Jedną z najważniejszych nauk, której zastosowanie widać w takich dyscyplinach jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Studiowanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy umysłowe i poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie matematyki jest dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Wielu studentom trudno jest się uczyć. Być może nasz artykuł pomoże Ci lepiej zrozumieć ten temat.

Jak odejmować ułamki, których mianowniki są takie same

Ułamki to te same liczby, za pomocą których można wykonywać różne operacje. Ich różnica w stosunku do liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując operacje na ułamkach, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Najprostszym przypadkiem jest odejmowanie ułamków zwykłych, których mianowniki są reprezentowane przez tę samą liczbę. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:

• Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy od licznika ułamka zmniejszanego odjąć licznik odejmowanego ułamka. Tę liczbę zapisujemy w liczniku różnicy, a mianownik pozostawiamy bez zmian: k/m - b/m = (k-b)/m.

Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od licznika ułamka „7” odejmujemy licznik ułamka „3”, który ma zostać odjęty, otrzymujemy „4”. Zapisujemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.

Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka podobnych przykładów.

Rozważmy bardziej złożony przykład, w którym odejmowane są ułamki zwykłe o podobnych mianownikach:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od licznika ułamka „29” zmniejszamy odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków - „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który zapisujemy w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku zapisujemy liczbę znajdującą się w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych odbywa się na tej samej zasadzie.

• Aby dodać ułamki, których mianowniki są takie same, należy dodać liczniki. Otrzymana liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje taki sam: k/m + b/m = (k + b)/m.

Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - „1” - dodaj licznik drugiego wyrazu ułamka - „2”. Wynik - „3” - zapisuje się w liczniku sumy, a mianownik pozostaje taki sam, jak obecny w ułamkach - „4”.

Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i ich odejmowanie

Rozważaliśmy już operację na ułamkach o tym samym mianowniku. Jak widzimy, wiedząc proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli chcesz wykonać operację na ułamkach o różnych mianownikach? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Tutaj też obowiązuje zasada, bez której rozwiązywanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego najmniejszego mianownika.



Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.

Własność ułamka

Aby sprowadzić kilka ułamków do tego samego mianownika, należy w rozwiązaniu zastosować główną właściwość ułamka: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez ten sam numer otrzymasz ułamek równy podanemu.

Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itp., To znaczy może mieć postać dowolnej liczby będącej wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez „3” otrzymamy 6/9, a jeśli wykonamy podobną operację z liczbą „4”, otrzymamy 8/12. Jedną równość można zapisać następująco:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak zamienić wiele ułamków zwykłych na ten sam mianownik

Przyjrzyjmy się, jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika. Weźmy na przykład ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz określić, która liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby było łatwiej, rozłóżmy istniejące mianowniki na czynniki.

Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa dzielniki 7/9 = 7/(3 x 3), a mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musimy określić, które czynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku liczbę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach; w ułamku 7/9 znajdują się dwie trójki, co oznacza, że ​​obie muszą także występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe ustalamy, że mianownik składa się z trzech dzielników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.



Rozważmy pierwszą frakcję - 1/2. W mianowniku jest „2”, ale nie ma ani jednej cyfry „3”, ale powinny być dwie. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Te same operacje wykonujemy z pozostałymi ułamkami.

• 2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwójki:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Wszystko razem wygląda tak:



Jak odejmować i dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach

Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku, które zostały już omówione.

Spójrzmy na to jako przykład: 18.04 - 15.03.

Znajdowanie wielokrotności liczb 18 i 15:

• Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
• Liczba 15 składa się z 5 x 3.
• Wspólną wielokrotnością będą następujące czynniki: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po znalezieniu mianownika należy obliczyć współczynnik, który będzie inny dla każdego ułamka, to znaczy liczbę, przez którą trzeba będzie pomnożyć nie tylko mianownik, ale także licznik. Aby to zrobić, dzielimy znalezioną liczbę (wspólną wielokrotność) przez mianownik ułamka, dla którego musimy określić dodatkowe czynniki.

• 90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem przez 3/15.
• 90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem 4/18.

Kolejnym etapem naszego rozwiązania jest sprowadzenie każdego ułamka do mianownika „90”.

Mówiliśmy już o tym, jak to się robi. Zobaczmy jak to jest napisane na przykładzie:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz ustalić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na obrazku poniżej.



To samo dotyczy osób o różnych mianownikach.

Odejmowanie i posiadanie części całkowitych

Omówiliśmy już szczegółowo odejmowanie ułamków i ich dodawanie. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma część całkowitą? Ponownie zastosujmy kilka zasad:

• Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Mówienie w prostych słowach, usuń całą część. Aby to zrobić, pomnóż liczbę części całkowitej przez mianownik ułamka i dodaj uzyskany iloczyn do licznika. Liczba, która wyjdzie po tych działaniach, jest licznikiem ułamka niewłaściwego. Mianownik pozostaje niezmieniony.
• Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego mianownika.
• Wykonaj dodawanie lub odejmowanie przy tych samych mianownikach.
• Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.



Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków pełnych. Aby to zrobić, akcje są wykonywane osobno z całymi częściami, a akcje z ułamkami osobno, a wyniki są rejestrowane razem.



Podany przykład składa się z ułamków o tym samym mianowniku. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je doprowadzić do tej samej wartości, a następnie wykonać czynności jak pokazano w przykładzie.

Odejmowanie ułamków od liczb całkowitych

Innym rodzajem operacji na ułamkach jest sytuacja, w której należy odjąć ułamek. Na pierwszy rzut oka taki przykład wydaje się trudny do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, musisz przekonwertować liczbę całkowitą na ułamek i z tym samym mianownikiem, który jest w odejmowanym ułamku. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania o identycznych mianownikach. Na przykładzie wygląda to tak:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odejmowanie ułamków (ocena 6) podane w tym artykule jest podstawą do rozwiązania większej liczby złożone przykłady, które omawiane są na kolejnych zajęciach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie operacji na ułamkach omówionych powyżej.

496. Znajdować X, Jeśli:

497. 1) Jeśli dodasz 10 1/2 do 3/10 nieznanej liczby, otrzymasz 13 1/2. Znajdź nieznany numer.

2) Jeśli odejmiesz 10 1/2 od 7/10 nieznanej liczby, otrzymasz 15 2/5. Znajdź nieznany numer.

498 *. Jeśli od 3/4 nieznanej liczby odejmiesz 10 i uzyskaną różnicę pomnożysz przez 5, otrzymasz 100. Znajdź liczbę.

499 *. Jeśli zwiększysz nieznaną liczbę o 2/3, otrzymasz 60. Jaka to liczba?

500 *. Jeśli dodasz tę samą kwotę do nieznanej liczby, a także 20 1/3, otrzymasz 105 2/5. Znajdź nieznany numer.

501. 1) Plon ziemniaków przy sadzeniu w kępy kwadratowe wynosi średnio 150 centów z hektara, a przy sadzeniu konwencjonalnym wynosi 3/5 tej wielkości. O ile więcej ziemniaków można zebrać z powierzchni 15 hektarów, jeśli sadzi się je metodą kępek kwadratowych?

2) Doświadczony robotnik wyprodukował 18 części w ciągu 1 godziny, a niedoświadczony robotnik wyprodukował 2/3 tej ilości. Ile więcej części może wyprodukować doświadczony pracownik w ciągu 7 godzin dziennie?

502. 1) Pionierzy zgromadzeni wewnątrz trzy dni 56 kg różnych nasion. Pierwszego dnia zebrano 3/14 całej sumy, drugiego półtora raza więcej, a trzeciego dnia resztę zboża. Ile kilogramów nasion zebrali pionierzy trzeciego dnia?

2) Po zmieleniu pszenicy otrzymano: mąka 4/5 całkowitej ilości pszenicy, semolina - 40 razy mniej niż mąka, a reszta to otręby. Ile mąki, kaszy manny i otrąb oddzielnie otrzymano podczas zmielenia 3 ton pszenicy?

503. 1) Trzy garaże pomieszczą 460 samochodów. Liczba samochodów, które zmieszczą się w pierwszym garażu, jest 3/4 razy większa od liczby samochodów, które mieszczą się w drugim, a w trzecim garażu jest 1 1/2 razy więcej samochodów niż w pierwszym. Ile samochodów zmieści się w każdym garażu?

2) Fabryka z trzema warsztatami zatrudnia 6000 pracowników. W drugim warsztacie jest 1,5 razy mniej pracowników niż w pierwszym, a liczba pracowników w trzecim warsztacie wynosi 5/6 liczby pracowników w drugim warsztacie. Ilu pracowników jest w każdym warsztacie?

504. 1) Najpierw ze zbiornika z naftą wylano 2/5, potem 1/3 całej nafty, po czym w zbiorniku pozostało 8 ton nafty. Ile nafty było początkowo w zbiorniku?

2) Kolarze ścigali się przez trzy dni. Pierwszego dnia pokonali 4/15 całej podróży, drugiego 2/5, a trzeciego dnia pozostałe 100 km. Jaką drogę przebyli rowerzyści w ciągu trzech dni?

505. 1) Lodołamacz przebijał się przez pole lodowe przez trzy dni. Pierwszego dnia przeszedł 1/2 całego dystansu, drugiego dnia 3/5 pozostałego dystansu, a trzeciego dnia pozostałe 24 km. Oblicz długość drogi przebytej przez lodołamacz w ciągu trzech dni.

