Czy nam się to podoba, czy nie, nasze życie obfituje w różnego rodzaju wypadki, zarówno przyjemne, jak i niezbyt przyjemne. Dlatego każdy z nas dobrze by zrobił, gdyby wiedział, jak znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia. To pomoże ci podjąć trafne decyzje w żadnych okolicznościach, które wiążą się z niepewnością. Na przykład taka wiedza będzie bardzo przydatna przy wyborze opcji inwestycyjnych, ocenie możliwości wygrania akcji lub loterii, określeniu realności realizacji osobistych celów itp., itp.

Formuła prawdopodobieństwa

Zasadniczo badanie tego tematu nie zajmuje zbyt wiele czasu. Aby uzyskać odpowiedź na pytanie: „Jak znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska?”, Musisz sobie z tym poradzić kluczowe idee i pamiętaj o podstawowych zasadach, na których opiera się kalkulacja. Tak więc, zgodnie ze statystykami, badane zdarzenia są oznaczone przez A1, A2,..., An. Każdy z nich ma zarówno wyniki korzystne (m), jak i całkowitą liczbę wyników elementarnych. Na przykład interesuje nas, jak znaleźć prawdopodobieństwo, że parzysta liczba punktów znajdzie się na górnej ścianie sześcianu. Wtedy A to rzut m - wyrzucenie 2, 4 lub 6 (trzy korzystne wybory), a n to wszystkie sześć możliwych wyborów.

Sam wzór obliczeniowy jest następujący:

Z jednym wynikiem wszystko jest niezwykle łatwe. Ale jak znaleźć prawdopodobieństwo, że zdarzenia następują jedno po drugim? Rozważmy ten przykład: jedna karta jest pokazywana z talii kart (36 sztuk), następnie jest ponownie chowana w talii, a po wymieszaniu wyciągana jest następna. Jak znaleźć prawdopodobieństwo, że przynajmniej w jednym przypadku wylosowano damę pik? Istnieje następująca zasada: jeśli rozważane jest złożone zdarzenie, które można podzielić na kilka niekompatybilnych prostych zdarzeń, można najpierw obliczyć wynik dla każdego z nich, a następnie dodać je razem. W naszym przypadku będzie to wyglądać tak: 1/36 + 1/36 = 1/18. Ale co, gdy kilka wystąpi w tym samym czasie? Następnie mnożymy wyniki! Na przykład prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema monetami w tym samym czasie wypadną dwie reszki, będzie równe: ½ * ½ = 0,25.

Teraz weźmy jeszcze więcej złożony przykład. Załóżmy, że bierzemy udział w loterii książkowej, w której wygrywa dziesięć z trzydziestu losów. Wymagane jest ustalenie:

1. Prawdopodobieństwo, że obaj wygrają.
2. Przynajmniej jeden z nich przyniesie nagrodę.
3. Obaj będą przegrani.

Rozważmy więc pierwszy przypadek. Można go podzielić na dwa wydarzenia: pierwszy bilet będzie szczęśliwy, a drugi również będzie szczęśliwy. Weźmy pod uwagę, że zdarzenia są zależne, gdyż po każdym wyciągnięciu łączna liczba opcji maleje. Otrzymujemy:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

W drugim przypadku musisz określić prawdopodobieństwo utraty biletu i wziąć pod uwagę, że może to być zarówno pierwszy z rzędu, jak i drugi: 10 / 30 * 20 / 29 + 20 / 29 * 10 / 30 = 0,4598.

Wreszcie trzeci przypadek, gdy nie można zdobyć nawet jednej książki z loterii: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

• Prawdopodobieństwo - stopień (miara względna, ocena ilościowa) prawdopodobieństwa wystąpienia jakiegoś zdarzenia. Kiedy przyczyny wystąpienia jakiegoś możliwego zdarzenia przeważają nad przyczynami przeciwnymi, wówczas zdarzenie to nazywamy prawdopodobnym, w przeciwnym razie - mało prawdopodobnym lub nieprawdopodobnym. Przewaga podstaw pozytywnych nad negatywnymi i vice versa może występować w różnym stopniu, w wyniku czego prawdopodobieństwo (i nieprawdopodobieństwo) jest większe lub mniejsze. Dlatego często prawdopodobieństwo szacowane jest na poziomie jakościowym, zwłaszcza w przypadkach, gdy mniej lub bardziej trafna ocena ilościowa jest niemożliwa lub niezwykle utrudniona. Możliwe są różne gradacje „poziomów” prawdopodobieństwa.

