Instrukcje

10, 30, 90, 270...

Musisz znaleźć mianownik postępu geometrycznego.
Rozwiązanie:

Opcja 1. Weźmy dowolny wyraz progresji (na przykład 90) i podzielmy go przez poprzedni (30): 90/30=3.

Jeżeli znana jest suma kilku wyrazów postępu geometrycznego lub suma wszystkich wyrazów malejącego postępu geometrycznego, to aby znaleźć mianownik postępu, należy skorzystać z odpowiednich wzorów:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdzie Sn jest sumą n pierwszych wyrazów postępu geometrycznego i
S = b1/(1-q), gdzie S jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego (suma wszystkich wyrazów ciągu o mianowniku mniejszym niż jeden).
Przykład.

Pierwszy wyraz malejącego postępu geometrycznego jest równy jeden, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa dwa.

Konieczne jest określenie mianownika tej progresji.
Rozwiązanie:

Zastąp dane z zadania do wzoru. Okaże się:
2=1/(1-q), skąd – q=1/2.

Postęp to ciąg liczb. W postępie geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy poprzez pomnożenie poprzedniego przez pewną liczbę q, zwaną mianownikiem ciągu.

Instrukcje

Jeżeli znane są dwa sąsiadujące ze sobą wyrazy geometryczne b(n+1) i b(n), to aby otrzymać mianownik, należy liczbę z większą liczbą podzielić przez poprzedzającą ją: q=b(n+1)/b (N). Wynika to z definicji progresji i jej mianownika. Ważny warunek jest nierównością pierwszego wyrazu i mianownikiem progresji do zera, w przeciwnym razie uważa się ją za nieokreśloną.

Zatem pomiędzy wyrazami ciągu zachodzą zależności: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Korzystając ze wzoru b(n)=b1 q^(n-1) można obliczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego, w którym znany jest mianownik q i wyraz b1. Ponadto każdy z postępów ma moduł równy średniej sąsiednich elementów: |b(n)|=√, czyli tam, gdzie progresja uzyskała swoje .

Najprostszy jest analogia postępu geometrycznego funkcja wykładnicza y=a^x, gdzie x jest wykładnikiem, a jest określoną liczbą. W tym przypadku mianownik progresji pokrywa się z pierwszym terminem i równa liczbie A. Wartość funkcji y można rozumieć jako n-ty termin progresja, jeśli przyjmiemy, że argument x jest liczba naturalna n (licznik).

Istnieje dla sumy n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ta formuła obowiązuje dla q≠1. Jeżeli q=1, to sumę pierwszych n wyrazów oblicza się ze wzoru S(n)=n b1. Nawiasem mówiąc, postęp będzie nazywany rosnącym, gdy q jest większe niż jeden, a b1 jest dodatnie. Jeżeli mianownik progresji nie przekracza jedności w wartości bezwzględnej, progresję nazwiemy malejącą.

Szczególnym przypadkiem postępu geometrycznego jest nieskończenie malejący postęp geometryczny (skończenie malejący postęp geometryczny). Faktem jest, że wyrazy malejącego postępu geometrycznego będą się stale zmniejszać, ale nigdy nie osiągną zera. Mimo to możliwe jest znalezienie sumy wszystkich wyrazów takiej progresji. Wyznacza się to wzorem S=b1/(1-q). Całkowita liczba terminów n jest nieskończona.

Aby wyobrazić sobie, jak można dodać nieskończoną liczbę liczb bez uzyskiwania nieskończoności, upiecz ciasto. Odetnij połowę. Następnie odetnij 1/2 połowy i tak dalej. Kawałki, które otrzymasz, to nic innego jak elementy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego o mianowniku 1/2. Jeśli dodasz wszystkie te kawałki, otrzymasz oryginalne ciasto.

Zadania z geometrii to szczególny rodzaj ćwiczeń, który wymaga myślenia przestrzennego. Jeśli nie potrafisz rozwiązać zadania geometrycznego zadanie, spróbuj zastosować się do poniższych zasad.

