Rysunek. Działania arytmetyczne na liczbach wymiernych.

Tekst:

Zasady operacji na liczbach wymiernych:
. Dodając liczby o tych samych znakach, należy dodać ich moduły i umieścić je przed sumą znak ogólny;
. podczas dodawania dwóch liczb za pomocą różne znaki od liczby o większym module odejmij liczbę o mniejszym module i przed wynikową różnicą postaw znak liczby o większym module;
. Odejmując jedną liczbę od drugiej, należy dodać do odejmowanej liczbę przeciwną do odejmowanej: a - b = a + (-b)
. przy mnożeniu dwóch liczb o tych samych znakach ich moduły są mnożone, a przed otrzymanym iloczynem umieszczany jest znak plus;
. przy mnożeniu dwóch liczb o różnych znakach ich moduły są mnożone, a przed otrzymanym iloczynem umieszczany jest znak minus;
. przy dzieleniu liczb o tych samych znakach moduł dzielnej dzieli się przez moduł dzielnika, a przed otrzymanym ilorazem umieszcza się znak plus;
. przy dzieleniu liczb o różnych znakach moduł dywidendy dzieli się przez moduł dzielnika, a przed wynikowym ilorazem umieszcza się znak minus;
. dzieląc i mnożąc zero przez dowolną liczbę, nie rób tego równy zeru, okazuje się, że jest zero:
. Nie możesz dzielić przez zero.

Wstecz Naprzód

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tę pracę, pobierz pełną wersję.

Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzowania wiedzy z wykorzystaniem technologii komputerowej.

Cele lekcji:

• Edukacyjny:
  • doskonalić umiejętności rozwiązywania przykładów i równań na temat „Właściwości operacji na liczbach wymiernych”;
  • utrwalić umiejętność wykonywania operacji arytmetycznych na liczbach wymiernych;
  • sprawdzić umiejętność wykorzystania właściwości działań arytmetycznych do uproszczenia wyrażeń na liczbach wymiernych;
  • uogólniać i systematyzować materiał teoretyczny.
• Rozwojowy:
  • rozwijać umiejętności liczenie mentalne;
  • rozwijać logiczne myślenie;
  • rozwinąć umiejętność jasnego i jasnego wyrażania swoich myśli;
  • rozwijać mowę matematyczną uczniów w procesie wykonywania pracy z reprodukcją ustną materiał teoretyczny;
  • poszerzać horyzonty uczniów.
• Edukacyjny:
  • rozwinąć umiejętność pracy z dostępnymi informacjami;
  • rozwijać szacunek do tematu;
  • kultywuj umiejętność słuchania przyjaciela, poczucie wzajemnej pomocy i wzajemnego wsparcia;
  • przyczyniać się do rozwoju samokontroli i wzajemnej kontroli wśród uczniów.

Wyposażenie i widoczność: komputer, rzutnik multimedialny, ekran, prezentacja interaktywna, fiszki do liczenia w pamięci, kredki .

Struktura lekcji:

POSTĘP LEKCJI

I. Moment organizacyjny

II. Komunikowanie tematu i celów lekcji

Sprawdzanie gotowości uczniów do zajęć. Przekazywanie uczniom celów i planu lekcji.

– Temat naszej lekcji: „Własności działań na liczbach wymiernych” i proszę o refrenem przeczytanie motto lekcji:

Tak, ścieżka wiedzy nie jest gładka.
Ale wiemy lata szkolne,
Więcej jest tajemnic niż odpowiedzi,
I nie ma ograniczeń w poszukiwaniach!

A dzisiaj na zajęciach będziemy polubownie i aktywnie tworzyć gazetkę matematyczną. Ja będę redaktorem naczelnym, a wy korektorami. Jak rozumiesz znaczenie tego słowa?
Aby przetestować innych, musimy usystematyzować naszą wiedzę na temat „Właściwości operacji na liczbach wymiernych”.