  Badanie prawdopodobieństwa z matematycznego punktu widzenia jest specjalną dyscypliną - teorią prawdopodobieństwa. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej pojęcie prawdopodobieństwa jest sformalizowane jako liczbowa charakterystyka zdarzenia - miara prawdopodobieństwa (lub jego wartość) - miara na zbiorze zdarzeń (podzbiorach zbioru zdarzeń elementarnych), przyjmująca wartości ​od

  (\ styl wyświetlania 0)

  (\ styl wyświetlania 1)

  Oznaczający

  (\ styl wyświetlania 1)

  Odpowiada ważnemu zdarzeniu. Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo 0 (odwrotność generalnie nie zawsze jest prawdziwa). Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest

  (\ styl wyświetlania p)

  Wtedy prawdopodobieństwo jego niewystąpienia jest równe

  (\ Displaystyle 1-p)

  W szczególności prawdopodobieństwo

  (\ styl wyświetlania 1/2)

  Oznacza równe prawdopodobieństwo wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia.

  Klasyczna definicja prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji równego prawdopodobieństwa wyników. Prawdopodobieństwo to stosunek liczby wyników faworyzujących dane zdarzenie do całkowitej liczby równie prawdopodobnych wyników. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia orła lub reszki w losowym rzucie monetą wynosi 1/2, jeśli zakłada się, że wystąpią tylko te dwie możliwości i są one równie prawdopodobne. Tę klasyczną „definicję” prawdopodobieństwa można uogólnić na przypadek nieskończonej liczby możliwych wartości – np. przestrzeń (płaszczyzna), to prawdopodobieństwo, że wystąpi w jakiejś części tego dopuszczalny obszar jest równy stosunkowi objętości (powierzchni) tej części do objętości (powierzchni) obszaru wszystkich możliwych punktów.

  Empiryczna „definicja” prawdopodobieństwa związana jest z częstością występowania zdarzenia, opiera się na fakcie, że przez wystarczająco duże liczby częstotliwość testów powinna mieć na celu obiektywny stopień prawdopodobieństwa zdarzenia. We współczesnym ujęciu teorii prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo definiowane jest aksjomatycznie, jako szczególny przypadek abstrakcyjnej teorii miary zbioru. Tym niemniej łącznikiem miary abstrakcyjnej z prawdopodobieństwem wyrażającym stopień prawdopodobieństwa zdarzenia jest właśnie częstotliwość jego obserwacji.

  Probabilistyczny opis pewnych zjawisk rozpowszechnił się m.in nowoczesna nauka, w szczególności w ekonometrii, fizyce statystycznej układów makroskopowych (termodynamicznych), gdzie nawet w przypadku klasycznego deterministycznego opisu ruchu cząstek, deterministyczny opis całego układu cząstek nie jest praktycznie możliwy i właściwy. W fizyce kwantowej same opisane procesy mają charakter probabilistyczny.

Prawdopodobieństwo zdarzenie to stosunek liczby elementarnych wyników faworyzujących dane zdarzenie do liczby wszystkich jednakowo możliwych wyników doświadczenia, w których to zdarzenie może wystąpić. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest oznaczone przez P(A) (tu P jest pierwszą literą Francuskie słowo prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo). Zgodnie z definicją
(1.2.1)
gdzie jest liczbą elementarnych wyników faworyzujących zdarzenie A; - liczba wszystkich jednakowo możliwych elementarnych skutków doświadczenia, tworzących się pełna grupa wydarzenia.
Ta definicja prawdopodobieństwa nazywana jest klasyczną. Powstał na etap początkowy rozwój teorii prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zdarzenia ma następujące właściwości:
1. Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia jest równe jeden. Oznaczmy pewne wydarzenie literą . A więc na pewne wydarzenie
(1.2.2)
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero. Zdarzenie niemożliwe oznaczamy literą . A zatem za zdarzenie niemożliwe
(1.2.3)
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wyraża się jako liczbę dodatnią mniejszą od jeden. Ponieważ nierówności , lub są spełnione dla zdarzenia losowego, to
(1.2.4)
4. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia spełnia nierówności
(1.2.5)
Wynika to z relacji (1.2.2) -(1.2.4).