Instrukcje

Przeczytaj bardzo uważnie warunki zadania, jeśli czegoś nie pamiętasz lub nie rozumiesz, przeczytaj jeszcze raz.

Spróbuj określić jakiego rodzaju są to problemy geometryczne, np.: obliczeniowe, gdy trzeba znaleźć jakąś wielkość, problemy polegające na łańcuch logiczny rozumowanie, zadania konstrukcyjne przy użyciu kompasu i linijki. Więcej zadań typ mieszany. Kiedy już określisz rodzaj problemu, spróbuj myśleć logicznie.

Zastosuj niezbędne twierdzenie do danego zadania, ale jeśli masz wątpliwości lub w ogóle nie ma opcji, spróbuj zapamiętać teorię, którą studiowałeś na dany temat.

Zapisz także rozwiązanie problemu w formie roboczej. Spróbuj aplikować znane metody sprawdzenie słuszności swojej decyzji.

Wypełnij starannie rozwiązanie problemu w swoim notatniku, bez wymazywania i przekreślania, a co najważniejsze - rozwiązanie pierwszych problemów geometrycznych może wymagać czasu i wysiłku. Jednak gdy tylko opanujesz ten proces, zaczniesz klikać zadania takie jak orzechy, ciesząc się tym!

Postęp geometryczny jest ciągiem liczb b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), takim, że b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)= b (n-1)*q, b1≠0, q≠0. Innymi słowy, każdy wyraz ciągu uzyskuje się z poprzedniego, mnożąc go przez jakiś niezerowy mianownik postępu q.

Instrukcje

Problemy progresji rozwiązuje się najczęściej poprzez ułożenie, a następnie śledzenie układu względem pierwszego wyrazu progresji b1 i mianownika progresji q. Do tworzenia równań warto zapamiętać niektóre wzory.

Jak wyrazić n-ty wyraz progresji poprzez pierwszy wyraz progresji i mianownik progresji: b(n)=b1*q^(n-1).

Rozważmy osobno przypadek |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

SEKWENCJE NUMERYCZNE VI

§ l48. Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego

Do tej pory, mówiąc o sumach, zawsze zakładaliśmy, że liczba wyrazów w tych sumach jest skończona (na przykład 2, 15, 1000 itd.). Ale rozwiązując niektóre problemy (zwłaszcza wyższą matematykę) trzeba mieć do czynienia z sumami nieskończonej liczby terminów

S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)

Jakie to kwoty? Z definicji suma nieskończonej liczby wyrazów A 1 , A 2 , ..., A N , ... nazywa się granicą sumy S N Pierwszy N liczby kiedy N -> ∞ :

S=S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)

Granica (2) oczywiście może istnieć lub nie. W związku z tym mówią, że suma (1) istnieje lub nie istnieje.

Jak możemy sprawdzić, czy suma (1) istnieje w każdym konkretnym przypadku? Rozwiązanie ogólne Zagadnienie to wykracza daleko poza zakres naszego programu. Istnieje jednak jeden ważny, szczególny przypadek, który musimy teraz rozważyć. Porozmawiamy o sumowaniu wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.

Pozwalać A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2, ... jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Oznacza to, że | Q |< 1. Сумма первых N warunki tej progresji są równe

Z podstawowych twierdzeń o granicach zmiennych (patrz § 136) otrzymujemy:

Ale 1 = 1, a qn = 0. Dlatego

Zatem suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego jest równa pierwszemu wyrazowi tego postępu podzielonemu przez jeden minus mianownik tego postępu.

1) Suma postępu geometrycznego 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... jest równa

a suma postępu geometrycznego wynosi 12; -6; 3; - 3/2 , ... równe

2) Zamień prosty ułamek okresowy 0,454545 ... na zwykły.

