować obliczeń - pisz wszędzie znak równości i nie martw się. Nikt nie odejmie za to punktów :)

Czwarty punkt. Wynikowe pierwiastki zaznaczamy na osi liczbowej:

Wszystkie punkty są przypięte, ponieważ nierówność jest ścisła

Uwaga: wszystkie punkty są przypięte, ponieważ pierwotna nierówność jest ścisła. I tutaj nie ma znaczenia, czy te punkty pochodziły z licznika, czy z mianownika.

Cóż, spójrzmy na znaki. Weźmy dowolną liczbę $((x)_(0)) \gt 3$. Na przykład $((x)_(0))=100$ (ale z takim samym sukcesem można przyjąć $((x)_(0))=3,1$ lub $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000 $). Otrzymujemy:

Zatem na prawo od wszystkich pierwiastków mamy obszar dodatni. A przechodząc przez każdy korzeń, znak się zmienia (nie zawsze tak będzie, ale o tym później). Przejdźmy zatem do punktu piątego: ułóż znaki i wybierz ten, którego potrzebujesz:

Wróćmy do ostatniej nierówności, która była przed rozwiązaniem równań. Właściwie pokrywa się z pierwotną, gdyż w tym zadaniu nie wykonywaliśmy żadnych przekształceń.

Ponieważ musimy rozwiązać nierówność w postaci $f\left(x \right) \lt 0$, zacieniowałem przedział $x\in \left(-7;3 \right)$ - jest to jedyny zaznaczony ze znakiem minus. To jest odpowiedź.

Odpowiedź: $x\in \left(-7;3 \right)$

To wszystko! Czy to jest trudne? Nie, to nie jest trudne. To prawda, że ​​​​zadanie było łatwe. Teraz skomplikujmy trochę misję i rozważmy bardziej „wyrafinowaną” nierówność. Rozwiązując go, nie będę już podawać tak szczegółowych obliczeń - po prostu nakreślę kluczowe punkty. Generalnie sformatujemy go tak samo jak sformatowalibyśmy go podczas samodzielnej pracy czy egzaminu :)

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(\lewo(7x+1 \prawo)\lewo(11x+2 \prawo))(13x-4)\ge 0\]

Rozwiązanie. Jest to nieścisła nierówność postaci $f\left(x \right)\ge 0$. Wszystkie niezerowe elementy są zbierane po lewej stronie, nie ma różnych mianowników. Przejdźmy do równań.

Licznik ułamka:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Mianownik:

\[\begin(wyrównaj) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Nie wiem, jaki zboczeniec stworzył ten problem, ale korzenie nie wyszły zbyt dobrze: trudno byłoby je umieścić na osi liczbowej. A jeśli przy pierwiastku $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ wszystko jest mniej więcej jasne (to jest jedyna liczba dodatnia - będzie po prawej), to $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ wymagają dodatkowych badań: który z nich jest większy?

Można się tego dowiedzieć na przykład w ten sposób:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Mam nadzieję, że nie trzeba wyjaśniać, dlaczego ułamek liczbowy $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? W razie potrzeby radzę pamiętać, jak wykonywać operacje na ułamkach.

I zaznaczamy wszystkie trzy pierwiastki na osi liczbowej:

Kropki z licznika są wypełniane, kropki z mianownika są przebijane

Stawiamy znaki. Na przykład możesz wziąć $((x)_(0))=1$ i znaleźć znak w tym miejscu:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ostatnia nierówność przed równaniami to $f\left(x \right)\ge 0$, więc interesuje nas znak plus.

Mamy dwa zbiory: jeden to odcinek zwyczajny, a drugi to półprosta otwarta na osi liczbowej.

Odpowiedź: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Ważna uwaga dotycząca liczb, które podstawiamy, aby znaleźć znak w przedziale skrajnym na prawo. Absolutnie nie jest konieczne zastępowanie liczby znajdującej się najbliżej pierwiastka znajdującego się najbardziej na prawo. Możesz wziąć miliardy, a nawet „plus nieskończoność” - w tym przypadku znak wielomianu w nawiasie, liczniku lub mianowniku jest określony wyłącznie przez znak wiodącego współczynnika.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz funkcji $f\left(x \right)$ z ostatniej nierówności:

Jego zapis zawiera trzy wielomiany:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\lewo(x \prawo)=13x-4. \end(align)\]

Wszystkie są dwumianami liniowymi i wszystkie ich współczynniki wiodące (cyfry 7, 11 i 13) są dodatnie. Dlatego przy podstawieniu bardzo dużych liczb same wielomiany również będą dodatnie :)

Zasada ta może wydawać się zbyt skomplikowana, ale tylko na początku, gdy analizujemy bardzo łatwe problemy. W przypadku poważnych nierówności podstawienie „plus-nieskończoność” pozwoli nam znaleźć znaki znacznie szybciej niż standardowe $((x)_(0))=100$.

