W tym artykule omówiono operacje na ułamkach. Zostaną utworzone i wyjustowane zasady dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia lub potęgowania ułamków w postaci A B, gdzie A i B mogą być liczbami, wyrażeniami numerycznymi lub wyrażeniami ze zmiennymi. Na zakończenie rozważone zostaną przykłady rozwiązań wraz ze szczegółowymi opisami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zasady wykonywania operacji na ogólnych ułamkach liczbowych

Ułamki ogólne mają licznik i mianownik, które zawierają liczby naturalne lub wyrażenia numeryczne. Jeśli weźmiemy pod uwagę ułamki takie jak 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, to jasne jest, że licznik i mianownik mogą mieć nie tylko liczby, ale także wyrażenia różnego typu.

Definicja 1

Istnieją zasady, według których przeprowadzane są operacje na ułamkach zwykłych. Nadaje się również do ułamków ogólnych:

• Podczas odejmowania ułamków o podobnych mianownikach dodawane są tylko liczniki, a mianownik pozostaje taki sam, a mianowicie: a d ± c d = a ± c d, wartości a, ci d ≠ 0 to niektóre liczby lub wyrażenia numeryczne.
• Dodając lub odejmując ułamek o różnych mianownikach, należy go sprowadzić do wspólnego mianownika, a następnie dodać lub odjąć powstałe ułamki o tych samych wykładnikach. Dosłownie wygląda to tak: a b ± c d = a · p ± c · r s, gdzie wartości a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 są liczbami rzeczywistymi, oraz b · p = re · r = s . Gdy p = d i r = b, to a b ± c d = a · d ± c · re b · d.
• Przy mnożeniu ułamków wykonuje się operację na licznikach, po czym na mianownikach otrzymujemy a b · c d = a · c b · d, gdzie a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 zachowują się jak liczby rzeczywiste.
• Dzieląc ułamek przez ułamek, mnożymy pierwszy przez drugą odwrotność, czyli zamieniamy licznik i mianownik: a b: c d = a b · d c.

Uzasadnienie zasad

Definicja 2

Istnieją następujące punkty matematyczne, na których należy polegać podczas obliczeń:

• ukośnik oznacza znak podziału;
• dzielenie przez liczbę traktowane jest jako mnożenie przez jej odwrotność;
• zastosowanie własności operacji na liczbach rzeczywistych;
• zastosowanie podstawowych własności ułamków zwykłych i nierówności numerycznych.

Za ich pomocą można wykonać przekształcenia postaci:

za re ± do d = a · re - 1 ± do · d - 1 = a ± do · re - 1 = a ± do re ; a b ± do d = a · p b · p ± do · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± do · r s ; a b · do d = a · re b · re · b · c b · d = a · re · a · d - 1 · b · do · b · d - 1 = = a · re · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · re · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · do b · d

Przykłady

W poprzednim akapicie zostało powiedziane o operacjach na ułamkach zwykłych. Następnie należy uprościć ułamek. Temat ten został szczegółowo omówiony w akapicie poświęconym przeliczaniu ułamków zwykłych.

Najpierw spójrzmy na przykład dodawania i odejmowania ułamków o tym samym mianowniku.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę ułamki 8 2, 7 i 1 2, 7, to zgodnie z regułą należy dodać licznik i przepisać mianownik.

Rozwiązanie

Następnie otrzymujemy ułamek postaci 8 + 1 2, 7. Po wykonaniu dodawania otrzymujemy ułamek postaci 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Oznacza to 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Odpowiedź: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Jest inne rozwiązanie. Na początek przechodzimy do postaci ułamka zwykłego, po czym dokonujemy uproszczenia. Wygląda to tak:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Przykład 2

Odejmijmy od 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 ułamek postaci 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Ponieważ podane są równe mianowniki, oznacza to, że obliczamy ułamek o tym samym mianowniku. Rozumiemy to

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Istnieją przykłady obliczania ułamków za pomocą różne mianowniki. Ważnym punktem jest sprowadzenie do wspólnego mianownika. Bez tego nie będziemy mogli wykonywać dalszych operacji na ułamkach.

Proces ten niejasno przypomina redukcję do wspólnego mianownika. Oznacza to, że szukany jest najmniejszy wspólny dzielnik w mianowniku, po czym brakujące czynniki są dodawane do ułamków.

Jeśli dodawane frakcje nie mają wspólnych czynników, wówczas ich produkt może stać się jednym.

Przykład 3

Spójrzmy na przykład dodawania ułamków 2 3 5 + 1 i 1 2.