Aby rozwiązać ten problem, wyobraźmy sobie ten ułamek jako nieskończoną sumę:

Prawa strona tej równości jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy 45/100, a mianownik to 1/100. Dlatego

Można to również uzyskać stosując opisaną metodę ogólna zasada konwersja prostych ułamków okresowych na zwykłe (patrz rozdział II, § 38):

Aby zamienić prosty ułamek okresowy na ułamek zwykły, wykonaj następujące czynności: wstaw kropkę do licznika dziesiętny, a mianownikiem jest liczba składająca się z dziewiątek, pobrana tyle razy, ile jest cyfr w okresie ułamka dziesiętnego.

3) Zamień mieszany ułamek okresowy 0,58333 .... na ułamek zwykły.

Wyobraźmy sobie ten ułamek jako nieskończoną sumę:

Po prawej stronie tej równości wszystkie wyrazy, zaczynając od 3/1000, tworzą nieskończenie malejący postęp geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 3/1000, a mianownik to 1/10. Dlatego

Stosując opisaną metodę, można otrzymać ogólną zasadę przeliczania mieszanych ułamków okresowych na ułamki zwykłe (patrz rozdział II, § 38). Celowo go tutaj nie prezentujemy. Nie ma potrzeby pamiętać o tej kłopotliwej regule. O wiele bardziej przydatna jest wiedza, że ​​dowolny mieszany ułamek okresowy można przedstawić jako sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego i określonej liczby. I formuła

dla sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, musisz oczywiście pamiętać.

W ramach ćwiczenia sugerujemy, aby oprócz problemów nr 995-1000 podanych poniżej, ponownie zająć się problemem nr 301 § 38.

Ćwiczenia

995. Co nazywa się sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego?

996. Znajdź sumy nieskończenie malejących postępów geometrycznych:

997. Przy jakich wartościach X postęp

czy to maleje w nieskończoność? Znajdź sumę takiego postępu.

998. W trójkącie równobocznym z bokiem A wpisano nowy trójkąt łącząc środki jego boków; w ten sam sposób wpisuje się nowy trójkąt i tak w nieskończoność.

a) suma obwodów wszystkich tych trójkątów;

b) sumę ich pól.

999. Kwadrat z bokiem A wpisano nowy kwadrat, łącząc środki jego boków; w ten sam kwadrat wpisano kwadrat i tak w nieskończoność. Znajdź sumę obwodów wszystkich tych kwadratów i sumę ich pól.

1000. Ułóż nieskończenie malejący postęp geometryczny tak, aby jego suma była równa 25/4, a suma kwadratów jego wyrazów była równa 625/24.

Lekcja i prezentacja na temat: „Ciągi liczbowe. Postęp geometryczny”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 9
Potęgi i pierwiastki Funkcje i wykresy

Kochani dzisiaj poznamy kolejny rodzaj progresji.
Tematem dzisiejszej lekcji jest postęp geometryczny.

Postęp geometryczny

Definicja. Ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy iloczynowi poprzedniego, a pewna ustalona liczba, nazywa się postępem geometrycznym.
Zdefiniujmy nasz ciąg rekurencyjnie: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
gdzie b i q są pewnymi danymi liczbowymi. Liczba q nazywana jest mianownikiem postępu.

Przykład. 1,2,4,8,16... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy jeden i $q=2$.

Przykład. 8,8,8,8... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy osiem,
i $q=1$.

Przykład. 3,-3,3,-3,3... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy trzy,
i $q=-1$.

Postęp geometryczny ma właściwości monotonii.
Jeśli $b_(1)>0$, $q>1$,
wówczas ciąg jest rosnący.
Jeśli $b_(1)>0$, $0 Sekwencja jest zwykle oznaczana w postaci: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Podobnie jak w postęp arytmetyczny, jeżeli w postępie geometrycznym liczba elementów jest skończona, to postęp ten nazywamy skończonym postępem geometrycznym.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Należy zauważyć, że jeśli ciąg jest postępem geometrycznym, to ciąg kwadratów wyrazów również jest postępem geometrycznym. W drugim ciągu pierwszy wyraz jest równy $b_(1)^2$, a mianownik jest równy $q^2$.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Postęp geometryczny można również określić w formie analitycznej. Zobaczmy, jak to zrobić:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Łatwo zauważamy wzór: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Nasz wzór nazywa się „wzórem n-tego wyrazu postępu geometrycznego”.