A nasza gazeta nazywa się „Liczby wymierne”. A przetłumaczone na tatarski?
Słyszałem, że dobrze znasz angielski, ale jak Anglicy będą nazywać tę gazetę?
Przedstawiam Państwu układ gazety, który składa się z następujących działów: czytanie chórem: „ Pytają – my odpowiadamy», « Wiadomość dnia», « Aukcja projektów», « Raport bieżący», « Czy wiesz...?”.

III. Aktualizacja wiedzy referencyjnej

Praca ustna:

W pierwszej części „Pytają – my odpowiadamy” musimy sprawdzić prawdziwość informacji, które nasi korespondenci przesyłali nam listami. Przyjrzyj się uważnie i powiedz nam, o jakich zasadach musimy pamiętać, aby sprawdzić te informacje.

1. Zasada dodawania liczb ujemnych:

„Aby dodać dwie liczby ujemne, należy: 1) dodać ich moduły, 2) postawić znak minus przed otrzymaną liczbą.”

2. Zasada dzielenia liczb różnymi znakami:

„Przy dzieleniu liczb o różnych znakach należy: 1) podzielić moduł dzielnej przez moduł dzielnika, 2) postawić znak minus przed otrzymaną liczbą.”

3. Zasada mnożenia dwóch liczb ujemnych:

„Aby pomnożyć dwie liczby ujemne, należy pomnożyć ich wartości bezwzględne”.

4. Zasada mnożenia liczb o różnych znakach:

„Aby pomnożyć dwie liczby o różnych znakach, należy pomnożyć wartości bezwzględne tych liczb i umieścić znak minus przed otrzymaną liczbą”.

5. Zasada dzielenia liczby ujemnej przez liczbę ujemną:

„Aby podzielić liczbę ujemną przez liczbę ujemną, należy podzielić moduł dzielnej przez moduł dzielnika”.

6. Zasada dodawania liczb o różnych znakach:

„Aby dodać dwie liczby o różnych znakach, należy 1) odjąć mniejszą od większego modułu wyrazów, 2) umieścić przed otrzymaną liczbą znak wyrazu, którego moduł jest większy.

1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)

- Dobra robota, wykonałeś dobrą robotę.

IV. Wzmocnienie pokrywanego materiału

– A teraz przechodzimy do sekcji „Wiadomość dnia" Aby ukończyć tę sekcję, musimy usystematyzować naszą wiedzę o liczbach.
– Jakie znasz liczby? (Naturalne, ułamkowe, racjonalne)
– Jakie liczby uważa się za wymierne? (Dodatnie, ujemne i 0)
- Jakie są właściwości? liczby wymierne Wiesz, że? (Przemienne, łączne i rozdzielne, mnożenie przez 1, mnożenie przez 0)
– Przejdźmy teraz do pracy pisemnej. Otworzyliśmy zeszyty, zapisaliśmy liczbę, praca klasowa, temat „Właściwości operacji na liczbach wymiernych”.
Korzystając z tych właściwości, upraszczamy wyrażenia:

A) x + 32 – 16 = x + 16
B) – x – 18 – 23 = – x – 41
B) – 1,5 + x – 20 = – 21,5 + x
D) 12 – 26 + x = x – 14
D) 1,7 + 3,6 – x = 5,3 – x
E) – x + a + 6,1 – a + 2,8 – 8,8 = – x + 0,1

– A poniższe przykłady wymagają od nas jeszcze więcej racjonalna decyzja z wyjaśnieniem.

– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961

12.04.1961 – Czy odpowiedzi, które otrzymałeś, mówią Ci coś?
50 lat temu, 12 kwietnia 1961 roku, Jurij Gagarin poleciał w kosmos. Miasto Zainsk ma również swoją historię kosmiczną: 9 marca 1961 r., moduł zejścia nr 1 statek kosmiczny WOSTOK-4 ukończony miękkie lądowanie w pobliżu wsi Stary Tokmak, rejon Zainsky, z manekinem ludzkim, psem i innymi małymi zwierzętami na pokładzie. Na cześć tego wydarzenia na naszym terenie zostanie wzniesiony pomnik. W mieście działa już komisja konkursowa. W konkursie biorą udział 3 projekty, są one przed Tobą na ekranie. A teraz przeprowadzimy aukcję projektów.
Proszę o oddanie głosu na swój ulubiony projekt. Twój głos może być decydujący.

