Ogólny wyraz ciągu to $u_n=n^2$. Podstawiając $n=1$, otrzymujemy:
$$ u_1=1^2=1. $$
Jest to pierwszy wyraz ciągu. Podstawiając $n=2$ do $u_n=n^2$, otrzymujemy drugi wyraz ciągu:
$$ u_2=2^2=4. $$
Jeśli podstawimy $n=3$, otrzymamy trzeci wyraz ciągu:
$$ u_3=3^2=9. $$
W ten sam sposób znajdujemy czwarty, piąty, szósty i inne wyrazy ciągu. W ten sposób otrzymujemy odpowiednie liczby:
$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$
Warto także pamiętać o wyrazach ciągu $u_n=n^3$. Oto kilku pierwszych członków:
\begin(równanie)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(równanie)
Ponadto, aby utworzyć wyraz ogólny szeregu, często stosuje się ciąg $u_n=n!$, którego kilka pierwszych wyrazów wygląda następująco:
\begin(równanie)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(równanie)
Nagrywanie „n!” (czytaj „en silnia”) oznacza iloczyn wszystkiego liczby naturalne od 1 do n, tj.
$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$
Z definicji przyjmuje się, że $0!=1!=1$. Na przykład znajdźmy 5!:
$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$
Często stosuje się także postępy arytmetyczne i geometryczne. Jeżeli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy $a_1$, a różnica jest równa $d$, to ogólny wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się według wzoru:
\begin(równanie)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(równanie)
Co to jest postęp arytmetyczny? Pokaż ukryj
Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między wyrazami następnym i poprzednim jest stała. Ta stała różnica nazywa się różnica w progresji
$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$
Należy pamiętać, że niezależnie od tego, jaką parę sąsiadujących elementów weźmiemy, różnica między kolejnymi i poprzednimi członami będzie zawsze stała i równa 7:
\begin(wyrównane) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(wyrównane)
Numer ten, tj. 7 i istnieje różnica w progresji. Zwykle oznacza się go literą $d$, tj. $d=7$. Pierwszym elementem progresji jest $a_1=3$. Ogólny wyraz tej progresji zapisujemy za pomocą wzoru. Podstawiając do niego $a_1=3$ i $d=7$, otrzymamy:
$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$
Dla przejrzystości użyjmy wzoru $a_n=7n-4$, aby znaleźć kilka pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
\begin(aligned) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(wyrównane)
Podstawiając dowolną wartość liczby $n$ do wzoru $a_n=7n-4$, można otrzymać dowolny element ciągu arytmetycznego.
Warto również zwrócić uwagę na postęp geometryczny. Jeżeli pierwszy wyraz ciągu jest równy $b_1$, a mianownik jest równy $q$, to ogólny wyraz postępu geometrycznego wyraża się wzorem:
\begin(równanie)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(równanie)
Co się stało postęp geometryczny? Pokaż ukryj
Postęp geometryczny to ciąg liczb, w którym związek między kolejnymi i poprzednimi wyrazami jest stały. Ta stała relacja nazywa się mianownik progresji. Rozważmy na przykład następującą sekwencję:
$6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$
Należy pamiętać, że niezależnie od tego, jaką parę sąsiadujących elementów weźmiemy, stosunek kolejnego do poprzedniego będzie zawsze stały i równy 3:
\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(wyrównane)
Numer ten, tj. 3 jest mianownikiem progresji. Zwykle oznacza się go literą $q$, tj. $q=3$. Pierwszym elementem progresji jest $b_1=6$. Ogólny wyraz tej progresji zapisujemy za pomocą wzoru. Podstawiając do niego $b_1=6$ i $q=3$, otrzymamy:
$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$
Dla przejrzystości użyjmy wzoru $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, aby znaleźć kilka pierwszych wyrazów postępu geometrycznego:
\begin(aligned) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(wyrównane)
Podstawiając dowolną wartość liczby $n$ do wzoru $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, można otrzymać dowolny wyraz postępu geometrycznego.
We wszystkich poniższych przykładach członkowie szeregu będziemy oznaczać literami $u_1$ (pierwszy członek szeregu), $u_2$ (drugi członek szeregu) i tak dalej. Notacja $u_n$ będzie oznaczać wspólny wyraz szeregu.
Przykład nr 1
Znajdź wspólny wyraz ciągu $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.
Istotą takich zadań jest dostrzeżenie schematu, który jest nieodłączny od pierwszych członków serii. I na podstawie tego wzoru wyciągnij wniosek na temat typu wspólnego członka. Co oznacza wyrażenie „znajdź wspólny termin”? Oznacza to, że należy znaleźć takie wyrażenie, podstawiając $n=1$, w które otrzymamy pierwszy wyraz szeregu, czyli: $\frac(1)(7)$; Podstawiając $n=2$ otrzymujemy drugi wyraz szeregu, tj. $\frac(2)(9)$; Podstawiając $n=3$ otrzymujemy trzeci wyraz szeregu, tj. $\frac(3)(11)$ i tak dalej. Znamy pierwsze cztery wyrazy ciągu:
$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$
Działajmy stopniowo. Wszyscy znani nam członkowie szeregu są ułamkami, zatem rozsądne jest założenie, że wspólny człon szeregu jest również reprezentowany przez ułamek:
$$ u_n=\frac(?)(?) $$
Naszym zadaniem jest dowiedzieć się, co kryje się pod znakami zapytania w liczniku i mianowniku. Najpierw spójrzmy na licznik. Licznikami znanych nam członków szeregu są liczby 1, 2, 3 i 4. Zauważ, że liczba każdego członka szeregu jest równa licznikowi. Pierwszy wyraz ma licznik jeden, drugi dwa, trzeci trzy, a czwarty cztery.