Wróćmy do naszych przykładów.

Przykład. 1,2,4,8,16... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy jeden,
i $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Przykład. 16,8,4,2,1,1/2… Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy szesnastu i $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Przykład. 8,8,8,8... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy osiem, a $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Przykład. 3,-3,3,-3,3... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy trzy i $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Przykład. Biorąc pod uwagę postęp geometryczny $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Wiadomo, że $b_(1)=6, q=3$. Znajdź $b_(5)$.
b) Wiadomo, że $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Znajdź n.
c) Wiadomo, że $q=-2, b_(6)=96$. Znajdź $b_(1)$.
d) Wiadomo, że $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Znajdź q.

Rozwiązanie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, ponieważ $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Przykład. Różnica między siódmym i piątym wyrazem postępu geometrycznego wynosi 192, suma piątego i szóstego wyrazu postępu wynosi 192. Znajdź dziesiąty wyraz tego postępu.

Rozwiązanie.
Wiemy, że: $b_(7)-b_(5)=192$ i $b_(5)+b_(6)=192$.
Wiemy również: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Następnie:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Otrzymaliśmy układ równań:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Porównując nasze równania otrzymujemy:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Mamy dwa rozwiązania q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Podstaw kolejno do drugiego równania:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ brak rozwiązań.
Mamy to: $b_(1)=4, q=2$.
Znajdźmy dziesiąty wyraz: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Suma skończonego postępu geometrycznego

Załóżmy, że mamy skończony postęp geometryczny. Obliczmy, podobnie jak w przypadku postępu arytmetycznego, sumę jego wyrazów.

Niech dany będzie skończony postęp geometryczny: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Wprowadźmy oznaczenie sumy jej wyrazów: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
W przypadku gdy $q=1$. Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są równe pierwszemu członowi, to jest oczywiste, że $S_(n)=n*b_(1)$.
Rozważmy teraz przypadek $q≠1$.
Pomnóżmy powyższą kwotę przez q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notatka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Otrzymaliśmy wzór na sumę skończonego postępu geometrycznego.

Przykład.
Znajdź sumę pierwszych siedmiu wyrazów postępu geometrycznego, którego pierwszy wyraz to 4, a mianownik to 3.

Rozwiązanie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Przykład.
Znajdź piąty wyraz znanego ciągu geometrycznego: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Rozwiązanie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365q-1365=1024q-1$.
341 kw. = 1364 USD.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakterystyczna właściwość postępu geometrycznego

Chłopaki, podany jest postęp geometryczny. Przyjrzyjmy się jego trzem kolejnym członom: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Wiemy, że:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Następnie:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jeśli postęp jest skończony, to równość obowiązuje dla wszystkich terminów z wyjątkiem pierwszego i ostatniego.
Jeżeli nie wiadomo z góry jaką formę ma ten ciąg, ale wiadomo, że: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Wtedy śmiało możemy powiedzieć, że jest to postęp geometryczny.

Ciąg liczb jest postępem geometrycznym tylko wtedy, gdy kwadrat każdego elementu jest równy iloczynowi dwóch sąsiadujących elementów ciągu. Nie zapominaj, że dla skończonego postępu warunek ten nie jest spełniony dla pierwszego i ostatniego wyrazu.

Przyjrzyjmy się tej tożsamości: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ nazywa się średnią geometryczną liczb a i b.

Moduł dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego jest równy średniej geometrycznej dwóch sąsiednich wyrazów.

Przykład.
Znajdź x takie, że $x+2; 2x+2; 3x+3$ to trzy kolejne wyrazy postępu geometrycznego.

