Pojęcie jednomianu

Definicja jednomianu: Jednomian jest wyrażeniem algebraicznym, w którym stosuje się tylko mnożenie.

Standardowa forma jednomianu

Jaka jest standardowa forma jednomianu? Jednomian zapisuje się w standardowej formie, jeśli ma przede wszystkim współczynnik liczbowy i współczynnik ten nazywa się współczynnikiem jednomianu, w jednomianie jest tylko jeden, litery jednomianu znajdują się w kolejność alfabetyczna a każda litera pojawia się tylko raz.

Przykład jednomianu w postaci standardowej:

tutaj na pierwszym miejscu jest liczba, współczynnik jednomianu, a liczba ta w naszym jednomianie jest tylko jedynką, każda litera występuje tylko raz, a litery są ułożone w kolejności alfabetycznej, w w tym przypadku to jest alfabet łaciński.

Inny przykład jednomianu w postaci standardowej:

każda litera występuje tylko raz, są one ułożone w kolejności alfabetu łacińskiego, ale gdzie jest współczynnik jednomianu, tj. czynnik liczbowy, który powinien być pierwszy? Tutaj jest równy jeden: 1adm.

Czy współczynnik jednomianu może być ujemny? Tak, może, przykład: -5a.

Czy współczynnik jednomianu może być ułamkowy? Tak, być może, przykład: 5.2a.

Jeśli jednomian składa się tylko z liczby, tj. nie ma liter, jak mogę doprowadzić to do standardowej formy? Każdy jednomian będący liczbą jest już w postaci standardowej, na przykład: liczba 5 jest jednomianem w postaci standardowej.

Redukcja jednomianów do postaci standardowej

Jak doprowadzić jednomian do postaci standardowej? Spójrzmy na przykłady.

Niech zostanie podany jednomian 2a4b; musimy go doprowadzić do postaci standardowej. Mnożymy jego dwa współczynniki liczbowe i otrzymujemy 8ab. Teraz jednomian jest zapisywany w standardowej formie, tj. ma tylko jeden czynnik liczbowy, zapisany w pierwszej kolejności, każda litera jednomianu występuje tylko raz i litery te są ułożone w kolejności alfabetycznej. Zatem 2a4b = 8ab.

Biorąc pod uwagę: jednomian 2a4a, doprowadź jednomian do standardowej postaci. Mnożymy liczby 2 i 4, zastępując iloczyn aa drugą potęgą liczby 2. Otrzymujemy: 8a 2 . To jest standardowa forma tego jednomianu. Zatem 2a4a = 8a 2 .

Podobne jednomiany

Jakie są jednomiany podobne? Jeśli jednomiany różnią się tylko współczynnikami lub są równe, wówczas nazywane są podobnymi.

Przykład podobnych jednomianów: 5a i 2a. Monomiany te różnią się jedynie współczynnikami, czyli są podobne.

Czy jednomiany 5abc i 10cba są podobne? Sprowadźmy drugi jednomian do postaci standardowej i otrzymajmy 10abc. Widzimy teraz, że jednomiany 5abc i 10abc różnią się jedynie współczynnikami, czyli są podobne.

Dodawanie jednomianów

Jaka jest suma jednomianów? Możemy sumować tylko podobne jednomiany. Spójrzmy na przykład dodawania jednomianów. Jaka jest suma jednomianów 5a i 2a? Suma tych jednomianów będzie podobnym do nich jednomianem, którego współczynnik równa sumie współczynniki terminów. Zatem suma jednomianów wynosi 5a + 2a = 7a.

Więcej przykładów dodawania jednomianów:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 do 4 + 3a 2 b 3 do 4 = 5a 2 b 3 do 4

Ponownie. Można dodawać tylko podobne jednomiany; dodawanie sprowadza się do dodania ich współczynników.

Odejmowanie jednomianów

Jaka jest różnica między jednomianami? Możemy tylko odejmować podobne jednomiany. Spójrzmy na przykład odejmowania jednomianów. Jaka jest różnica między jednomianami 5a i 2a? Różnica tych jednomianów będzie podobnym do nich jednomianem, którego współczynnik jest równy różnicy współczynników tych jednomianów. Zatem różnica jednomianów wynosi 5a - 2a = 3a.