2) Trzy grupy uczniów posadziły drzewa, aby zazielenić wioskę. Oddział pierwszy posadził 7/20 wszystkich drzew, drugi 5/8 pozostałych drzew, a trzeci pozostałe 195 drzew. Ile drzew posadziły w sumie trzy drużyny?

506. 1) Kombajn zebrał pszenicę z jednego pola w ciągu trzech dni. Pierwszego dnia zebrał 5/18 z całej powierzchni działki, drugiego dnia z 7/13 pozostałej powierzchni, a trzeciego dnia z pozostałych 30 1/2 ha. Z każdego hektara zbierano średnio 20 centów pszenicy. Ile pszenicy zebrano na całym obszarze?

2) Pierwszego dnia uczestnicy rajdu przejechali 3/11 całej trasy, drugiego dnia 7/20 pozostałej trasy, trzeciego dnia 5/13 nowej reszty, a czwartego dnia pozostałą część trasy. 320 km. Jak długa jest trasa rajdu?

507. 1) Pierwszego dnia samochód przejechał 3/8 całego dystansu, drugiego dnia 15/17 tego, co przejechał pierwszego dnia, a trzeciego dnia pozostałe 200 km. Ile benzyny zużyto, jeśli samochód zużył 1 3/5 kg benzyny na 10 km?

2) Miasto składa się z czterech dzielnic. A 4/13 ogółu mieszkańców miasta mieszka w pierwszej dzielnicy, 5/6 mieszkańców pierwszej dzielnicy mieszka w drugiej, 4/11 mieszkańców pierwszej dzielnicy mieszka w trzeciej; łącznie dwie dzielnice, a w czwartej dzielnicy mieszka 18 tys. osób. Ile chleba potrzebuje cała ludność miasta na 3 dni, jeśli przeciętnie jedna osoba spożywa dziennie 500 g?

508. 1) Turysta przeszedł pierwszego dnia 31/10 całej podróży, drugiego dnia 9/10 tego, co przeszedł pierwszego dnia, trzeciego dnia resztę trasy, a trzeciego dnia przeszedł 12 km więcej niż drugiego dnia. Ile kilometrów przeszedł turysta w ciągu każdego z trzech dni?

2) Samochód pokonał całą trasę z miasta A do miasta B w trzy dni. Pierwszego dnia samochód przejechał 7/20 całego dystansu, drugiego 8/13 pozostałego dystansu, a trzeciego dnia przejechał o 72 km mniej niż pierwszego dnia. Jaka jest odległość między miastami A i B?

509. 1) Komitet wykonawczy przydzielił ziemię pracownicy trzech fabryki działek ogrodowych. Zakładowi pierwszemu przydzielono 9/25 ogólnej liczby działek, zakładowi drugiemu 5/9 liczby działek przeznaczonych dla pierwszego, a zakładowi trzeciemu pozostałe działki. Ile łącznie działek przydzielono pracownikom trzech fabryk, jeśli pierwszej fabryce przydzielono o 50 działek mniej niż trzeciej?

2) Samolot w ciągu trzech dni dostarczył z Moskwy zmianę zimowych pracowników na stację polarną. Pierwszego dnia przeleciał 2/5 całego dystansu, drugiego 5/6 dystansu, który przebył pierwszego dnia, a trzeciego dnia przeleciał o 500 km mniej niż drugiego dnia. Jaką odległość przeleciał samolot w ciągu trzech dni?

510. 1) Zakład posiadał trzy warsztaty. Liczba pracowników w pierwszym warsztacie wynosi 2/5 wszystkich pracowników zakładu; w drugim warsztacie jest 1,5 razy mniej pracowników niż w pierwszym, a w trzecim warsztacie jest o 100 pracowników więcej niż w drugim. Ilu pracowników jest w fabryce?

2) W skład kołchozu wchodzą mieszkańcy trzech sąsiadujących ze sobą wsi. Liczba rodzin w pierwszej wsi wynosi 3/10 wszystkich rodzin w kołchozie; w drugiej wsi liczba rodzin jest 1,5 razy większa niż w pierwszej, a w trzeciej wsi liczba rodzin jest o 420 mniejsza niż w drugiej. Ile rodzin jest w kołchozie?

511. 1) W pierwszym tygodniu artel zużył 1/3 zapasów surowców, w drugim 1/3 reszty. Ile surowca pozostało w artelu, jeśli w pierwszym tygodniu zużycie surowców było o 3/5 tony większe niż w drugim tygodniu?

2) Z importowanego węgla w pierwszym miesiącu 1/6 przeznaczono na ogrzewanie domu, a w drugim 3/8 reszty. Ile węgla zostało do ogrzania domu, jeśli w drugim miesiącu zużyto o 1 3/4 więcej niż w pierwszym?

512. 3/5 całkowitej powierzchni kołchozów przeznaczona jest na siew zboża, 13/36 pozostałej części zajmują ogrody warzywne i łąki, pozostała część gruntów to lasy, a powierzchnia zasiewów kołchozów to 217 hektarów więcej obszaru lasów, 1/3 gruntów przeznaczonych pod uprawy zbóż obsiana jest żytem, ​​a pozostała część pszenicą. Ile hektarów ziemi zasiano kołchozem pod pszenicę, a ile pod żyto?

513. 1) Trasa tramwajowa ma długość 14 3/8 km. Na tej trasie tramwaj zatrzymuje się na 18 przystankach, spędzając średnio do 1 1/6 minuty na przystanek. Średnia prędkość tramwaju na całej trasie wynosi 12,5 km na godzinę. Ile czasu zajmuje tramwajowi pokonanie jednego przejazdu?

2) Trasa autobusowa 16 km. Na tej trasie autobus zatrzymuje się na 36 przystankach po 3/4 minuty każdy. średnio każdy. Średnia prędkość autobusu wynosi 30 km na godzinę. Ile czasu zajmuje autobus na jednej trasie?

514*. 1) Jest teraz godzina szósta. wieczory. Jaka część dnia to pozostała część dnia z przeszłości, a jaka część dnia pozostała?

2) Parowiec pokonuje odległość między dwoma miastami z prądem w ciągu 3 dni. i z powrotem na tę samą odległość w ciągu 4 dni. Przez ile dni tratwy będą pływać w dół rzeki z jednego miasta do drugiego?

515. 1) Ile desek zostanie użytych do ułożenia podłogi w pomieszczeniu o długości 6 2/3 m, szerokości 5 1/4 m, jeśli długość każdej deski wynosi 6 2/3 m, a jej szerokość wynosi 3/ 80 długości?

2) Prostokątny podest ma długość 45 1/2 m, a jego szerokość stanowi 5/13 jego długości. Obszar ten jest ograniczony ścieżką o szerokości 4/5 m. Znajdź obszar ścieżki.

516. Znajdź średnią arytmetyczną liczb:

517. 1) Średnia arytmetyczna dwóch liczb wynosi 6 1/6. Jedna z liczb to 3 3/4. Znajdź inny numer.

2) Średnia arytmetyczna dwóch liczb wynosi 14 1/4. Jedna z tych liczb to 15 5/6. Znajdź inny numer.

518. 1) Pociąg towarowy jechał przez trzy godziny. W pierwszą godzinę pokonał 36 1/2 km, w drugiej 40 km, a w trzeciej 39 3/4 km. Znajdź średnią prędkość pociągu.

2) Samochód przejechał 81,5 km w ciągu pierwszych dwóch godzin i 95 km w ciągu następnych 2,5 godzin. Ile kilometrów przemierzał średnio na godzinę?

519. 1) Kierowca ciągnika wykonał zadanie zaorania ziemi w trzy dni. Pierwszego dnia zaorał 12 1/2 ha, drugiego dnia 15 3/4 ha, a trzeciego dnia 14 1/2 ha. Ile hektarów ziemi orał średnio dziennie kierowca traktora?

2) Grupa uczniów odbywających trzydniową wycieczkę turystyczną pierwszego dnia była w drodze 6,5 godziny, drugiego dnia 7 godzin. a trzeciego dnia - 4 2/3 godziny. Ile godzin średnio dziennie podróżowały dzieci w wieku szkolnym?

520. 1) W domu mieszkają trzy rodziny. Pierwsza rodzina posiada 3 żarówki do oświetlenia mieszkania, druga 4, a trzecia 5 żarówek. Ile każda rodzina powinna płacić za prąd, jeśli wszystkie lampy byłyby takie same, a całkowity rachunek za prąd (dla całego domu) wyniósł 7 1/5 rubla?

2) Polerka polerowała podłogi w mieszkaniu, w którym mieszkały trzy rodziny. Pierwsza rodzina miała powierzchnię mieszkalną 36 1/2 metra kwadratowego. m, drugi to 24 1/2 mkw. m, a trzeci - 43 mkw. m. Za całą pracę zapłacono 2 ruble. 08 kop. Ile zapłaciła każda rodzina?

521. 1) Na działce zbierano ziemniaki z 50 krzewów po 1 1/10 kg na krzak, z 70 krzaków po 4/5 kg na krzak, z 80 krzaków po 9/10 kg na krzak. Ile kilogramów ziemniaków zbiera się średnio z każdego krzaka?