Rozwiązanie

W tym przypadku wspólnym mianownikiem jest iloczyn mianowników. Wtedy otrzymamy 2 · 3 5 + 1. Następnie przy ustalaniu dodatkowych współczynników mamy, że dla pierwszego ułamka jest to 2, a dla drugiego 3 5 + 1. Po pomnożeniu ułamki sprowadza się do postaci 4 2 · 3 5 + 1. Ogólna redukcja 1 2 wyniesie 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Dodajemy powstałe wyrażenia ułamkowe i otrzymujemy to

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Odpowiedź: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kiedy mamy do czynienia z ułamkami ogólnymi, wówczas zwykle nie mówimy o najniższym wspólnym mianowniku. Nieopłacalne jest przyjmowanie iloczynu liczników jako mianownika. Najpierw musisz sprawdzić, czy istnieje liczba o mniejszej wartości niż ich produkt.

Przykład 4

Rozważmy przykład 1 6 · 2 1 5 i 1 4 · 2 3 5, gdy ich iloczyn jest równy 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Następnie bierzemy 12 · 2 3 5 jako wspólny mianownik.

Spójrzmy na przykłady mnożenia ułamków ogólnych.

Przykład 5

Aby to zrobić, musisz pomnożyć 2 + 1 6 i 2 · 5 3 · 2 + 1.

Rozwiązanie

Zgodnie z zasadą należy przepisać i zapisać iloczyn liczników jako mianownik. Otrzymujemy, że 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Po pomnożeniu ułamka możesz dokonać redukcji, aby go uprościć. Następnie 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Korzystając z reguły przejścia od dzielenia do mnożenia przez ułamek odwrotny, otrzymujemy ułamek będący odwrotnością podanego. W tym celu zamieniamy licznik i mianownik. Spójrzmy na przykład:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Następnie muszą pomnożyć i uprościć powstały ułamek. Jeśli to konieczne, pozbądź się irracjonalności w mianowniku. Rozumiemy to

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Odpowiedź: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Niniejszy ustęp ma zastosowanie, gdy liczba lub wyrażenie numeryczne można przedstawić jako ułamek o mianowniku równym 1, wówczas rozważa się działanie z takim ułamkiem oddzielny element. Na przykład wyrażenie 1 6 · 7 4 - 1 · 3 pokazuje, że pierwiastek z 3 można zastąpić innym wyrażeniem 3 1. Wtedy ten zapis będzie wyglądał jak pomnożenie dwóch ułamków postaci 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Wykonywanie operacji na ułamkach zawierających zmienne

Zasady omówione w pierwszym artykule mają zastosowanie do operacji na ułamkach zawierających zmienne. Rozważ zasadę odejmowania, gdy mianowniki są takie same.

Należy wykazać, że A, C i D (D różne od zera) mogą być dowolnymi wyrażeniami, a równość A D ± C D = A ± C D jest równoważna jego zakresowi dopuszczalnych wartości.

Konieczne jest pobranie zestawu zmiennych ODZ. Następnie A, C, D muszą przyjąć odpowiednie wartości a 0 , c 0 i d 0. Podstawienie postaci A D ± C D skutkuje różnicą postaci a 0 d 0 ± c 0 d 0 , gdzie korzystając z reguły dodawania otrzymujemy wzór w postaci a 0 ± c 0 d 0 . Jeśli zastąpimy wyrażenie A ± C D, otrzymamy ten sam ułamek postaci a 0 ± c 0 d 0. Stąd wnioskujemy, że wybrane wartości spełniające ODZ, A ± C D i A D ± C D uważa się za równe.

Dla dowolnej wartości zmiennych wyrażenia te będą równe, to znaczy nazywane są identycznie równymi. Oznacza to, że wyrażenie to uważa się za dającą się udowodnić równość postaci A D ± C D = A ± C D .

Przykłady dodawania i odejmowania ułamków zwykłych ze zmiennymi

Jeśli masz takie same mianowniki, wystarczy dodać lub odjąć liczniki. Ułamek ten można uprościć. Czasami trzeba pracować z ułamkami, które są identycznie równe, ale na pierwszy rzut oka nie jest to zauważalne, ponieważ należy wykonać pewne przekształcenia. Na przykład x 2 3 x 1 3 + 1 i x 1 3 + 1 2 lub 1 2 sin 2 α i sin a cos a. Najczęściej wymagane jest uproszczenie pierwotnego wyrażenia, aby zobaczyć te same mianowniki.

Przykład 6

Oblicz: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Rozwiązanie

1. Aby dokonać obliczeń, należy odjąć ułamki o tym samym mianowniku. Wtedy otrzymujemy, że x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Następnie możesz rozwinąć nawiasy i dodać podobne terminy. Otrzymujemy, że x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Ponieważ mianowniki są takie same, pozostaje tylko dodać liczniki, pozostawiając mianownik: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Dodawanie zostało zakończone. Widać, że możliwe jest zmniejszenie ułamka. Jego licznik można złożyć korzystając ze wzoru na kwadrat sumy i otrzymamy (l g x + 2) 2 ze skróconych wzorów na mnożenie. Wtedy to zrozumiemy
   l sol 2 x + 4 + 2 l sol x x (l sol x + 2) = (l sol x + 2) 2 x (l sol x + 2) = l sol x + 2 x
3. Dane ułamki postaci x - 1 x - 1 + x x + 1 o różnych mianownikach. Po przekształceniu można przejść do dodawania.