V. Minuta wychowania fizycznego

– Wyrażasz swoją opinię oklaskami i tupaniem. Zróbmy próbę! Trzy klaśnięcia i trzy pieczątki.
- Spróbujmy jeszcze raz. Zatem rozpoczynamy głosowanie:

– Oddajemy głosy na Układ nr 1
– Oddajemy głosy na Układ nr 2
– Oddajemy głosy na Układ nr 3
- A teraz wszystkie układy razem.
– Układ nr. wygrał... Dziękuję, nagrałem Wasze głosy (podnosi komórkę i pokazuje dzieciom) i przekażę do komisji skrutacyjnej.
- Dobra robota, dziękuję. A przyszłość jest nie mniej ważna - Raport bieżący.

VI. Przygotowanie do egzaminu państwowego

W kategorii „Raport bieżący” Otrzymałem list, w którym uczeń prosi o pomoc w rozwiązaniu zadań na egzamin końcowy w klasie IX. Każdy z nas musi samodzielnie rozwiązywać zadania i testy.<Załącznik 1 > na Twoich stołach:

1. Rozwiąż równania:

a) (x + 3)(x – 6) = 0

1) x = 3, x = – 6
2) x = – 3, x = – 6
3) x = – 3, x = 6

Otwarta lekcja matematyki w klasie szóstej.

Temat: Działania na liczbach wymiernych. (Jedna lekcja numeryczna)

Cel: utrwalić umiejętności operacji na liczbach dodatnich i ujemnych. Przygotowanie do praca testowa.

Zadania:

• Przejrzyj pojęcia liczb dodatnich i ujemnych; utrwalić umiejętności wykonywania czynności z liczbami dodatnimi i ujemnymi.

• Promowanie zainteresowania przedmiotem poprzez nietradycyjną formę nauczania.
• Rozwijaj logiczną pomysłowość i twórcze myślenie.

Typ lekcji: lekcja powtarzania i utrwalania wiedzy uczniów z wykorzystaniem informatyki.

Formy organizacji zajęć edukacyjnych:zbiorowa, indywidualna, para, burza mózgów.

Sprzęt: komputer, projektor, Prezentacja PowerPointa(w załączeniu), komplet pojedynczych kart.

Postęp lekcji

1. Moment organizacyjny.

W zeszycie zapisujemy temat lekcji i datę. Dlaczego temat jest napisany tak nietypowo? (Działania z dietą wszystkie liczby.)

Rozgrzewka: na zewnątrz jest ciemno, wydaje się, że jest noc, ale czas się obudzić i przygotować do szkoły. Żeby nie wyszło jak w powiedzeniu: Wychowali Cię, ale zapomnieli Cię obudzić. Postanowiłem cię obudzić na wszelki wypadek...

Rumak: Dzień dobry: Zadaję pytanie uczniowi, jeśli odpowie, to siedzi, nie, może przekazać je komuś innemu, komuś, kto jeszcze nie siedzi. Jeśli odpowiedział poprawnie, mówi, kto będzie następnym pytaniem. (burza mózgów)

1) najmniejsza liczba naturalna (1)

2) wynik mnożenia (Iloczyn)

3) Liczba przeciwna 4?

4) Odcinek łączący punkt na okręgu z jego środkiem (promień)

5) Jedna setna liczby (procent)

6) narzędzie do pomiaru kątów (Kątomierz)

7) Czy można uzyskać 0 podczas dzielenia liczb (tak)

8) co mają rośliny i równania? (Źródło)

9) Ile wynosi 10²? (100)

10) liczby używane przy liczeniu obiektów?

12) Co jest cięższe od 1 kg waty lub 1 kg żelaza?