Więcej przykładów odejmowania jednomianów:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 do 4 - 3a 2 b 3 do 4 = 2a 2 b 3 do 4

Mnożenie jednomianów

Jaki jest iloczyn jednomianów? Spójrzmy na przykład:

te. iloczyn jednomianów jest równy jednomianowi, którego czynniki składają się z czynników pierwotnych jednomianów.

Inny przykład:

2a 2 b 3 * za 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Jak doszło do tego wyniku? Każdy czynnik zawiera „a” do potęgi: w pierwszym „a” do potęgi 2, a w drugim „a” do potęgi 5. Oznacza to, że iloczyn będzie zawierał „a” do potęgi liczby 7, ponieważ przy mnożeniu identycznych liter wykładniki ich potęg zwijają się:

ZA 2 * za 5 = za 7 .

To samo dotyczy czynnika „b”.

Współczynnik pierwszego czynnika wynosi dwa, a drugiego jeden, więc wynik to 2 * 1 = 2.

Oto jak obliczono wynik: 2a 7 b 12.

Z tych przykładów jasno wynika, że ​​współczynniki jednomianów są mnożone, a identyczne litery zastępuje się sumami ich potęg w iloczynie.

Jednomiany są jednym z głównych typów wyrażeń, których uczy się na szkolnym kursie algebry. W tym materiale opowiemy Ci, czym są te wyrażenia, zdefiniujemy ich standardową formę i pokażemy przykłady, a także zrozumiemy powiązane pojęcia, takie jak stopień jednomianu i jego współczynnik.

Co to jest jednomian

W podręczniki szkolne zwykle podawany następująca definicja ta koncepcja:

Definicja 1

Monomiany obejmują liczby, zmienne, a także ich potęgi z wykładnikami naturalnymi i różne typy z nich skompilowane dzieła.

Na podstawie tej definicji możemy podać przykłady takich wyrażeń. Zatem wszystkie liczby 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 będą jednomianami. Wszystkie zmienne, na przykład x, a, b, p, q, t, y, z, również będą z definicji jednomianami. Obejmuje to również potęgi zmiennych i liczb, na przykład 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 i t 15, a także wyrażenia w postaci 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z itd. Należy pamiętać, że jednomian może zawierać jedną liczbę lub zmienną lub kilka i mogą one być wymienione kilka razy w jednym wielomianie.

Do jednomianów należą również takie typy liczb, jak liczby całkowite, liczby wymierne i liczby naturalne. Można tu także uwzględnić liczby rzeczywiste i zespolone. Zatem wyrażenia w postaci 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 również będą jednomianami.

Jaka jest standardowa forma jednomianu i jak przekonwertować na nią wyrażenie

Dla ułatwienia wszystkie jednomiany prowadzą najpierw do specjalny typ, zwany standardem. Sformułujmy konkretnie, co to oznacza.

Definicja 2

Standardowa forma jednomianu nazywa się jego formą, w której jest iloczynem czynnika liczbowego i stopnie naturalne różne zmienne. Czynnik liczbowy, zwany także współczynnikiem jednomianu, jest zwykle zapisywany jako pierwszy po lewej stronie.

Dla jasności wybierzmy kilka jednomianów postaci standardowej: 6 (jest to jednomian bez zmiennych), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Obejmuje to również wyrażenie x y(tutaj współczynnik będzie równy 1), − x 3(tutaj współczynnik wynosi - 1).

Teraz podajemy przykłady jednomianów, które należy sprowadzić do standardowej postaci: 4 za 2 za 3(tutaj trzeba połączyć te same zmienne), 5 x (- 1) 3 y 2(tutaj musisz połączyć współczynniki liczbowe po lewej stronie).

Zazwyczaj, gdy jednomian ma kilka zmiennych zapisanych literami, współczynniki literowe są zapisywane w kolejności alfabetycznej. Na przykład lepiej jest pisać 6 a b 4 c z 2, Jak b 4 6 a z 2 do. Kolejność może być jednak inna, jeśli wymaga tego cel obliczenia.

Każdy jednomian można sprowadzić do postaci standardowej. Aby to zrobić, musisz wykonać wszystkie niezbędne czynności przemiany tożsamości.

Pojęcie stopnia jednomianu

Towarzysząca koncepcja stopnia jednomianu jest bardzo ważna. Zapiszmy definicję tego pojęcia.

