Ogólnie rzecz biorąc, każde równanie jest matematycznym modelem wag szalkowych (dźwignia, równoramię, wahacz - istnieje wiele nazw), wynalezionych w starożytnym Babilonie 7000 lat temu lub nawet wcześniej. Co więcej, myślę nawet, że prototypem równań stały się wagi kubkowe używane na najstarszych bazarach. A jeśli spojrzysz na jakieś równanie nie jak na niezrozumiały zbiór cyfr i liter połączonych dwoma równoległymi drążkami, ale jak na skalę, wtedy nie będzie problemów ze wszystkim innym:
Każde równanie jest jak zrównoważona waga
Tak się składa, że z każdym dniem w naszym życiu pojawia się coraz więcej równań, ale coraz mniej rozumiemy, czym jest równanie i jakie jest jego znaczenie. Przynajmniej takie odniosłem wrażenie, próbując to wyjaśnić najstarsza córka znaczenie najprostszego równanie matematyczne typ:
x + 2 = 8 (500.1)
Te. w szkole oczywiście wyjaśniają, że w takich przypadkach, aby znaleźć X, musisz odjąć 2 od prawej strony:
x = 8 - 2 (500.3)
To oczywiście absolutnie właściwe działanie, ale dlaczego należy odejmować, a nie np. dodawać lub dzielić, nie ma wyjaśnienia w podręcznikach szkolnych. Jest tylko zasada, której musisz się po prostu nauczyć:
Kiedy element równania zostaje przeniesiony z jednej części do drugiej, jego znak zmienia się na przeciwny.
Jeśli chodzi o to, jak 10-letni uczeń powinien rozumieć tę zasadę i jakie jest jej znaczenie, to do Ciebie należy przemyślenie i podjęcie decyzji. Co więcej, okazało się, że moi bliscy krewni również nigdy nie rozumieli znaczenia równań, a po prostu pamiętali to, co było wymagane (a w szczególności powyższą zasadę), i dopiero wtedy stosowali ją tak, jak Bóg chciał. Nie podobał mi się taki stan rzeczy, więc zdecydowałem się napisać ten artykuł (mój najmłodszy dorasta, za kilka lat będzie musiał to jeszcze raz tłumaczyć, a to może przydać się także nielicznym czytelnikom mojej witryny) .
Od razu chcę powiedzieć, że mimo, że uczyłam się w szkole przez 10 lat, nigdy nie poznałam żadnych zasad i definicji związanych z dyscyplinami technicznymi. Te. jeśli coś jest jasne, to zostanie zapamiętane, ale jeśli coś nie jest jasne, to po co to wkuwać bez zrozumienia znaczenia, skoro i tak zostanie zapomniane? A poza tym, jeśli czegoś nie rozumiem, to znaczy, że tego nie potrzebuję (dopiero niedawno uświadomiłam sobie, że jeśli czegoś nie rozumiem w szkole, to nie moja wina, ale wina nauczycieli, podręczników i systemy edukacji w ogóle).
Takie podejście zapewniło mi mnóstwo wolnego czasu, którego w dzieciństwie tak bardzo brakowało na wszelkiego rodzaju gry i rozrywki. W tym samym czasie brałem udział w różnych olimpiadach z fizyki i chemii, a nawet wygrałem jeden regionalny konkurs z matematyki. Ale czas mijał, liczba dyscyplin operujących abstrakcyjnymi pojęciami tylko rosła, a co za tym idzie, moje oceny spadały. Na pierwszym roku instytutu liczba dyscyplin operujących pojęciami abstrakcyjnymi stanowiła zdecydowaną większość i oczywiście byłem studentem zupełnego C. Ale potem, gdy z różnych powodów musiałem sam poradzić sobie z wytrzymałością materiałów bez pomocy wykładów i notatek i poniekąd to zrozumiałem, wszystko poszło gładko i zakończyło się dyplomem z wyróżnieniem. Nie chodzi tu jednak teraz o to, ale o to, że ze względu na określoną specyfikę moje pojęcia i definicje mogą znacznie różnić się od tych nauczanych w szkole.
Teraz kontynuujmy
Równania najprostsze, analogia ze skalami
Tak naprawdę dzieci już od najmłodszych lat uczy się porównywania różnych obiektów wiek przedszkolny kiedy jeszcze tak naprawdę nie wiedzą, jak mówić. Zwykle zaczynają się od porównań geometrycznych. Na przykład dziecku pokazano dwie kostki i musi określić, która kostka jest większa, a która mniejsza. A jeśli są takie same, to jest to równość wielkości. Następnie zadanie staje się bardziej skomplikowane, dziecku pokazywane są przedmioty różne formy, różne kolory i dziecku staje się coraz trudniej wybierać te same przedmioty. Nie będziemy jednak tak bardzo komplikować zadania, ale skupimy się tylko na jednym rodzaju równości - wadze pieniężnej.
Kiedy skale znajdują się na tym samym poziomie (strzałki skali pokazane na rysunku 500.1 w kolorze pomarańczowym i niebieski, pokrywają się, poziom poziomy zaznaczony jest czarną, pogrubioną linią), oznacza to, że na prawej szalce wagi znajduje się taka sama ilość ciężarka, jak na lewej szalce. W najprostszym przypadku mogą to być odważniki o wadze 1 kg:
Rysunek 500.1.