Przykład 1 Urna zawiera 10 kul tego samego rozmiaru i wagi, z których 4 są czerwone, a 6 niebieskich. Z urny losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest niebieska?

Rozwiązanie. Zdarzenie „wylosowana kula okazała się niebieska” będziemy oznaczać literą A. Ta próba ma 10 jednakowo możliwych elementarnych wyników, z czego 6 sprzyja zdarzeniu A. Zgodnie ze wzorem (1.2.1) otrzymujemy

Przykład 2 Wszystkie liczby naturalne od 1 do 30 są zapisane na identycznych kartach i umieszczone w urnie. Po dokładnym wymieszaniu kart jedna karta jest wyjmowana z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest wielokrotnością liczby 5?

Rozwiązanie. Oznacz przez A zdarzenie „liczba na zabranej karcie jest wielokrotnością 5”. W tym teście istnieje 30 równie możliwych elementarnych wyników, z których 6 wyników faworyzuje zdarzenie A (liczby 5, 10, 15, 20, 25, 30). W konsekwencji,

Przykład 3 Dwa są rzucane grać w kości, obliczana jest suma punktów na górnych ścianach. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia B polegającego na tym, że górne ściany sześcianów będą miały łącznie 9 punktów.

Rozwiązanie. W tej próbie jest 6 2 = 36 równie możliwych elementarnych wyników. Zdarzeniu B sprzyjają 4 wyniki: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), więc

Przykład 4. Wybrane losowo Liczba naturalna, nieprzekraczającej 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest pierwsza?

Rozwiązanie. Oznaczmy literą C zdarzenie „wybrana liczba jest liczbą pierwszą”. W ta sprawa n = 10, m = 4 ( liczby pierwsze 2, 3, 5, 7). Dlatego pożądane prawdopodobieństwo

Przykład 5 Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie monety mają cyfry na górze?

Rozwiązanie. Oznaczmy literą D zdarzenie „był numer na wierzchu każdej monety”. W tym teście są 4 równie możliwe wyniki elementarne: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaczenie (G, C) oznacza, że ​​na pierwszej monecie herb, na drugiej cyfra). Zdarzeniu D sprzyja jeden wynik elementarny (C, C). Ponieważ m = 1, więc n = 4

Przykład 6 Jakie jest prawdopodobieństwo, że cyfry losowo wybranej liczby dwucyfrowej są takie same?

Rozwiązanie. dwu cyfrowy są liczbami od 10 do 99; takich liczb jest łącznie 90. 9 liczb ma takie same cyfry (są to liczby 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Skoro w tym przypadku m = 9, to n = 90
,
gdzie A to zdarzenie „liczba o tych samych cyfrach”.

Przykład 7 Z liter słowa mechanizm różnicowy wybrano losowo jedną literę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta litera będzie: a) samogłoską b) spółgłoską c) literą h?

Rozwiązanie. W słowie różnicowym jest 12 liter, z których 5 to samogłoski, a 7 to spółgłoski. Listy h to słowo nie. Oznaczmy zdarzenia: A - "samogłoska", B - "spółgłoska", C - "litera h". Liczba korzystnych wyników elementarnych: - dla zdarzenia A, - dla zdarzenia B, - dla zdarzenia C. Skoro n \u003d 12, to
, oraz .

Przykład 8 Rzuca się dwiema kostkami, zapisuje się liczbę oczek na górnej ściance każdej z kostek. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadły obie kości ten sam numer zwrotnica.

Rozwiązanie. Oznaczmy to zdarzenie literą A. Zdarzeniu A sprzyja 6 elementarnych wyników: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). W sumie są jednakowo możliwe elementarne wyniki, które tworzą kompletną grupę zdarzeń, w tym przypadku n=6 2 =36. Więc pożądane prawdopodobieństwo

Przykład 9 Książka ma 300 stron. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo otwarta strona będzie miała kolejny numer będący wielokrotnością 5?