Definicja 3

Przez potęgę jednomianu, zapisana w postaci standardowej, jest sumą wykładników wszystkich zmiennych zawartych w jej zapisie. Jeśli nie ma w nim ani jednej zmiennej, a sam jednomian jest różny od 0, to jego stopień będzie wynosić zero.

Podajmy przykłady potęg jednomianu.

Przykład 1

Zatem jednomian a ma stopień równy 1, ponieważ a = a 1. Jeśli mamy jednomian 7, to będzie on miał stopień zerowy, ponieważ nie ma zmiennych i jest różny od 0. A oto nagranie 7 za 2 x y 3 za 2 będzie jednomianem ósmego stopnia, gdyż suma wykładników wszystkich stopni zmiennych w nim zawartych będzie równa 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Jednomian zredukowany do postaci standardowej i pierwotny wielomian będą miały ten sam stopień.

Przykład 2

Pokażmy, jak obliczyć stopień jednomianu 3 x 2 lata 3 x (- 2) x 5 lat. W standardowej formie można to zapisać jako − 6 x 8 y 4. Obliczamy stopień: 8 + 4 = 12 . Oznacza to, że stopień pierwotnego wielomianu jest również równy 12.

Pojęcie współczynnika jednomianowego

Jeśli mamy jednomian zredukowany do postaci standardowej, który zawiera co najmniej jedną zmienną, to mówimy o nim jak o iloczynie z jednym współczynnikiem liczbowym. Czynnik ten nazywany jest współczynnikiem numerycznym lub współczynnikiem jednomianowym. Zapiszmy definicję.

Definicja 4

Współczynnik jednomianu jest współczynnikiem liczbowym jednomianu zredukowanym do postaci standardowej.

Weźmy jako przykład współczynniki różnych jednomianów.

Przykład 3

A więc w wyrażeniu 8 za 3 współczynnikiem będzie liczba 8 i in (− 2 , 3) ​​​​x y z zrobią to − 2 , 3 .

Szczególną uwagę należy zwrócić na współczynniki równe jeden i minus jeden. Z reguły nie są one wyraźnie wskazane. Uważa się, że w jednomianie postaci standardowej, w którym nie ma czynnika liczbowego, współczynnik jest równy 1, na przykład w wyrażeniach a, x · z 3, a · t · x, ponieważ można je rozpatrywane jako 1 · a, x · z 3 – Jak 1 x z 3 itp.

Podobnie w przypadku jednomianów, które nie mają współczynnika liczbowego i zaczynają się od znaku minus, możemy uznać - 1 za współczynnik.

Przykład 4

Na przykład wyrażenia - x, - x 3 · y · z 3 będą miały taki współczynnik, ponieważ można je przedstawić jako - x = (- 1) · x, - x 3 · y · z 3 = (- 1 ) · x 3 y z 3 itd.

Jeśli jednomian w ogóle nie ma współczynnika pojedynczej litery, wówczas w tym przypadku możemy mówić o współczynniku. Współczynnikami takich jednomianów-liczb będą same te liczby. Na przykład współczynnik jednomianu 9 będzie równy 9.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Zauważyliśmy, że może to być dowolny jednomian doprowadzić do standardowej formy. W tym artykule zrozumiemy, co nazywa się doprowadzeniem jednomianu do postaci standardowej, jakie działania pozwalają na przeprowadzenie tego procesu i rozważymy rozwiązania przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.

Nawigacja strony.

Co to znaczy sprowadzić jednomian do postaci standardowej?

Wygodnie jest pracować z jednomianami, gdy są one zapisane w standardowej formie. Często jednak jednomiany podaje się w formie odmiennej od standardowej. W takich przypadkach zawsze można przejść od pierwotnego jednomianu do jednomianu w postaci standardowej, wykonując przekształcenia tożsamości. Proces przeprowadzania takich przekształceń nazywa się redukcją jednomianu do postaci standardowej.

Podsumujmy powyższe argumenty. Sprowadź jednomian do postaci standardowej- oznacza to wykonanie z nim identycznych przekształceń, aby przybrał postać standardową.

Jak doprowadzić jednomian do postaci standardowej?

Czas dowiedzieć się, jak zredukować jednomiany do postaci standardowej.