Rozwiązanie.
Skorzystajmy z charakterystycznej właściwości:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ i $x_(2)=-1$.
Zastąpmy kolejno nasze rozwiązania pierwotnym wyrażeniem:
Przy $x=2$ otrzymaliśmy ciąg: 4;6;9 – postęp geometryczny przy $q=1,5$.
Dla $x=-1$ otrzymujemy ciąg: 1;0;0.
Odpowiedź: $x=2.$

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź ósmy pierwszy wyraz postępu geometrycznego 16;-8;4;-2….
2. Znajdź dziesiąty wyraz postępu geometrycznego 11,22,44….
3. Wiadomo, że $b_(1)=5, q=3$. Znajdź $b_(7)$.
4. Wiadomo, że $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Znajdź n.
5. Znajdź sumę pierwszych 11 wyrazów postępu geometrycznego 3;12;48….
6. Znajdź x takie, że $3x+4; 2x+4; x+5$ to trzy kolejne wyrazy postępu geometrycznego.

Niektóre problemy fizyki i matematyki można rozwiązać, korzystając z właściwości szeregów liczbowych. Dwa najprostsze ciągi liczbowe, których uczy się w szkołach, to ciągi algebraiczne i geometryczne. W tym artykule przyjrzymy się bliżej pytaniu, jak znaleźć sumę nieskończonego malejącego postępu geometrycznego.

Postęp geometryczny

Słowa te oznaczają ciąg liczb rzeczywistych, których elementy a i spełniają wyrażenie:

Tutaj i jest numerem elementu w szeregu, r jest stałą liczbą zwaną mianownikiem.

Definicja ta pokazuje, że znając dowolny element ciągu i jego mianownik, można przywrócić cały ciąg liczb. Na przykład, jeśli znany jest 10. element, to podzielenie go przez r spowoduje otrzymanie 9. elementu, a następnie ponowne podzielenie go spowoduje otrzymanie 8. elementu i tak dalej. Te proste argumenty pozwalają nam zapisać wyrażenie, które jest ważne dla rozważanego szeregu liczb:

Przykładem progresji z mianownikiem 2 może być następujący szereg:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Jeżeli mianownik jest równy -2, wówczas uzyskuje się zupełnie inną serię:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Postęp geometryczny jest znacznie szybszy niż postęp algebraiczny, to znaczy jego wyrazy szybko rosną i szybko maleją.

Suma i warunków progresji

Aby rozwiązać problemy praktyczne, często konieczne jest obliczenie sumy kilku elementów rozważanego ciągu liczbowego. W tym przypadku obowiązuje następujący wzór:

S ja = za 1 *(r i -1)/(r-1)

Widać, że aby obliczyć sumę i wyrazów, trzeba znać tylko dwie liczby: 1 i r, co jest logiczne, ponieważ jednoznacznie określają cały ciąg.

Ciąg malejący i suma jego wyrazów

Przyjrzyjmy się teraz szczególnemu przypadkowi. Zakładamy, że moduł mianownika r nie przekracza jedności, czyli -1

Malejący postęp geometryczny jest interesujący do rozważenia, ponieważ nieskończona suma jego wyrazów dąży do skończonej liczby rzeczywistej.

Obliczmy wzór na sumę. Można to łatwo zrobić, jeśli zapiszemy wyrażenie na S i podane w poprzednim akapicie. Mamy:

S ja = za 1 *(r i -1)/(r-1)

Rozważmy przypadek, gdy i->∞. Ponieważ moduł mianownika jest mniejszy niż 1, podniesienie go do nieskończonej potęgi da zero. Można to sprawdzić na przykładzie r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

W rezultacie suma wyrazów nieskończonego malejącego postępu geometrycznego będzie miała postać:

Wzór ten jest często stosowany w praktyce, na przykład do obliczania pól figur. Służy także do rozwiązania paradoksu Zenona z Elei z żółwiem i Achillesem.

Jest oczywiste, że uwzględnienie sumy nieskończonego postępu geometrycznego rosnącego (r>1) doprowadzi do wyniku S ∞ = +∞.