Rozważmy dwojakie rozwiązanie.

Pierwsza metoda polega na rozłożeniu mianownika pierwszego ułamka na czynniki za pomocą kwadratów, a następnie jego redukcji. Otrzymujemy ułamek formy

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Zatem x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

W takim przypadku konieczne jest pozbycie się irracjonalności w mianowniku.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Druga metoda polega na pomnożeniu licznika i mianownika drugiego ułamka przez wyrażenie x - 1. W ten sposób pozbywamy się irracjonalności i przechodzimy do dodawania ułamków o tym samym mianowniku. Następnie

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Odpowiedź: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l sol x + 2) = l sol x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

W ostatnim przykładzie odkryliśmy, że redukcja do wspólnego mianownika jest nieunikniona. Aby to zrobić, musisz uprościć ułamki zwykłe. Dodając lub odejmując zawsze trzeba szukać wspólnego mianownika, który wygląda jak iloczyn mianowników z dodatkowymi czynnikami dodanymi do liczników.

Przykład 7

Oblicz wartości ułamków: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - grzech x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Rozwiązanie

1. Mianownik nie wymaga skomplikowanych obliczeń, dlatego należy wybrać ich iloczyn w postaci 3 x 7 + 2 · 2, następnie wybrać x 7 + 2 · 2 dla pierwszego ułamka jako dodatkowy współczynnik, a 3 dla drugiego. Mnożąc otrzymujemy ułamek postaci x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Widać, że mianowniki są przedstawione w postaci iloczynu, co oznacza, że ​​dodatkowe przekształcenia są niepotrzebne. Za wspólny mianownik uznamy iloczyn postaci x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Stąd x 4 jest dodatkowym czynnikiem do pierwszego ułamka, oraz ln(x + 1) do drugiego. Następnie odejmujemy i otrzymujemy:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - grzech x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - grzech x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - grzech x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - grzech x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4 )
3. Ten przykład ma sens podczas pracy z mianownikami ułamków zwykłych. Konieczne jest zastosowanie wzorów na różnicę kwadratów i kwadrat sumy, gdyż umożliwią one przejście do wyrażenia w postaci 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Można zauważyć, że ułamki sprowadza się do wspólnego mianownika. Otrzymujemy, że cos x - x · cos x + x 2 .

Wtedy to zrozumiemy

1 sałata 2 x - x + 1 sałata 2 x + 2 sałata x x + x = = 1 sałata x - x sałata x + x + 1 sałata x + x 2 = = sałata x + x sałata x - x sałata x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Odpowiedź:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - grzech x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - grzech x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 sałata 2 x - x + 1 sałata 2 x + 2 · sałata x · x + x = 2 · sałata x sałata x - x · sałata x + x 2 .

Przykłady mnożenia ułamków zwykłych przez zmienne

Przy mnożeniu ułamków licznik mnoży się przez licznik, a mianownik przez mianownik. Następnie możesz zastosować właściwość redukcji.

Przykład 8

Pomnóż ułamki x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 i 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Rozwiązanie

Należy wykonać mnożenie. Rozumiemy to

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 grzech (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 grzech (2 x - x)

Dla wygody obliczeń liczbę 3 przesuwa się na pierwsze miejsce, a ułamek można zmniejszyć o x 2, wówczas otrzymujemy wyrażenie postaci

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 grzech (2 x - x)

Odpowiedź: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 grzech (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · grzech (2 · x - x) .

Dział

Dzielenie ułamków jest podobne do mnożenia, ponieważ pierwszy ułamek jest mnożony przez drugą odwrotność. Jeśli weźmiemy na przykład ułamek x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 i podzielimy przez 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, to można to zapisać jako

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , następnie zamień na iloczyn postaci x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 grzech (2 x - x)

Potęgowanie

Przejdźmy do rozważania operacji na ułamkach ogólnych z potęgowaniem. Jeśli masz dyplom z naturalny wskaźnik, wówczas działanie traktuje się jako mnożenie równych ułamków. Zaleca się jednak stosowanie ogólnego podejścia opartego na właściwościach stopni. Dowolne wyrażenia A i C, gdzie C nie jest identyczne równe zero, i dowolne rzeczywiste r na ODZ dla wyrażenia w postaci A C r, równość A C r = A r C r jest ważna. Wynikiem jest ułamek podniesiony do potęgi. Rozważmy na przykład:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procedura wykonywania operacji na ułamkach

Operacje na ułamkach wykonywane są według określonych zasad. W praktyce zauważamy, że wyrażenie może zawierać kilka ułamków lub wyrażeń ułamkowych. Następnie należy wykonać wszystkie czynności w ścisłej kolejności: podnieść do potęgi, pomnożyć, podzielić, a następnie dodać i odjąć. Jeżeli występują nawiasy, to w nich wykonywana jest pierwsza akcja.