Rozwiązanie. Z warunków zadania wynika, że ​​będzie n = 300 wszystkich jednakowo możliwych elementarnych wyników, które tworzą kompletną grupę zdarzeń, z których m = 60 sprzyja wystąpieniu określonego zdarzenia. Rzeczywiście, liczba będąca wielokrotnością 5 ma postać 5k, gdzie k jest liczbą naturalną, a skąd . W konsekwencji,
, gdzie A - zdarzenie „strona” ma numer kolejny będący wielokrotnością 5”.

Przykład 10. Rzucamy dwiema kostkami, obliczamy sumę punktów na górnych ściankach. Co jest bardziej prawdopodobne, że uzyska w sumie 7 lub 8?

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenia: A – „wypadło 7 punktów”, B – „wypadło 8 punktów”. Zdarzeniu A sprzyja 6 elementarnych wyników: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a zdarzeniu B - 5 wyników: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Istnieje n = 6 2 = 36 wszystkich jednakowo możliwych elementarnych wyników. oraz .

Tak więc P(A)>P(B), czyli uzyskanie łącznie 7 punktów jest bardziej prawdopodobnym zdarzeniem niż uzyskanie łącznie 8 punktów.

Zadania

1. Wybrano losowo liczbę naturalną nieprzekraczającą 30. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest wielokrotnością liczby 3?
2. W urnie a czerwony i b niebieskie kulki tego samego rozmiaru i wagi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana kula z tej urny jest niebieska?
3. Wybrano losowo liczbę nie większą niż 30. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest dzielnikiem zo?
4. W urnie a niebieski i b czerwone kulki tego samego rozmiaru i wagi. Z tej urny losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Ta piłka jest czerwona. Następnie losujemy kolejną kulę z urny. Znajdź prawdopodobieństwo, że druga kula jest również czerwona.
5. Wybrano losowo liczbę naturalną nie większą niż 50. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest pierwsza?
6. Rzucamy trzema kostkami, obliczamy sumę punktów na górnych ściankach. Co jest bardziej prawdopodobne - zdobycie w sumie 9 czy 10 punktów?
7. Rzuca się trzema kostkami, oblicza się sumę straconych punktów. Co ma większe szanse na uzyskanie w sumie 11 (zdarzenie A) lub 12 punktów (zdarzenie B)?

Odpowiedzi

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - prawdopodobieństwo zdobycia łącznie 9 punktów; p 2 \u003d 27/216 - prawdopodobieństwo zdobycia łącznie 10 punktów; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

pytania

1. Co nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo określonego zdarzenia?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego?
4. Jakie są granice prawdopodobieństwa zdarzenia losowego?
5. Jakie są granice prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia?
6. Jaką definicję prawdopodobieństwa nazywamy klasyczną?

Na Aby oszacować prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia losowego, bardzo ważne jest, aby mieć z góry dobry pomysł, czy prawdopodobieństwo () wystąpienia interesującego nas zdarzenia zależy od rozwoju innych zdarzeń.

W przypadku schematu klasycznego, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, możemy już samodzielnie oszacować wartości prawdopodobieństwa interesującego nas pojedynczego zdarzenia. Możemy to zrobić, nawet jeśli zdarzenie jest złożonym zbiorem kilku elementarnych wyników. A jeśli kilka zdarzeń losowych wystąpi jednocześnie lub sekwencyjnie? Jak to wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia interesującego nas zdarzenia?

Jeśli rzucę kostką kilka razy i chcę wyrzucić szóstkę, a zawsze mam pecha, czy to znaczy, że powinienem zwiększyć stawkę, ponieważ zgodnie z teorią prawdopodobieństwa niedługo będę miał szczęście? Niestety, teoria prawdopodobieństwa nic takiego nie mówi. Bez kostek, bez kart, bez monet nie pamiętam co nam pokazali ostatnim razem. Nie ma dla nich najmniejszego znaczenia, czy dziś po raz pierwszy, czy po raz dziesiąty wystawiam swój los na próbę. Za każdym razem, gdy rzucam ponownie, wiem tylko jedno: tym razem prawdopodobieństwo ponownego wyrzucenia „szóstki” wynosi jedną szóstą. Oczywiście nie oznacza to, że potrzebna mi liczba nigdy nie wypadnie. Oznacza to tylko, że moja przegrana po pierwszym rzucie i po każdym innym rzucie są zdarzeniami niezależnymi.