Już niedługo będziemy musieli stawić czoła takim wyzwaniom. Ale najpierw przyjrzyjmy się alternatywnemu sposobowi rozwiązywania ułamkowych nierówności racjonalnych.

Alternatywny sposób

Tę technikę zaproponował mi jeden z moich uczniów. Sam nigdy z tego nie korzystałem, ale praktyka pokazała, że ​​wielu uczniom naprawdę wygodniej jest rozwiązywać nierówności w ten sposób.

Zatem początkowe dane są takie same. Musimy rozwiązać ułamkową nierówność wymierną:

\[\frac(P\lewo(x \prawo))(Q\lewo(x \prawo)) \gt 0\]

Zastanówmy się: dlaczego wielomian $Q\left(x \right)$ jest „gorszy” niż wielomian $P\left(x \right)$? Dlaczego musimy rozważać osobne grupy korzeni (z gwiazdką i bez), myśleć o punktach przebicia itp.? To proste: ułamek ma dziedzinę definicji, zgodnie z którą ułamek ma sens tylko wtedy, gdy jego mianownik jest różny od zera.

W przeciwnym razie nie ma różnicy między licznikiem a mianownikiem: przyrównujemy go również do zera, szukamy pierwiastków, a następnie zaznaczamy je na osi liczbowej. Dlaczego więc nie zastąpić linii ułamkowej (właściwie znaku podziału) zwykłym mnożeniem i zapisać wszystkie wymagania ODZ w postaci osobnej nierówności? Na przykład tak:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Uwaga: takie podejście sprowadzi problem do metody interwałowej, ale wcale nie skomplikuje rozwiązania. Przecież nadal będziemy przyrównywać wielomian $Q\left(x \right)$ do zera.

Zobaczmy, jak to działa na rzeczywistych problemach.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Rozwiązanie. Przejdźmy więc do metody interwałowej:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Pierwszą nierówność można rozwiązać w sposób elementarny. Po prostu przyrównujemy każdy nawias do zera:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Druga nierówność jest również prosta:

Zaznacz punkty $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$ na osi liczbowej. Wszystkie są odrzucane, ponieważ nierówność jest ścisła:

Prawy punkt został wyłupiony dwukrotnie. To jest w porządku.

Zwróć uwagę na punkt $x=11$. Okazuje się, że jest „podwójnie nakłuty”: z jednej strony nakłuwamy go ze względu na nasilenie nierówności, z drugiej zaś ze względu na dodatkowy wymóg DL.

W każdym razie będzie to po prostu punkt przebicia. Ustawiamy zatem znaki nierówności $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ostatni, który widzieliśmy przed przystąpieniem do rozwiązywania równań:

Nas interesują obszary dodatnie, gdyż rozwiązujemy nierówność postaci $f\left(x \right) \gt 0$ - zacieniujemy je. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Na przykładzie tego rozwiązania chcę Was przestrzec przed częstym błędem wśród początkujących uczniów. Mianowicie: nigdy nie otwieraj nawiasów w nierównościach! Wręcz przeciwnie, spróbuj wszystko uwzględnić - uprości to rozwiązanie i pozwoli uniknąć wielu problemów.

Teraz spróbujmy czegoś bardziej skomplikowanego.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Rozwiązanie. Jest to nieścisła nierówność postaci $f\left(x \right)\le 0$, więc tutaj należy zwrócić szczególną uwagę na zacienione punkty.

Przejdźmy do metody interwałowej:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Przejdźmy do równania:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Strzałka w prawo ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(align)\]

Bierzemy pod uwagę dodatkowy wymóg:

Zaznaczamy wszystkie powstałe pierwiastki na osi liczbowej:

Jeśli punkt jest jednocześnie przebity i wypełniony, uważa się go za przebity

Znów dwa punkty „nakładają się” na siebie - to normalne, zawsze tak będzie. Ważne jest tylko, aby zrozumieć, że punkt oznaczony jako przebity i zamalowany jest w rzeczywistości punktem przebitym. Te. „Kłucie” jest działaniem silniejszym niż „malowanie”.

Jest to całkowicie logiczne, ponieważ ściskając zaznaczamy punkty, które wpływają na znak funkcji, ale same nie biorą udziału w odpowiedzi. A jeśli w pewnym momencie liczba już nam nie odpowiada (np. nie wpada do ODZ), to skreślamy ją z rozważań aż do samego końca zadania.