13) odległość od początku do liczby na osi współrzędnych (moduł)

14) suma dwóch przeciwnych liczb (0)

15) 2³ (8)

16) czy można dzielić przez zero?

17) moduł – 9 (9)

18) wynik dzielenia (iloraz)

19) Jaką liczbę uzyskuje się przez pomnożenie dwóch liczb ujemnych (dodatnich)

20) iloczyn liczb odwrotnych (1)

21) Liczby ze znakiem „-” nazywane są (ujemnymi)

22) wynik dodania (suma)

23) Liczba określająca położenie punktu na linii współrzędnych (współrzędna)

24) Liczby ze znakiem „+” nazywane są (dodatnimi)

25) Liczby naturalne, ich przeciwieństwa i zero są (liczbami całkowitymi)

26) Która liczba nie jest ani dodatnia, ani ujemna. (zero)

Dziś na zajęciach będziemy powtarzać, podsumowywać i usystematyzować wiedzę zdobytą na poprzednich zajęciach. Przygotujmy się do testu.

Pomoże nam w tym jeden bardzo ciekawy numer. Spróbuj zgadnąć, który?

Porady:

Zgadza się – to jest liczba 30.

• Jak myślisz, dlaczego jest to liczba? (Nasza klasa liczy 30 osób)

Myślę, że w życiu każdego z Was jakieś wydarzenie wiąże się z liczbą 30. Na przykład to jest data mojego ślubu. Co z tobą? (odpowiedzi uczniów)

1. Praca ustna.

• Odpowiedzmy na kilka pytań.

1. Proszę, powiedz mi, co wiemy o liczbie 30?

(dodatnia, całkowita, parzysta, złożona)

1. Gdzie na osi współrzędnych znajduje się ta liczba?

(Ta liczba na osi współrzędnych znajduje się na lewo od zera)

1. Podaj dwie liczby całkowite sąsiadujące z podaną liczbą.

(29 i 31)

1. Jaka liczba będzie przeciwieństwem tej liczby?

(Numer -30)

1. Jaki jest moduł tej liczby?

(Moduł tej liczby wynosi 30)

1. Odwrotność tego?

{ }

1. Liczba symetryczna względem liczby 30 względem 0?

{ }

Ponadto w matematyce istnieje kilka innych interesujących faktów związanych z liczbą 30:

Cóż, będziemy kontynuować

1. Zadania sprawdzające przerobiony materiał.

Narysujmy figurę na płaszczyźnie współrzędnych:

1. (-5;3); (-4;4); (-2;4);(-1;3);(-1;1);(-3;0)(-1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5);(-5;-4)
2. (1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2;-5);(1;-4);(1;3).

Co oznacza ta liczba w świecie liczb lub numerologii duchowej:

Liczba 30 składa się z dwóch cyfr 3 i 0. Dlatego, aby naprawdę zrozumieć znaczenie liczby 30, musisz wiedzieć główne znaczenie te liczby. Głównym znaczeniem trojki jest Miłość we wszystkich jej przejawach, zaczynając od najbardziej „podstawowego”, fizjologicznego, a kończąc na najbardziej „wysokim”, duchowym i intuicyjnym.

Znaczenie zera w numerologii duchowej to spokój, cisza, spokój. Dlatego trzydzieści jest tłumaczone z języka liczb jako „spokój w miłości” lub „spokój w miłości” lub „miłość, która się wyczerpała”. Wybór sformułowania zależy od wielu subiektywnych i obiektywnych czynników w życiu jednostki.

znaczenie liczby 30

Liczba 30 pośrednio stwarza warunki do osiągnięcia sukcesu we wszystkim. Liczba 30 nie jest bezpośrednio związana z osiąganiem zysku, dobrobytem materialnym i karierą. Ale(!) pośrednio ta liczba może przyczynić się do zysku, kariery i WSZYSTKIEGO!

Jednak najważniejszą rzeczą, którą promuje liczba 30, jest miłość. Numer 30 nie lubi gwałtownych ruchów, ostrych słów i głośnych przysięg. Liczba 30 po prostu napełnia każdego, kto się z nią zetknie, MIŁOŚCIĄ lub POKOJEM!