Wywołano zdarzenia A i B niezależny, jeśli realizacja jednego z nich w żaden sposób nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia. Na przykład prawdopodobieństwo trafienia w cel pierwszym z dwóch dział nie zależy od tego, czy drugie działo trafiło w cel, więc zdarzenia „pierwsze działo trafiło w cel” i „drugie działo trafiło w cel” są niezależne.

Jeżeli dwa zdarzenia A i B są niezależne i znane jest prawdopodobieństwo każdego z nich, to prawdopodobieństwo równoczesnego wystąpienia zarówno zdarzenia A, jak i zdarzenia B (oznaczonego przez AB) można obliczyć za pomocą następującego twierdzenia.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych

P(AB) = P(A)*P(B)- prawdopodobieństwo jednoczesny dwa niezależny wydarzenia jest praca prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

Przykład.Prawdopodobieństwo trafienia w cel podczas strzelania z pierwszego i drugiego działa jest odpowiednio równe: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia jedną salwą z obu dział jednocześnie.

Rozwiązanie: Jak już widzieliśmy, zdarzenia A (trafienie pierwszym działem) i B (trafienie drugim działem) są niezależne, tj. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Co stanie się z naszymi szacunkami, jeśli zdarzenia inicjujące nie będą niezależne? Zmieńmy trochę poprzedni przykład.

Przykład.Dwóch strzelców w konkurencji strzela do tarcz, a jeśli jeden z nich strzela celnie, to przeciwnik zaczyna się denerwować, a jego wyniki pogarszają się. Jak zamienić tę codzienną sytuację w problem matematyczny i nakreślić sposoby jego rozwiązania? Intuicyjnie wiadomo, że trzeba jakoś oddzielić te dwa scenariusze, tak naprawdę skomponować dwa scenariusze, dwa różne zadania. W pierwszym przypadku, jeśli przeciwnik chybi, scenariusz będzie korzystny dla zdenerwowanego zawodnika, a jego celność będzie wyższa. W drugim przypadku, jeśli przeciwnik przyzwoicie wykorzystał swoją szansę, prawdopodobieństwo trafienia w cel dla drugiego zawodnika jest zmniejszone.

Aby wyodrębnić możliwe scenariusze (nazywa się je często hipotezami) rozwoju zdarzeń, będziemy często posługiwać się schematem „drzewa prawdopodobieństwa”. Diagram ten ma podobne znaczenie do drzewa decyzyjnego, z którym prawdopodobnie miałeś już do czynienia. Każda gałąź to osobny scenariusz, dopiero teraz ma swoje własne znaczenie tzw warunkowy prawdopodobieństwa (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Schemat ten jest bardzo wygodny do analizy kolejnych zdarzeń losowych.

Pozostaje wyjaśnić jeszcze jedno ważne pytanie: gdzie są początkowe wartości prawdopodobieństw prawdziwe sytuacje ? W końcu teoria prawdopodobieństwa nie działa z tymi samymi monetami i kostkami, prawda? Zwykle szacunki te pochodzą ze statystyk, a gdy statystyki nie są dostępne, przeprowadzamy własne badania. I często musimy zacząć to nie od zebrania danych, ale od pytania, jakich informacji generalnie potrzebujemy.

Przykład.Załóżmy, że w mieście liczącym 100 000 mieszkańców musimy oszacować wielkość rynku nowego, nieistotnego produktu, takiego jak odżywka do włosów farbowanych. Rozważmy schemat „drzewa prawdopodobieństw”. W takim przypadku musimy w przybliżeniu oszacować wartość prawdopodobieństwa na każdej „gałęzi”. Tak więc nasze szacunki pojemności rynku:

1) 50% wszystkich mieszkańców miasta to kobiety,

2) spośród wszystkich kobiet tylko 30% często farbuje włosy,

3) spośród nich tylko 10% stosuje balsamy do włosów farbowanych,

4) spośród nich tylko 10% może zebrać się na odwagę i wypróbować nowy produkt,

5) 70% z nich zwykle kupuje wszystko nie od nas, ale od naszych konkurentów.