Generalnie przestań filozofować. Umieszczamy znaki i malujemy odstępy oznaczone znakiem minus:

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

I znowu chciałem zwrócić uwagę na to równanie:

\[\lewo(2x-13 \prawo)\lewo(12x-9 \prawo)\lewo(15x+33 \prawo)=0\]

Jeszcze raz: nigdy nie otwieraj nawiasów w takich równaniach! Tylko sobie utrudnisz sprawę. Pamiętaj: iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. W rezultacie równanie to po prostu „rozpada się” na kilka mniejszych, które rozwiązaliśmy w poprzednim zadaniu.

Biorąc pod uwagę wielość korzeni

Z poprzednich problemów łatwo zauważyć, że najtrudniejsze są nierówności nieścisłe, bo trzeba w nich śledzić zacienione punkty.

Ale na świecie jest jeszcze większe zło – są to liczne korzenie nierówności. Tutaj nie trzeba już podążać za zacienionymi kropkami - tutaj znak nierówności nie może się nagle zmienić, przechodząc przez te właśnie kropki.

W tej lekcji nie rozważaliśmy jeszcze czegoś takiego (chociaż podobny problem często napotykano w metodzie przedziałowej). Dlatego wprowadzamy nową definicję:

Definicja. Pierwiastek równania $((\left(x-a \right))^(n))=0$ jest równy $x=a$ i nazywany jest pierwiastkiem $n$-tej krotności.

Właściwie nie jesteśmy szczególnie zainteresowani dokładną wartością krotności. Liczy się tylko to, czy ta sama liczba $n$ jest parzysta czy nieparzysta. Ponieważ:

1. Jeśli $x=a$ jest pierwiastkiem parzystej wielokrotności, to znak funkcji nie zmienia się przy przejściu przez niego;
2. I odwrotnie, jeśli $x=a$ jest pierwiastkiem nieparzystej wielokrotności, to znak funkcji ulegnie zmianie.

Wszystkie poprzednie problemy omówione w tej lekcji są szczególnym przypadkiem pierwiastka nieparzystej wielokrotności: wszędzie krotność jest równa jeden.

I jeszcze jedno. Zanim przystąpimy do rozwiązywania problemów, chciałbym zwrócić uwagę na jedną subtelność, która dla doświadczonego ucznia wydaje się oczywista, ale wielu początkujących wprawia w osłupienie. Mianowicie:

Pierwiastek wielokrotności $n$ powstaje tylko w przypadku, gdy całe wyrażenie zostanie podniesione do tej potęgi: $((\left(x-a \right))^(n))$, a nie $\left(((x) ^(n))-a \right)$.

Jeszcze raz: nawias $((\left(x-a \right))^(n))$ daje nam pierwiastek $x=a$ krotności $n$, ale nawias $\left(((x)^( n)) -a \right)$ lub, jak to często bywa, $(a-((x)^(n)))$ daje nam pierwiastek (lub dwa pierwiastki, jeśli $n$ jest parzyste) pierwszej wielokrotności , niezależnie od tego, co wynosi $n$.

Porównywać:

\[((\lewo(x-3 \prawo))^(5))=0\Strzałka w prawo x=3\lewo(5k \prawo)\]

Tutaj wszystko jest jasne: cały nawias został podniesiony do potęgi piątej, więc na wyjściu otrzymaliśmy pierwiastek z potęgi piątej. A teraz:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Strzałka w prawo ((x)^(2))=4\Strzałka w prawo x=\pm 2\]

Mamy dwa pierwiastki, ale oba mają pierwszą wielokrotność. Albo oto inny:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

I nie pozwól, aby dziesiąty stopień przeszkadzał ci. Najważniejsze, że 10 jest liczbą parzystą, więc na wyjściu mamy dwa pierwiastki i oba znowu mają pierwszą wielokrotność.

Ogólnie rzecz biorąc, bądź ostrożny: wielość występuje tylko wtedy, gdy stopień odnosi się do całego nawiasu, a nie tylko do zmiennej.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

Rozwiązanie. Spróbujmy rozwiązać to w alternatywny sposób - poprzez przejście od ilorazu do iloczynu:

\[\left\(\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Prawidłowy.\]

Zajmijmy się pierwszą nierównością metodą przedziałową:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \prawo))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Strzałka w prawo x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\RightStrzałka x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Strzałka w prawo x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\RightStrzałka x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Dodatkowo rozwiązujemy drugą nierówność. Właściwie już to rozwiązaliśmy, ale żeby recenzenci nie znaleźli błędów w rozwiązaniu, lepiej rozwiązać je jeszcze raz:

\[((\lewo(x+7 \prawo))^(5))\ne 0\Strzałka w prawo x\ne -7\]

Uwaga: w ostatniej nierówności nie ma krotności. Właściwie: jaką różnicę robi to, ile razy skreślisz punkt $x=-7$ na osi liczbowej? Przynajmniej raz, co najmniej pięć razy wynik będzie taki sam: przebity punkt.