Przykład 9

Oblicz 1 - x cos x - 1 co o s x · 1 + 1 x .

Rozwiązanie

Ponieważ mamy ten sam mianownik, to 1 - x cos x i 1 cos x, ale odejmowania nie można wykonać zgodnie z regułą; najpierw wykonywane są działania w nawiasach, potem mnożenie, a następnie dodawanie. Następnie po obliczeniu otrzymamy to

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Podstawiając wyrażenie do pierwotnego, otrzymujemy, że 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Przy mnożeniu ułamków mamy: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Po dokonaniu wszystkich podstawień otrzymujemy 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Teraz musisz pracować z ułamkami, które mają różne mianowniki. Otrzymujemy:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Odpowiedź: 1 - x cos x - 1 do o s x · 1 + 1 x = - x + 1 sałata x · x .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Przykłady z ułamkami zwykłymi to jeden z podstawowych elementów matematyki. Jest ich wiele różne typy równania z ułamkami. Poniżej jest szczegółowe instrukcje do rozwiązywania przykładów tego typu.

Jak rozwiązywać przykłady z ułamkami zwykłymi – zasady ogólne

Aby rozwiązać przykłady z ułamkami dowolnego typu, czy to dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie, musisz znać podstawowe zasady:

• Aby dodać wyrażenia ułamkowe o tym samym mianowniku (mianownik to liczba znajdująca się na dole ułamka, licznik na górze), należy dodać ich liczniki, a mianownik pozostawić bez zmian.
• Aby odjąć drugie wyrażenie ułamkowe (o tym samym mianowniku) od jednego ułamka, należy odjąć ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
• Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, musisz znaleźć najniższy wspólny mianownik.
• Aby znaleźć iloczyn ułamkowy, należy pomnożyć liczniki i mianowniki i, jeśli to możliwe, zmniejszyć.
• Aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez drugi ułamek w odwrotnej kolejności.

Jak rozwiązywać przykłady z ułamkami zwykłymi - praktyka

Zasada 1, przykład 1:

Oblicz 3/4 +1/4.

Zgodnie z Zasadą 1, jeśli dwa (lub więcej) ułamków mają ten sam mianownik, po prostu dodajesz ich liczniki. Otrzymujemy: 3/4 + 1/4 = 4/4. Jeśli ułamek ma ten sam licznik i mianownik, to ułamek będzie równy 1.

Odpowiedź: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Zasada 2, przykład 1:

Oblicz: 3/4 – 1/4

Korzystając z zasady nr 2, aby rozwiązać to równanie, należy odjąć 1 od 3 i pozostawić mianownik bez zmian. Dostajemy 2/4. Ponieważ dwa 2 i 4 można zmniejszyć, zmniejszamy i otrzymujemy 1/2.

Odpowiedź: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Zasada 3, przykład 1

Oblicz: 3/4 + 1/6

Rozwiązanie: Korzystając z trzeciej reguły, znajdujemy najniższy wspólny mianownik. Najmniejszym wspólnym mianownikiem jest liczba podzielna przez mianowniki wszystkich wyrażeń ułamkowych w przykładzie. Musimy zatem znaleźć minimalną liczbę, która będzie podzielna zarówno przez 4, jak i 6. Ta liczba to 12. Zapisujemy 12 jako mianownik. Dzielimy 12 przez mianownik pierwszego ułamka, otrzymujemy 3, mnożymy przez 3, piszemy. 3 w liczniku *3 i znak +. Dzielimy 12 przez mianownik drugiego ułamka, otrzymujemy 2, mnożymy 2 przez 1, w liczniku zapisujemy 2*1. Otrzymujemy więc nowy ułamek o mianowniku równym 12 i liczniku równym 3*3+2*1=11. 11/12.

Odpowiedź: 11/12

Zasada 3, przykład 2:

Oblicz 3/4 – 1/6. Ten przykład jest bardzo podobny do poprzedniego. Wykonujemy wszystkie te same kroki, ale w liczniku zamiast znaku + piszemy znak minus. Otrzymujemy: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Odpowiedź: 7/12

Zasada 4, przykład 1:

Oblicz: 3/4 * 1/4

Korzystając z czwartej reguły, mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, a licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego. 3*1/4*4 = 3/16.

Odpowiedź: 3/16

Zasada 4, przykład 2:

Oblicz 2/5 * 10/4.