Logiczne jest założenie, że n-ty wyraz będzie miał w liczniku $n$:
$$ u_n=\frac(n)(?) $$
Swoją drogą, możemy dojść do tego wniosku w inny sposób, bardziej formalnie. Jaki jest ciąg 1, 2, 3, 4? Zauważ, że każdy kolejny element tej sekwencji jest o 1 większy od poprzedniego. Mamy do czynienia z czterema wyrazami ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz wynosi $a_1=1$, a różnica wynosi $d=1$. Korzystając ze wzoru otrzymujemy wyrażenie na ogólny wyraz progresji:
$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$
Zatem zgadywanie lub formalne obliczenia są kwestią gustu. Najważniejsze jest to, że zapisaliśmy licznik wspólnego wyrazu serii. Przejdźmy do mianownika.
W mianownikach mamy ciąg 7, 9, 11, 13. Są to cztery wyrazy ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz jest równy $b_1=7$, a różnica wynosi $d=2$. Ogólny wyraz progresji znajdujemy za pomocą wzoru:
$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$
Powstałe wyrażenie, tj. $2n+5$ i będzie mianownikiem wspólnego wyrazu szeregu. Więc:
$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$
Otrzymuje się ogólny wyraz szeregu. Sprawdźmy, czy znaleziony wzór $u_n=\frac(n)(2n+5)$ nadaje się do obliczenia znanych już wyrazów szeregu. Znajdźmy terminy $u_1$, $u_2$, $u_3$ i $u_4$, korzystając ze wzoru $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Wyniki muszą oczywiście pokrywać się z pierwszymi czterema wyrazami szeregu danego nam przez warunek.
$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$
Zgadza się, wyniki są takie same. Szereg określony w warunku można teraz zapisać w następującej postaci: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Ogólny wyraz szeregu ma postać $u_n=\frac(n)(2n+5)$.
$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\lddotków $$
Czy taki serial nie ma prawa istnieć? Nadal tak jest. I dla tej serii możemy to napisać
$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$
Można napisać kolejną kontynuację. Na przykład to:
$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$
I taka kontynuacja nie zaprzecza niczemu. W tym przypadku możemy to napisać
$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$
Jeśli dwie pierwsze opcje wydawały Ci się zbyt formalne, zaproponuję trzecią. Zapiszmy wspólny termin w następujący sposób:
$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$
Obliczmy pierwsze cztery wyrazy szeregu, korzystając z proponowanego ogólnego wzoru na wyrazy:
\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(wyrównane)
Jak widać, zaproponowana formuła terminu ogólnego jest całkiem poprawna. I możesz wymyślić nieskończoną liczbę takich odmian, ich liczba jest nieograniczona. W standardowe przykłady jest oczywiście używany standardowy zestaw pewne znane sekwencje (postępy, stopnie, silnia itp.). Jednak przy takich zadaniach zawsze istnieje niepewność i warto o tym pamiętać.
We wszystkich kolejnych przykładach ta dwuznaczność nie będzie określona. Zdecydujemy przy użyciu standardowych metod, które są akceptowane w większości książek problemowych.
Odpowiedź: wspólny wyraz szeregu: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.
Przykład nr 2
Zapisz wyraz wspólny szeregu $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.
Znamy pięć pierwszych wyrazów ciągu:
$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$
Wszystkie znane nam wyrazy szeregu są ułamkami, co oznacza, że wspólnego wyrazu szeregu będziemy szukać w postaci ułamka zwykłego:
$$ u_n=\frac(?)(?). $$
Od razu zwróćmy uwagę na licznik. Wszystkie liczniki zawierają jednostki, dlatego licznik wspólnego wyrazu szeregu będzie również zawierał jedynkę, tj.
$$ u_n=\frac(1)(?). $$
Spójrzmy teraz na mianownik. Mianowniki pierwszych wyrazów znanego nam ciągu zawierają iloczyny liczb: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Pierwsza z tych liczb to: 1, 3, 5, 7, 9. Ciąg ten ma pierwszy wyraz $a_1=1$, a każdy kolejny otrzymujemy z poprzedniego przez dodanie liczby $d=2$. Innymi słowy, jest to pięć pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, którego ogólny wyraz można zapisać za pomocą wzoru:
$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$
W iloczynach $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ drugie liczby to: 5, 8, 11, 14, 17. Są to elementy ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz wynosi $b_1=5$, a mianownik $d=3$. Ogólny wyraz tej progresji zapisujemy za pomocą tego samego wzoru:
$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$
Połączmy wyniki. Iloczyn w mianowniku wspólnego wyrazu szeregu to: $(2n-1)(3n+2)$. A ogólny termin samego szeregu ma następującą postać:
$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$
Aby sprawdzić uzyskany wynik, skorzystajmy ze wzoru $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ na znalezienie pierwszych czterech wyrazów znanego szeregu:
\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end(wyrównane)
Zatem wzór $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ pozwala dokładnie obliczyć wyrazy szeregu znane z warunku. W razie potrzeby dany szereg można zapisać w następujący sposób:
$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$
Odpowiedź: wspólny wyraz szeregu: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.