2) Ekipa polowa na obszarze 300 ha zebrała plony pszenicy ozimej w wysokości 20 1/2 kwintala z 1 ha, z 80 ha do 24 kwintali z 1 ha, a z 20 ha - 28 1/2 kwintala z 1 ha 1 ha. Jaki jest średni plon w brygadzie o powierzchni 1 hektara?

522. 1) Suma dwóch liczb wynosi 7 1/2. Jedna liczba jest o 4 4/5 większa od drugiej. Znajdź te liczby.

2) Jeśli dodamy do siebie liczby wyrażające szerokość Cieśniny Tatarskiej i Kerczeńskiej, otrzymamy 11 7/10 km. Cieśnina Tatarska jest o 3 1/10 km szersza od Cieśniny Kerczeńskiej. Jaka jest szerokość każdej cieśniny?

523. 1) Kwota trzy liczby 35 2/3. Pierwsza liczba jest większa od drugiej o 5 1/3 i większa od trzeciej o 3 5/6. Znajdź te liczby.

2) Wyspy Nowa Ziemia, Sachalin i Severnaya Zemlya zajmują razem powierzchnię 196 7/10 tysięcy metrów kwadratowych. km. Powierzchnia Nowej Ziemi wynosi 44 1/10 tysięcy metrów kwadratowych. km większy niż obszar Severnaya Zemlya i 5 1/5 tysiąca metrów kwadratowych. km większy niż obszar Sachalina. Jaka jest powierzchnia każdej z wymienionych wysp?

524. 1) Mieszkanie składa się z trzech pokoi. Powierzchnia pierwszego pokoju wynosi 24 3/8 mkw. m i stanowi 13/36 powierzchni całego mieszkania. Powierzchnia drugiego pokoju wynosi 8 1/8 metrów kwadratowych. m więcej niż obszar trzeciego. Jaka jest powierzchnia drugiego pokoju?

2) Kolarz podczas trzydniowych zawodów pierwszego dnia był w trasie przez 3,5 godziny, co stanowiło 13/43 całkowitego czasu przejazdu. Drugiego dnia jechał o 1,5 godziny więcej niż trzeciego dnia. Ile godzin kolarz przejechał drugiego dnia zawodów?

525. Trzy kawałki żelaza ważą razem 17 1/4 kg. Jeżeli wagę pierwszego kawałka zmniejszymy o 1 1/2 kg, ciężar drugiego o 2 1/4 kg, wówczas wszystkie trzy kawałki będą miały tę samą wagę. Ile ważył każdy kawałek żelaza?

526. 1) Suma dwóch liczb wynosi 15 1/5. Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 3 1/10, a drugą zwiększymy o 3 1/10, wówczas liczby te będą równe. Ile równa się każda liczba?

2) W dwóch pudełkach było 38 1/4 kg płatków. Jeśli wlejesz 4 3/4 kg płatków z jednego pudełka do drugiego, w obu pudełkach będzie taka sama ilość płatków. Ile płatków jest w każdym pudełku?

527 . 1) Suma dwóch liczb wynosi 17 17/30. Jeśli odejmiesz 5 1/2 od pierwszej liczby i dodasz ją do drugiej, wówczas pierwsza liczba będzie nadal większa od drugiej o 2 17/30. Znajdź obie liczby.

2) W dwóch skrzynkach jest 24 1/4 kg jabłek. Jeśli przeniesiesz 3 1/2 kg z pierwszego pudełka do drugiego, to w pierwszym nadal będzie o 3/5 kg więcej jabłek niż w drugim. Ile kilogramów jabłek jest w każdym pudełku?

528 *. 1) Suma dwóch liczb wynosi 8 11/14, a ich różnica wynosi 2 3/7. Znajdź te liczby.

2) Łódź poruszała się po rzece z prędkością 15 1/2 km na godzinę, a pod prąd z prędkością 8 1/4 km na godzinę. Jaka jest prędkość przepływu rzeki?

529. 1) W dwóch garażach jest 110 samochodów, a w jednym jest ich 1 1/5 razy więcej niż w drugim. Ile samochodów jest w każdym garażu?

2) Powierzchnia mieszkalna mieszkania składającego się z dwóch pokoi wynosi 47 1/2 m2. m. Powierzchnia jednego pokoju wynosi 8/11 powierzchni drugiego. Znajdź powierzchnię każdego pokoju.

530. 1) Stop miedzi i srebra waży 330 g. Masa miedzi w tym stopie stanowi 5/28 masy srebra. Ile srebra, a ile miedzi jest w stopie?

2) Suma dwóch liczb wynosi 6 3/4, a iloraz wynosi 3 1/2. Znajdź te liczby.

531. Suma trzech liczb wynosi 22 1/2. Druga liczba jest 3 1/2 razy większa, a trzecia jest 2 1/4 razy większa od pierwszej. Znajdź te liczby.

532. 1) Różnica dwóch liczb wynosi 7; iloraz dzielenia więcej za mniej 5 2/3. Znajdź te liczby.

2) Różnica między dwiema liczbami wynosi 29 3/8, a ich współczynnik wielokrotności wynosi 8 5/6. Znajdź te liczby.

533. W klasie liczba nieobecnych uczniów wynosi 3/13 liczby uczniów obecnych. Ilu uczniów jest w klasie według listy, jeśli obecnych jest o 20 więcej osób niż nieobecnych?

534. 1) Różnica między dwiema liczbami wynosi 3 1/5. Jedna liczba to 5/7 drugiej. Znajdź te liczby.

2) Ojciec starszy od mojego syna przez 24 lata. Liczba lat syna równa się 5/13 lat ojca. Ile lat ma ojciec, a ile syn?

535. Mianownik ułamka jest o 11 jednostek większy od jego licznika. Jaka jest wartość ułamka, jeśli jego mianownik jest 3 3/4 razy większy od licznika?

nr 536 - 537 ustnie.

536. 1) Pierwsza liczba to 1/2 drugiej. Ile razy druga liczba jest większa od pierwszej?

2) Pierwsza liczba to 3/2 drugiej. Jaką częścią pierwszej liczby jest druga liczba?

537. 1) 1/2 pierwszej liczby jest równa 1/3 drugiej liczby. Jaką częścią pierwszej liczby jest druga liczba?

2) 2/3 pierwszej liczby równa się 3/4 drugiej liczby. Jaką częścią pierwszej liczby jest druga liczba? Jaka część drugiej liczby jest pierwszą?

538. 1) Suma dwóch liczb wynosi 16. Znajdź te liczby, jeśli 1/3 drugiej liczby jest równa 1/5 pierwszej.

2) Suma dwóch liczb wynosi 38. Znajdź te liczby, jeśli 2/3 pierwszej liczby jest równe 3/5 drugiej.

539 *. 1) Dwóch chłopców zebrało razem 100 grzybów. 3/8 liczby grzybów zebranych przez pierwszego chłopca jest liczbowo równa 1/4 liczby grzybów zebranych przez drugiego chłopca. Ile grzybów zebrał każdy chłopiec?

2) Instytucja zatrudnia 27 osób. Ilu mężczyzn pracuje, a ile kobiet, jeśli 2/5 wszystkich mężczyzn równa się 3/5 wszystkich kobiet?

540 *. Trzej chłopcy kupili piłkę do siatkówki. Określ wkład każdego chłopca, wiedząc, że 1/2 wkładu pierwszego chłopca równa się 1/3 wkładu drugiego lub 1/4 wkładu trzeciego oraz że wkład trzeciego chłopiec jest o 64 kopiejek większy od wkładu pierwszego.

541 *. 1) Jedna liczba jest o 6 większa od drugiej. Znajdź te liczby, jeśli 2/5 jednej liczby jest równe 2/3 drugiej.

2) Różnica dwóch liczb wynosi 35. Znajdź te liczby, jeśli 1/3 pierwszej liczby jest równa 3/4 drugiej liczby.

542. 1) Pierwszy zespół może wykonać pewną pracę w 36 dni, a drugi w 45 dni. W ciągu ilu dni oba zespoły, pracując razem, wykonają to zadanie?

2) Pociąg osobowy pokonuje odległość między dwoma miastami w ciągu 10 godzin, a towarowy w ciągu 15 godzin. Obydwa pociągi wyjechały z tych miast w tym samym czasie ku sobie. Za ile godzin się spotkają?

543. 1) Pociąg szybki pokonuje odległość między dwoma miastami w 6 i pół godziny, a pociąg osobowy w 7 i pół godziny. Po ilu godzinach spotkają się te pociągi, jeśli wyjadą z obu miast w tym samym czasie w stronę siebie? (Okrągła odpowiedź z dokładnością do 1 godziny.)

2) Dwóch motocyklistów wyjechało jednocześnie z dwóch miast ku sobie. Jeden motocyklista całą trasę pomiędzy tymi miastami przejedzie w 6 godzin, a drugi w 5 godzin. Po ilu godzinach od odjazdu motocykliści spotkają się? (Okrągła odpowiedź z dokładnością do 1 godziny.)

544. 1) Trzy pojazdy o różnej ładowności mogą przewieźć jakiś ładunek, pracując osobno: pierwszy w 10 godzin, drugi w 12 godzin. a trzeci w ciągu 15 godzin. W ciągu ilu godzin mogą przewieźć ten sam ładunek, pracując razem?