I wtedy otrzymujemy najprostsze równanie 1 = 1. Jednak to równanie jest tylko dla mnie w matematyce, takie wyrażenia nazywają się równością, ale istota się nie zmienia. Jeśli zdejmiemy ciężar z lewej szalki wagi i położymy na nim cokolwiek, nawet jabłka, nawet paznokcie, nawet czerwony kawior, a jednocześnie łuski będą na tym samym poziomie, to nadal będzie to oznaczać, że 1 kg któregokolwiek ze wskazanych produktów równa się 1 kg masy pozostałej po prawej stronie skali. Pozostaje tylko zapłacić za ten kilogram według ceny ustalonej przez sprzedawcę. Inną rzeczą jest to, że cena może Ci się nie podobać lub mieć wątpliwości co do dokładności skal - ale są to kwestie stosunków ekonomiczno-prawnych, matematyki bezpośredni związek nie mieć.
Oczywiście w tych odległych czasach, kiedy pojawiły się łuski kubkowe, wszystko było znacznie prostsze. Po pierwsze, nie było takiej miary wagi jak kilogram, ale istniały jednostki pieniężne odpowiadające miarom wag, na przykład talenty, szekle, funty, hrywny itp. (nawiasem mówiąc, od dawna jestem zaskoczony, że istnieje funt - jednostka monetarna a funt jest miarą wagi, istnieje hrywna – jednostka monetarna, a kiedyś hrywna była miarą wagi, a dopiero niedawno, gdy dowiedziałem się, że talent to nie tylko jednostka monetarna starożytnych Żydów, o której mowa w Stary Testament, ale także miara wagi przyjęta w starożytnym Babilonie, wszystko się ułożyło).
Dokładniej, najpierw istniały miary wag, zwykle ziaren zbóż, a dopiero potem pojawił się pieniądz odpowiadający tym miarom wag. Na przykład 60 ziaren odpowiadało jednemu szeklowi (szekelowi), 60 szekli odpowiadało jednej minie, a 60 min odpowiadało jednemu talentowi. Dlatego też początkowo używano wag do sprawdzania, czy oferowane pieniądze są fałszywe, dopiero potem pojawiły się odważniki jako odpowiednik pieniędzy, odważników i kalkulacji, wag elektronicznych i kart plastikowych, co nie zmienia istoty rzeczy.
W tamtych odległych czasach sprzedawca nie musiał długo i szczegółowo wyjaśniać, ile będzie kosztować dany produkt. Wystarczyło postawić sprzedawany produkt na jedną szalkę, a kupujący na drugą – jest to bardzo proste i przejrzyste, nie jest wymagana nawet znajomość lokalnej gwary, można handlować w dowolnym miejscu na świecie. Wróćmy jednak do równań.
Jeśli weźmiemy pod uwagę równanie (500.1) z położenia wag, to oznacza to, że na lewej szalce wagi znajduje się nieznana liczba kilogramów i kolejne 2 kilogramy, a na prawej szalce 8 kilogramów:
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
Notatka: W w tym przypadku Podkreślenie symbolizuje dół skali; podczas obliczeń na papierze linia ta może bardziej przypominać dół skali. Co więcej, matematycy od dawna wymyślili specjalne symbole - nawiasy, dlatego dowolne nawiasy można uznać za boki skali, przynajmniej na pierwszym etapie rozumienia znaczenia równań. Niemniej jednak dla większej przejrzystości pozostawię podkreślenie.
Co więc musimy zrobić, aby poznać nieznaną liczbę kilogramów? Prawidłowy! Usuń 2 kilogramy z lewej i prawej strony wagi, wówczas waga pozostanie na tym samym poziomie, czyli nadal będziemy mieli równość:
x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)
Odpowiednio
x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)
x, = 6 kg, (500.4.2)
Rysunek 500.2.
Często matematyka operuje nie kilogramami, a pewnymi abstrakcyjnymi jednostkami bezwymiarowymi i wówczas zapisanie rozwiązania równania (500.1) na przykład w wersji roboczej będzie wyglądać następująco:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x, = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Co odzwierciedla rysunek 500.2.
Notatka: Formalnie, dla jeszcze lepszego zrozumienia, po równaniu (500.2) należy zastosować kolejne równanie w postaci: x + 2 - 2, = 8 - 2, co oznacza, że akcja się zakończyła i znów mamy do czynienia z miskami w równowadze. Jednak moim zdaniem nie ma potrzeby sporządzania tak całkowicie kompletnego zapisu decyzji.
W czystych dokumentach zwykle stosuje się skróconą notację rozwiązania równania, a nie tylko te, które są, moim zdaniem, tak potrzebne, są skracane etap początkowy studiowanie równań, symboli skal, ale nawet całych równań. Zatem skrócony zapis rozwiązania równania (500.1) w czystym egzemplarzu, zgodnie z przykładami podanymi w podręcznikach, będzie wyglądał następująco:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
W rezultacie, korzystając z analogii ze skalami, zebraliśmy dodatkowe równanie (500.2) w porównaniu z proponowanym w podręcznikach, czy to metodą rozwiązania, czy formą zapisywania tego rozwiązania. Moim zdaniem jest to zresztą równanie zapisane w przybliżeniu w tej formie, tj. z symbolicznym oznaczeniem skal - to brakujące ogniwo, ważne dla zrozumienia znaczenia równań.
Te. Rozwiązując równania, nie przenosimy nigdzie niczego o przeciwnym znaku, ale wykonujemy te same działania matematyczne z lewą i prawą stroną równania.
Obecnie zwyczajowo zapisuje się rozwiązania równań w skróconej formie podanej powyżej. Po równaniu (500.1.1) następuje bezpośrednio równanie (500.3.1), stąd zasada odwrotnych znaków, którą jednak dla wielu łatwiej zapamiętać niż zagłębiać się w znaczenie równań.