Będziemy kontynuować ten temat w drugiej i trzeciej części.
Wiele osób słyszało o postępie arytmetycznym, ale nie każdy ma dobre pojęcie o tym, czym jest. W tym artykule podamy odpowiednią definicję, a także rozważymy pytanie, jak znaleźć różnicę postępu arytmetycznego i podamy szereg przykładów.
Definicja matematyczna
Więc jeśli mówimy o o postępie arytmetycznym lub algebraicznym (pojęcia te definiują to samo), oznacza to, że istnieje pewien szereg liczbowy, który spełnia następujące prawo: każde dwie sąsiednie liczby w szeregu różnią się o tę samą wartość. Matematycznie jest to zapisane w ten sposób:
Tutaj n oznacza numer elementu a n w ciągu, a liczba d jest różnicą postępu (jej nazwa wynika z przedstawionego wzoru).
Co oznacza znajomość różnicy d? O tym, jak „daleko” są od siebie sąsiednie liczby. Jednakże znajomość d jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym do ustalenia (przywrócenia) całej progresji. Musisz znać jeszcze jedną liczbę, która może być absolutnie dowolnym elementem rozważanego szeregu, na przykład 4, a10, ale z reguły używana jest pierwsza liczba, czyli 1.
Wzory na wyznaczanie elementów progresji
Generalnie powyższe informacje są już wystarczające, aby przejść do rozwiązywania konkretnych problemów. Zanim jednak zostanie podany postęp arytmetyczny, a konieczne będzie znalezienie jego różnicy, przedstawimy kilka przydatnych wzorów, ułatwiających w ten sposób dalszy proces rozwiązywania problemów.
Łatwo pokazać, że dowolny element ciągu o numerze n można znaleźć w następujący sposób:
za n = za 1 + (n - 1) * re
Rzeczywiście każdy może sprawdzić ten wzór za pomocą prostego wyszukiwania: jeśli podstawisz n = 1, otrzymasz pierwszy element, jeśli podstawisz n = 2, wówczas wyrażenie poda sumę pierwszej liczby i różnicę i tak dalej.
Warunki wielu problemów są tak skonstruowane, że mając znaną parę liczb, której liczby również podane są w ciągu, trzeba zrekonstruować cały szereg liczbowy (znaleźć różnicę i pierwszy element). Teraz rozwiążemy ten problem w ogólna perspektywa.
Niech więc zostaną dane dwa elementy o liczbach n i m. Korzystając ze wzoru otrzymanego powyżej, można utworzyć układ dwóch równań:
za n = za 1 + (n - 1) * re;
za m = za 1 + (m - 1) * re
Aby znaleźć nieznane ilości, zastosujemy dobrze znaną prostą technikę rozwiązania takiego układu: odejmij parami lewą i prawą stronę, równość pozostanie ważna. Mamy:
za n = za 1 + (n - 1) * re;
za n - za m = (n - 1) * re - (m - 1) * d = d * (n - m)
Zatem wykluczyliśmy jedną niewiadomą (a 1). Teraz możemy napisać końcowe wyrażenie określające d:
d = (a n - a m) / (n - m), gdzie n > m
Otrzymaliśmy bardzo prosty wzór: aby obliczyć różnicę d zgodnie z warunkami zadania, wystarczy przyjąć stosunek różnic między samymi elementami i ich numerami seryjnymi. Warto zwrócić uwagę na jedno ważny punkt uwaga: różnice uwzględniane są pomiędzy „najwyższymi” i „najniższymi” członkami, czyli n > m („najwyższy” oznacza ten położony dalej od początku ciągu, jego wartość bezwzględna może być większa lub mniejsza od element „młodszy”).
Wyrażenie na różnicę d postępu należy na początku rozwiązania zadania podstawić do dowolnego równania, aby otrzymać wartość pierwszego wyrazu.
W dobie rozwoju technologii komputerowej wiele uczniów próbuje znaleźć rozwiązania swoich zadań w Internecie, dlatego często pojawiają się pytania tego typu: znajdź różnicę w postępie arytmetycznym online. Na takie żądanie wyszukiwarka zwróci szereg stron internetowych, przechodząc do których konieczne będzie wprowadzenie danych znanych z warunku (mogą to być albo dwa terminy progresji, albo suma określonej ich liczby ) i natychmiast otrzymaj odpowiedź. Niemniej jednak takie podejście do rozwiązania problemu jest bezproduktywne z punktu widzenia rozwoju ucznia i zrozumienia istoty powierzonego mu zadania.
Rozwiązanie bez użycia wzorów
Rozwiążmy pierwsze zadanie nie korzystając z żadnego z podanych wzorów. Niech będą dane elementy szeregu: a6 = 3, a9 = 18. Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego.
Znane elementy są blisko siebie w rzędzie. Ile razy należy dodać różnicę d do najmniejszej, aby otrzymać największą? Trzy razy (za pierwszym razem dodając d otrzymamy element 7, za drugim razem - ósmy, a na koniec za trzecim razem - dziewiąty). Jaką liczbę należy dodać trzy razy do trzech, aby otrzymać 18? To jest liczba pięć. Naprawdę:
Zatem nieznana różnica d = 5.