Zaznaczmy wszystko, co mamy na osi liczbowej:

Jak powiedziałem, punkt $x=-7$ w końcu zostanie przebity. Wielości ułożone są w oparciu o rozwiązanie nierówności metodą przedziałową.

Pozostaje tylko umieścić znaki:

Ponieważ punkt $x=0$ jest pierwiastkiem parzystej wielokrotności, znak nie zmienia się przy przejściu przez niego. Pozostałe punkty mają dziwną mnogość i wszystko jest z nimi proste.

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Jeszcze raz zwróć uwagę na $x=0$. Dzięki równej wielości powstaje ciekawy efekt: wszystko na lewo od niego jest zamalowane, wszystko na prawo jest również zamalowane, a sam punkt jest całkowicie zamalowany.

Dzięki temu nie trzeba go izolować podczas zapisywania odpowiedzi. Te. nie ma potrzeby pisać czegoś w stylu $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (choć formalnie taka odpowiedź też byłaby poprawna). Zamiast tego natychmiast zapisujemy $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takie efekty są możliwe tylko przy pierwiastkach o parzystej wielokrotności. A w kolejnym problemie spotkamy się z odwrotną „przejawem” tego efektu. Czy jesteś gotowy?

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(((\lewo(x-3 \prawo))^(4))\lewo(x-4 \prawo))(((\lewo(x-1 \prawo))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Rozwiązanie. Tym razem będziemy postępować według standardowego schematu. Przyrównujemy licznik do zera:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

I mianownik:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Strzałka w prawo x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Ponieważ rozwiązujemy nieścisłą nierówność w postaci $f\left(x \right)\ge 0$, pierwiastki z mianownika (które mają gwiazdki) zostaną usunięte, a pierwiastki z licznika zostaną zacienione.

Ustawiamy znaki i zacieniamy obszary oznaczone „plusem”:

Punkt $x=3$ jest izolowany. To jest część odpowiedzi

Zanim napiszemy ostateczną odpowiedź, przyjrzyjmy się bliżej zdjęciu:

1. Punkt $x=1$ ma parzystą wielokrotność, ale sam jest przebity. W związku z tym trzeba będzie to wyodrębnić w odpowiedzi: musisz napisać $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. Punkt $x=3$ również ma parzystą wielokrotność i jest zacieniony. Układ znaków wskazuje, że sam punkt nam odpowiada, ale krok w lewo lub w prawo – i znajdziemy się w obszarze, który zdecydowanie nam nie odpowiada. Takie punkty nazywane są izolowanymi i zapisywane są w postaci $x\in \left\( 3 \right\)$.

Wszystkie otrzymane kawałki łączymy we wspólny zestaw i zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definicja. Rozwiązanie nierówności oznacza znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań lub udowodnij, że ten zbiór jest pusty.

Wydawałoby się: co tu może być niezrozumiałego? Tak, prawda jest taka, że ​​zbiory można definiować na różne sposoby. Zapiszmy jeszcze raz odpowiedź na ostatnie zadanie:

Dosłownie czytamy to, co jest napisane. Zmienna „x” należy do pewnego zbioru, który uzyskuje się poprzez połączenie (znak „U”) czterech odrębnych zbiorów:

• Interwał $\left(-\infty ;1 \right)$, co dosłownie oznacza „wszystkie liczby mniejsze od jeden, ale nie samą jednostkę”;
• Interwał $\lewo(1;2 \prawo)$, tj. „wszystkie liczby z zakresu od 1 do 2, ale nie same liczby 1 i 2”;
• Zbiór $\left\( 3 \right\)$, składający się z jednej liczby - trzech;
• Przedział $\left[ 4;5 \right)$ zawierający wszystkie liczby z zakresu od 4 do 5, a także samą czwórkę, ale nie piątkę.

Interesująca jest tutaj trzecia kwestia. W przeciwieństwie do przedziałów, które definiują nieskończone zbiory liczb i wskazują jedynie granice tych zbiorów, zbiór $\left\( 3 \right\)$ określa ściśle jedną liczbę poprzez wyliczenie.

Aby zrozumieć, że podajemy konkretne liczby zawarte w zbiorze (a nie wyznaczamy granic ani niczego innego), zastosowano nawiasy klamrowe. Na przykład zapis $\left\( 1;2 \right\)$ oznacza dokładnie „zbiór składający się z dwóch liczb: 1 i 2”, ale nie odcinek od 1 do 2. W żadnym wypadku nie należy mylić tych pojęć .