Rozwiązanie: Zgodnie z prawem mnożenia prawdopodobieństw określamy prawdopodobieństwo zdarzenia, które nas interesuje A \u003d (mieszkaniec miasta kupuje od nas ten nowy balsam) \u003d 0,00045.

Pomnóż tę wartość prawdopodobieństwa przez liczbę mieszkańców miasta. W rezultacie mamy tylko 45 potencjalnych nabywców, a biorąc pod uwagę, że jedna fiolka tego produktu wystarcza na kilka miesięcy, handel nie jest zbyt ożywiony.

Mimo to nasze oceny przynoszą korzyści.

Po pierwsze, możemy porównać prognozy różnych pomysłów biznesowych, będą one miały różne „rozwidlenia” na diagramach i oczywiście różne będą również wartości prawdopodobieństwa.

Po drugie, jak już powiedzieliśmy, zmienna losowa nie jest nazywana losową, ponieważ w ogóle od niczego nie zależy. Tylko ona dokładny wartość nie jest z góry znana. Wiemy, że średnią liczbę kupujących można zwiększyć (np. reklamując nowy produkt). Sensowne jest więc skupienie się na tych „widełkach”, w których rozkład prawdopodobieństw niespecjalnie nam odpowiada, na tych czynnikach, na które mamy wpływ.

Rozważmy inny ilościowy przykład badań zachowań konsumentów.

Przykład.Średnio 10 000 osób odwiedza targ spożywczy dziennie. Prawdopodobieństwo, że odwiedzający targ wejdzie do pawilonu mleczarskiego, wynosi 1/2. Wiadomo, że w pawilonie tym sprzedaje się średnio 500 kg różnych produktów dziennie.

Czy można argumentować, że przeciętny zakup w pawilonie waży tylko 100 g?

Dyskusja. Oczywiście nie. Wiadomo, że nie każdy, kto wszedł do pawilonu, coś tam kupił.

Jak widać na diagramie, aby odpowiedzieć na pytanie o średnią wagę zakupów, musimy znaleźć odpowiedź na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba wchodząca do pawilonu coś tam kupi. Jeżeli takich danych nie mamy do dyspozycji, a są nam potrzebne, będziemy musieli sami je pozyskać, obserwując przez pewien czas zwiedzających pawilon. Załóżmy, że z naszych obserwacji wynika, że ​​tylko jedna piąta osób odwiedzających pawilon coś kupuje.

Gdy tylko otrzymamy te szacunki, zadanie staje się już proste. Z 10 000 osób, które przyszły na rynek, 5 000 przejdzie do pawilonu nabiału, zakupów będzie tylko 1 000. Średnia waga zakupów to 500 gramów. Warto zauważyć, że aby zbudować pełny obraz co się dzieje, logikę warunkowego „rozgałęzienia” należy zdefiniować na każdym etapie naszego rozumowania tak jasno, jak gdybyśmy pracowali z „konkretną” sytuacją, a nie z prawdopodobieństwami.

Zadania do samodzielnego sprawdzenia

1. Niech będzie obwód elektryczny składający się z n połączonych szeregowo elementów, z których każdy działa niezależnie od pozostałych.

Znane jest prawdopodobieństwo p braku awarii każdego elementu. Wyznacz prawdopodobieństwo poprawnego działania całego odcinka obwodu (zdarzenie A).

2. Student zna 20 z 25 pytań egzaminacyjnych. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń zna trzy pytania zadane mu przez egzaminatora.

3. Produkcja składa się z czterech kolejnych etapów, z których każdy obsługuje sprzęt, dla którego prawdopodobieństwo awarii w ciągu następnego miesiąca wynosi odpowiednio p 1 , p 2 , p 3 i p 4 . Znajdź prawdopodobieństwo, że za miesiąc nie będzie przerwy w produkcji spowodowanej awarią sprzętu.