Oczywiście rozwiązanie można było przeprowadzić stosując odpowiednią formułę, ale nie zrobiono tego celowo. Szczegółowe wyjaśnienie rozwiązanie problemu powinno stać się jasne i świecący przykład Co to jest postęp arytmetyczny?
Zadanie podobne do poprzedniego
Rozwiążmy teraz podobny problem, ale zmieńmy dane wejściowe. Zatem powinieneś znaleźć, czy a3 = 2, a9 = 19.
Oczywiście możesz ponownie zastosować metodę rozwiązania „z głową”. Ponieważ jednak podano elementy szeregu, które są od siebie stosunkowo oddalone, metoda ta nie będzie do końca wygodna. Ale użycie otrzymanej formuły szybko doprowadzi nas do odpowiedzi:
d = (za 9 - za 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Tutaj zaokrągliliśmy ostateczny numer. Stopień, w jakim to zaokrąglenie doprowadziło do błędu, można ocenić sprawdzając wynik:
za 9 = za 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Wynik ten różni się jedynie o 0,1% od wartości podanej w warunku. Dlatego też zaokrąglenie zastosowane do setnych części można uznać za udany wybór.
Problemy ze stosowaniem wzoru na wyraz
Rozważmy klasyczny przykład zadania polegające na wyznaczeniu niewiadomej d: znajdź różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli a1 = 12, a5 = 40.
Gdy dane są dwie liczby o nieznanym ciągu algebraicznym i jedna z nich jest elementem a 1, to nie trzeba długo zastanawiać się, tylko należy od razu zastosować wzór na wyraz a n. W w tym przypadku mamy:
za 5 = za 1 + re * (5 - 1) => d = (za 5 - za 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Dokładną liczbę otrzymaliśmy przy dzieleniu, więc nie ma sensu sprawdzać poprawności obliczonego wyniku, jak to zrobiono w poprzednim akapicie.
Rozwiążmy inny podobny problem: musimy znaleźć różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli a1 = 16, a8 = 37.
Stosujemy podejście podobne do poprzedniego i otrzymujemy:
za 8 = za 1 + re * (8 - 1) => re = (za 8 - za 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Co jeszcze warto wiedzieć o postępie arytmetycznym?
Oprócz problemów ze znalezieniem nieznanej różnicy lub poszczególne elementy, często konieczne jest rozwiązanie problemów sumy pierwszych wyrazów ciągu. Omówienie tych zadań wykracza jednak poza zakres artykułu, jednak dla kompletności prezentowanych informacji ogólna formuła dla sumy n liczb w szeregu:
∑ n ja = 1 (za ja) = n * (za 1 + za n) / 2
Co główny punkt formuły?
Ta formuła pozwala znaleźć każdy PRZEZ JEGO NUMER” N" .
Oczywiście trzeba także znać pierwszy termin 1 i różnica w progresji D no cóż, bez tych parametrów nie da się zapisać konkretnej progresji.
Zapamiętywanie (lub powtarzanie) tej formuły nie wystarczy. Musisz zrozumieć jego istotę i zastosować formułę w różnych problemach. I nie zapomnij wejść odpowiedni moment, ale jak nie zapomnij- Nie wiem. I tu jak pamiętać W razie potrzeby na pewno Ci doradzę. Dla tych, którzy ukończą lekcję do końca.)
Przyjrzyjmy się zatem wzorowi na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Czym ogólnie jest formuła? Swoją drogą, spójrz, jeśli nie czytałeś. Wszystko jest tam proste. Pozostaje dowiedzieć się, co to jest n-ty termin.
Postęp ogólnie można zapisać jako ciąg liczb:
1, 2, 3, 4, 5,.....
1- oznacza pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, 3- trzeci członek, 4- czwarty i tak dalej. Jeśli jesteśmy zainteresowani piątą kadencją, powiedzmy, że współpracujemy 5, jeśli sto dwudziesty - s 120.
Jak możemy to ogólnie zdefiniować? każdy wyraz postępu arytmetycznego, z każdy numer? Bardzo prosta! Lubię to:
jakiś
To jest to n-ty wyraz postępu arytmetycznego. Litera n ukrywa wszystkie numery elementów jednocześnie: 1, 2, 3, 4 i tak dalej.
A co nam daje taki zapis? Pomyśl tylko, zamiast numeru napisali list...
Notacja ta daje nam potężne narzędzie do pracy z postępem arytmetycznym. Używając notacji jakiś, możemy szybko znaleźć każdy członek każdy postęp arytmetyczny. I rozwiąż kilka innych problemów z postępem. Zobaczysz sam dalej.
We wzorze na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
| za n = za 1 + (n-1)d |
1- pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego;
N- numer członkowski.
Formuła łączy kluczowe parametry każdej progresji: jakiś ; 1; D I N. Wszystkie problemy z progresją skupiają się wokół tych parametrów.
Formuły na n-ty wyraz można również użyć do zapisania określonej progresji. Na przykład problem może mówić, że postęp jest określony przez warunek:
za n = 5 + (n-1) 2.
Taki problem może być ślepym zaułkiem... Nie ma tu ani serii, ani różnicy... Ale porównując warunek ze wzorem, łatwo zrozumieć, że w tym przebiegu a 1 = 5 i d = 2.