2) Dwa pociągi odjeżdżają jednocześnie z dwóch stacji ku sobie: pierwszy pociąg pokonuje odległość między tymi stacjami w ciągu 12 i pół godziny, drugi w 18 i pół godziny. Po ilu godzinach od odjazdu pociągi się spotkają?

545. 1) Do wanny podłączone są dwa krany. Przez jeden z nich wannę można napełnić w 12 minut, przez drugi 1 1/2 razy szybciej. Ile minut zajmie napełnienie 5/6 całej wanny, jeśli odkręcisz oba krany na raz?

2) Dwie maszynistki muszą przepisać rękopis. Pierwszy kierowca może wykonać tę pracę w 3 1/3 dnia, a drugi 1 1/2 razy szybciej. Ile dni zajmie obu maszynistkom wykonanie pracy, jeśli będą pracować jednocześnie?

546. 1) Basen napełni się pierwszą rurą w ciągu 5 godzin, a drugą rurą można go opróżnić w ciągu 6 godzin. Po ilu godzinach cały basen zostanie napełniony, jeśli obie rury zostaną otwarte jednocześnie?

Notatka. W ciągu godziny basen zostaje napełniony do (1/5 - 1/6 jego pojemności).

2) Dwa ciągniki zaorały pole w ciągu 6 godzin. Pierwszy ciągnik, pracując samodzielnie, mógłby zaorać to pole w 15 godzin. Ile godzin zajęłoby drugiemu traktorowi, pracującemu samodzielnie, zaoranie tego pola?

547 *. Dwa pociągi odjeżdżają jednocześnie z dwóch stacji i spotykają się po 18 godzinach. po jego zwolnieniu. W jakim czasie drugi pociąg przejedzie odległość między stacjami, jeśli pierwszy pociąg pokona tę odległość w ciągu 1 dnia i 21 godzin?

548 *. Basen jest wypełniony dwiema rurami. Najpierw otworzyli pierwszą rurę, a następnie po 3 i 3/4 godzinach, gdy basen napełnił się do połowy, otworzyli drugą rurę. Po 2 1/2 godzinach współpraca basen był pełny. Określ pojemność basenu, jeśli przez drugą rurę przeleje się 200 wiader wody na godzinę.

549. 1) Pociąg kurierski wyjechał z Leningradu do Moskwy i pokonuje 1 km w 3/4 minuty. Pół godziny po tym, jak ten pociąg opuścił Moskwę, z Moskwy wyjechał pociąg pospieszny do Leningradu, którego prędkość była równa 3/4 prędkości pociągu ekspresowego. W jakiej odległości od siebie znajdą się pociągi po 2,5 godzinach od odjazdu pociągu kurierskiego, jeżeli odległość między Moskwą a Leningradem wynosi 650 km?

2) Od kołchozu do miasta 24 km. Ciężarówka wyjeżdża z kołchozu i w ciągu 2,5 minuty przejeżdża 1 km. Po 15 minutach Po tym, jak ten samochód wyjechał z miasta, do kołchozu pojechał rowerzysta, jadąc z prędkością o połowę mniejszą od prędkości ciężarówki. Po jakim czasie od wyjazdu rowerzysta spotka ciężarówkę?

550. 1) Z jednej wsi wyszedł pieszy. 4,5 godziny po odejściu pieszego w tym samym kierunku jechał rowerzysta, jadąc z prędkością 2,5 razy większą niż prędkość pieszego. Po ilu godzinach od odejścia pieszego wyprzedzi go rowerzysta?

2) Pociąg pospieszny pokonuje 187,5 km w 3 godziny, a towarowy 288 km w 6 godzin. 7 i pół godziny po odjeździe pociągu towarowego w tym samym kierunku odjeżdża ambulans. W jakim czasie pociąg pospieszny dogoni pociąg towarowy?

551. 1) Z dwóch kołchozów, przez które przechodzi droga do centrum powiatu, w tym samym czasie na koniach wyjechało do powiatu dwóch kołchozów. Pierwszy z nich jechał z prędkością 8 3/4 km na godzinę, a drugi 1 1/7 razy więcej niż pierwszy. Drugi kolektyw dogonił pierwszego po 3 4/5 godzinach. Określ odległość między kołchozami.

2) 26 i pół godziny po odjeździe pociągu Moskwa-Władywostok, którego średnia prędkość wynosiła 60 km na godzinę, w tym samym kierunku wystartował samolot TU-104 z prędkością 14 1/6 prędkości pociągu. Po ilu godzinach od odlotu samolot dogoni pociąg?

552. 1) Odległość między miastami wzdłuż rzeki wynosi 264 km. Parowiec przebył tę odległość w dół rzeki w 18 godzin, spędzając 1/12 tego czasu na postoju. Prędkość rzeki wynosi 1 1/2 km na godzinę. Ile czasu zajęłoby parowcowi przebycie 87 km bez zatrzymywania się na stojącej wodzie?

2) Łódź motorowa przepłynęła rzeką 207 km w ciągu 13 i pół godziny, spędzając 1/9 tego czasu na przystankach. Prędkość rzeki wynosi 1 3/4 km na godzinę. Ile kilometrów może przepłynąć ta łódź na stojącej wodzie w ciągu 2 i pół godziny?

553. Łódź przepłynęła przez zbiornik bez zatrzymywania się 52 km w ciągu 3 godzin i 15 minut. Dalej, płynąc rzeką pod prąd, którego prędkość wynosi 1 3/4 km na godzinę, łódź ta przepłynęła 28 1/2 km w ciągu 2 1/4 godziny, robiąc 3 przystanki o tej samej długości. Ile minut łódź czekała na każdym przystanku?

554. Z Leningradu do Kronsztadu o godzinie 12. Parowiec wyruszył po południu i pokonał całą odległość między tymi miastami w 1,5 godziny. Po drodze spotkał inny statek, który o godzinie 12:18 wypłynął z Kronsztadu do Leningradu. i chodzenie z szybkością 1 1/4 razy większą niż pierwsza. O której godzinie spotkały się oba statki?

555. Pociąg miał do pokonania dystans 630 km w 14 godzin. Po przebyciu 2/3 tej odległości został zatrzymany na 1 godzinę i 10 minut. Z jaką prędkością powinien kontynuować podróż, aby bez zwłoki dotrzeć do celu?

556. O 4:20 rano Rano pociąg towarowy odjechał z Kijowa do Odessy średnia prędkość 31 1/5 km na godzinę. Po pewnym czasie z Odessy wyjechał na jego spotkanie pociąg pocztowy, którego prędkość była 1 17/39 razy większa od prędkości pociągu towarowego i spotkał się z pociągiem towarowym 6 i pół godziny po jego odjeździe. O której godzinie pociąg pocztowy odjechał z Odessy, jeśli odległość między Kijowem a Odessą wynosi 663 km?

557*. Zegar wskazuje południe. Po jakim czasie wskazówki godzinowe i minutowe zbiegną się w jedną całość?

558. 1) Zakład posiada trzy warsztaty. Liczba pracowników w pierwszym warsztacie wynosi 9/20 wszystkich pracowników zakładu, w drugim warsztacie jest 1 1/2 razy mniej pracowników niż w pierwszym, a w trzecim warsztacie jest o 300 mniej pracowników niż w pierwszym drugi. Ilu pracowników jest w fabryce?

2) W mieście działają trzy szkoły średnie. Liczba uczniów w pierwszej szkole wynosi 3/10 wszystkich uczniów w tych trzech szkołach; w szkole drugiej uczy się 1,5 raza więcej uczniów niż w szkole pierwszej, a w szkole trzeciej jest o 420 uczniów mniej niż w szkole drugiej. Ilu uczniów jest w trzech szkołach?

559. 1) Dwóch operatorów kombajnów pracowało na tym samym obszarze. Po tym jak jeden kombajn zebrał 9/16 całej działki, a drugi 3/8 tej samej działki, okazało się, że pierwszy kombajn zebrał o 97 1/2 ha więcej niż drugi. Z każdego hektara wymłócono średnio 32 1/2 kwintali zboża. Ile centów zboża młócił każdy operator kombajnu?

2) Dwóch braci kupiło aparat. Jeden miał 5/8, drugi 4/7 kosztu aparatu, a pierwszy miał 2 ruble. 25 kopiejek więcej niż to drugie. Każdy zapłacił połowę ceny urządzenia. Ile pieniędzy zostało każdemu?

560. 1) Samochód osobowy wyjeżdża z miasta A do miasta B, odległość między nimi wynosi 215 km, z prędkością 50 km na godzinę. W tym samym czasie opuścił miasto B i udał się do miasta A. ciężarówka. Ile kilometrów przejechał samochód osobowy, zanim spotkał się z ciężarówką, jeśli prędkość ciężarówki na godzinę była równa 18/25 prędkości samochodu osobowego?

2) Między miastami A i B 210 km. Samochód osobowy wyjechał z miasta A do miasta B. W tym samym czasie ciężarówka wyjechała z miasta B do miasta A. Ile kilometrów przejechała ciężarówka, zanim spotkała się z samochodem osobowym, jeżeli samochód osobowy jechał z prędkością 48 km na godzinę, a prędkość ciężarówki na godzinę wynosiła 3/4 prędkości samochodu osobowego?