Dostarczono do dnia dzisiejszego otwarty słoik WYKORZYSTAJ problemy z matematyki (mathege.ru), których rozwiązanie opiera się tylko na jednej formule, czyli klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Najprostszym sposobem zrozumienia formuły są przykłady.
Przykład 1 W koszu jest 9 kul czerwonych i 3 kule niebieskie. Kule różnią się tylko kolorem. Losowo (bez patrzenia) dostajemy jedną z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana w ten sposób kula będzie niebieska?

Komentarz. W problemach z prawdopodobieństwem dzieje się coś (w tym przypadku nasza akcja polegająca na pociągnięciu piłki), co może mieć miejsce inny wynik- wynik. Należy zauważyć, że wynik można rozpatrywać na różne sposoby. „Wyciągnęliśmy piłkę” to też wynik. „Wyciągnęliśmy niebieską piłkę” to wynik. „Wylosowaliśmy tę konkretną piłkę ze wszystkich możliwych piłek” – ten najmniej uogólniony pogląd na wynik nazywa się wynikiem elementarnym. To elementarne wyniki są rozumiane we wzorze do obliczania prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie. Teraz obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli.
Zdarzenie A: „wybrana piłka okazała się niebieska”
Łączna liczba wszystkich możliwych wyników: 9+3=12 (liczba wszystkich kul, które moglibyśmy wylosować)
Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A: 3 (liczba takich wyników, w których wystąpiło zdarzenie A – czyli liczba kulek niebieskich)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Obliczmy dla tego samego problemu prawdopodobieństwo wylosowania kulki czerwonej.
Całkowita liczba możliwych wyników pozostanie taka sama, 12. Liczba korzystnych wyników: 9. Pożądane prawdopodobieństwo: 9/12 = 3/4 = 0,75

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1.
Czasami w mowa codzienna(ale nie w teorii prawdopodobieństwa!) Prawdopodobieństwo zdarzeń szacuje się w procentach. Przejście między oceną matematyczną a konwersacyjną odbywa się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) przez 100%.
Więc,
W tym przypadku prawdopodobieństwo jest zerowe dla zdarzeń, które nie mogą się zdarzyć - nieprawdopodobne. Na przykład w naszym przykładzie byłoby to prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli z kosza. (Liczba korzystnych wyników wynosi 0, P(A)=0/12=0 licząc według wzoru)
Prawdopodobieństwo 1 obejmuje zdarzenia, które absolutnie na pewno się spełnią, bez opcji. Na przykład prawdopodobieństwo, że „wybrana kula będzie albo czerwona, albo niebieska” jest dla naszego problemu. (Liczba korzystnych wyników: 12, P(A)=12/12=1)

Przyjrzeliśmy się klasycznemu przykładowi ilustrującemu definicję prawdopodobieństwa. Wszystkie podobne problemy USE w teorii prawdopodobieństwa są rozwiązywane za pomocą tego wzoru.
Zamiast czerwonych i niebieskich kulek mogą być jabłka i gruszki, chłopcy i dziewczęta, bilety wyuczone i niewyuczone, bilety zawierające i nie zawierające pytania na dany temat (prototypy, ), wadliwe i wysokiej jakości torby lub pompki ogrodowe (prototypy, ) - zasada pozostaje ta sama.

Różnią się nieco sformułowaniem problemu teorii prawdopodobieństwa USE, gdzie trzeba obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w określonym dniu. ( , ) Podobnie jak w poprzednich zadaniach, musisz określić elementarny wynik, a następnie zastosować tę samą formułę.

Przykład 2 Konferencja trwa trzy dni. Pierwszego i drugiego dnia po 15 prelegentów, trzeciego dnia 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że referat prof.

Jaki jest elementarny wynik tutaj? - Przypisanie referatu profesorskiego do jednego z wszystkich możliwych numerów porządkowych przemówienia. W losowaniu bierze udział 15+15+20=50 osób. Tym samym raport profesora M. może otrzymać jeden z 50 numerów. Oznacza to, że istnieje tylko 50 elementarnych wyników.
Jakie są korzystne wyniki? - Te, w których okaże się, że profesor będzie przemawiał trzeciego dnia. To znaczy ostatnich 20 numerów.
Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwo P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpowiedź: 0,4

Losowanie jest tutaj ustaleniem przypadkowej korespondencji między ludźmi a uporządkowanymi miejscami. W przykładzie 2 dopasowywanie rozpatrywano pod kątem tego, które z miejsc może zająć dana osoba. Do tej samej sytuacji można podejść z drugiej strony: która z osób z jakim prawdopodobieństwem mogłaby dostać się w określone miejsce (prototypy , , , ):

Przykład 3 W losowaniu bierze udział 5 Niemców, 8 Francuzów i 3 Estończyków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy (/drugi/siódmy/ostatni - to nie ma znaczenia) będzie Francuzem.