Ułamek ten można zmniejszyć. W przypadku iloczynu licznik pierwszego ułamka i mianownik drugiego oraz licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka są anulowane.

2 anuluje z 4. 10 anuluje z 5. Otrzymujemy 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Odpowiedź: 2/5 * 10/4 = 1

Zasada 5, przykład 1:

Oblicz: 3/4: 5/6

Stosując piątą zasadę, otrzymujemy: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Zmniejszamy ułamek zgodnie z zasadą z poprzedniego przykładu i otrzymujemy 9/10.

Odpowiedź: 9/10.

Jak rozwiązywać przykłady z ułamkami - równania ułamkowe

Równania ułamkowe to przykłady, w których mianownik zawiera niewiadomą. Aby rozwiązać takie równanie, musisz zastosować pewne zasady.

Spójrzmy na przykład:

Rozwiąż równanie 15/3x+5 = 3

Pamiętajmy, że nie można dzielić przez zero, tzn. wartość mianownika nie może wynosić zero. Rozwiązując takie przykłady, należy to wskazać. W tym celu istnieje OA (dopuszczalny zakres wartości).

Zatem 3x+5 ≠ 0.
Stąd: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Przy x = 5/3 równanie po prostu nie ma rozwiązania.

Po wskazaniu ODZ, w najlepszy możliwy sposób Rozwiązanie tego równania pozbędzie się ułamków. Aby to zrobić, najpierw wyobraźmy sobie wszystko wartości ułamkowe w postaci ułamka, w tym przypadku liczby 3. Otrzymujemy: 15/(3x+5) = 3/1. Aby pozbyć się ułamków, musisz pomnożyć każdy z nich przez najniższy wspólny mianownik. W tym przypadku będzie to (3x+5)*1. Kolejność działań:

1. Pomnóż 15/(3x+5) przez (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Otwórz nawiasy: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. To samo robimy z prawą stroną równania: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Przyrównaj lewą i prawą stronę: 45x + 75 = 9x +15
5. Przesuń X w lewo, cyfry w prawo: 36x = – 50
6. Znajdź x: x = -50/36.
7. Zmniejszamy: -50/36 = -25/18

Odpowiedź: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Jak rozwiązywać przykłady z ułamkami - nierówności ułamkowe

Nierówności ułamkowe typu (3x-5)/(2-x)≥0 rozwiązuje się za pomocą osi liczb. Spójrzmy na ten przykład.

Kolejność działań:

• Przyrównujemy licznik i mianownik do zera: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Rysujemy oś liczbową, zapisując na niej wynikowe wartości.
• Narysuj okrąg pod wartością. Istnieją dwa rodzaje okręgów – wypełnione i puste. Oznacza to wypełnione kółko podana wartość wchodzi w zakres rozwiązań. Puste kółko oznacza, że ​​dana wartość nie mieści się w zakresie rozwiązań.
• Ponieważ mianownik nie może być równy zeru, pod drugim będzie puste kółko.

• Aby określić znaki, podstawiamy do równania dowolną liczbę większą niż dwa, na przykład 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. wartość jest ujemna, co oznacza, że ​​po dwójce zapisujemy minus nad obszarem. Następnie zastąp X dowolną wartością z przedziału od 5/3 do 2, na przykład 1. Wartość ponownie jest ujemna. Piszemy minus. To samo powtarzamy z obszarem znajdującym się do 5/3. Zastępujemy dowolną liczbę mniejszą niż 5/3, na przykład 1. Znowu minus.

• Ponieważ interesują nas wartości x, przy których wyrażenie będzie większe lub równe 0, a takich wartości nie ma (wszędzie są minusy), to nierówność ta nie ma rozwiązania, czyli x = Ø (zestaw pusty).

Odpowiedź: x = Ø

Frakcja- forma reprezentacji liczby w matematyce. Kreska ułamkowa oznacza operację dzielenia. Licznik ułamka ułamek nazywany jest dywidendą, oraz mianownik- rozdzielacz. Na przykład w ułamku licznik wynosi 5, a mianownik wynosi 7.

Prawidłowy Ułamek, którego licznik jest większy od mianownika, nazywa się ułamkiem. Jeśli ułamek jest właściwy, to moduł jego wartości jest zawsze mniejszy niż 1. Wszystkie pozostałe ułamki są zło.