Jako data, liczba 30 kończy znaczną część miesięcy w roku.

30-ty dzień kalendarza jest idealny do podsumowania wyników. Nawet w skrajnych przypadkach wyniki komercyjne, jeśli w zasadzie nie zamierza się wyciągać żadnych innych wniosków. Najważniejsze, żeby nie zaczynać niczego 30-tego!

Osoby urodzone 30-tego są spokojne, ale bardzo silne. Są spokojni i dokładni. Potrzebują konkretnego wyniku. Rezultat wszystkiego: wynik miłości, handlu lub, powiedzmy, performansu.

Liczba 30 osób nie lubi niejasnych sformułowań. Potrzebują jasnego i zwięzłego „tak” lub „nie”.

1. Zadania praktyczne. (trening fizyczny + zastosowanie praktyczne)

• Każdy ma numer na stole. Twoje zadanie: znajdź w klasie taką parę, aby suma Waszych liczb była równa 30.

(Liczby: -30 i 60; -5 i 35; -2,72 i 32,72; 2 i 27; -0,25 i 30; i 29,5; -6 i 36; I-2,5I i 27,5; I- ja i 21; - i 30,5; 5 i 24,25; 38,6 i -8; -120 i 150.)

Gdy tylko każda para się odnajdzie, pobiera z planszy zadanie (o najniższym numerze) i wykonuje je: (łańcuch obliczeń). Łańcuch jest wyświetlany na ekranie. Para, która zakończy grę wcześniej i poprawnie, otrzyma „5”.

1. Ciekawe fakty o liczbie 30:

• W Biblii

1. Wiek, w którym Jezus został ochrzczony.
2. Judasz za zdradę Jezusa otrzymał 30 srebrników

• W literaturze

1. W baśniach: w trzydziestym królestwie, w trzydziestym państwie...
2. W bajce Puszkina „O złotej rybce” stary mężczyzna i stara kobieta żyli 30 lat i 3 lata.
3. W powieści Dostojewskiego „Zbrodnia i kara”Numer 30 poświęcony jest opowieści o różnych problemach finansowych bohaterów. Sonya przynosi 30 rubli, obiecuje wysłać 30 rubli matce Raskolnikowa, Svidrigailov zostaje wykupiony za 30 tysięcy.
4. 19 października 1811 r. Puszkin został przyjęty do tego numeru 30 uczniowie Liceum Carskie Sioło.

• W naukach przyrodniczych

1. W układzie okresowym liczba 30 to kruchy metal – cynk.
2. Liczba dni wKwiecień , Czerwiec , Wrzesień , Listopad
3. Przy temperaturach poniżej trzydziestu stopni zajęcia dla klas 1-9 zostają odwołane.
4. 30 lutego . Trzy razy w historii niektóre kraje miały 30 dni w lutym.

Pozostali pracują obecnie z tabelą liczb.

• Połączenie numerów: niebieskiego i czerwonego. Korzystając z opcji, znajdź znak akcji (jeden), dzięki któremu wynik obliczeń wynosi 30. Pierwsza opcja jest niebieska, druga jest czerwona. (iloczyn liczb niebieskich wynosi 30; suma liczb czerwonych wynosi 30).

		0,25

Ułóż liczby w kolejności rosnącej.

• Teraz sprawdźmy, co masz.

(Niebieski: -2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36

Czerwoni :)

Podsumujmy.

Test

1. Do jakiego zakresu liczb należy liczba 30?

A) C) (25,7;30)

2. Jaka jest odcięta punktu, jeśli suma współrzędnych punktu wynosi 30,

A rzędna jest 5 razy większa niż odcięta.