Zasada dodawania wielokrotności

Cóż, na koniec dzisiejszej lekcji mała puszka od Pawła Berdowa :)

Uważni uczniowie zapewne zastanawiali się już: co się stanie, jeśli licznik i mianownik będą miały ten sam pierwiastek? Zatem działa następująca reguła:

Dodawane są wielokrotności identycznych pierwiastków. Zawsze. Nawet jeśli ten pierwiastek występuje zarówno w liczniku, jak i mianowniku.

Czasem lepiej podjąć decyzję, niż rozmawiać. Dlatego rozwiązujemy następujący problem:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \prawo))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Jeszcze nic specjalnego. Przyrównujemy mianownik do zera:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Strzałka w prawo x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Strzałka w prawo x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Odkryto dwa identyczne pierwiastki: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Obydwa mają pierwszą wielokrotność. Dlatego zastępujemy je jednym pierwiastkiem $x_(4)^(*)=-2$, ale wielokrotnością 1+1=2.

Ponadto istnieją również identyczne pierwiastki: $((x)_(2))=-4$ i $x_(2)^(*)=-4$. Należą także do pierwszej krotności, więc pozostanie tylko $x_(2)^(*)=-4$ z krotności 1+1=2.

Uwaga: w obu przypadkach pozostawiliśmy dokładnie „przebity” korzeń i wykluczyliśmy z rozważań „malowany”. Ponieważ na początku lekcji zgodziliśmy się: jeśli punkt jest jednocześnie przebity i zamalowany, to i tak uważamy go za przebity.

W rezultacie mamy cztery korzenie i wszystkie zostały wycięte:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\lewo(2k \prawo). \\ \end(align)\]

Zaznaczamy je na osi liczbowej, biorąc pod uwagę krotność:

Umieszczamy znaki i malujemy interesujące nas obszary:

Wszystko. Żadnych izolowanych punktów i innych perwersji. Możesz zapisać odpowiedź.

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Zasada mnożenia wielokrotności

Czasami dochodzi do jeszcze bardziej nieprzyjemnej sytuacji: równanie, które ma wiele pierwiastków, samo zostaje podniesione do pewnej potęgi. W tym przypadku zmienia się wielokrotność wszystkich oryginalnych korzeni.

Jest to rzadkie zjawisko, dlatego większość uczniów nie ma doświadczenia w rozwiązywaniu takich problemów. A zasada jest tutaj taka:

Gdy równanie zostanie podniesione do potęgi $n$, krotność wszystkich jego pierwiastków również wzrośnie n$ razy.

Innymi słowy, podniesienie do potęgi prowadzi do pomnożenia wielokrotności przez tę samą potęgę. Przyjrzyjmy się tej zasadzie na przykładzie:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(x((\lewo(((x)^(2))-6x+9 \prawo))^(2))((\lewo(x-4 \prawo))^(5)) )(((\lewo(2-x \prawo))^(3))((\lewo(x-1 \prawo))^(2)))\le 0\]

Rozwiązanie. Przyrównujemy licznik do zera:

Iloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. Wszystko jest jasne przy pierwszym czynniku: $x=0$. Ale potem zaczynają się problemy:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\lewo(2k \prawo); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\\end(align)\]

Jak widzimy, równanie $((x)^(2))-6x+9=0$ ma pojedynczy pierwiastek drugiej krotności: $x=3$. Całe to równanie jest następnie podnoszone do kwadratu. Zatem wielokrotność pierwiastka będzie wynosić 2 $\cdot 2=4$, co ostatecznie zapisaliśmy.

\[((\lewo(x-4 \prawo))^(5))=0\Strzałka w prawo x=4\lewo(5k \prawo)\]

Z mianownikiem też nie ma problemów:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

W sumie otrzymaliśmy pięć kropek: dwie przebite i trzy pomalowane. W liczniku i mianowniku nie ma pokrywających się pierwiastków, więc po prostu zaznaczamy je na osi liczbowej:

Znaki układamy uwzględniając krotności i malujemy interesujące nas interwały:

Znów jeden izolowany punkt i jeden przebity

Ze względu na korzenie parzystej wielokrotności ponownie otrzymaliśmy kilka „niestandardowych” elementów. To jest $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left[ 0;2 \right)$, a także izolowany punkt $ x\w \lewo\( 3 \prawo\)$.

Odpowiedź. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Jak widać, wszystko nie jest takie skomplikowane. Najważniejsze jest uważność. Ostatnia część tej lekcji poświęcona jest przekształceniom - tym samym, które omawialiśmy na samym początku.

Konwersje wstępne

Nierówności, które zbadamy w tej sekcji, nie można nazwać złożonymi. Jednak w przeciwieństwie do poprzednich zadań, tutaj będziesz musiał zastosować umiejętności z teorii ułamków wymiernych - faktoryzację i redukcję do wspólnego mianownika.