A może być jeszcze gorzej!) Jeśli przyjmiemy ten sam warunek: za n = 5 + (n-1) 2, Tak, otwórz nawiasy i podaj podobne? Dostajemy Nowa formuła:
zan = 3 + 2n.
Ten Tylko nie ogólnie, ale dla konkretnego postępu. Tu właśnie czai się pułapka. Niektórzy uważają, że pierwszym wyrazem jest trójka. Chociaż w rzeczywistości pierwszy wyraz to pięć... Nieco niżej będziemy pracować z tak zmodyfikowaną formułą.
W problemach progresji istnieje inny zapis - n+1. Jest to, jak się domyślacie, termin „n plus pierwszy” w progresji. Jego znaczenie jest proste i nieszkodliwe.) Jest to element postępu, którego liczba jest większa niż liczba n o jeden. Na przykład, jeśli w jakimś problemie podejmiemy jakiś zatem piąta kadencja n+1 będzie szóstym członkiem. Itp.
Najczęściej oznaczenie n+1 można znaleźć we wzorach powtarzania. Nie bój się tego straszne słowo!) To jest po prostu sposób wyrażenia elementu ciągu arytmetycznego przez poprzedni. Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny w tej formie, korzystając ze wzoru rekurencyjnego:
za n+1 = za n +3
za 2 = za 1 + 3 = 5+3 = 8
za 3 = za 2 + 3 = 8+3 = 11
Czwarty - przez trzeci, piąty - przez czwarty i tak dalej. Jak możemy od razu policzyć, powiedzmy, dwudziesty termin? 20? Ale nie ma mowy!) Dopóki nie poznamy 19-tego członu, nie możemy policzyć 20-tego. To jest to zasadnicza różnica wzór powtarzalny ze wzoru na n-ty wyraz. Powtarzanie działa tylko poprzez poprzedni termin i formuła n-tego wyrazu jest skończona Pierwszy i pozwala od razu znajdź dowolnego członka według jego numeru. Bez obliczania całej serii liczb w kolejności.
W postępie arytmetycznym łatwo jest zamienić powtarzającą się formułę na zwykłą. Policz parę kolejnych wyrazów, oblicz różnicę D, znajdź, jeśli to konieczne, pierwszy wyraz 1, wpisz formułę w zwykłej formie i pracuj z nią. W Państwowej Akademii Nauk z takimi zadaniami spotyka się często.
Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Najpierw spójrzmy bezpośrednie zastosowanie formuły. Pod koniec poprzedniej lekcji pojawił się problem:
Dany jest postęp arytmetyczny (an). Znajdź 121, jeśli a 1 = 3 i d = 1/6.
Problem ten można rozwiązać bez żadnych wzorów, po prostu w oparciu o znaczenie ciągu arytmetycznego. Dodawaj i dodawaj... Godzinę lub dwie.)
I zgodnie ze wzorem rozwiązanie zajmie mniej niż minutę. Możesz to ustalić w czasie.) Zdecydujmy.
Warunki dostarczają wszystkich danych pozwalających na użycie wzoru: a1 =3, d=1/6. Pozostaje dowiedzieć się, co jest równe N. Bez problemu! Musimy znaleźć 121. Więc piszemy:
Proszę uważać! Zamiast indeksu N pojawiła się konkretna liczba: 121. Co jest całkiem logiczne.) Nas interesuje człon ciągu arytmetycznego numer sto dwadzieścia jeden. To będzie nasze N. Takie jest znaczenie N= 121 podstawimy w dalszej części wzoru, w nawiasach. Podstawiamy wszystkie liczby do wzoru i obliczamy:
za 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Otóż to. Równie szybko można było znaleźć pięćset dziesiąty wyraz i tysiąc trzeci dowolny. Umieściliśmy zamiast tego N żądany numer w indeksie listu „ A" i w nawiasach, i liczymy.
Przypomnę ci o co chodzi: ta formuła pozwala ci znaleźć każdy wyraz postępu arytmetycznego PRZEZ JEGO NUMER” N" .
Rozwiążmy problem w bardziej przebiegły sposób. Natkniemy się na następujący problem:
Znajdź pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an), jeśli a 17 =-2; d=-0,5.
Jeśli będziesz miał jakieś trudności, powiem ci pierwszy krok. Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego! Tak tak. Zapisz rękami bezpośrednio w zeszycie:
| za n = za 1 + (n-1)d |
A teraz, patrząc na litery wzoru, rozumiemy, jakie dane mamy, a jakich brakuje? Dostępny d=-0,5, jest siedemnasty członek... To wszystko? Jeśli myślisz, że to wszystko, to nie rozwiążesz problemu, tak…
Nadal mamy numer N! W stanie a 17 = -2 ukryty dwa parametry. Jest to zarówno wartość siedemnastego wyrazu (-2), jak i jego liczba (17). Te. n=17. Często ten „błahostka” prześlizguje się przez głowę i bez niej (bez „drobiazgu”, a nie głowy!) problemu nie da się rozwiązać. Chociaż... i też bez głowy.)
Teraz możemy po prostu głupio podstawić nasze dane do wzoru:
za 17 = za 1 + (17-1)·(-0,5)
O tak, 17 wiemy, że jest -2. OK, zamieńmy:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
To w zasadzie wszystko. Pozostaje wyrazić pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego ze wzoru i go obliczyć. Odpowiedź będzie brzmiała: 1 = 6.