Notatka: Co więcej, nie mam nic przeciwko skróconej formie zapisu. Zaawansowani użytkownicy mogą jeszcze bardziej skrócić ten formularz, ale należy to zrobić dopiero później ogólne znaczenie równania są już jasno zrozumiałe.
Rozszerzona notacja pozwala zrozumieć główne zasady rozwiązywania równań:
1. Jeśli wykonamy te same działania matematyczne na lewej i prawej stronie równań, to równość zostanie zachowana.
2. Nie ma znaczenia, która część rozważanego równania zostanie lewa, a która właściwa, możemy je dowolnie zamieniać.
Te operacje matematyczne mogą być dowolne. Możemy odjąć tę samą liczbę od lewej i prawej strony, jak pokazano powyżej. Możemy dodać tę samą liczbę po lewej i prawej stronie równania, na przykład:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x, = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Możemy dzielić lub mnożyć obie strony przez tę samą liczbę, na przykład:
3х, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x, = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3х, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Obie części możemy zintegrować lub różnicować. Z lewą i prawą częścią możemy zrobić, co chcemy, ale jeśli te działania będą takie same dla lewej i prawej części, to równość pozostanie (skale pozostaną na tym samym poziomie).
Oczywiście należy wybrać działania, które pozwolą określić nieznaną ilość tak szybko i prosto, jak to możliwe.
Z tego punktu widzenia klasyczna metoda działania odwrotnego wydaje się prostsza, ale co, jeśli dziecko nie uczyło się jeszcze liczb ujemnych? Tymczasem ułożone równanie ma następującą postać:
5 - x = 3 (500.8)
Te. Rozwiązując to równanie metodą klasyczną, jednym z możliwych rozwiązań dającym najkrótszą notację jest:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
I co najważniejsze, jak wytłumaczyć dziecku, dlaczego równanie (500.8.3) jest identyczne z równaniem (500.8.4)?
Oznacza to, że w tym przypadku, nawet stosując metodę klasyczną, nie ma sensu oszczędzać na zapisie i najpierw trzeba pozbyć się nieznanej wartości po lewej stronie, która ma znak ujemny.
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Pełny wpis będzie wyglądał następująco:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Dodam to jeszcze raz. Pełny zapis rozwiązania jest potrzebny nie nauczycielom, ale lepszemu zrozumieniu metody rozwiązywania równań. A kiedy zamieniamy lewą i prawą stronę równania, to tak, jakbyśmy zmieniali widok skali z punktu widzenia kupującego na punkt widzenia sprzedającego, ale równość pozostaje taka sama.
Niestety nigdy nie udało mi się nakłonić córki do zapisania rozwiązania w całości, nawet w wersji roboczej. Ma żelazny argument: „nie uczono nas w ten sposób”. Tymczasem złożoność kompilowanych równań wzrasta, procent odgadnięcia, jakie działania należy wykonać, aby określić nieznaną wielkość, maleje, a oceny spadają. Nie wiem, co z tym zrobić…
Notatka: we współczesnej matematyce zwyczajowo rozróżnia się równości i równania, tj. 1 = 1 to po prostu równość liczbowa i jeśli w jednej z części równości należy znaleźć niewiadomą, to jest to już równanie. Dla mnie takie różnicowanie nie ma sensu ma wiele sensu, ale tylko komplikuje postrzeganie materiału. Wierzę, że każdą równość można nazwać równaniem, a każde równanie opiera się na równości. A poza tym pojawia się pytanie: x = 6, czy to już równość, czy jeszcze równanie?
Najprostsze równania, analogia z czasem
Oczywiście analogia do skal przy rozwiązywaniu równań nie jest jedyna. Na przykład rozwiązywanie równań można również rozpatrywać z perspektywy czasu. Wtedy warunek opisany równaniem (500.1) będzie brzmiał następująco:
Po dodaniu nieznanej ilości X Jeszcze 2 jednostki, mamy teraz 8 jednostek (obecnie). Jednak z tego czy innego powodu nie interesuje nas, ile ich było, ale raczej, ile ich było w czasie przeszłym. W związku z tym, aby dowiedzieć się, ile mieliśmy takich samych jednostek, musimy wykonać czynność odwrotną, tj. odejmij 2 od 8 (Równanie 500.3). Podejście to dokładnie odpowiada temu, co jest prezentowane w podręcznikach, jednak moim zdaniem nie jest tak jednoznaczne, jak analogia ze skalami. Jednak opinie w tej kwestii mogą się różnić.
Przykład rozwiązania równania w nawiasach
Artykuł ten pisałem latem, kiedy moja córka skończyła czwartą klasę, ale niecałe sześć miesięcy później poproszono ją w szkole o rozwiązanie równań o postaci:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Nikt z klasy nie potrafił rozwiązać tego równania, a mimo to nie ma nic skomplikowanego w rozwiązaniu go metodą, którą zaproponowałem, jednak pełna postać zapisu zajmie zbyt dużo miejsca:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Jednak na tym etapie nie ma potrzeby stosowania tak kompletnej formy zapisu. Skoro dotarliśmy do podwójnych nawiasów, nie ma potrzeby tworzenia osobnego równania dla działań matematycznych po lewej i prawej stronie, więc zapisanie rozwiązania w wersji roboczej może równie dobrze wyglądać następująco:
97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
W sumie na tym etapie trzeba było zapisać 14 równań, aby rozwiązać pierwotne.