Zagadnienie to szczegółowo omawialiśmy na samym początku dzisiejszej lekcji. Jeśli nie jesteś pewien, czy rozumiesz, o czym mówię, gorąco polecam wrócić i powtórzyć. Ponieważ nie ma sensu wkuwać metod rozwiązywania nierówności, jeśli „pływa” w konwersji ułamków.

Nawiasem mówiąc, w zadaniach domowych będzie również wiele podobnych zadań. Umieszczono je w osobnym podrozdziale. I tam znajdziesz bardzo nietrywialne przykłady. Ale to będzie w pracy domowej, a teraz spójrzmy na kilka takich nierówności.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Rozwiązanie. Przesuń wszystko w lewo:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, otwieramy nawiasy i wstawiamy podobne wyrazy do licznika:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ prawo))(x\cdot \lewo(x-1 \prawo))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Teraz mamy przed sobą klasyczną nierówność ułamkowo-racjonalną, której rozwiązanie nie jest już trudne. Proponuję rozwiązać to metodą alternatywną – metodą przedziałów:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Nie zapomnij o ograniczeniu wynikającym z mianownika:

Wszystkie liczby i ograniczenia zaznaczamy na osi liczbowej:

Wszystkie korzenie mają pierwszą wielokrotność. Bez problemu. Po prostu umieszczamy znaki i malujemy potrzebne obszary:

To wszystko. Możesz zapisać odpowiedź.

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Oczywiście był to bardzo prosty przykład. Zatem teraz spójrzmy na problem poważniej. A tak na marginesie, poziom tego zadania jest w miarę zgodny z samodzielną i testową pracą na ten temat w 8 klasie.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Rozwiązanie. Przesuń wszystko w lewo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Zanim sprowadzimy oba ułamki do wspólnego mianownika, rozłóżmy te mianowniki na czynniki. A co jeśli wyjdą te same nawiasy? Z pierwszym mianownikiem jest to proste:

\[((x)^(2))+8x-9=\lewo(x-1 \prawo)\lewo(x+9 \prawo)\]

To drugie jest trochę trudniejsze. Możesz dodać stały współczynnik do nawiasu, w którym pojawia się ułamek. Pamiętaj: pierwotny wielomian miał współczynniki całkowite, więc istnieje duża szansa, że ​​rozkład na czynniki będzie miał współczynniki całkowite (w rzeczywistości zawsze tak będzie, chyba że dyskryminator jest irracjonalny).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Jak widać, istnieje wspólny nawias: $\left(x-1 \right)$. Wracamy do nierówności i sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ lewo(3x-2 \prawo))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\lewo(3x-2 \prawo))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Przyrównujemy mianownik do zera:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( wyrównywać)\]

Żadnych wielokrotności ani zbieżnych pierwiastków. Na linii zaznaczamy cztery liczby:

Ustawiamy znaki:

Zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \right) $.

Załóżmy, że musimy znaleźć wartości liczbowe x, przy których kilka racjonalnych nierówności jednocześnie zamienia się w prawdziwe nierówności numeryczne. Mówią, że w takich przypadkach należy rozwiązać układ nierówności wymiernych z jednym nieznanym x.

Aby rozwiązać system nierówności racjonalnych, należy znaleźć wszystkie rozwiązania każdej nierówności w systemie. Wtedy wspólną częścią wszystkich znalezionych rozwiązań będzie rozwiązanie układu.

Przykład: Rozwiązać układ nierówności

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

Najpierw rozwiązujemy nierówność

(x - 1) (x - 5) (x - 7)< 0.

Korzystając z metody przedziałowej (rys. 1) stwierdzamy, że zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (2) składa się z dwóch przedziałów: (-, 1) i (5, 7).

Rysunek 1

Teraz rozwiążmy nierówność

Stosując metodę przedziałową (rys. 2) stwierdzamy, że zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (3) składa się również z dwóch przedziałów: (2, 3) i (4, +).

Teraz musimy znaleźć część wspólną rozwiązania nierówności (2) i (3). Narysujmy oś współrzędnych x i zaznaczmy znalezione na niej rozwiązania. Teraz jest jasne, że wspólną częścią rozwiązania nierówności (2) i (3) jest przedział (5, 7) (ryc. 3).

Zatem zbiór wszystkich rozwiązań układu nierówności (1) stanowi przedział (5, 7).

Przykład: Rozwiązać układ nierówności

x2 - 6x + 10< 0,

Najpierw rozwiążmy nierówność

x 2 - 6 x + 10< 0.

Możemy to napisać stosując metodę izolowania pełnego kwadratu

x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.

Dlatego nierówność (2) można zapisać w postaci

(x - 3) 2 + 1< 0,

z czego jasno wynika, że ​​nie ma rozwiązania.