561. Gospodarstwo kołchozowe zbierało pszenicę i żyto. O 20 ha więcej obsiano pszenicą niż żytem. Ogółem zbiory żyta stanowiły 5/6 ogółu zbiorów pszenicy przy plonie 20 c z 1 ha zarówno pszenicy, jak i żyta. Kołchoz sprzedał państwu 7/11 całości zbiorów pszenicy i żyta, resztę zboża pozostawił na swoje potrzeby. Ile kursów musiały pokonać dwutonowe ciężarówki, aby wywieźć chleb sprzedany państwu?

562. Do piekarni przywożono mąkę żytnią i pszenną. Masa mąki pszennej stanowiła 3/5 masy mąki żytniej, przywieziono o 4 tony więcej mąki żytniej niż mąki pszennej. Ile chleba pszennego, a ile żytniego upiecze piekarnia z tej mąki, jeżeli wypieki stanowią 2/5 całkowitej mąki?

563. W ciągu trzech dni ekipa robotników wykonała 3/4 całości prac przy remoncie autostrady łączącej oba kołchozy. Pierwszego dnia naprawiono 2 2/5 km tej autostrady, drugiego dnia 1 1/2 razy więcej niż pierwszego, a trzeciego dnia 5/8 tego, co zostało naprawione łącznie w pierwsze dwa dni. Oblicz długość autostrady pomiędzy kołchozami.

564. Wpisać wolne miejsca w tabeli, gdzie S jest polem prostokąta, A- podstawa prostokąta, a H-wysokość (szerokość) prostokąta.

565. 1) Długość prostokątnej działki wynosi 120 m, a szerokość działki stanowi 2/5 jej długości. Znajdź obwód i obszar witryny.

2) Szerokość przekroju prostokątnego wynosi 250 m, a jego długość jest 1 1/2 szerokości. Znajdź obwód i obszar witryny.

566. 1) Obwód prostokąta wynosi 6 1/2 cala, a jego podstawa jest o 1/4 cala większa niż jego wysokość. Znajdź obszar tego prostokąta.

2) Obwód prostokąta wynosi 18 cm, jego wysokość jest o 2 1/2 cm mniejsza od podstawy. Znajdź obszar prostokąta.

567. Oblicz pola figur pokazanych na rysunku 30, dzieląc je na prostokąty i obliczając wymiary prostokąta.

568. 1) Ile arkuszy suchego tynku potrzeba na pokrycie sufitu pomieszczenia o długości 4 1/2 m i szerokości 4 m, jeśli wymiary płyty gipsowej wynoszą 2 m x l 1/2 m?

2) Ile desek o długości 4 1/2 m i szerokości 1/4 m potrzeba do ułożenia podłogi o długości 4 1/2 m i szerokości 3 1/2 m?

569. 1) Prostokątną działkę o długości 560 m i szerokości 3/4 jej długości obsiano fasolą. Ile nasion potrzeba było do zasiewu działki, jeżeli na 1 hektar wysiewano 1 centner?

2) Z prostokątnego pola zebrano plony pszenicy w wysokości 25 kwintali z hektara. Ile pszenicy zebrano z całego pola, jeśli długość pola wynosi 800 m, a szerokość stanowi 3/8 jego długości?

570 . 1) Działka w kształcie prostokąta o wymiarach 78 3/4 m długości i 56 4/5 m szerokości jest zabudowana w taki sposób, że 4/5 jej powierzchni zajmują budynki. Określ powierzchnię gruntu pod budynkami.

2) Na prostokątnej działce o długości 9/20 km i szerokości 4/9 jej długości kołchoz planuje założyć ogród. Ile drzew zostanie posadzonych w tym ogrodzie, jeśli na każde drzewo potrzeba średnio 36 m2?

571. 1) W celu normalnego oświetlenia pomieszczenia światłem dziennym konieczne jest, aby powierzchnia wszystkich okien wynosiła co najmniej 1/5 powierzchni podłogi. Określ, czy w pomieszczeniu o długości 5 1/2 m i szerokości 4 m jest wystarczająco dużo światła. Czy w pomieszczeniu jest jedno okno o wymiarach 1 1/2 m x 2 m?

2) Korzystając z warunku z poprzedniego zadania, sprawdź, czy w Twojej klasie jest wystarczająco dużo światła.

572. 1) Stodoła ma wymiary 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m. Ile siana (wagowo) zmieści się w tej stodole, jeśli zostanie wypełniona do 3/4 jej wysokości i jeśli 1 cu . m siana waży 82 kg?

2) Stos drewna ma kształt prostokątnego równoległościanu, którego wymiary wynoszą 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m. Jaka jest waga stosu drewna, jeśli ma on objętość 1 sześcienną. m drewna opałowego waży 600 kg?

573. 1) Prostokątne akwarium jest wypełnione wodą do 3/5 jego wysokości. Długość akwarium wynosi 1 1/2 m, szerokość 4/5 m, wysokość 3/4 m. Ile litrów wody wlano do akwarium?

2) Basen w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 6 1/2 m długości, 4 m szerokości i 2 m wysokości. Basen jest wypełniony wodą do 3/4 jego wysokości. Oblicz ilość wody wlanej do basenu.

574. Wokół prostokątnej działki o długości 75 m i szerokości 45 m należy postawić ogrodzenie. Ile metrów sześciennych desek należy wykorzystać na jego konstrukcję, jeśli grubość deski wynosi 2 1/2 cm, a wysokość płotu powinna wynosić 2 1/4 m?

575. 1) Jaki kąt ma minuta i wskazówka godzinowa o 13:00? o 15:00? o 17? o 21? o 23:30?

2) O ile stopni obróci się wskazówka godzinowa w ciągu 2 godzin? 5:00? 8:00? 30 minut?

3) Ile stopni zawiera łuk? równy połowie kręgi? 1/4 koła? 1/24 koła? 5/24 kręgów?

576. 1) Za pomocą kątomierza narysuj: a) kąt prosty; b) kąt 30°; c) kąt 60°; d) kąt 150°; e) kąt 55°.

2) Za pomocą kątomierza zmierz kąty figury i znajdź sumę wszystkich kątów każdej figury (ryc. 31).

577. Wykonaj następujące kroki:

578. 1) Półkole jest podzielone na dwa łuki, z których jeden jest o 100° większy od drugiego. Znajdź rozmiar każdego łuku.

2) Półkole jest podzielone na dwa łuki, z których jeden jest o 15° mniejszy od drugiego. Znajdź rozmiar każdego łuku.

3) Półkole jest podzielone na dwa łuki, z których jeden jest dwa razy większy od drugiego. Znajdź rozmiar każdego łuku.

4) Półkole dzieli się na dwa łuki, z których jeden jest 5 razy mniejszy od drugiego. Znajdź rozmiar każdego łuku.

579. 1) Wykres „Umiejętność czytania i pisania wśród ludności w ZSRR” (ryc. 32) pokazuje liczbę osób piśmiennych na sto osób w populacji. Na podstawie danych zawartych na wykresie i jego skali określ liczbę piśmiennych mężczyzn i kobiet w każdym ze wskazanych lat.

Wyniki zapisz w tabeli:

2) Korzystając z danych ze schematu „Wysłannicy radzieccy w kosmos” (ryc. 33), utwórz zadania.

580. 1) Zgodnie z wykresem kołowym „Codzienność ucznia piątej klasy” (ryc. 34) wypełnij tabelę i odpowiedz na pytania: jaką część dnia przeznacza się na sen? do pracy domowej? do szkoły?

2) Stwórz wykres kołowy przedstawiający Twoją codzienną rutynę.

Działania z ułamkami. W tym artykule przyjrzymy się przykładom, wszystko szczegółowo z objaśnieniami. Rozważymy ułamki zwykłe. Ułamkami dziesiętnymi zajmiemy się później. Polecam obejrzeć całość i przestudiować po kolei.

1. Suma ułamków, różnica ułamków.

Reguła: podczas dodawania ułamków o równych mianownikach wynikiem jest ułamek - którego mianownik pozostaje taki sam, a jego licznik będzie równa sumie liczniki ułamków.

Zasada: obliczając różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, otrzymujemy ułamek - mianownik pozostaje taki sam, a licznik drugiego odejmuje się od licznika pierwszego ułamka.

Formalny zapis sumy i różnicy ułamków o równych mianownikach:

Przykłady (1):

Oczywiste jest, że gdy podane są zwykłe ułamki, wszystko jest proste, ale co, jeśli zostaną zmieszane? Nic skomplikowanego...

Opcja 1– możesz je zamienić na zwykłe, a następnie przeliczyć.

Opcja 2– można „pracować” osobno z częściami całkowitymi i ułamkowymi.

Przykłady (2):

Więcej:

Co się stanie, jeżeli podana zostanie różnica dwóch ułamków mieszanych i licznik pierwszego ułamka będzie mniejszy od licznika drugiego? Można też działać na dwa sposoby.

Przykłady (3):

*Przeliczenie na ułamki zwykłe, obliczenie różnicy, przeliczenie powstałego ułamka niewłaściwego na ułamek mieszany.

*Rozbiliśmy to na części całkowite i ułamkowe, otrzymaliśmy trójkę, następnie przedstawiliśmy 3 jako sumę 2 i 1, gdzie jedna jest reprezentowana jako 11/11, następnie znaleźliśmy różnicę między 11/11 a 7/11 i obliczyliśmy wynik . Znaczenie powyższych przekształceń polega na wzięciu (wybraniu) jednostki i przedstawieniu jej w postaci ułamka o potrzebnym mianowniku, a następnie możemy od tego ułamka odjąć inną.