Ułamek nazywa się mieszany, jeśli jest zapisana jako liczba całkowita i ułamek. Jest to to samo, co suma tej liczby i ułamka:

Główna właściwość ułamka

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie, czyli np.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Aby sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika, potrzebujesz:

1. Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka
2. Pomnóż licznik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego
3. Zamień mianowniki obu ułamków na ich iloczyn

Operacje na ułamkach

Dodatek. Aby dodać dwie frakcje, których potrzebujesz

1. Dodaj nowe liczniki obu ułamków, a mianownik pozostaw bez zmian

Przykład:

Odejmowanie. Aby odjąć jedną ułamek od drugiej, potrzebujesz

1. Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika
2. Od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian

Przykład:

Mnożenie. Aby pomnożyć jeden ułamek przez drugi, pomnóż jego liczniki i mianowniki:

Dział. Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego:

Działania z ułamkami.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Czym więc są ułamki, rodzaje ułamków, przekształcenia - przypomnieliśmy. Przejdźmy do głównego problemu.

Co można zrobić z ułamków zwykłych? Tak, wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych liczb. Dodawaj, odejmuj, mnóż, dziel.

Wszystkie te działania z dziesiętny praca z ułamkami nie różni się od pracy z liczbami całkowitymi. Właściwie to właśnie jest w nich dobre, dziesiętne. Jedyną rzeczą jest to, że musisz poprawnie postawić przecinek.

Liczby mieszane , jak już powiedziałem, są mało przydatne w większości działań. Nadal należy je przekonwertować na zwykłe ułamki zwykłe.

Ale działania z zwykłe ułamki będą bardziej przebiegli. I o wiele ważniejsze! Przypomnę: wszystkie działania z wyrażeniami ułamkowymi z literami, sinusami, niewiadomymi itp. itp. nie różnią się od działań ze zwykłymi ułamkami! Działania na ułamkach zwyczajnych są podstawą wszelkiej algebry. Z tego powodu przeanalizujemy tutaj szczegółowo całą tę arytmetykę.

Dodawanie i odejmowanie ułamków.

Każdy potrafi dodawać (odejmować) ułamki zwykłe o tych samych mianownikach (mam taką nadzieję!). Cóż, przypomnę tym, którzy są całkowicie zapominalscy: podczas dodawania (odejmowania) mianownik się nie zmienia. Liczniki dodaje się (odejmuje), aby otrzymać licznik wyniku. Typ:

Krótko mówiąc, w widok ogólny:

A co jeśli mianowniki są różne? Następnie, korzystając z podstawowej własności ułamka zwykłego (tutaj znowu się przydaje!), sprawiamy, że mianowniki są takie same! Na przykład:

Tutaj musieliśmy zrobić ułamek 4/10 z ułamka 2/5. Tylko po to, żeby mianowniki były takie same. Na wszelki wypadek zauważę, że są to 2/5 i 4/10 ten sam ułamek! Tylko 2/5 jest dla nas niewygodnych, a 4/10 jest naprawdę w porządku.

Nawiasem mówiąc, jest to istota rozwiązywania wszelkich problemów matematycznych. Kiedy my od niewygodny robimy wyrażenia to samo, ale wygodniejsze do rozwiązania.

Inny przykład:

Sytuacja jest podobna. Tutaj tworzymy 48 z 16. Przez proste pomnożenie przez 3. Wszystko jest jasne. Ale trafiliśmy na coś takiego:

Jak być?! Trudno jest uzyskać dziewięć z siedmiu! Ale jesteśmy mądrzy, znamy zasady! Przekształćmy się każdy ułamek tak, aby mianowniki były takie same. Nazywa się to „sprowadzeniem do wspólnego mianownika”:

Wow! Skąd wiedziałem o 63? Bardzo proste! 63 to liczba, która dzieli się jednocześnie przez 7 i 9. Liczbę taką zawsze można otrzymać mnożąc mianowniki. Jeśli na przykład pomnożymy liczbę przez 7, wynik z pewnością będzie podzielny przez 7!

Jeśli chcesz dodać (odjąć) kilka ułamków, nie ma potrzeby robienia tego parami, krok po kroku. Wystarczy znaleźć mianownik wspólny dla wszystkich ułamków i zredukować każdy ułamek do tego samego mianownika. Na przykład:

A jaki będzie wspólny mianownik? Można oczywiście pomnożyć 2, 4, 8 i 16. Otrzymujemy 1024. Koszmar. Łatwiej oszacować, że liczba 16 jest doskonale podzielna przez 2, 4 i 8. Dlatego z tych liczb łatwo jest uzyskać 16. Liczba ta będzie wspólnym mianownikiem. Zamieńmy 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 i tak dalej.

Nawiasem mówiąc, jeśli weźmiesz 1024 za wspólny mianownik, wszystko się ułoży, ostatecznie wszystko zostanie zmniejszone. Ale nie każdemu do tego dojdzie, bo kalkulacje...

Uzupełnij przykład samodzielnie. Nie jakiś logarytm... Powinno wyjść 29/16.