Jak wiadomo z definicji, jednomianami o postaci niestandardowej są iloczyny liczb, zmiennych i ich potęg, ewentualnie powtarzających się. A jednomian postaci standardowej może zawierać w swoim zapisie tylko jedną liczbę i niepowtarzalne zmienne lub ich potęgi. Teraz pozostaje zrozumieć, jak przenieść produkty pierwszego typu do typu drugiego?

Aby to zrobić, musisz użyć poniższych zasada redukcji jednomianu do postaci standardowej składający się z dwóch etapów:

• W pierwszej kolejności dokonuje się grupowania czynników liczbowych oraz identycznych zmiennych i ich potęg;
• Po drugie, oblicza się i stosuje iloczyn liczb.

W wyniku zastosowania podanej reguły każdy jednomian zostanie zredukowany do postaci standardowej.

Przykłady, rozwiązania

Pozostaje tylko nauczyć się stosować regułę z poprzedniego akapitu przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład.

Sprowadź jednomian 3 x 2 x 2 do postaci standardowej.

Rozwiązanie.

Pogrupujmy czynniki liczbowe i czynniki ze zmienną x. Po zgrupowaniu pierwotny jednomian przyjmie postać (3·2)·(x·x 2) . Iloczyn liczb w pierwszym nawiasie jest równy 6, a zasada mnożenia potęg o tej samej podstawie pozwala przedstawić wyrażenie w drugim nawiasie jako x 1 +2 = x 3. W rezultacie otrzymujemy wielomian w postaci standardowej 6 x 3.

Oto krótkie podsumowanie rozwiązania: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Odpowiedź:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Aby więc doprowadzić jednomian do standardowej postaci, musisz umieć grupować czynniki, mnożyć liczby i pracować z potęgami.

Aby skonsolidować materiał, rozwiążmy jeszcze jeden przykład.

Przykład.

Przedstaw monomian w postaci standardowej i wskaż jego współczynnik.

Rozwiązanie.

Oryginalny jednomian ma w swoim zapisie pojedynczy współczynnik liczbowy -1, przesuńmy go na początek. Potem osobno zgrupujemy czynniki ze zmienną a, osobno ze zmienną b i nie ma z czym grupować zmiennej m, zostawimy to tak jak jest, mamy . Po wykonaniu operacji na stopniach w nawiasach jednomian przyjmie potrzebną nam standardową postać, z której możemy zobaczyć współczynnik jednomianu równy -1. Minus jeden można zastąpić znakiem minus: .

Potęga jednomianu

W przypadku jednomianu istnieje pojęcie jego stopnia. Zastanówmy się, co to jest.

Definicja.

Potęga jednomianu postać standardowa to suma wykładników wszystkich zmiennych zawartych w jej zapisie; jeżeli w zapisie jednomianu nie ma zmiennych i jest on różny od zera, wówczas uwzględnia się jego stopień równy zeru; liczbę zero uważa się za jednomian, którego stopień jest nieokreślony.

Określenie stopnia jednomianu pozwala podać przykłady. Stopień jednomianu a jest równy jeden, ponieważ a wynosi 1. Potęga jednomianu 5 wynosi zero, ponieważ jest niezerowa i jego zapis nie zawiera zmiennych. A iloczyn 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 jest jednomianem ósmego stopnia, gdyż suma wykładników wszystkich zmiennych a, x i y wynosi 2+1+3+2=8.

Nawiasem mówiąc, stopień jednomianu niezapisanego w formie standardowej jest równy stopniowi odpowiedniego jednomianu w formie standardowej. Aby to zilustrować, obliczmy stopień jednomianu 3 x 2 lata 3 x (-2) x 5 lat. Ten jednomian w postaci standardowej ma postać −6·x 8 ·y 4, jego stopień wynosi 8+4=12. Zatem stopień pierwotnego jednomianu wynosi 12.

Współczynnik jednomianowy

Jednomian w postaci standardowej, który ma w swoim zapisie co najmniej jedną zmienną, jest iloczynem z jednym współczynnikiem liczbowym - współczynnikiem liczbowym. Współczynnik ten nazywany jest współczynnikiem jednomianowym. Sformułujmy powyższe argumenty w formie definicji.

Definicja.

Współczynnik jednomianowy jest współczynnikiem liczbowym jednomianu zapisanego w standardowej formie.