Inny przykład:

Wniosek: tak uniwersalne podejście– aby obliczyć sumę (różnicę) ułamków mieszanych o równych mianownikach, zawsze można je zamienić na niewłaściwe, a następnie wykonać niezbędną czynność. Następnie, jeśli wynikiem jest ułamek niewłaściwy, zamieniamy go na ułamek mieszany.

Powyżej przyjrzeliśmy się przykładom ułamków o równych mianownikach. A co jeśli mianowniki są różne? W takim przypadku ułamki są redukowane do tego samego mianownika i wykonywana jest określona akcja. Aby zmienić (przekształcić) ułamek, wykorzystuje się podstawową właściwość ułamka.

Spójrzmy na proste przykłady:

W tych przykładach od razu widzimy, jak jeden z ułamków można przekształcić, aby uzyskać równe mianowniki.

Jeśli wyznaczymy sposoby redukcji ułamków do tego samego mianownika, wówczas nazwiemy ten METODA JEDNA.

Oznacza to, że od razu „oszacowując” ułamek musisz dowiedzieć się, czy to podejście zadziała - sprawdzamy, czy większy mianownik jest podzielny przez mniejszy. A jeśli jest podzielny, to przeprowadzamy przekształcenie - mnożymy licznik i mianownik tak, aby mianowniki obu ułamków stały się równe.

Teraz spójrz na te przykłady:

To podejście nie ma dla nich zastosowania. Istnieją również sposoby na sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Rozważmy je.

Metoda DRUGA.

Mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego:

*W rzeczywistości ułamki redukujemy, gdy mianowniki stają się równe. Następnie korzystamy z reguły dodawania ułamków o równych mianownikach.

Przykład:

*Tę metodę można nazwać uniwersalną i zawsze działa. Jedynym minusem jest to, że po obliczeniach może pojawić się ułamek, który trzeba będzie jeszcze zmniejszyć.

Spójrzmy na przykład:

Można zauważyć, że licznik i mianownik są podzielne przez 5:

Metoda trzecia.

Musisz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników. To będzie wspólny mianownik. Co to za numer? Jest to najmniejsza liczba naturalna podzielna przez każdą z tych liczb.

Spójrz, tutaj są dwie liczby: 3 i 4, jest wiele liczb, które są przez nie podzielne - to 12, 24, 36, ... Najmniejsza z nich to 12. Albo 6 i 15, są podzielne przez 30, 60, 90.... Najmniej wynosi 30. Pytanie brzmi - jak wyznaczyć tę najmniejszą wspólną wielokrotność?

Istnieje jasny algorytm, ale często można to zrobić natychmiast, bez obliczeń. Na przykład zgodnie z powyższymi przykładami (3 i 4, 6 i 15) nie jest potrzebny żaden algorytm, wzięliśmy duże liczby (4 i 15), podwoiliśmy je i zobaczyliśmy, że są podzielne przez drugą liczbę, ale pary liczb mogą być inne, na przykład 51 i 119.

Algorytm. Aby określić najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, musisz:

- rozłóż każdą liczbę na PROSTE czynniki

— zapisz rozkład WIĘKSZEGO z nich

- pomnóż go przez BRAKUJĄCE współczynniki innych liczb

Spójrzmy na przykłady:

50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

w rozwinięciu większej liczby jeden brakuje pięciu

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

w rozwinięciu większej liczby brakuje dwóch i trzech

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmniejsza wspólna wielokrotność dwójki liczby pierwsze równy ich produktowi

Pytanie! Dlaczego znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności jest przydatne, skoro możesz skorzystać z drugiej metody i po prostu zmniejszyć powstały ułamek? Tak, jest to możliwe, ale nie zawsze jest to wygodne. Spójrz na mianownik liczb 48 i 72, jeśli po prostu je pomnożysz 48∙72 = 3456. Zgodzisz się, że przyjemniej jest pracować z mniejszymi liczbami.

Spójrzmy na przykłady:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

w rozwinięciu większej liczby brakuje trójki

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Teraz zastosujmy pierwszą metodę:

*Spójrz na różnicę w obliczeniach, w pierwszym przypadku jest ich minimum, ale w drugim musisz pracować osobno na kartce papieru, a nawet otrzymaną ułamek należy zmniejszyć. Znalezienie LOC znacznie upraszcza pracę.

Więcej przykładów:

*W drugim przykładzie widać, że najmniejszą liczbą podzielną przez 40 i 60 jest 120.

WYNIK! OGÓLNY ALGORYTM OBLICZENIOWY!

— sprowadzamy ułamki zwykłe do zwykłych, jeśli istnieje część całkowita.

- sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (najpierw sprawdzamy, czy jeden mianownik jest podzielny przez drugi; jeśli jest podzielny, to mnożymy licznik i mianownik tego drugiego ułamka; jeśli nie jest podzielny, postępujemy innymi metodami wskazane powyżej).

- Po otrzymaniu ułamków o równych mianownikach wykonujemy operacje (dodawanie, odejmowanie).

- w razie potrzeby zmniejszamy wynik.

- jeśli to konieczne, wybierz całą część.

2. Iloczyn ułamków.

Zasada jest prosta. Podczas mnożenia ułamków mnożone są ich liczniki i mianowniki:

Przykłady:

Przykłady z ułamkami zwykłymi to jeden z podstawowych elementów matematyki. Jest ich wiele różne typy równania z ułamkami. Poniżej jest szczegółowe instrukcje do rozwiązywania przykładów tego typu.

Jak rozwiązywać przykłady z ułamkami zwykłymi – zasady ogólne

Aby rozwiązać przykłady z ułamkami dowolnego typu, czy to dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie, musisz znać podstawowe zasady:

• Aby dodać wyrażenia ułamkowe o tym samym mianowniku (mianownik to liczba na dole ułamka, licznik na górze), należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
• Aby odjąć drugie wyrażenie ułamkowe (o tym samym mianowniku) od jednego ułamka, należy odjąć ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
• Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, musisz znaleźć najniższy wspólny mianownik.
• Aby znaleźć iloczyn ułamkowy, należy pomnożyć liczniki i mianowniki i, jeśli to możliwe, zmniejszyć.
• Aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez drugi ułamek w odwrotnej kolejności.

Jak rozwiązywać przykłady z ułamkami zwykłymi - praktyka

Zasada 1, przykład 1:

Oblicz 3/4 +1/4.

Zgodnie z Zasadą 1, jeśli dwa (lub więcej) ułamków mają ten sam mianownik, po prostu dodajesz ich liczniki. Otrzymujemy: 3/4 + 1/4 = 4/4. Jeśli ułamek ma ten sam licznik i mianownik, to ułamek będzie równy 1.

Odpowiedź: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Zasada 2, przykład 1:

Oblicz: 3/4 – 1/4

Korzystając z reguły nr 2, aby rozwiązać to równanie, należy odjąć 1 od 3 i pozostawić mianownik bez zmian. Dostajemy 2/4. Ponieważ dwa 2 i 4 można zmniejszyć, zmniejszamy i otrzymujemy 1/2.

Odpowiedź: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Zasada 3, przykład 1

Oblicz: 3/4 + 1/6

Rozwiązanie: Korzystając z trzeciej reguły, znajdujemy najniższy wspólny mianownik. Najmniejszym wspólnym mianownikiem jest liczba podzielna przez mianowniki wszystkich wyrażeń ułamkowych w przykładzie. Musimy zatem znaleźć minimalną liczbę, która będzie podzielna zarówno przez 4, jak i 6. Ta liczba to 12. Zapisujemy 12 jako mianownik. Dzielimy 12 przez mianownik pierwszego ułamka, otrzymujemy 3, mnożymy przez 3, piszemy. 3 w liczniku *3 i znak +. Dzielimy 12 przez mianownik drugiego ułamka, otrzymujemy 2, mnożymy 2 przez 1, w liczniku zapisujemy 2*1. Otrzymujemy więc nowy ułamek o mianowniku równym 12 i liczniku równym 3*3+2*1=11. 11/12.

Odpowiedź: 11/12

Zasada 3, przykład 2:

Oblicz 3/4 – 1/6. Ten przykład jest bardzo podobny do poprzedniego. Wykonujemy wszystkie te same kroki, ale w liczniku zamiast znaku + piszemy znak minus. Otrzymujemy: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Odpowiedź: 7/12

Zasada 4, przykład 1:

Oblicz: 3/4 * 1/4

Korzystając z czwartej reguły, mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, a licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego. 3*1/4*4 = 3/16.

Odpowiedź: 3/16

Zasada 4, przykład 2:

Oblicz 2/5 * 10/4.

Ułamek ten można zmniejszyć. W przypadku iloczynu licznik pierwszego ułamka i mianownik drugiego oraz licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka są anulowane.

2 anuluje z 4. 10 anuluje z 5. Otrzymujemy 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Odpowiedź: 2/5 * 10/4 = 1

Zasada 5, przykład 1:

Oblicz: 3/4: 5/6

Stosując piątą zasadę, otrzymujemy: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Zmniejszamy ułamek zgodnie z zasadą z poprzedniego przykładu i otrzymujemy 9/10.