Zadanie znalezienia pierwszego wyrazu progresji

Pokażmy, jak zastosować powyższe wzory na przykładzie rozwiązania problemu. Wiadomo, że suma nieskończonego postępu geometrycznego wynosi 11. Co więcej, jego siódmy wyraz jest 6 razy mniejszy niż trzeci wyraz. Jaki jest pierwszy element tego szeregu liczbowego?

Najpierw napiszmy dwa wyrażenia, aby określić siódmy i trzeci element. Otrzymujemy:

Dzieląc pierwsze wyrażenie przez drugie i wyrażając mianownik, mamy:

za 7 /za 3 = r 4 => r = 4 √(za 7 /za 3)

Ponieważ w opisie problemu podany jest stosunek siódmego i trzeciego członu, możesz go zastąpić i znaleźć r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Obliczyliśmy r do pięciu miejsc po przecinku. Ponieważ otrzymana wartość jest mniejsza od jedności, postęp maleje, co uzasadnia zastosowanie wzoru na jej nieskończoną sumę. Zapiszmy wyrażenie na pierwszy wyraz poprzez sumę S ∞:

Zastąp tę formułę znane wartości i otrzymujemy odpowiedź:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Słynny paradoks Zenona z szybkim Achillesem i wolnym żółwiem

Zenon z Elei to słynny grecki filozof żyjący w V wieku p.n.e. mi. Szereg jego apogeum czy paradoksów dotarło do czasów współczesnych, w których formułuje się problem nieskończenie dużego i nieskończenie małego w matematyce.

Jednym ze słynnych paradoksów Zenona jest rywalizacja Achillesa z żółwiem. Zenon wierzył, że jeśli Achilles da żółwiowi przewagę na odległość, nigdy nie będzie w stanie go dogonić. Przykładowo, pozwólmy Achillesowi biec 10 razy szybciej niż pełzające zwierzę, które znajduje się np. 100 metrów przed nim. Kiedy wojownik przebiegnie 100 metrów, żółw odpełza 10 metrów. Po ponownym przebiegnięciu 10 metrów Achilles widzi, że żółw czołga się jeszcze 1 metr. Można tak argumentować w nieskończoność, dystans między konkurentami wprawdzie będzie się zmniejszał, ale żółw zawsze będzie na czele.

Doprowadził Zenona do wniosku, że ruch nie istnieje, a wszystkie otaczające ruchy obiektów są iluzją. Oczywiście starożytny grecki filozof mylił się.

Rozwiązanie paradoksu polega na tym, że nieskończona suma stale malejących segmentów ma tendencję do skończonej liczby. W powyższym przypadku dla dystansu, jaki przebiegł Achilles otrzymujemy:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Stosując wzór na sumę nieskończonego postępu geometrycznego otrzymujemy:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metrów

Wynik ten pokazuje, że Achilles dogoni żółwia, gdy ten przepełznie zaledwie 11,111 m.

Starożytni Grecy nie wiedzieli, jak pracować z ilościami nieskończonymi w matematyce. Paradoks ten można jednak rozwiązać, jeśli zwrócimy uwagę nie na nieskończoną liczbę luk, które Achilles musi pokonać, ale na skończoną liczbę kroków, jakie biegacz musi pokonać, aby osiągnąć swój cel.

Postęp geometryczny, obok postępu arytmetycznego, jest ważnym ciągiem liczbowym, którego uczy się w ramach szkolnego kursu algebry w 9. klasie. W tym artykule przyjrzymy się mianownikowi postępu geometrycznego i temu, jak jego wartość wpływa na jego właściwości.

Definicja postępu geometrycznego

Najpierw podamy definicję tej serii liczb. Taki szereg nazywa się postępem geometrycznym liczby wymierne, który powstaje poprzez kolejne pomnożenie pierwszego elementu przez stałą liczbę zwaną mianownikiem.