Teraz nie musisz rozwiązywać nierówności

ponieważ odpowiedź jest już jasna: układ (1) nie ma rozwiązania.

Przykład: Rozwiązać układ nierówności

Przyjrzyjmy się najpierw pierwszej nierówności; mamy

1 < 0, < 0.

Korzystając z krzywej znaku, znajdujemy rozwiązania tej nierówności: x< -2; 0 < x < 2.

Rozwiążmy teraz drugą nierówność danego układu. Mamy x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Po zanotowaniu znalezionych rozwiązań pierwszej i drugiej nierówności na ogólnej osi liczbowej (ryc. 6) znajdujemy takie przedziały, w których te rozwiązania się pokrywają (przecięcie rozwiązania): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Przykład: Rozwiązać układ nierówności

Przekształćmy pierwszą nierówność układu:

x 3 (x - 10)(x + 10) 0 lub x(x - 10)(x + 10) 0

(ponieważ czynniki potęg nieparzystych można zastąpić odpowiednimi współczynnikami pierwszej potęgi); Stosując metodę przedziałową znajdziemy rozwiązania ostatniej nierówności: -10 x 0, x 10.

Rozważmy drugą nierówność układu; mamy

Znajdujemy (ryc. 8) x -9; 3< x < 15.

Łącząc znalezione rozwiązania otrzymujemy (ryc. 9) x 0; x > 3.

Przykład: Znajdź rozwiązania całkowite układu nierówności:

x + y< 2,5,

Rozwiązanie: Doprowadźmy system do formy

Dodając pierwszą i drugą nierówności, mamy y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

gdzie -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Temat lekcji „Rozwiązywanie układów nierówności wymiernych”

Klasa 10

Typ lekcji: szukaj

Cel: znalezienie sposobów rozwiązywania nierówności modułowych, zastosowanie metody przedziałowej w nowej sytuacji.

Cele lekcji:

Sprawdź swoje umiejętności rozwiązywania nierówności racjonalnych i ich układów; - pokazać studentom możliwość wykorzystania metody przedziałowej przy rozwiązywaniu nierówności o module;

Naucz myśleć logicznie;

Rozwijaj umiejętność samooceny swojej pracy;

Naucz się wyrażać swoje myśli

Naucz się bronić swojego punktu widzenia rozsądnie;

Kształtowanie pozytywnego motywu do nauki u uczniów;

Rozwijaj niezależność uczniów.

Postęp lekcji

I. Moment organizacyjny(1min)

Witam, dzisiaj będziemy kontynuować naukę tematu „System racjonalnych nierówności”, zastosujemy naszą wiedzę i umiejętności w nowej sytuacji.

Zapisz datę i temat lekcji „Rozwiązywanie układów nierówności wymiernych”. Dziś zapraszam Cię w podróż drogami matematyki, gdzie czekają Cię testy, próba sił. Na Waszych biurkach leżą mapy drogowe z zadaniami, arkusz samooceny, który przekażecie mi (dyspozytorowi) na koniec wyjazdu.

Mottem wycieczki będzie aforyzm „Ten, kto idzie, może opanować drogę, ale ten, kto myśli matematycznie”. Zabierz ze sobą swoją wiedzę. Włącz swój proces myślowy i ruszaj w drogę. W drodze będzie nam towarzyszyć radio drogowe.Fragment odtwarzanej muzyki (1 min). Potem ostry dźwięk sygnału.

II. Etap testowania wiedzy. Pracuj w grupach.„Kontrola bagażu”

Przed nami pierwszy test kontroli bagażu, sprawdzający Twoją wiedzę na ten temat

Teraz zostaniecie podzieleni na grupy 3 lub 4 osobowe. Każdy ma na biurku kartkę papieru z zadaniem. Rozdajcie sobie te zadania, rozwiążcie je i zapiszcie gotowe odpowiedzi na wspólnej kartce. Grupa 3 osób wybiera dowolne 3 zadania. Każdy, kto wykona wszystkie zadania, zgłosi to nauczycielowi. Ja lub moi asystenci sprawdzimy odpowiedzi i jeśli chociaż jedna odpowiedź będzie błędna, grupie zostanie zwrócona kartka do ponownego sprawdzenia. (dzieci nie widzą odpowiedzi, mówią im tylko, które zadanie ma błędną odpowiedź).Zwycięzcą zostaje grupa, która jako pierwsza wykona wszystkie zadania bez błędów. Naprzód do zwycięstwa.

Muzyka jest bardzo cicha.

Jeśli dwie lub trzy grupy zakończą pracę w tym samym czasie, jedno z dzieci z drugiej grupy pomoże nauczycielowi sprawdzić. Odpowiedzi na karcie nauczyciela (4 egz.).

Praca zostaje zatrzymana w momencie pojawienia się zwycięskiej grupy.

Nie zapomnij wypełnić arkusza samooceny. I ruszamy dalej.

Karta zadań dla „Kontrola bagażu”

1) 3)

2) 4)

III. Etap aktualizacji wiedzy i odkrywania nowej wiedzy. „Eureka”

Kontrola wykazała, że ​​posiadasz bogatą wiedzę.

Ale w drodze zdarzają się różne sytuacje, czasami potrzebna jest pomysłowość, a my sprawdzimy, czy zapomniałeś zabrać to ze sobą.

Nauczyłeś się rozwiązywać układy nierówności wymiernych metodą przedziałową. Dzisiaj przyjrzymy się, z jakimi problemami zaleca się stosowanie tej metody. Ale najpierw przypomnijmy sobie, czym jest moduł.

1. Kontynuuj zdania „Moduł liczby jest równy samej liczbie, jeśli…”(doustnie)

„Moduł liczby jest równy liczbie przeciwnej, jeśli...”

2. Niech A(X) będzie wielomianem w x

Kontynuuj nagrywanie:

Odpowiedź:

Zapisz przeciwne wyrażenie A(x)

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

Uczeń pisze na tablicy, chłopaki piszą w zeszytach.

3. Spróbujmy teraz znaleźć sposób na rozwiązanie nierówności kwadratowej za pomocą modułu

Jakie są Twoje sugestie rozwiązania tej nierówności?

Posłuchaj sugestii chłopaków.

Jeśli nie ma propozycji, zadaj pytanie: „Czy tę nierówność można rozwiązać za pomocą systemów nierówności?”

Student wychodzi i decyduje.

IV. Etap pierwotnej konsolidacji nowej wiedzy, opracowanie algorytmu rozwiązania. Uzupełnienie bagażu.

(Praca w grupach 4 osobowych).

Teraz sugeruję uzupełnienie bagażu. Będziesz pracować w grupach.Każda grupa otrzymuje 2 karty zadań.

Na pierwszej karcie należy zapisać systemy rozwiązywania nierówności przedstawione na tablicy i opracować algorytm rozwiązywania takich nierówności;

Pierwsza karta jest inna dla grup, druga jest taka sama

Co się stało?

Pod każdym równaniem na tablicy musisz napisać zbiór układów.

4 uczniów wychodzi i pisze systemy. W tym momencie omawiamy algorytm z klasą.

V. Etap konsolidacji wiedzy.„Droga do domu”

Bagaż uzupełniony, czas wracać. Teraz rozwiąż samodzielnie dowolną z zaproponowanych nierówności z modułem, zgodnie z opracowanym algorytmem.

Radio drogowe znów będzie z Tobą w drodze.

Włącz cichą muzykę w tle. Nauczyciel sprawdza projekt i w razie potrzeby udziela porad.

Zadania na tablicy.

Praca została ukończona. Sprawdź odpowiedzi (znajdują się na odwrocie tablicy), wypełnij arkusz samooceny.

Zadawanie zadań domowych.

Zapisz swoją pracę domową (w zeszycie przepisz nierówności, których nie zrobiłeś lub zrobiłeś z błędami, ewentualnie dodatkowo nr 84 (a) na stronie 373 podręcznika)

VI. Etap relaksu.

W jaki sposób ta podróż była dla Ciebie przydatna?

Czego się nauczyłeś?

Streszczać. Policz, ile punktów zdobył każdy z Was.(chłopaki podają ostateczny wynik).Arkusze samooceny przekaż dyspozytorowi, czyli mnie.

Chcę zakończyć lekcję przypowieścią.

„Szedł mędrzec i wyszły mu naprzeciw trzy osoby, niosące wozy z kamieniami na budowę w gorącym słońcu. Mędrzec zatrzymał się i zadał każdemu pytanie. Pierwszego zapytał: „Co robiłeś cały dzień?”, a on z uśmiechem odpowiedział, że cały dzień dźwigał te przeklęte kamienie. Mędrzec zapytał drugiego: „Co robiłeś przez cały dzień?”, A on odpowiedział: „Sumiennie wykonałem swoją pracę”, a trzeci uśmiechnął się, a jego twarz rozjaśniła się radością i przyjemnością: „I brałem udział w budowie Świątyni!”

Lekcja dobiegła końca.

Arkusz samooceny

Nazwisko, imię, klasa		Liczba punktów
Praca w grupie nad rozwiązywaniem nierówności lub układów nierówności.	2 punkty, jeśli zrobisz to poprawnie bez pomocy z zewnątrz; 1 punkt, jeśli zostanie wykonane poprawnie z pomocą z zewnątrz; 0 punktów, jeśli nie wykonałeś zadania 1 dodatkowy punkt za zwycięstwo grupowe