W takim przypadku zapisanie rozwiązania równania w czystej kopii może wyglądać następująco:
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Te. przy skróconej formie zapisu nadal musimy utworzyć 12 równań. Oszczędności w nagrywaniu są minimalne, ale piątoklasista może mieć faktycznie problemy ze zrozumieniem wymaganych działań.
P.S. Dopiero w przypadku nawiasów podwójnych córka zainteresowała się zaproponowaną przeze mnie metodą rozwiązywania równań, ale jednocześnie w jej pisarskiej formie, nawet w wersji roboczej, równań jest wciąż 2 razy mniej, bo pomija końcową równania takie jak (500.10.4), (500.10.7) i tym podobne, a po zapisaniu natychmiast pozostawia miejsce na następną operację matematyczną. W efekcie zapis w jej wersji roboczej wyglądał mniej więcej tak:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
W rezultacie otrzymaliśmy tylko 8 równań, czyli nawet mniej niż jest to wymagane przy pisaniu rozwiązania w formie skróconej. W zasadzie nie mam nic przeciwko, ale przydałoby się.
To właściwie wszystko, co chciałem powiedzieć na temat rozwiązywania najprostszych równań zawierających jedną nieznaną wielkość. Aby rozwiązać równania zawierające dwie nieznane wielkości, będziesz potrzebować
Równość z nieznaną liczbą nazywa się równaniem.
Na przykład: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12 -dg = 48;45:x=3.
Rozwiązanie równania polega na znalezieniu takiej wartości nieznanej liczby, aby równość była prawdziwa.
Liczba ta nazywana jest pierwiastkiem równania.
Na przykład:
x+ 23 = 45; x = 22, ponieważ 22 + 23 = 45.
Zatem definicja ta określa także sposób testowania równania: podstawienie znalezionej wartości nieznanej liczby do wyrażenia, obliczenie jej wartości i porównanie wyniku z podaną liczbą (odpowiedź).
Jeśli wartość nieznanej liczby zostanie znaleziona poprawnie, uzyskana zostanie prawidłowa równość.
Metody rozwiązywania równań.
Badanie najprostszych równań i metod ich rozwiązywania na stałe zadomowiło się w systemie wstępnego szkolenia matematycznego. Równania są jednym ze sposobów modelowania badanych fragmentów rzeczywistości, a ich znajomość jest istotną częścią edukacji matematycznej. Jednocześnie zapoznanie uczniów szkół podstawowych z równaniami przygotowuje je do nauki matematyki w szkole podstawowej.
W matematyce równanie jest zwykle rozumiane jako „analityczne przedstawienie problemu znalezienia wartości argumentów, dla których wartości danych dwóch funkcji są równe. Wywoływane są argumenty, od których zależą te funkcje nieznany, a wartości niewiadomych, przy których wartości funkcji są równe, wynoszą rozwiązania – pierwiastki równania.” Oznacza to, że pojęcie równania po pierwsze wiąże się z wyrażeniem analitycznym (w naszym przypadku arytmetycznym), po drugie - Z koncepcja zmiennej pobierającej wartości z określonego zbioru.
W szkole podstawowej omawiane są dwa sposoby rozwiązania równania.
Metoda selekcji
Odpowiednią wartość dla nieznanej liczby wybiera się albo z podanych wartości, albo z dowolnego zestawu liczb.
Wybrana liczba powinna po podstawieniu do wyrażenia przekształcić ją w prawdziwą równość. Na przykład:
Spośród liczb 7, 10, 5, 4, 1, 3 wybierz dla każdego równania wartość x, która da poprawną równość: 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b
Każdą z proponowanych liczb sprawdzamy poprzez podstawienie do wyrażenia i porównanie otrzymanej wartości z odpowiedzią.
Przy dużej liczbie proponowanych wartości metoda ta wymaga dużo czasu i wysiłku. Samodzielnie wybierając znaczenia wyrażeń, dziecko może nie samodzielnie znaleźć możliwego znaczenia nieznanego.
Sposób wykorzystania relacji pomiędzy komponentami akcji.
Stosowane są zasady łączenia elementów działania.
Na przykład:
Rozwiąż równanie: 9 + x=14
Termin jest nieznany. Aby znaleźć nieznany termin, należy odjąć znany termin od sumy. Oznacza to x = 14 - 9; x = 5.
Rozwiąż równanie: 7 -x=2
Odejmij nieznany. Aby znaleźć nieznany odjemnik, musisz odjąć różnicę od odjemnika. Oznacza to x = 1 - 2; x = 5.
Rozwiąż równanie: x-1 = 9
Nieznana Minuenda. Aby znaleźć nieznaną odjemną, musisz dodać odejmowanie do różnicy. Zatem x = 9 + 1; x = 10.
Do rozwiązywania równań za pomocą operacji mnożenia i dzielenia stosuje się reguły zależności składników mnożenia i dzielenia.
Na przykład:
Rozwiąż równanie: 96:x=24
Dzielnik nieznany. Aby znaleźć nieznany dzielnik, musisz podzielić dywidendę przez iloraz. Oznacza to x = 96:24; x = 4. Sprawdźmy rozwiązanie: 24 4 = 96.
Rozwiąż równanie: x:23 = 4
Dywidenda nieznana. Aby znaleźć nieznaną dywidendę, należy pomnożyć dzielnik przez iloraz. Oznacza to x = 23 4; x = 92. Sprawdźmy rozwiązanie: 92: 23 = 4.
Rozwiąż równanie: o:- 14 = 84
Mnożnik nieznany. Aby znaleźć nieznany współczynnik, należy podzielić iloczyn przez znany współczynnik. Oznacza to x = 84:14; x = 6. Sprawdźmy rozwiązanie: x 14 = 84.