Mam więc nadzieję, że dodawanie (odejmowanie) ułamków jest jasne? Oczywiście łatwiej jest pracować w wersji skróconej, z dodatkowymi mnożnikami. Ale ta przyjemność jest dostępna dla tych, którzy uczciwie pracowali klasy młodsze... I niczego nie zapomniałem.

A teraz zrobimy te same czynności, ale nie z ułamkami, ale z wyrażenia ułamkowe. Nowe grabie zostaną tu odkryte, tak...

Musimy więc dodać dwa wyrażenia ułamkowe:

Musimy sprawić, żeby mianowniki były takie same. I tylko z pomocą mnożenie! To właśnie dyktuje główna właściwość ułamka. Dlatego nie mogę dodać jedynki do X w pierwszym ułamku mianownika. (byłoby miło!). Ale jeśli pomnożysz mianowniki, zobaczysz, wszystko rośnie razem! Zapisujemy więc linię ułamka, zostawiamy puste miejsce u góry, następnie dodajemy, a poniżej zapisujemy iloczyn mianowników, żeby nie zapomnieć:

I oczywiście nie mnożymy niczego po prawej stronie, nie otwieramy nawiasów! A teraz, patrząc na wspólny mianownik po prawej stronie, zdajemy sobie sprawę: aby otrzymać mianownik x(x+1) w pierwszym ułamku, należy pomnożyć licznik i mianownik tego ułamka przez (x+1) . A w drugim ułamku - do x. Oto co otrzymasz:

Uważać na! Oto nawiasy! To są grabie, na które nadepnie wiele osób. Oczywiście nie nawiasy, ale ich brak. Nawiasy pojawiają się, ponieważ mnożymy Wszystko licznik i Wszystko mianownik! A nie ich pojedyncze kawałki...

W liczniku prawej strony zapisujemy sumę liczników, wszystko jest jak w ułamkach liczbowych, następnie w liczniku prawej strony otwieramy nawiasy, tj. Wszystko mnożymy i dajemy podobne. Nie ma potrzeby otwierania nawiasów w mianownikach ani niczego mnożyć! Ogólnie rzecz biorąc, w mianownikach (dowolnych) produkt jest zawsze przyjemniejszy! Otrzymujemy:

Więc otrzymaliśmy odpowiedź. Proces wydaje się długi i trudny, ale zależy od praktyki. Gdy rozwiążesz przykłady, przyzwyczaisz się, wszystko stanie się proste. Ci, którzy opanowali ułamki zwykłe przydzielony czas, wszystkie te operacje wykonuje się jedną lewą ręką, automatycznie!

I jeszcze jedna uwaga. Wielu mądrze radzi sobie z ułamkami, ale utknie na przykładach cały takty muzyczne. Na przykład: 2 + 1/2 + 3/4 = ? Gdzie zapiąć dwuczęściówkę? Nie musisz go nigdzie mocować, musisz zrobić ułamek z dwóch. To nie jest łatwe, ale bardzo proste! 2=2/1. Tak. Każdą liczbę całkowitą można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Licznik to sama liczba, mianownik to jeden. 7 to 7/1, 3 to 3/1 i tak dalej. Podobnie jest z literami. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 itd. A potem pracujemy z tymi ułamkami według wszystkich zasad.

Otóż ​​odświeżono wiedzę o dodawaniu i odejmowaniu ułamków. Powtórzono konwersję ułamków z jednego typu na inny. Możesz też się sprawdzić. Ustalimy to trochę?)

Obliczać:

Odpowiedzi (w nieładzie):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Mnożenie/dzielenie ułamków - na następnej lekcji. Istnieją również zadania dla wszystkich operacji na ułamkach.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Jedną z najważniejszych nauk, której zastosowanie widać w takich dyscyplinach jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Studiowanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy umysłowe i poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie matematyki jest dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Wielu studentom trudno jest się uczyć. Być może nasz artykuł pomoże Ci lepiej zrozumieć ten temat.

Jak odejmować ułamki, których mianowniki są takie same

Ułamki to te same liczby, za pomocą których można wykonywać różne operacje. Ich różnica w stosunku do liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując operacje na ułamkach, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Najprostszym przypadkiem jest odejmowanie zwykłe ułamki, których mianowniki są reprezentowane przez tę samą liczbę. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:

• Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy od licznika ułamka zmniejszanego odjąć licznik odejmowanego ułamka. Tę liczbę zapisujemy w liczniku różnicy, a mianownik pozostawiamy bez zmian: k/m - b/m = (k-b)/m.

Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od licznika ułamka „7” odejmujemy licznik ułamka „3”, który ma zostać odjęty, otrzymujemy „4”. Zapisujemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.

Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka podobnych przykładów.

Rozważmy bardziej złożony przykład, w którym odejmowane są ułamki zwykłe o podobnych mianownikach:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od licznika ułamka „29” zmniejszamy odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków - „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który zapisujemy w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku zapisujemy liczbę znajdującą się w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych odbywa się na tej samej zasadzie.