Liczba wyników elementarnych to liczba wszystkich możliwych osób, które mogłyby się do nich dostać dane miejsce. 5+8+3=16 osób.
Korzystne wyniki – Francuzi. 8 osób.
Pożądane prawdopodobieństwo: 8/16=1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5

Prototyp jest nieco inny. Niektóre zadania dotyczące monet () i kości () są nieco bardziej kreatywne. Rozwiązania tych problemów można znaleźć na stronach prototypów.

Oto kilka przykładów rzucania monetą lub kostką.

Przykład 4 Kiedy rzucamy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki?
Wyniki 2 - orzeł lub reszka. (uważa się, że moneta nigdy nie spada na krawędź) Korzystny wynik - reszka, 1.
Prawdopodobieństwo 1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5.

Przykład 5 A co jeśli rzucimy monetą dwa razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł w obu przypadkach?
Najważniejsze jest ustalenie, które elementarne wyniki weźmiemy pod uwagę, rzucając dwiema monetami. Po rzucie dwiema monetami może wystąpić jeden z następujących wyników:
1) PP - za każdym razem wypadła reszka
2) PO - za pierwszym razem reszka, za drugim orzeł
3) OP - za pierwszym razem reszka, za drugim razem reszka
4) OO – oba razy gra heads-up
Nie ma innych opcji. Oznacza to, że są 4 podstawowe wyniki. Tylko pierwszy jest korzystny, 1.
Prawdopodobieństwo: 1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty monetą zakończą się reszką?
Liczba wyników elementarnych jest taka sama, 4. Korzystne wyniki to drugi i trzeci, 2.
Prawdopodobieństwo wylosowania jednej reszki: 2/4=0,5

W takich problemach może się przydać inna formuła.
Jeżeli przy jednym rzucie monetą mamy 2 możliwe wyniki, to za dwa rzuty wypadną wyniki 2 2=2 2 =4 (jak w przykładzie 5), za trzy rzuty 2 2 2=2 3 =8, za cztery : 2·2·2·2=2 4 =16, … dla N rzutów możliwych wyników będzie 2·2·...·2=2 N .

Możesz więc znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 reszek z 5 rzutów monetą.
Łączna liczba wyników elementarnych: 2 5 =32.
Korzystne wyniki: 1. (RRRRRR - wszystkie 5 razy reszki)
Prawdopodobieństwo: 1/32=0,03125

To samo dotyczy kostek. Przy jednym rzucie jest 6 możliwych wyników, więc przy dwóch rzutach: 6 6=36, przy trzech 6 6 6=216 itd.

Przykład 6 Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej?

Suma wyników: 6, w zależności od liczby twarzy.
Korzystne: 3 wyniki. (2, 4, 6)
Prawdopodobieństwo: 3/6=0,5

Przykład 7 Rzuć dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wypadnie 10? (zaokrąglij do setnych)

Istnieje 6 możliwych wyników dla jednej kości. Stąd dla dwóch, zgodnie z powyższą regułą, 6·6=36.
Jakie wyniki będą sprzyjające wypadnięciu w sumie 10?
10 należy rozłożyć na sumę dwóch liczb od 1 do 6. Można to zrobić na dwa sposoby: 10=6+4 i 10=5+5. Tak więc w przypadku kostek możliwe są opcje:
(6 na pierwszym i 4 na drugim)
(4 na pierwszym i 6 na drugim)
(5 na pierwszym i 5 na drugim)
W sumie 3 opcje. Pożądane prawdopodobieństwo: 3/36=1/12=0,08
Odpowiedź: 0,08

Inne typy problemów B6 zostaną omówione w jednym z poniższych artykułów „Jak rozwiązać”.