Technika ta – zapisanie wzoru i po prostu podstawienie znanych danych – jest bardzo pomocna w prostych zadaniach. No cóż, oczywiście trzeba umieć wyrazić zmienną ze wzoru, ale co zrobić!? Bez tej umiejętności możesz w ogóle nie uczyć się matematyki...
Kolejna popularna łamigłówka:
Znajdź różnicę postępu arytmetycznego (an), jeśli a 1 =2; 15 = 12.
Co my robimy? Będziesz zaskoczony, piszemy formułę!)
| za n = za 1 + (n-1)d |
Zastanówmy się, co wiemy: a1 =2; a15=12; i (szczególnie podkreślę!) n=15. Zapraszam do podstawienia tego do wzoru:
12=2 + (15-1)d
Wykonujemy arytmetykę.)
12=2 + 14d
D=10/14 = 5/7
To jest poprawna odpowiedź.
A więc zadania dla n, 1 I D zdecydowany. Pozostaje tylko dowiedzieć się, jak znaleźć liczbę:
Liczba 99 należy do ciągu arytmetycznego (an), gdzie a 1 = 12; d=3. Znajdź numer tego członka.
Podstawiamy znane nam wielkości do wzoru na n-ty wyraz:
za n = 12 + (n-1) 3
Na pierwszy rzut oka są tu dwie nieznane wielkości: i n. Ale jakiś- to jest jakiś element progresji z liczbą N...I znamy tego członka progresji! Jest 99. Nie znamy jego numeru. N, Więc ten numer jest tym, co musisz znaleźć. Podstawiamy wyraz progresji 99 do wzoru:
99 = 12 + (n-1) 3
Wyrażamy ze wzoru N, myślimy. Otrzymujemy odpowiedź: n=30.
A teraz problem na ten sam temat, ale bardziej kreatywny):
Ustal, czy liczba 117 należy do ciągu arytmetycznego (an):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Napiszmy formułę jeszcze raz. Co, nie ma parametrów? Hm... Po co nam oczy?) Czy widzimy pierwszy wyraz progresji? Widzimy. To jest -3,6. Możesz spokojnie napisać: a 1 = -3,6. Różnica D Czy potrafisz to rozpoznać po serialu? To proste, jeśli wiesz, jaka jest różnica w ciągu arytmetycznym:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Zrobiliśmy więc najprostszą rzecz. Pozostaje uporać się z nieznanym numerem N i niezrozumiałą liczbę 117. W poprzednim zadaniu przynajmniej było wiadomo, że podano wyraz ciągu progresji. Ale tutaj nawet nie wiemy... Co robić!? No cóż, co robić, co robić... Włączcie Umiejętności twórcze!)
My przypuszczaćże numer 117 jest przecież członkiem naszego postępu. Z nieznanym numerem N. I tak jak w poprzednim zadaniu spróbujmy znaleźć tę liczbę. Te. piszemy wzór (tak, tak!)) i podstawiamy nasze liczby:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Ponownie wyrażamy ze wzoruN, liczymy i otrzymujemy:
Ups! Okazało się, że jest to numer frakcyjny! Sto jeden i pół. Oraz liczby ułamkowe w progresji nie może być. Jaki wniosek możemy wyciągnąć? Tak! Numer 117 nie jest członek naszego postępu. Jest gdzieś pomiędzy sto pierwszym a sto drugim terminem. Jeśli liczba okazała się naturalna, tj. jest dodatnią liczbą całkowitą, wówczas liczba ta będzie częścią progresji ze znalezioną liczbą. W naszym przypadku odpowiedzią na problem będzie: NIE.
Zadanie oparte na prawdziwej wersji GIA:
Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek:
zan = -4 + 6,8n
Znajdź pierwszy i dziesiąty wyraz progresji.
Tutaj progresja jest osadzona w niecodzienny sposób. Jakaś formuła... Zdarza się.) Jednak ta formuła (jak pisałem powyżej) - także wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego! Ona też pozwala znajdź dowolnego członka progresji według jego numeru.
Poszukujemy pierwszego członka. Ten, który myśli. że pierwszym wyrazem jest minus cztery, jest to fatalny błąd!) Ponieważ formuła w zadaniu została zmodyfikowana. Pierwszy wyraz postępu arytmetycznego w nim ukryty. W porządku, teraz go znajdziemy.)
Podobnie jak w poprzednich zadaniach, podstawiamy n=1 V tę formułę:
za 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Tutaj! Pierwszy wyraz to 2,8, a nie -4!
W ten sam sposób szukamy dziesiątego wyrazu:
za 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Otóż to.
A teraz dla tych, którzy przeczytali te linijki, obiecany bonus.)
Załóżmy, że w trudnej sytuacji bojowej egzaminu państwowego lub jednolitego egzaminu państwowego zapomniałeś przydatnego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Coś pamiętam, ale jakoś niepewnie... Or N tam, lub n+1 lub n-1... Jak być!?
Spokój! Wzór ten jest łatwy do wyprowadzenia. Nie jest to zbyt rygorystyczne, ale na pewno wystarczy do pewności i podjęcia właściwej decyzji!) Aby wyciągnąć wnioski, wystarczy przypomnieć sobie elementarne znaczenie ciągu arytmetycznego i mieć kilka minut czasu. Musisz tylko narysować obraz. Dla jasności.
Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej pierwszą z nich. drugi, trzeci itd. członkowie. I zauważamy różnicę D pomiędzy członkami. Lubię to:
Patrzymy na zdjęcie i myślimy: co oznacza drugi wyraz? Drugi jeden D:
A 2 = 1 + 1 D
Jaki jest trzeci termin? Trzeci wyraz równa się pierwszemu wyrazowi plus dwa D.
A 3 = 1 + 2 D
Rozumiesz? Nie bez powodu podkreślam niektóre słowa pogrubioną czcionką. OK, jeszcze jeden krok).
Jaki jest czwarty termin? Czwarty wyraz równa się pierwszemu wyrazowi plus trzy D.
A 4 = 1 + 3 D
Czas zdać sobie sprawę, że ilość luk, tj. D, Zawsze o jeden mniej niż liczba szukanego członka N. To znaczy do numeru n, liczba spacji będzie n-1. Zatem formuła będzie (bez zmian!):
| za n = za 1 + (n-1)d |
Ogólnie rzecz biorąc, obrazy wizualne są bardzo pomocne w rozwiązywaniu wielu problemów matematycznych. Nie zaniedbuj zdjęć. Ale jeśli trudno jest narysować obraz, to... tylko formuła!) Ponadto formuła n-tego członu pozwala połączyć z rozwiązaniem cały potężny arsenał matematyki - równania, nierówności, układy itp. Nie możesz wstawić obrazu do równania...
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
Rozgrzać się:
1. W postępie arytmetycznym (an) a 2 =3; a 5 = 5,1. Znajdź 3.
Wskazówka: według obrazka problem można rozwiązać w 20 sekund... Według wzoru okazuje się to trudniejsze. Ale do opanowania formuły jest to bardziej przydatne.) W sekcji 555 problem ten został rozwiązany zarówno za pomocą obrazu, jak i wzoru. Poczuj różnicę!)
I to już nie jest rozgrzewka.)
2. W postępie arytmetycznym (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Znajdź 3 .
Co, nie chcesz rysować?) Oczywiście! Lepiej według wzoru, tak...
3. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek:a1 = -5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sto dwudziesty piąty wyraz tego postępu.
W tym zadaniu progresja jest określona w sposób powtarzalny. Ale licząc do stu dwudziestego piątego wyrazu... Nie każdy może dokonać takiego wyczynu.) Ale wzór na n-ty wyraz jest w zasięgu każdego!
4. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Znajdź numer najmniejszego dodatniego wyrazu progresji.
5. Zgodnie z warunkami zadania 4 znajdź sumę najmniejszych dodatnich i największych ujemnych wyrazów progresji.
6. Iloczyn piątego i dwunastego wyrazu rosnącego ciągu arytmetycznego wynosi -2,5, a suma trzeciego i jedenastego wyrazu wynosi zero. Znajdź 14.
Nie jest to najłatwiejsze zadanie, tak...) Metoda „na palca” nie sprawdzi się tutaj. Będziesz musiał pisać formuły i rozwiązywać równania.
Odpowiedzi (w nieładzie):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Stało się? To miłe!)
Nie wszystko się układa? Dzieje się. Nawiasem mówiąc, w ostatnim zadaniu jest jeden subtelny punkt. Podczas czytania problemu należy zachować ostrożność. I logika.
Rozwiązanie wszystkich tych problemów zostało szczegółowo omówione w rozdziale 555. A element fantazji dla czwartego i subtelny punkt dla szóstego oraz ogólne podejścia do rozwiązywania wszelkich problemów związanych z formułą n-tego członu - wszystko jest opisane. Polecam.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Pierwszy poziom
Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)
Sekwencja numerów
Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:
Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:
Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.
Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .
W naszym przypadku: 
Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład: 
itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany bardziej w szerokim znaczeniu, jak nieskończony ciąg liczb. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.
Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.
Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:
A)
B)
C)
D)
Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
Nie jest postęp arytmetyczny - a, d.
Wróćmy do danego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego th wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.
1. Metoda
Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:
Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.
2. Metoda
Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, dzięki któremu nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:
Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego: 
Innymi słowy:
Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.
Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:
Zwróć uwagę, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy kolejno wyrazy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę – sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:
|
Równanie postępu arytmetycznego. |
Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.
Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:
Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:
Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujących liczb: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:
Od tego czasu:
Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Porównajmy wyniki:
Właściwość postępu arytmetycznego
Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:
Niech więc:
Całkowita racja. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co jeśli w warunku podane zostaną liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.
Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:
- poprzedni termin progresji to:
- kolejny wyraz progresji to:
Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:
Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.
Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.
Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss...
Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, postawił na zajęciach następujące zadanie: „Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…
Młody Carl Gauss zauważył pewną prawidłowość, którą i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?
Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się bliżej wyróżnionym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne. 
Próbowałeś tego? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe
A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że całkowita kwota jest równe:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:
W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?
Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: oblicz samodzielnie, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.
Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?
W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Wyobraź sobie na przykład Starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowa piramidy... Na zdjęciu jedna jej strona. 
Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy. 
Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?
W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).
Metoda 1.
Metoda 2.
A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Czy udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:
Szkolenie
Zadania:
- Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
- Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
- Podczas przechowywania kłód loggery układają je w taki sposób, że każda górna warstwa zawiera o jedną kłodę mniej niż poprzednia. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?
Odpowiedzi:
- Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
(tygodnie = dni).Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.
- Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:Liczby zawierają liczby nieparzyste.
Podstawmy dostępne dane do wzoru:Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.
- Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
Podstawiamy dane do wzoru:Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.
Podsumujmy to
- - ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
- Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
- Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
- Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:
, gdzie jest liczbą wartości.
PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM
Sekwencja numerów
Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.
Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.
Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.
Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.
Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .
Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła
ustawia kolejność:
A formuła jest następującą sekwencją:
Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).
formuła n-tego terminu
Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:
Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:
Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?
W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Który? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:
Teraz znacznie wygodniej, prawda? Sprawdzamy:
Zdecyduj sam:
W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.
Rozwiązanie:
Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:
(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).
Zatem formuła:
Wtedy setny wyraz jest równy:
Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?
Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszego i Ostatnia randka jest równa, suma drugiego i przedostatniego jest taka sama, suma trzeciego i trzeciego od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,
Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:
Przykład:
Znajdź sumę wszystkich liczby dwucyfrowe, wielokrotności.
Rozwiązanie:
Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.
Formuła wyrazu VII dla tej progresji:
Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?
Bardzo łatwe: .
Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:
Odpowiedź: .
Teraz zdecyduj sam:
- Każdego dnia sportowiec przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile łącznie kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km m?
- Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
- Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.
Odpowiedzi:
- Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
.
Odpowiedź: - Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
.
Zastąp wartości:Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
Obliczmy drogę przebytą ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
(km).
Odpowiedź: - Dany: . Znajdować: .
To nie może być prostsze:
(pocierać).
Odpowiedź:
PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().
Na przykład:
Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego
jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w toku.
Własność członków ciągu arytmetycznego
Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.
Suma wyrazów postępu arytmetycznego
Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:
Gdzie jest liczba wartości.
Gdzie jest liczba wartości.
Instrukcje
Postęp arytmetyczny jest ciągiem postaci a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Krok numer d postęp.Jest oczywiste, że generał dowolnego n-tego wyrazu arytmetyki postęp ma postać: An = A1+(n-1)d. Następnie poznanie jednego z członków postęp, członek postęp i krok postęp, możesz, czyli numer członka postępu. Oczywiście będzie to określone wzorem n = (An-A1+d)/d.
Niech teraz będzie znany m-ty termin postęp i inny członek postęp- n-te, ale n, jak w poprzednim przypadku, ale wiadomo, że n i m nie pokrywają się. Krok postęp można obliczyć ze wzoru: d = (An-Am)/(n-m). Wtedy n = (An-Am+md)/d.
Jeśli znana jest suma kilku elementów równania arytmetycznego postęp, a także jego pierwszy i ostatni, wówczas można również określić liczbę tych elementów jako sumę arytmetyczną postęp będzie równa: S = ((A1+An)/2)n. Wtedy n = 2S/(A1+An) - chdenov postęp. Wykorzystując fakt, że An = A1+(n-1)d, wzór ten można przepisać jako: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Z tego możemy wyrazić n rozwiązując równanie kwadratowe.
Ciąg arytmetyczny to uporządkowany zbiór liczb, którego każdy element, z wyjątkiem pierwszego, różni się od poprzedniego o tę samą kwotę. Ta stała wartość nazywana jest różnicą postępu lub jego kroku i można ją obliczyć ze znanych wyrazów postępu arytmetycznego.
Instrukcje
Jeśli z warunków zadania znane są wartości pierwszego i drugiego lub dowolnej innej pary sąsiednich wyrazów, aby obliczyć różnicę (d), wystarczy odjąć poprzednią od kolejnego wyrazu. Wynikowa wartość może być liczbą dodatnią lub ujemną – zależy to od tego, czy progresja rośnie. W forma ogólna napisz rozwiązanie dla dowolnie wybranej pary (aᵢ i aᵢ₊₁) sąsiadujących wyrazów ciągu w następujący sposób: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Dla pary wyrazów takiego ciągu, z których jeden jest pierwszym (a₁), a drugi dowolnym, dowolnie wybranym, można także utworzyć wzór na znalezienie różnicy (d). Jednakże w tym przypadku musi być znany numer seryjny (i) dowolnie wybranego elementu sekwencji. Aby obliczyć różnicę, dodaj obie liczby i podziel wynik przez liczbę porządkową dowolnego wyrazu pomniejszoną o jeden. Ogólnie rzecz biorąc, zapisz ten wzór w następujący sposób: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Jeżeli oprócz dowolnego członka ciągu arytmetycznego o liczbie porządkowej i znany jest jeszcze inny członek o liczbie porządkowej u, należy odpowiednio zmienić wzór z poprzedniego kroku. W tym przypadku różnicą (d) postępu będzie suma tych dwóch wyrazów podzielona przez różnicę ich liczb porządkowych: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Wzór na obliczenie różnicy (d) staje się nieco bardziej skomplikowany, jeśli warunki problemu podają wartość jej pierwszego wyrazu (a₁) i sumę (Sᵢ) danej liczby (i) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. Aby otrzymać żądaną wartość, należy podzielić sumę przez liczbę tworzących ją wyrazów, odjąć wartość pierwszej liczby w ciągu i podwoić wynik. Otrzymaną wartość podziel przez liczbę składników tworzących sumę pomniejszoną o jeden. Ogólnie rzecz biorąc, zapisz wzór na obliczenie dyskryminatora w następujący sposób: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