Odpowiedź: 9/10.

Jak rozwiązywać przykłady z ułamkami - równania ułamkowe

Równania ułamkowe to przykłady, w których mianownik zawiera niewiadomą. Aby rozwiązać takie równanie, musisz zastosować pewne zasady.

Spójrzmy na przykład:

Rozwiąż równanie 15/3x+5 = 3

Pamiętajmy, że nie można dzielić przez zero, tzn. wartość mianownika nie może wynosić zero. Rozwiązując takie przykłady, należy to wskazać. W tym celu istnieje OA (dopuszczalny zakres wartości).

Zatem 3x+5 ≠ 0.
Stąd: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Przy x = 5/3 równanie po prostu nie ma rozwiązania.

Po wskazaniu ODZ, w najlepszy możliwy sposób Rozwiązanie tego równania pozbędzie się ułamków. Aby to zrobić, najpierw wyobraźmy sobie wszystko wartości ułamkowe w postaci ułamka, w tym przypadku liczby 3. Otrzymujemy: 15/(3x+5) = 3/1. Aby pozbyć się ułamków, musisz pomnożyć każdy z nich przez najniższy wspólny mianownik. W tym przypadku będzie to (3x+5)*1. Kolejność działań:

1. Pomnóż 15/(3x+5) przez (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Otwórz nawiasy: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. To samo robimy z prawą stroną równania: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Przyrównaj lewą i prawą stronę: 45x + 75 = 9x +15
5. Przesuń X w lewo, cyfry w prawo: 36x = – 50
6. Znajdź x: x = -50/36.
7. Zmniejszamy: -50/36 = -25/18

Odpowiedź: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Jak rozwiązywać przykłady z ułamkami - nierówności ułamkowe

Nierówności ułamkowe typu (3x-5)/(2-x)≥0 rozwiązuje się za pomocą osi liczbowej. Spójrzmy na ten przykład.

Kolejność działań:

• Przyrównujemy licznik i mianownik do zera: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Rysujemy oś liczbową, zapisując na niej wynikowe wartości.
• Narysuj okrąg pod wartością. Istnieją dwa rodzaje okręgów – wypełnione i puste. Oznacza to wypełnione kółko podana wartość wchodzi w zakres rozwiązań. Puste kółko wskazuje, że ta wartość nie jest uwzględniona w obszarze rozwiązania.
• Ponieważ mianownik nie może być równy zero, pod drugą liczbą będzie puste kółko.

• Aby określić znaki, podstawiamy do równania dowolną liczbę większą niż dwa, na przykład 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. wartość jest ujemna, co oznacza, że ​​po dwójce zapisujemy minus nad obszarem. Następnie podstaw za X dowolną wartość z przedziału od 5/3 do 2, na przykład 1. Wartość znowu jest ujemna. Piszemy minus. To samo powtarzamy z obszarem znajdującym się do 5/3. Zastępujemy dowolną liczbę mniejszą niż 5/3, na przykład 1. Znowu minus.

• Ponieważ interesują nas wartości x, przy których wyrażenie będzie większe lub równe 0, a takich wartości nie ma (wszędzie są minusy), to nierówność ta nie ma rozwiązania, czyli x = Ø (zestaw pusty).

Odpowiedź: x = Ø

W tym artykule omówiono operacje na ułamkach. Zostaną utworzone i wyjustowane zasady dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia lub potęgowania ułamków w postaci A B, gdzie A i B mogą być liczbami, wyrażeniami numerycznymi lub wyrażeniami ze zmiennymi. Na zakończenie rozważone zostaną przykłady rozwiązań wraz ze szczegółowymi opisami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zasady wykonywania operacji na ogólnych ułamkach liczbowych

Ułamki numeryczne widok ogólny mieć licznik i mianownik, w którym są liczby naturalne lub wyrażenia numeryczne. Jeśli weźmiemy pod uwagę ułamki takie jak 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, to jasne jest, że licznik i mianownik mogą mieć nie tylko liczby, ale także wyrażenia różnego typu.

Definicja 1

Istnieją zasady, według których przeprowadzane są operacje na ułamkach zwykłych. Nadaje się również do ułamków ogólnych:

• Podczas odejmowania ułamków o podobnych mianownikach dodawane są tylko liczniki, a mianownik pozostaje taki sam, a mianowicie: a d ± c d = a ± c d, wartości a, ci d ≠ 0 to niektóre liczby lub wyrażenia numeryczne.
• Dodając lub odejmując ułamek o różnych mianownikach, należy go sprowadzić do wspólnego mianownika, a następnie dodać lub odjąć powstałe ułamki o tych samych wykładnikach. Dosłownie wygląda to tak: a b ± c d = a · p ± c · r s, gdzie wartości a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 są liczbami rzeczywistymi, oraz b · p = re · r = s . Gdy p = d i r = b, to a b ± c d = a · d ± c · re b · d.
• Przy mnożeniu ułamków czynność wykonujemy z licznikami, a następnie z mianownikami, wówczas otrzymujemy a b · c d = a · c b · d, gdzie a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 zachowują się jak liczby rzeczywiste.
• Dzieląc ułamek przez ułamek, mnożymy pierwszy przez drugą odwrotność, czyli zamieniamy licznik i mianownik: a b: c d = a b · d c.

Uzasadnienie zasad

Definicja 2

Istnieją następujące punkty matematyczne, na których należy polegać podczas obliczeń:

• ukośnik oznacza znak podziału;
• dzielenie przez liczbę traktowane jest jako mnożenie przez jej odwrotność;
• zastosowanie własności operacji na liczbach rzeczywistych;
• zastosowanie podstawowych własności ułamków zwykłych i nierówności numerycznych.

Za ich pomocą można wykonać przekształcenia postaci:

za re ± do d = a · re - 1 ± do · d - 1 = a ± do · re - 1 = a ± do re ; a b ± do d = a · p b · p ± do · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± do · r s ; a b · do d = a · re b · re · b · c b · d = a · re · a · d - 1 · b · do · b · d - 1 = = a · re · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · re · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · do b · d

Przykłady

W poprzednim akapicie zostało powiedziane o operacjach na ułamkach zwykłych. Następnie należy uprościć ułamek. Temat ten został szczegółowo omówiony w akapicie poświęconym przeliczaniu ułamków zwykłych.

Najpierw spójrzmy na przykład dodawania i odejmowania ułamków o tym samym mianowniku.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę ułamki 8 2, 7 i 1 2, 7, to zgodnie z regułą należy dodać licznik i przepisać mianownik.

Rozwiązanie

Następnie otrzymujemy ułamek postaci 8 + 1 2, 7. Po wykonaniu dodawania otrzymujemy ułamek postaci 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Oznacza to 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Odpowiedź: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Jest inne rozwiązanie. Na początek przechodzimy do postaci ułamka zwykłego, po czym dokonujemy uproszczenia. Wygląda to tak:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Przykład 2

Odejmijmy od 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 ułamek postaci 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Ponieważ podane są równe mianowniki, oznacza to, że obliczamy ułamek o tym samym mianowniku. Rozumiemy to

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Istnieją przykłady obliczania ułamków o różnych mianownikach. Ważnym punktem jest sprowadzenie do wspólnego mianownika. Bez tego nie będziemy mogli wykonywać dalszych operacji na ułamkach.

Proces ten niejasno przypomina redukcję do wspólnego mianownika. Oznacza to, że szukany jest najmniejszy wspólny dzielnik w mianowniku, po czym brakujące czynniki są dodawane do ułamków.

Jeśli dodawane frakcje nie mają wspólnych czynników, wówczas ich produkt może stać się jednym.

Przykład 3

Spójrzmy na przykład dodawania ułamków 2 3 5 + 1 i 1 2.

Rozwiązanie

W tym przypadku wspólnym mianownikiem jest iloczyn mianowników. Wtedy otrzymamy 2 · 3 5 + 1. Następnie przy ustalaniu dodatkowych współczynników mamy, że dla pierwszego ułamka jest to 2, a dla drugiego 3 5 + 1. Po pomnożeniu ułamki sprowadza się do postaci 4 2 · 3 5 + 1. Ogólna redukcja 1 2 wyniesie 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Dodajemy powstałe wyrażenia ułamkowe i otrzymujemy to

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Odpowiedź: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kiedy mamy do czynienia z ułamkami ogólnymi, wówczas zwykle nie mówimy o najniższym wspólnym mianowniku. Nieopłacalne jest przyjmowanie iloczynu liczników jako mianownika. Najpierw musisz sprawdzić, czy istnieje liczba o mniejszej wartości niż ich produkt.

Przykład 4

Rozważmy przykład 1 6 · 2 1 5 i 1 4 · 2 3 5, gdy ich iloczyn jest równy 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Następnie bierzemy 12 · 2 3 5 jako wspólny mianownik.

Spójrzmy na przykłady mnożenia ułamków ogólnych.

Przykład 5

Aby to zrobić, musisz pomnożyć 2 + 1 6 i 2 · 5 3 · 2 + 1.