Korzystanie z tych reguł zapewnia szybszy sposób rozwiązywania równań. Trudność polega na tym, że wiele dzieci myli zasady relacji elementów działania z nazwami elementów (trzeba dobrze znać 6 zasad i nazwy 10 elementów).
W przypadku trudniejszych równań stosuje się metodę dopasowania, na przykład:
35 + x + x + x = 35 - oczywiste jest, że niewiadoma może przyjmować tylko wartość zerową;
78-x-x = 76 - oczywiście x = 1, ponieważ 78 - 1 - 1 = 76.
W przypadku równań z nawiasami postaci (6 + x) - 5 = 38 stosowana jest reguła relacji składników działania. Lewą stronę równania traktuje się najpierw jako różnicę, biorąc pod uwagę wyrażenie w nawiasach jako pojedynczy nieznany składnik. Ten pojedynczy nieznany składnik to odjemna. Aby znaleźć nieznaną odjemną, musisz dodać odejmowanie do różnicy:
Zatem równanie przyjmuje swoją zwykłą postać. W tym równaniu musisz znaleźć nieznany termin: x = 43-6;
Sprawdźmy rozwiązanie (podstaw znalezioną wartość nieznanego do pierwotnego wyrażenia): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.
Szereg alternatywnych podręczników do matematyki dla klas podstawowych wprowadza dzieci w bardziej złożone równania (I.I. Arginskaya, L.G. Peterson), w celu rozwiązania których zaleca się wielokrotne stosowanie zasad relacji składników działania.
Na przykład:
Rozwiąż równanie: (y-3)-5-875 = 210
Spójrzmy na lewą stronę równania i ustalmy kolejność działań.
(y-3)-5-875 = 210
Rodzaj wyrażenia po lewej stronie zależy od ostatniej akcji: ostatnią akcją jest odejmowanie, co oznacza, że zaczynamy uważać wyrażenie za różnicę.
Minuenda (y - 3) 5, odejmij 875, wartość różnicy 210.
Nieznane zawarte jest w zredukowanym. Znajdźmy odjemną (całe wyrażenie traktujemy jako pojedynczą odjemną): aby znaleźć nieznaną odjemną, należy dodać odejmowanie do różnicy.
(y- 3)- 5 = 210 + 875;
(y - 3) 5 = 1085: y
Ustalmy jeszcze raz procedurę: (y - 3) 5 = 1085.
Na podstawie ostatniej akcji uważamy, że wyrażenie po lewej stronie jest iloczynem. Pierwszy czynnik to (y - 3), drugi czynnik to 5, wartość iloczynu to 1085. Niewiadoma zawarta jest w pierwszym czynniku. Znajdźmy to (rozważamy całe wyrażenie y - 3 nieznane). Aby znaleźć nieznany współczynnik, należy podzielić iloczyn przez znany współczynnik.
y - 3 = 1085: 5;
Otrzymaliśmy równanie, w którym odjemna jest nieznana. Znajdźmy to:
Sprawdźmy rozwiązanie, podstawiając znalezioną wartość niewiadomej do pierwotnego równania:
(218-3)-5-875 = 210.
Po obliczeniu wartości lewej strony jesteśmy przekonani, że uzyskano prawidłową równość. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.
Analiza powyższej metody rozwiązania pokazuje, że jest to proces długi i pracochłonny, wymagający od dziecka jasnej znajomości wszystkich zasad, wysokiego poziomu analizy oraz umiejętności dostrzegania złożonej struktury zmiennej uzyskanej poprzez rozwiązanie krok po kroku jako jedną całość (wysoki poziom syntezy i abstrakcji).
Osoba dorosła, z którą się zapoznaje metoda uniwersalna rozwiązywanie podobnych równań stosowanych w szkole średniej (otwieranie nawiasów, przesuwanie składników równania z lewej strony na prawą) wyraźnie ukazuje niedoskonałości i nadmierną złożoność tej metody. W związku z tym wielu metodologów słusznie wyraża wątpliwości co do celowości aktywnego wprowadzania równań o tak złożonej strukturze na zajęcia z matematyki w szkołach podstawowych. Ten sposób rozwiązywania jest irracjonalny z matematycznego punktu widzenia i zostanie zapomniany i odrzucony, gdy tylko nauczyciel matematyki w klasach 5-7 wprowadzi dziecko w ogólne techniki rozwiązywania tego typu równań.
Na szkolnych zajęciach z matematyki dziecko po raz pierwszy słyszy termin „równanie”. Co to jest, spróbujmy to wspólnie rozgryźć. W tym artykule przyjrzymy się rodzajom i metodom rozwiązań.
Matematyka. Równania
Na początek sugerujemy zrozumienie samej koncepcji, co to jest? Jak podaje wiele podręczników do matematyki, równanie to pewne wyrażenia, pomiędzy którymi musi znajdować się znak równości. Wyrażenia te zawierają litery, tzw. zmienne, których wartość należy znaleźć.
Jest to atrybut systemowy, który zmienia swoją wartość. Dobrym przykładem zmiennych są:
- temperatura powietrza;
- wzrost dziecka;
- waga i tak dalej.
W matematyce oznacza się je literami, na przykład x, a, b, c... Zwykle zadanie matematyczne wygląda następująco: znajdź wartość równania. Oznacza to, że konieczne jest znalezienie wartości tych zmiennych.
Odmiany
Równanie (omówiliśmy je w poprzednim akapicie) może mieć następującą postać:
- liniowy;
- kwadrat;
- sześcienny;
- algebraiczny;
- nadzmysłowy.
Aby uzyskać bardziej szczegółowe zapoznanie się ze wszystkimi typami, rozważymy każdy z osobna.
Równanie liniowe
Jest to pierwszy gatunek, z którym zapoznają się dzieci w wieku szkolnym. Rozwiązuje się je dość szybko i prosto. Czym zatem jest równanie liniowe? Jest to wyrażenie w postaci: ah=c. Nie jest to szczególnie jasne, więc podamy kilka przykładów: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Spójrzmy na przykłady równań. Aby to zrobić, musimy zebrać wszystkie znane dane z jednej strony i nieznane z drugiej: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Zastosowano tu elementarne zasady matematyki: a*c=e, stąd c=e/a; a=e/c. Aby dokończyć rozwiązanie równania wykonujemy jedną akcję (w naszym przypadku dzielenie) x = 13; x=8; x=5. To były przykłady mnożenia, teraz spójrzmy na odejmowanie i dodawanie: x+3=9; 10x-5=15. Przenosimy znane dane w jednym kierunku: x=9-3; x=20/10. Wykonaj ostatnią akcję: x=6; x=2.
Możliwe są także warianty równań liniowych, w których wykorzystywana jest więcej niż jedna zmienna: 2x-2y=4. Aby rozwiązać, należy dodać 2y do każdej części, otrzymamy 2x-2y+2y=4-2y, jak zauważyliśmy, po lewej stronie znaku równości -2y i +2y anuluj, pozostawiając nam: 2x=4 -2у. Ostatni krok dzieląc każdą część przez dwa, otrzymujemy odpowiedź: x równa się dwa minus y.
Problemy z równaniami można znaleźć nawet na papirusach Ahmesa. Oto jeden problem: liczba i jej czwarta część sumują się do 15. Aby go rozwiązać, piszemy następujące równanie: x plus jedna czwarta x równa się piętnaście. Widzimy kolejny przykład na podstawie wyniku rozwiązania, otrzymujemy odpowiedź: x=12. Ale problem ten można rozwiązać w inny sposób, a mianowicie egipski lub, jak to się nazywa inaczej, metodą założeń. Papirus stosuje następujące rozwiązanie: weź cztery i jedną czwartą, czyli jedną. W sumie dają pięć, teraz trzeba podzielić piętnaście przez sumę, otrzymujemy trzy, ostatnim krokiem jest pomnożenie trzech przez cztery. Otrzymujemy odpowiedź: 12. Dlaczego w rozwiązaniu dzielimy piętnaście przez pięć? Dowiadujemy się więc, ile razy piętnaście, czyli wynik, który musimy uzyskać, jest mniejszy niż pięć. W średniowieczu rozwiązywano problemy w ten sposób; zaczęto to nazywać metodą fałszywego stanowiska.
Równania kwadratowe
Oprócz omówionych wcześniej przykładów są jeszcze inne. Które dokładnie? Równanie kwadratowe, co to jest? Wyglądają jak topór 2 +bx+c=0. Aby je rozwiązać, musisz zapoznać się z pewnymi pojęciami i zasadami.
Najpierw musisz znaleźć dyskryminator za pomocą wzoru: b 2 -4ac. Istnieją trzy możliwe skutki tej decyzji:
- dyskryminator jest większy od zera;
- mniej niż zero;
- równy zeru.
W pierwszym wariancie odpowiedź możemy uzyskać z dwóch pierwiastków, które wyznaczamy według wzoru: -b+-pierwiastek z dyskryminatora podzielony przez dwukrotność pierwszego współczynnika, czyli 2a.
W drugim przypadku równanie nie ma pierwiastków. W trzecim przypadku pierwiastek wyznacza się za pomocą wzoru: -b/2a.
Spójrzmy na przykład równania kwadratowego, aby uzyskać bardziej szczegółowe wprowadzenie: trzy x kwadrat minus czternaście x minus pięć równa się zero. Na początek, jak napisano wcześniej, szukamy dyskryminatora, w naszym przypadku jest on równy 256. Należy pamiętać, że otrzymana liczba jest większa od zera, dlatego powinniśmy otrzymać odpowiedź składającą się z dwóch pierwiastków. Podstawiamy otrzymany dyskryminator do wzoru na znalezienie pierwiastków. W rezultacie mamy: x równa się pięć i minus jedna trzecia.
Przypadki szczególne w równaniach kwadratowych
Są to przykłady, w których niektóre wartości wynoszą zero (a, b lub c), a ewentualnie więcej niż jeden.
Weźmy na przykład następujące równanie kwadratowe: dwa x kwadrat równa się zero, tutaj widzimy, że b i c są równe zero. Spróbujmy to rozwiązać, w tym celu dzielimy obie strony równania przez dwa i mamy: x 2 =0. W rezultacie otrzymujemy x=0.
Inny przypadek to 16x 2 -9=0. Tutaj tylko b=0. Rozwiążmy równanie, przenieś wolny współczynnik na prawą stronę: 16x 2 = 9, teraz dzielimy każdą część przez szesnaście: x 2 = dziewięć szesnastych. Ponieważ mamy x do kwadratu, pierwiastek z 9/16 może być albo ujemny, albo dodatni. Odpowiedź zapisujemy w następujący sposób: x równa się plus/minus trzy czwarte.
Inną możliwą odpowiedzią jest to, że równanie w ogóle nie ma pierwiastków. Spójrzmy na ten przykład: 5x 2 +80=0, tutaj b=0. Aby rozwiązać, wrzuć wolnego członka do prawa strona, po tych działaniach otrzymujemy: 5x 2 = -80, teraz każdą część dzielimy przez pięć: x 2 = minus szesnaście. Jeśli podniesiemy dowolną liczbę do kwadratu, nie otrzymamy wartości ujemnej. Dlatego nasza odpowiedź brzmi: równanie nie ma pierwiastków.