Teraz możemy podać przykłady współczynników różnych jednomianów. Liczba 5 jest z definicji współczynnikiem jednomianu 5·a 3, podobnie jednomian (−2,3)·x·y·z ma współczynnik −2,3.

Na szczególną uwagę zasługują współczynniki jednomianów równe 1 i -1. Rzecz w tym, że zazwyczaj nie są one wyraźnie obecne w nagraniu. Uważa się, że współczynnik standardowych jednomianów, które nie mają w swoim zapisie czynnika liczbowego, jest równy jeden. Na przykład jednomiany a, x·z 3, a·t·x, itd. mają współczynnik 1, ponieważ a można uznać za 1·a, x·z 3 - jako 1·x·z 3, itd.

Podobnie współczynnik jednomianów, których wpisy w standardowej formie nie mają współczynnika liczbowego i zaczynają się od znaku minus, uważa się za minus jeden. Na przykład jednomiany −x, −x 3 y z 3 itd. mają współczynnik −1, ponieważ −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 itp.

Nawiasem mówiąc, pojęcie współczynnika jednomianu jest często określane jako jednomiany w postaci standardowej, które są liczbami bez współczynników literowych. Za te liczby uważa się współczynniki takich jednomianów-liczb. Na przykład współczynnik jednomianu 7 uważa się za równy 7.

Referencje.

• Algebra: podręcznik dla 7 klasy wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

W matematyce istnieje wiele różnych wyrażeń matematycznych, a niektóre z nich mają swoje własne nazwy. Za chwilę zapoznamy się z jednym z tych pojęć - jest to jednomian.

Jednomian to wyrażenie matematyczne składające się z iloczynu liczb i zmiennych, z których każda może w pewnym stopniu pojawić się w iloczynie. Aby lepiej zrozumieć nową koncepcję, należy zapoznać się z kilkoma przykładami.

Przykłady jednomianów

Wyrażenia 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 są jednomianami. Jak widać, tylko jedna liczba lub zmienna (z potęgą lub bez) jest również jednomianem. Ale na przykład wyrażenia 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 już istnieją nie są jednomianami, ponieważ nie mieszczą się one w definicjach. W pierwszym wyrażeniu używana jest „suma”, co jest niedopuszczalne, w drugim „dzielenie”, a w trzecim różnica.

Rozważmy jeszcze kilka przykładów.

Na przykład wyrażenie 2*a^3*b/3 jest również jednomianem, chociaż wiąże się z dzieleniem. Ale w tym przypadku dzielenie następuje przez liczbę i dlatego odpowiednie wyrażenie można przepisać w następujący sposób: 2/3*a^3*b. Inny przykład: Które z wyrażeń 2/x i x/2 jest jednomianem, a które nie? Prawidłowa odpowiedź jest taka, że ​​pierwsze wyrażenie nie jest jednomianem, ale drugie jest jednomianem.

Standardowa forma jednomianu

Spójrz na następujące dwa wyrażenia jednomianowe: ¾*a^2*b^3 i 3*a*1/4*b^3*a. W rzeczywistości są to dwa identyczne jednomiany. Czy nie jest prawdą, że pierwsze wyrażenie wydaje się wygodniejsze niż drugie?

Dzieje się tak dlatego, że pierwsze wyrażenie jest zapisane w standardowej formie. Widok standardowy Wielomian to iloczyn składający się z czynnika liczbowego i potęg różnych zmiennych. Czynnik liczbowy nazywany jest współczynnikiem jednomianu.

Aby doprowadzić jednomian do jego standardowej postaci, wystarczy pomnożyć wszystkie czynniki liczbowe występujące w jednomianie i umieścić wynikową liczbę na pierwszym miejscu. Następnie pomnóż wszystkie potęgi o tej samej podstawie.

Redukcja jednomianu do jego postaci standardowej

Jeśli w naszym przykładzie w drugim wyrażeniu pomnożymy wszystkie czynniki liczbowe 3*1/4, a następnie pomnożymy a*a, otrzymamy pierwszy jednomian. Działanie to nazywa się redukcją jednomianu do jego standardowej postaci.

Jeżeli dwa jednomiany różnią się jedynie współczynnikiem liczbowym lub są sobie równe, wówczas takie jednomiany nazywane są w matematyce podobnymi.