• Aby dodać ułamki, których mianowniki są takie same, należy dodać liczniki. Otrzymana liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje taki sam: k/m + b/m = (k + b)/m.

Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - „1” - dodaj licznik drugiego wyrazu ułamka - „2”. Wynik - „3” - zapisuje się w liczniku sumy, a mianownik pozostaje taki sam, jak obecny w ułamkach - „4”.

Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i ich odejmowanie

Rozważaliśmy już operację na ułamkach o tym samym mianowniku. Jak widzimy, wiedząc proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli chcesz wykonać operację na ułamkach o różnych mianownikach? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Tutaj też obowiązuje zasada, bez której rozwiązywanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego najmniejszego mianownika.



Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.

Własność ułamka

Aby sprowadzić kilka ułamków do tego samego mianownika, należy w rozwiązaniu zastosować główną właściwość ułamka: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez ten sam numer otrzymasz ułamek równy podanemu.

Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itp., To znaczy może mieć postać dowolnej liczby będącej wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez „3” otrzymamy 6/9, a jeśli wykonamy podobną operację z liczbą „4”, otrzymamy 8/12. Jedną równość można zapisać następująco:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak zamienić wiele ułamków zwykłych na ten sam mianownik

Przyjrzyjmy się, jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika. Weźmy na przykład ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz określić, która liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby było łatwiej, rozłóżmy istniejące mianowniki na czynniki.

Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa dzielniki 7/9 = 7/(3 x 3), a mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musimy określić, które czynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku liczbę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach; w ułamku 7/9 znajdują się dwie trójki, co oznacza, że ​​obie muszą także występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe ustalamy, że mianownik składa się z trzech dzielników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.



Rozważmy pierwszą frakcję - 1/2. W mianowniku jest „2”, ale nie ma ani jednej cyfry „3”, ale powinny być dwie. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Te same operacje wykonujemy z pozostałymi ułamkami.

• 2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwójki:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Wszystko razem wygląda tak:



Jak odejmować i dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach

Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku, które zostały już omówione.

Spójrzmy na to na przykładzie: 18.04 - 15.03.

Znajdowanie wielokrotności liczb 18 i 15:

• Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
• Liczba 15 składa się z 5 x 3.
• Wspólną wielokrotnością będą następujące czynniki: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po znalezieniu mianownika należy obliczyć współczynnik, który będzie inny dla każdego ułamka, to znaczy liczbę, przez którą konieczne będzie pomnożenie nie tylko mianownika, ale także licznika. Aby to zrobić, dzielimy znalezioną liczbę (wspólną wielokrotność) przez mianownik ułamka, dla którego musimy określić dodatkowe czynniki.

• 90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem przez 3/15.
• 90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem 4/18.

Kolejnym etapem naszego rozwiązania jest sprowadzenie każdego ułamka do mianownika „90”.

Mówiliśmy już o tym, jak to się robi. Zobaczmy jak to jest napisane na przykładzie:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz ustalić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na obrazku poniżej.



To samo dotyczy osób o różnych mianownikach.

Odejmowanie i posiadanie części całkowitych

Omówiliśmy już szczegółowo odejmowanie ułamków i ich dodawanie. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma część całkowitą? Ponownie zastosujmy kilka zasad:

• Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Mówienie w prostych słowach, usuń całą część. Aby to zrobić, pomnóż liczbę części całkowitej przez mianownik ułamka i dodaj uzyskany iloczyn do licznika. Liczba, która pojawi się po tych działaniach, jest licznikiem ułamek niewłaściwy. Mianownik pozostaje niezmieniony.
• Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego mianownika.
• Wykonaj dodawanie lub odejmowanie przy tych samych mianownikach.
• Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.



Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków całkowitych. Aby to zrobić, akcje są wykonywane osobno z całymi częściami, a akcje z ułamkami osobno, a wyniki są rejestrowane razem.



Podany przykład składa się z ułamków o tym samym mianowniku. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je doprowadzić do tej samej wartości, a następnie wykonać czynności jak pokazano w przykładzie.

Odejmowanie ułamków od liczb całkowitych

Innym rodzajem operacji na ułamkach jest sytuacja, w której należy odjąć ułamek. Na pierwszy rzut oka taki przykład wydaje się trudny do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, musisz przekonwertować liczbę całkowitą na ułamek i z tym samym mianownikiem, który jest w odejmowanym ułamku. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania o identycznych mianownikach. Na przykładzie wygląda to tak:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odejmowanie ułamków (ocena 6) podane w tym artykule jest podstawą do rozwiązania większej liczby złożone przykłady, które omawiane są na kolejnych zajęciach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie operacji na ułamkach omówionych powyżej.