Rozwinięcie trójmianowe
Zadanie dotyczące równań kwadratowych może również brzmieć tak: weź pod uwagę trójmian kwadratowy. Można to zrobić za pomocą następującego wzoru: a(x-x 1)(x-x 2). Aby to zrobić, podobnie jak w drugiej wersji zadania, należy znaleźć dyskryminator.
Rozważmy następujący przykład: 3x 2 -14x-5, uwzględnij trójmian. Dyskryminator znajdujemy za pomocą znanego nam już wzoru; okazuje się, że jest on równy 256. Od razu zauważamy, że 256 jest większe od zera, dlatego równanie będzie miało dwa pierwiastki. Znajdujemy je, podobnie jak w poprzednim akapicie, mamy: x = pięć i minus jedna trzecia. Skorzystajmy ze wzoru na rozkład na czynniki trójmianu: 3(x-5)(x+1/3). W drugim nawiasie otrzymaliśmy znak równości, ponieważ we wzorze znajduje się znak minus, a pierwiastek również jest ujemny, korzystając z podstawowej wiedzy matematycznej, w sumie mamy znak plus. Dla uproszczenia pomnóżmy pierwszy i trzeci wyraz równania, aby pozbyć się ułamka: (x-5)(x+1).
Równania redukujące do kwadratu
W tej części dowiemy się, jak rozwiązywać bardziej złożone równania. Zacznijmy od razu od przykładu:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Zauważamy powtarzające się elementy: (x 2 - 2x), aby je rozwiązać, wygodnie jest nam zastąpić je inną zmienną, a następnie rozwiązać to, co zwykle równanie kwadratowe, od razu zauważamy, że w takim zadaniu otrzymamy cztery korzenie, nie powinno cię to przerażać. Oznaczamy powtórzenie zmiennej a. Otrzymujemy: a 2 -2a-3=0. Następnym krokiem jest znalezienie dyskryminatora nowego równania. Dostajemy 16, znajdujemy dwa pierwiastki: minus jeden i trzy. Pamiętamy, że dokonaliśmy zamiany, podstawimy te wartości, w wyniku czego otrzymamy równania: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2 x = 3. Rozwiązujemy je w pierwszej odpowiedzi: x jest równe jeden, w drugiej: x jest równe minus jeden i trzy. Odpowiedź zapisujemy następująco: plus/minus jeden i trzy. Z reguły odpowiedź jest zapisana w kolejności rosnącej.
Równania sześcienne
Rozważmy inną możliwą opcję. Porozmawiamy o równaniach sześciennych. Wyglądają jak: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Przyjrzymy się przykładom równań poniżej, ale najpierw trochę teorii. Mogą mieć trzy pierwiastki i istnieje również wzór na znalezienie dyskryminatora równania sześciennego.
Spójrzmy na przykład: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Jak to rozwiązać? Aby to zrobić, po prostu wstawimy x z nawiasów: x(3x 2 +4x+2)=0. Wszystko, co musimy zrobić, to obliczyć pierwiastki równania w nawiasach. Dyskryminator równania kwadratowego w nawiasach jest mniejszy od zera, na tej podstawie wyrażenie ma pierwiastek: x=0.
Algebra. Równania
Przejdźmy dalej następny widok. Przyjrzymy się teraz pokrótce równaniom algebraicznym. Jedno z zadań wygląda następująco: współczynnik 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Najbardziej w wygodny sposób będzie następujące grupowanie: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Zauważ, że 8x2 z pierwszego wyrażenia przedstawiliśmy jako sumę 3x2 i 5x2. Teraz z każdego nawiasu wyciągamy wspólny współczynnik 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Widzimy, że mamy wspólny czynnik: x kwadrat plus jeden, wyciągamy go z nawiasów: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Dalsza ekspansja nie jest możliwa, ponieważ oba równania mają ujemny dyskryminator.
Równania transcendentalne
Sugerujemy zajęcie się następującym typem. Są to równania zawierające funkcje przestępne, czyli logarytmiczne, trygonometryczne lub wykładnicze. Przykłady: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 i tak dalej. Jak je rozwiązać, dowiesz się na kursie trygonometrii.
Funkcjonować
Ostatnim krokiem jest rozważenie koncepcji równania funkcji. W przeciwieństwie do poprzednich opcji, ten typ nie jest rozwiązany, ale na jego podstawie budowany jest wykres. Aby to zrobić, warto dobrze przeanalizować równanie, znaleźć wszystkie punkty niezbędne do budowy i obliczyć punkty minimalne i maksymalne.
- Równość ze zmienną nazywa się równaniem.
- Rozwiązanie równania oznacza znalezienie jego wielu pierwiastków. Równanie może mieć jeden, dwa, kilka, wiele pierwiastków lub nie mieć ich wcale.
- Każdą wartość zmiennej, przy której dane równanie zamienia się w prawdziwą równość, nazywamy pierwiastkiem równania.
- Równania mające te same pierwiastki nazywane są równaniami równoważnymi.
- Dowolny wyraz równania można przenieść z jednej części równości do drugiej, zmieniając znak wyrazu na przeciwny.
- Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu.
Przykłady. Rozwiąż równanie.
1. 1,5x+4 = 0,3x-2.