Na przykład liczby w szeregu 3, 6, 12, 24, ... są postępem geometrycznym, ponieważ jeśli pomnożysz 3 (pierwszy element) przez 2, otrzymasz 6. Jeśli pomnożysz 6 przez 2, otrzymasz 12 i tak dalej.

Członkowie rozpatrywanego ciągu są zwykle oznaczani symbolem ai, gdzie i jest liczbą całkowitą wskazującą numer elementu w szeregu.

Powyższą definicję progresji można zapisać w języku matematycznym następująco: an = bn-1 * a1, gdzie b jest mianownikiem. Łatwo sprawdzić tę formułę: jeśli n = 1, to b1-1 = 1 i otrzymamy a1 = a1. Jeśli n = 2, to an = b * a1 i ponownie dochodzimy do definicji omawianego ciągu liczb. Podobne rozumowanie można kontynuować dla dużych wartości n.

Mianownik postępu geometrycznego

Liczba b całkowicie określa, jaki charakter będzie miała cała seria liczb. Mianownik b może być dodatni, ujemny, większy lub mniejszy niż jeden. Wszystkie powyższe opcje prowadzą do różnych sekwencji:

• b > 1. Istnieje rosnący szereg liczb wymiernych. Na przykład 1, 2, 4, 8, ... Jeśli element a1 jest ujemny, wówczas cała sekwencja będzie rosła tylko w wartości bezwzględnej, ale będzie maleć w zależności od znaku liczb.
• b = 1. Często ten przypadek nie nazywa się progresją, ponieważ istnieje zwykła seria identycznych liczb wymiernych. Na przykład -4, -4, -4.

Wzór na kwotę

Zanim przejdziemy do rozpatrywania konkretnych problemów przy użyciu mianownika rozpatrywanego rodzaju progresji, należy podać ważny wzór na sumę jej pierwszych n elementów. Wzór wygląda następująco: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Możesz uzyskać to wyrażenie samodzielnie, jeśli weźmiesz pod uwagę rekurencyjną sekwencję terminów progresji. Należy również pamiętać, że w powyższym wzorze wystarczy znać tylko pierwszy element i mianownik, aby znaleźć sumę dowolnej liczby wyrazów.

Sekwencja nieskończenie malejąca

Powyżej podano wyjaśnienie, o co chodzi. Teraz, znając wzór na Sn, zastosujmy go do tego szeregu liczbowego. Ponieważ każda liczba, której moduł nie przekracza 1, dąży do zera, gdy zostanie podniesiona do dużej potęgi, to znaczy b∞ => 0 jeśli -1

Ponieważ różnica (1 - b) będzie zawsze dodatnia, niezależnie od wartości mianownika, znak sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego S∞ jest jednoznacznie określony przez znak jego pierwszego elementu a1.

Przyjrzyjmy się teraz kilku problemom, w których pokażemy, jak zastosować zdobytą wiedzę na konkretnych liczbach.

Zadanie nr 1. Obliczanie nieznanych elementów progresji i sumy

Biorąc pod uwagę postęp geometryczny, mianownik postępu wynosi 2, a jego pierwszy element to 3. Ile będą równe jego siódmy i dziesiąty wyraz i jaka będzie suma jego siedmiu początkowych elementów?

Warunek zadania jest dość prosty i polega na bezpośrednim zastosowaniu powyższych wzorów. Zatem, aby obliczyć numer elementu n, używamy wyrażenia an = bn-1 * a1. Dla 7. elementu mamy: a7 = b6 * a1, podstawiając znane dane otrzymujemy: a7 = 26 * 3 = 192. To samo robimy dla 10. wyrazu: a10 = 29 * 3 = 1536.

Skorzystajmy ze znanego wzoru na sumę i wyznaczmy tę wartość dla pierwszych 7 elementów szeregu. Mamy: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Zadanie nr 2. Wyznaczanie sumy dowolnych elementów progresji

Niech -2 będzie równe mianownikowi postępu geometrycznego bn-1 * 4, gdzie n jest liczbą całkowitą. Konieczne jest określenie sumy od 5. do 10. elementu tego szeregu włącznie.