1. 5 B) 6 C) 4

1. Znajdź wartość wyrażenia: 2,7: (-0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2

1. – 30 B) 30 C) 0,3

1. 20 B) 75 C) 12

Klucz testowy: BACAC. (Punkty za prawidłowe rozwiązanie testu). Slajd 2

Cele i zadania lekcji: utrwalić umiejętności wykonywania operacji na liczbach dodatnich i ujemnych. Poćwicz konstruowanie punktów przy użyciu ich współrzędnych. Przygotowanie do testu. Wzmacnianie powiązań między metaprzedmiotami.

ZAGADKA LICZBOWA Co to jest pół godziny? Ile wynosi 2/3 lekcji? Ile dni jest we wrześniu?

Co wiemy o liczbie 30. Co możesz powiedzieć o liczbie 30? dodatnia, całkowita, parzysta, złożona A gdzie na osi współrzędnych znajduje się ta liczba? na prawo od zera Nazwij dwie liczby całkowite sąsiadujące z podaną liczbą. 29 i 31 A jaka liczba będzie przeciwieństwem tej? -30 Jaki jest moduł tej liczby? 30 Jaka jest tego odwrotność? 1/30 Liczba symetryczna względem liczby 30 względem 0? -30

Fakty matematyczne 10 30 nazywane są nonillionami. 2 30 = 1 073 741 824, przedrostek binarny: gibi (Gi). Liczba krawędzi dwudziestościanu i dwunastościanu. Suma kwadratów pierwszego cztery liczby. (1²+2²+3²+4²). Czyli minimalna liczba produkt trzech różny liczby pierwsze. (2*3*5) Trzy kolejne identyczne liczby w systemie liczb rzymskich (XXX).

Płaszczyzna współrzędnych Narysuj figurę na płaszczyźnie współrzędnych: (-5;3); (-4;4); (-2;4); (- 1;3);(-1;1);(-3;0) (- 1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5 );(-5;-4) (1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2; -5);(1;-4);(1;3).

Znaczenie liczby 30 (numerologia duchowa) Liczba 30 składa się z dwóch liczb 3 i 0. Głównym znaczeniem 3 jest Miłość. 0 to spokój, cisza, spokój. 30 - tłumaczone jako „spokój w miłości” lub „spokój w miłości” lub „miłość, która się wyczerpała”. Liczba 30 pośrednio stwarza warunki do osiągnięcia sukcesu we wszystkim. . Liczba 30 napełnia każdego, kto się z nią zetknie, MIŁOŚCIĄ lub POKOJEM! 30-ty dzień kalendarza jest idealny do podsumowania wyników. Osoby urodzone 30-tego są spokojne, ale bardzo silne.

Znajdź parę -30 i 60; - 5 i 35; - 2,72 i 32,72; 2 i 27; - 0,25 i 30; i 29,5; -6 i 36; Ja - ja i 21; - i 30,5; 5 i 24,25; 38,6 i -8; - 120 i 150. I -2,5 I i 27,5;

Łańcuch obliczeń -27,5 +(-7,24)= –(-35,96)= *2,3= +(- 3,906)= : = *(-5) = : (-0,25) = + 58,4 = * 3 = : 8 = * (- 8,6)= –(- 8,56)= + 11,12 =

Ciekawostki na temat liczby 30: W literaturze W baśniach: w trzydziestym królestwie, w trzydziestym państwie... W baśni Puszkina „O złotej rybce” starzec i stara kobieta żyli 30 lat i 3 lata. W powieści Dostojewskiego „Zbrodnia i kara” liczba 30 kojarzy się z opowieścią o różnych problemach finansowych bohaterów. Sonya przynosi 30 rubli, obiecuje wysłać 30 rubli matce Raskolnikowa, Svidrigailov zostaje wykupiony za 30 tysięcy. 19 października 1811 roku Puszkin został przyjęty jako jeden z 30 uczniów Liceum Carskiego Sioła. W Biblii wiek, w którym Jezus został ochrzczony. Judasz otrzymał 30 srebrników za zdradę Jezusa. W naukach przyrodniczych W układzie okresowym liczba 30 to cynk. Liczba dni w kwietniu, czerwcu, wrześniu, listopadzie Przy temperaturze poniżej trzydziestu stopni zajęcia dla klas 1-9 zostają odwołane. 30 lutego. Trzy razy w historii niektóre kraje miały 30 dni w lutym.

Numer połączenia - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 Niebieski: -2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36 Czerwony:

Test 1. Do jakiego przedziału liczbowego należy liczba 30? A) C) (25,7;30) 2. Jaka jest odcięta punktu, jeśli suma współrzędnych punktu wynosi 30, a rzędna jest 5 razy większa od odciętej. A) 5 B) 6 C) 4 3. Przez jaką liczbę należy podzielić (-2, aby iloraz był równy 30. A) 13 B) - 66 C) – 13,5 4. Znajdź wartość wyrażenia: 2,7 : (- 0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2 A)– 30 B) 30 C) 0,3 5. Ile razy zawiera się w 30. A) 20 B) 75 C) 12

Na tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe właściwości operacji na liczbach. Nie tylko przejrzymy podstawowe właściwości, ale także dowiemy się, jak zastosować je do liczb wymiernych. Całą zdobytą wiedzę utrwalimy rozwiązując przykłady.

Podstawowe właściwości operacji na liczbach:

Pierwsze dwie właściwości to właściwości dodawania, kolejne dwie to właściwości mnożenia. Piąta właściwość dotyczy obu operacji.

Nie ma w tych obiektach nic nowego. Obowiązywały one zarówno dla liczb naturalnych, jak i całkowitych. Są one również prawdziwe w przypadku liczb wymiernych i będą prawdziwe w przypadku liczb, które będziemy badać dalej (na przykład liczb niewymiernych).

Właściwości permutacji:

Zmiana układu terminów lub czynników nie zmienia wyniku.

Właściwości kombinacji:, .

Dodawanie lub mnożenie wielu liczb można wykonać w dowolnej kolejności.

Właściwość dystrybucji:.

Właściwość łączy obie operacje - dodawanie i mnożenie. Ponadto, jeśli czytasz to od lewej do prawej, nazywa się to regułą otwierania nawiasów, a jeśli w odwrotna strona- zasada umieszczania wspólnego czynnika w nawiasach.

Poniższe dwie właściwości opisują elementy neutralne dla dodawania i mnożenia: dodanie zera i pomnożenie przez jeden nie powoduje zmiany pierwotnej liczby.

Dwie kolejne właściwości, które opisują elementy symetryczne w przypadku dodawania i mnożenia suma liczb przeciwnych wynosi zero; iloczyn liczb odwrotnych jest równy jeden.

Następna nieruchomość: . Jeśli liczbę pomnożymy przez zero, wynikiem zawsze będzie zero.

Ostatnią właściwością, której się przyjrzymy, jest: .

Mnożąc liczbę przez , otrzymujemy liczbę przeciwną. Ta właściwość ma szczególną cechę. Wszystkie inne rozważane właściwości nie mogły zostać udowodnione przy użyciu pozostałych. Tę samą właściwość można udowodnić, korzystając z poprzednich.

Mnożenie przez

Udowodnijmy, że jeśli pomnożymy liczbę przez , otrzymamy liczbę przeciwną. W tym celu używamy własności dystrybucji: .

Dotyczy to dowolnych liczb. Zastąpmy i zamiast liczby:

Po lewej stronie w nawiasie znajduje się suma wzajemnie przeciwnych liczb. Ich suma wynosi zero (mamy taką własność). Teraz po lewej stronie. Po prawej stronie otrzymujemy: .

Teraz mamy zero po lewej stronie i sumę dwóch liczb po prawej. Ale jeśli suma dwóch liczb wynosi zero, to liczby te są wzajemnie przeciwne. Ale liczba ma tylko jedną przeciwną liczbę: . A więc tak: .

Właściwość została udowodniona.

Taka właściwość, którą można udowodnić na podstawie poprzednich właściwości, nazywa się twierdzenie

Dlaczego nie ma tutaj właściwości odejmowania i dzielenia? Na przykład można napisać właściwość rozdzielności dla odejmowania: .