1,5x-0,3x = -2-4. Zebraliśmy terminy zawierające zmienną po lewej stronie równości i wolne terminy po prawej stronie równości. W tym przypadku wykorzystano następującą właściwość:
1,2x = -6. Podobne określenia podano zgodnie z zasadą:
x = -6 : 1.2. Obie strony równości zostały podzielone przez współczynnik zmiennej, ponieważ
x = -5. Dzielone zgodnie z zasadą dzielenia ułamka dziesiętnego przez dziesiętny:
Aby podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny, należy przesunąć przecinki w dzielnej i dzielniku o tyle cyfr w prawo, ile jest po przecinku w dzielniku, a następnie podzielić przez liczbę naturalną:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Odpowiedź: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. Otworzyliśmy nawiasy, korzystając z rozdzielnego prawa mnożenia względem odejmowania: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ C.
6x-4x = -16+27. Zebraliśmy terminy zawierające zmienną po lewej stronie równości i wolne terminy po prawej stronie równości. W tym przypadku wykorzystano następującą właściwość: dowolny wyraz równania można przenieść z jednej części równości do drugiej, zmieniając w ten sposób znak wyrazu na przeciwny.
2x = 11. Podobne wyrazy podano zgodnie z zasadą: aby otrzymać podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i otrzymany wynik pomnożyć przez ich wspólną część literową (tj. dodać ich wspólną część literową do otrzymanego wyniku).
x = 11 : 2. Obie strony równości podzielono przez współczynnik zmiennej, ponieważ Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu.
Odpowiedź: 5,5.
3. 7x- (3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. Nawiasy otwieraliśmy zgodnie z zasadą otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem „-”: jeżeli przed nawiasem znajduje się znak „-”, usuń nawiasy, znak „-” i wpisz określenia w nawiasach z przeciwnymi znakami.
7x-2x-x = -9+3. Zebraliśmy terminy zawierające zmienną po lewej stronie równości i wolne terminy po prawej stronie równości. W tym przypadku wykorzystano następującą właściwość: dowolny wyraz równania można przenieść z jednej części równości do drugiej, zmieniając w ten sposób znak wyrazu na przeciwny.
4x = -6. Podobne określenia podano zgodnie z zasadą: aby otrzymać podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i otrzymany wynik pomnożyć przez ich wspólną część literową (tj. dodać ich wspólną część literową do otrzymanego wyniku).
x = -6 : 4. Obie strony równości podzielono przez współczynnik zmiennej, ponieważ Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu.
Odpowiedź: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Pomnożyliśmy obie strony równania przez 12 - najniższy wspólny mianownik mianowników tych ułamków.
3x-15 = 84-8x+44. Otworzyliśmy nawiasy, korzystając z rozdzielnego prawa mnożenia względem odejmowania: Aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, można osobno pomnożyć odjemną i osobno odjąć przez trzecią liczbę, a następnie od pierwszego wyniku odjąć drugi wynik, tj.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ C.
3x+8x = 84+44+15. Zebraliśmy terminy zawierające zmienną po lewej stronie równości i wolne terminy po prawej stronie równości. W tym przypadku wykorzystano następującą właściwość: dowolny wyraz równania można przenieść z jednej części równości do drugiej, zmieniając w ten sposób znak wyrazu na przeciwny.
11x = 143. Podobne określenia podano zgodnie z zasadą: aby otrzymać podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i otrzymany wynik pomnożyć przez ich wspólną część literową (tj. dodać ich wspólną część literową do otrzymanego wyniku).
x = 143 : 11. Obie strony równości podzielono przez współczynnik zmiennej, ponieważ Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu.
Odpowiedź: 13.
5. Rozwiąż samodzielnie równania:
A) 3-2,6x = 5x+1,48;
B) 1,6 · (x+5) = 4 · (4,5-0,6x);
V) 9x- (6x+2,5) = - (x-5,5);
5a) 0,2; 5b) 2,5; 5c) 2; 5d) -1.
Biorąc pod uwagę okresowość funkcji sinus, piszemy podwójną nierówność dla wartości argumentu T, spełniając ostatnią nierówność. Wróćmy do pierwotnej zmiennej. Przekształćmy wynikową podwójną nierówność i wyrażmy zmienną X. Zapiszmy odpowiedź w formie przedziału.
Rozwiążmy drugą nierówność:
Rozwiązując drugą nierówność, musieliśmy przekształcić lewą stronę tej nierówności za pomocą wzoru na sinus z podwójnym argumentem, aby otrzymać nierówność postaci: sint≥a. Następnie postępowaliśmy zgodnie z algorytmem.
Rozwiązujemy trzecią nierówność:
Drodzy absolwenci i kandydaci! Należy pamiętać, że metody rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, takie jak podana powyżej metoda graficzna i prawdopodobnie znana Ci metoda rozwiązywania za pomocą jednostkowego okręgu trygonometrycznego (koła trygonometrycznego) mają zastosowanie tylko w pierwszych etapach studiowania działu trygonometrii „Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.” Myślę, że pamiętasz, że najpierw rozwiązałeś najprostsze równania trygonometryczne za pomocą wykresów lub koła. Jednak teraz nie pomyślałbyś o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych w ten sposób. Jak je rozwiązać? Zgadza się, zgodnie ze wzorami. Zaczynamy nierówności trygonometryczne należy rozwiązać za pomocą wzorów, zwłaszcza podczas testowania, kiedy każda minuta jest cenna. Rozwiąż więc trzy nierówności z tej lekcji, korzystając z odpowiedniego wzoru.
Jeśli sin>a, gdzie -1≤ A≤1, zatem arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Naucz się formuł!