Postawionego problemu nie można rozwiązać bezpośrednio za pomocą znanych wzorów. Można to rozwiązać za pomocą 2 różnych metod. Aby dopełnić prezentację tematu, przedstawiamy oba.

Metoda 1. Pomysł jest prosty: musisz obliczyć dwie odpowiadające sobie sumy pierwszych wyrazów, a następnie odjąć drugą od jednego. Obliczamy mniejszą ilość: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz obliczmy duża ilość: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Zauważ, że w ostatnie wyrażenie Zsumowano tylko 4 terminy, ponieważ piąty jest już uwzględniony w kwocie, którą należy obliczyć zgodnie z warunkami problemu. Na koniec bierzemy różnicę: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Przed podstawieniem liczb i liczeniem można uzyskać wzór na sumę m i n wyrazów danego szeregu. Postępujemy dokładnie tak samo jak w metodzie 1, tyle że najpierw pracujemy z symbolicznym przedstawieniem kwoty. Mamy: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do wynikowego wyrażenia możesz podstawić znane liczby i obliczyć wynik końcowy: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problem nr 3. Jaki jest mianownik?

Niech a1 = 2, znajdź mianownik postępu geometrycznego, pod warunkiem, że jego nieskończona suma wynosi 3 i wiadomo, że jest to ciąg malejący.

Na podstawie uwarunkowań problemu nietrudno zgadnąć, jaką formułę należy zastosować, aby go rozwiązać. Oczywiście dla sumy postępu nieskończenie malejącego. Mamy: S∞ = a1 / (1 - b). Skąd wyrażamy mianownik: b = 1 - a1 / S∞. Pozostaje zastąpić znane wartości i uzyskać wymaganą liczbę: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 lub -0,333(3). Wynik ten możemy sprawdzić jakościowo, pamiętając, że dla tego typu ciągu moduł b nie powinien przekraczać 1. Jak widać, |-1 / 3|

Zadanie nr 4. Odtworzenie ciągu liczb

Niech zostaną dane 2 elementy ciągu liczbowego, np. 5. jest równy 30, a 10. jest równy 60. Na podstawie tych danych należy zrekonstruować cały szereg wiedząc, że spełnia on własności postępu geometrycznego.

Aby rozwiązać problem, musisz najpierw zapisać odpowiednie wyrażenie dla każdego znanego terminu. Mamy: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Teraz podziel drugie wyrażenie przez pierwsze, otrzymamy: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Stąd wyznaczamy mianownik, biorąc piąty pierwiastek ze stosunku terminów znanych ze stwierdzenia problemu, b = 1,148698. Otrzymaną liczbę podstawiamy do jednego z wyrażeń znanego elementu, otrzymujemy: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

W ten sposób znaleźliśmy mianownik postępu bn i postępu geometrycznego bn-1 * 17,2304966 = an, gdzie b = 1,148698.

Gdzie stosuje się progresje geometryczne?

Gdyby nie było praktycznego zastosowania tej serii liczb, wówczas jej badanie sprowadzałoby się do zainteresowań czysto teoretycznych. Ale taka aplikacja istnieje.

Poniżej znajdują się 3 najbardziej znane przykłady:

• Paradoks Zenona, w którym zwinny Achilles nie może dogonić powolnego żółwia, rozwiązuje się za pomocą koncepcji nieskończenie malejącej sekwencji liczb.
• Jeśli umieścisz ziarna pszenicy na każdym polu szachownicy w taki sposób, że na pierwszym polu umieścisz 1 ziarno, na drugim - 2, na trzecim - 3 itd., to aby wypełnić wszystkie pola szachownicy, będziesz potrzebować 18446744073709551615 ziaren!
• W grze „Wieża Hanoi” aby przenieść dyski z jednego pręta na drugi, należy wykonać operacje 2n - 1, czyli ich liczba rośnie wykładniczo wraz z liczbą n użytych dysków.