Ale ponieważ:

• Odejmowanie dowolnej liczby można równoważnie zapisać jako dodawanie, zastępując liczbę jej przeciwieństwem:

• Dzielenie można zapisać jako mnożenie przez jego odwrotność:

Oznacza to, że właściwości dodawania i mnożenia można zastosować do odejmowania i dzielenia. W rezultacie lista właściwości, o których należy pamiętać, jest krótsza.

Wszystkie właściwości, które rozważaliśmy, nie są wyłącznie właściwościami liczb wymiernych. Inne liczby, na przykład liczby niewymierne, również podlegają tym wszystkim zasadom. Na przykład suma liczby przeciwnej wynosi zero: .

Teraz przejdziemy do części praktycznej, rozwiązując kilka przykładów.

Liczby wymierne w życiu

Nazywa się te właściwości obiektów, które możemy opisać ilościowo, oznaczyć jakąś liczbą wartości: długość, waga, temperatura, ilość.

Tę samą wielkość można oznaczyć zarówno liczbą całkowitą, jak i ułamkową, dodatnią lub ujemną.

Na przykład Twój wzrost m jest liczbą ułamkową. Ale możemy powiedzieć, że jest równy cm - to już liczba całkowita (ryc. 1).

Ryż. 1. Ilustracja na przykład

Inny przykład. Ujemna temperatura w skali Celsjusza będzie dodatnia w skali Kelvina (ryc. 2).

Ryż. 2. Ilustracja na przykład

Budując ścianę domu, jedna osoba może zmierzyć szerokość i wysokość w metrach. Wytwarza ilości ułamkowe. Wszystkie dalsze obliczenia przeprowadzi na liczbach ułamkowych (wymiernych). Inna osoba może zmierzyć wszystko w liczbie cegieł na szerokość i wysokość. Otrzymawszy jedynie wartości całkowite, przeprowadzi obliczenia na liczbach całkowitych.

Same wielkości nie są ani całkowite, ani ułamkowe, ani ujemne, ani dodatnie. Ale liczba, za pomocą której opisujemy wartość wielkości, jest już dość specyficzna (na przykład ujemna i ułamkowa). To zależy od skali pomiaru. I kiedy nas nie ma prawdziwe wartości przechodzimy do modelu matematycznego, następnie pracujemy z konkretnym typem liczb

Zacznijmy od dodawania. Terminy można układać w dowolny dogodny dla nas sposób, a czynności wykonywać w dowolnej kolejności. Jeśli terminy różnych znaków kończą się tą samą cyfrą, wygodnie jest najpierw wykonać na nich operacje. Aby to zrobić, zamieńmy warunki. Na przykład:

Ułamki zwykłe o podobnych mianownikach można łatwo dodać.

Liczby przeciwne sumują się do zera. Liczby z tymi samymi końcami dziesiętnymi można łatwo odjąć. Wykorzystując te właściwości, a także prawo przemienności dodawania, można ułatwić obliczenie wartości na przykład następującego wyrażenia:

Liczby z dopełniającymi końcami dziesiętnymi są łatwe do dodania. Wygodna jest osobna praca z częściami całkowitymi i ułamkowymi liczb mieszanych. Korzystamy z tych właściwości przy obliczaniu wartości następującego wyrażenia:

Przejdźmy do mnożenia. Istnieją pary liczb, które można łatwo pomnożyć. Korzystając z właściwości przemienności, możesz zmienić kolejność czynników tak, aby sąsiadowały ze sobą. Można od razu policzyć minusy w produkcie i wyciągnąć wniosek na temat znaku wyniku.

Rozważmy ten przykład:

Jeśli z czynników równy zeru, to iloczyn jest równy zero, na przykład: .

Iloczyn liczb odwrotnych jest równy jeden, a pomnożenie przez jeden nie zmienia wartości iloczynu. Rozważmy ten przykład:

Spójrzmy na przykład wykorzystujący właściwość rozdzielności. Jeśli otworzysz nawiasy, każde mnożenie będzie łatwe.