Rozwiązanie

Zgodnie z zasadą należy przepisać i zapisać iloczyn liczników jako mianownik. Otrzymujemy, że 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Po pomnożeniu ułamka możesz dokonać redukcji, aby go uprościć. Następnie 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Korzystając z reguły przejścia od dzielenia do mnożenia przez ułamek odwrotny, otrzymujemy ułamek będący odwrotnością podanego. W tym celu zamieniamy licznik i mianownik. Spójrzmy na przykład:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Następnie muszą pomnożyć i uprościć powstały ułamek. Jeśli to konieczne, pozbądź się irracjonalności w mianowniku. Rozumiemy to

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Odpowiedź: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Niniejszy ustęp ma zastosowanie, gdy liczba lub wyrażenie numeryczne można przedstawić jako ułamek o mianowniku równym 1, wówczas rozważa się działanie z takim ułamkiem oddzielny element. Na przykład wyrażenie 1 6 · 7 4 - 1 · 3 pokazuje, że pierwiastek z 3 można zastąpić innym wyrażeniem 3 1. Wtedy ten wpis będzie wyglądał jak pomnożenie dwóch ułamków postaci 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Wykonywanie operacji na ułamkach zawierających zmienne

Zasady omówione w pierwszym artykule mają zastosowanie do operacji na ułamkach zawierających zmienne. Rozważ zasadę odejmowania, gdy mianowniki są takie same.

Należy udowodnić, że A, C i D (D nie jest równy zeru) może być dowolnym wyrażeniem, a równość A D ± C D = A ± C D jest równoważna zakresowi dopuszczalnych wartości.

Konieczne jest pobranie zestawu zmiennych ODZ. Następnie A, C, D muszą przyjąć odpowiednie wartości a 0 , c 0 i d 0. Podstawienie postaci A D ± C D skutkuje różnicą postaci a 0 d 0 ± c 0 d 0 , gdzie korzystając z reguły dodawania otrzymujemy wzór w postaci a 0 ± c 0 d 0 . Jeśli zastąpimy wyrażenie A ± C D, otrzymamy ten sam ułamek postaci a 0 ± c 0 d 0. Stąd wnioskujemy, że wybrane wartości spełniające ODZ, A ± C D i A D ± C D uważa się za równe.

Dla dowolnej wartości zmiennych wyrażenia te będą równe, to znaczy nazywane są identycznie równymi. Oznacza to, że wyrażenie to uważa się za dającą się udowodnić równość postaci A D ± C D = A ± C D .

Przykłady dodawania i odejmowania ułamków zwykłych ze zmiennymi

Jeśli masz takie same mianowniki, wystarczy dodać lub odjąć liczniki. Ułamek ten można uprościć. Czasami trzeba pracować z ułamkami, które są identycznie równe, ale na pierwszy rzut oka nie jest to zauważalne, ponieważ należy wykonać pewne przekształcenia. Na przykład x 2 3 x 1 3 + 1 i x 1 3 + 1 2 lub 1 2 sin 2 α i sin a cos a. Najczęściej wymagane jest uproszczenie pierwotnego wyrażenia, aby zobaczyć te same mianowniki.

Przykład 6

Oblicz: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Rozwiązanie

1. Aby dokonać obliczeń, należy odjąć ułamki o tym samym mianowniku. Wtedy otrzymujemy, że x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Następnie możesz rozwinąć nawiasy i dodać podobne terminy. Otrzymujemy, że x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Ponieważ mianowniki są takie same, pozostaje tylko dodać liczniki, pozostawiając mianownik: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Dodawanie zostało zakończone. Widać, że możliwe jest zmniejszenie ułamka. Jego licznik można złożyć korzystając ze wzoru na kwadrat sumy i otrzymamy (l g x + 2) 2 ze skróconych wzorów na mnożenie. Wtedy to zrozumiemy
   l sol 2 x + 4 + 2 l sol x x (l sol x + 2) = (l sol x + 2) 2 x (l sol x + 2) = l sol x + 2 x
3. Dane ułamki postaci x - 1 x - 1 + x x + 1 o różnych mianownikach. Po przekształceniu można przejść do dodawania.

Rozważmy dwojakie rozwiązanie.

Pierwsza metoda polega na rozłożeniu mianownika pierwszego ułamka na czynniki za pomocą kwadratów, a następnie jego redukcji. Otrzymujemy ułamek formy

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Zatem x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

W takim przypadku konieczne jest pozbycie się irracjonalności w mianowniku.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Druga metoda polega na pomnożeniu licznika i mianownika drugiego ułamka przez wyrażenie x - 1. W ten sposób pozbywamy się irracjonalności i przechodzimy do dodawania ułamków o tym samym mianowniku. Następnie

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Odpowiedź: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l sol x + 2) = l sol x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

W ostatnim przykładzie odkryliśmy, że redukcja do wspólnego mianownika jest nieunikniona. Aby to zrobić, musisz uprościć ułamki zwykłe. Dodając lub odejmując zawsze trzeba szukać wspólnego mianownika, który wygląda jak iloczyn mianowników z dodatkowymi czynnikami dodanymi do liczników.

Przykład 7

Oblicz wartości ułamków: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Rozwiązanie

1. Mianownik nie wymaga skomplikowanych obliczeń, dlatego należy wybrać ich iloczyn w postaci 3 x 7 + 2 · 2, następnie wybrać x 7 + 2 · 2 dla pierwszego ułamka jako dodatkowy współczynnik, a 3 dla drugiego. Mnożąc otrzymujemy ułamek postaci x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Widać, że mianowniki są przedstawione w postaci iloczynu, co oznacza, że ​​dodatkowe przekształcenia są niepotrzebne. Za wspólny mianownik uznamy iloczyn postaci x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Stąd x 4 jest dodatkowym czynnikiem do pierwszego ułamka, oraz ln(x + 1) do drugiego. Następnie odejmujemy i otrzymujemy:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - grzech x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - grzech x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - grzech x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - grzech x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Ten przykład ma sens podczas pracy z mianownikami ułamków zwykłych. Konieczne jest zastosowanie wzorów na różnicę kwadratów i kwadrat sumy, gdyż umożliwią one przejście do wyrażenia w postaci 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Można zauważyć, że ułamki sprowadza się do wspólnego mianownika. Otrzymujemy, że cos x - x · cos x + x 2 .

Wtedy to zrozumiemy

1 sałata 2 x - x + 1 sałata 2 x + 2 sałata x x + x = = 1 sałata x - x sałata x + x + 1 sałata x + x 2 = = sałata x + x sałata x - x sałata x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Odpowiedź:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - grzech x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - grzech x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 sałata 2 x - x + 1 sałata 2 x + 2 · sałata x · x + x = 2 · sałata x sałata x - x · sałata x + x 2 .

Przykłady mnożenia ułamków zwykłych przez zmienne

Przy mnożeniu ułamków licznik mnoży się przez licznik, a mianownik przez mianownik. Następnie możesz zastosować właściwość redukcji.

Przykład 8

Pomnóż ułamki x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 i 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Rozwiązanie

Należy wykonać mnożenie. Rozumiemy to

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 grzech (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 grzech (2 x - x)

Dla wygody obliczeń liczbę 3 przesuwa się na pierwsze miejsce, a ułamek można zmniejszyć o x 2, wówczas otrzymujemy wyrażenie postaci

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 grzech (2 x - x)

Odpowiedź: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 grzech (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · grzech (2 · x - x) .

Dział

Dzielenie ułamków jest podobne do mnożenia, ponieważ pierwszy ułamek jest mnożony przez drugą odwrotność. Jeśli weźmiemy na przykład ułamek x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 i podzielimy przez 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, to można to zapisać jako

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 grzech (2 · x - x) , następnie zamień na iloczyn postaci x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 grzech (2 x - x)

Potęgowanie

Przejdźmy do rozważania operacji na ułamkach ogólnych z potęgowaniem. Jeśli masz dyplom z naturalny wskaźnik, wówczas działanie traktuje się jako mnożenie równych ułamków. Zaleca się jednak stosowanie ogólnego podejścia opartego na właściwościach stopni. Dowolne wyrażenia A i C, gdzie C nie jest identyczne równe zero, oraz dowolne rzeczywiste r na ODZ dla wyrażenia w postaci A C r, równość A C r = A r C r jest ważna. Wynikiem jest ułamek podniesiony do potęgi. Rozważmy na przykład:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procedura wykonywania operacji na ułamkach

Operacje na ułamkach wykonywane są według określonych zasad. W praktyce zauważamy, że wyrażenie może zawierać kilka ułamków lub wyrażeń ułamkowych. Następnie należy wykonać wszystkie czynności w ścisłej kolejności: podnieść do potęgi, pomnożyć, podzielić, a następnie dodać i odjąć. Jeżeli występują nawiasy, to w nich wykonywana jest pierwsza akcja.

Przykład 9

Oblicz 1 - x cos x - 1 co o s x · 1 + 1 x .

Rozwiązanie

Ponieważ mamy ten sam mianownik, to 1 - x cos x i 1 cos x, ale odejmowania nie można wykonać zgodnie z regułą; najpierw wykonywane są działania w nawiasach, potem mnożenie, a następnie dodawanie. Następnie po obliczeniu otrzymamy to

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Podstawiając wyrażenie do pierwotnego, otrzymujemy, że 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Przy mnożeniu ułamków mamy: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Po dokonaniu wszystkich podstawień otrzymujemy 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Teraz musisz pracować z ułamkami, które mają różne mianowniki. Otrzymujemy:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Odpowiedź: 1 - x cos x - 1 do o s x · 1 + 1 x = - x + 1 sałata x · x .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter