Klasyczna i statystyczna definicja prawdopodobieństwa

Dla zajęcia praktyczne konieczna jest umiejętność porównywania zdarzeń według stopnia prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Rozpatrzmy klasyczny przypadek. W urnie jest 10 kul, jest ich 8 biały kolor, 2 czarne. Oczywiście zdarzenie „z urny zostanie wylosowana kula biała” oraz zdarzenie „z urny zostanie wylosowana kula czarna” mają różne stopnie prawdopodobieństwa zajścia. Dlatego, aby porównać wydarzenia, potrzebna jest pewna miara ilościowa.

Ilościową miarą możliwości wystąpienia zdarzenia jest prawdopodobieństwo . Najszerzej stosowane są dwie definicje prawdopodobieństwa zdarzenia: klasyczna i statystyczna.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwo jest związane z pojęciem korzystnego wyniku. Zastanówmy się nad tym bardziej szczegółowo.

Niech wyniki jakiegoś testu postaci pełna grupa zdarzenia i są równie możliwe, tj. są wyjątkowo możliwe, niespójne i równie możliwe. Takie wyniki to tzw wyniki elementarne, Lub sprawy. Mówi się, że test jest zredukowany do wykres przypadku Lub " schemat urny", ponieważ każdy problem probabilistyczny dla takiego testu można zastąpić równoważnym problemem z urnami i kulkami o różnych kolorach.

Exodus jest nazywany korzystny wydarzenie A jeżeli zajście tego przypadku pociąga za sobą zajście zdarzenia A.

Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby wyników faworyzujących to zdarzenie do całkowitej liczby wyników, tj.

(1.1)

Gdzie ROCZNIE)- prawdopodobieństwo zdarzenia A; M- liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A; N to całkowita liczba przypadków.

Przykład 1.1. Podczas rzucania kostką możliwych jest sześć wyników - strata 1, 2, 3, 4, 5, 6 punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby punktów?

Rozwiązanie. Wszystko N= 6 wyników tworzy kompletną grupę zdarzeń i są jednakowo prawdopodobne, tj. są wyjątkowo możliwe, niespójne i równie możliwe. Zdarzeniu A - "pojawieniu się parzystej liczby punktów" - sprzyjają 3 wyniki (przypadki) - utrata 2, 4 lub 6 punktów. Zgodnie z klasycznym wzorem na prawdopodobieństwo zdarzenia otrzymujemy

ROCZNIE) = = . ◄

Na podstawie klasyczna definicja prawdopodobieństwo zdarzenia, zwracamy uwagę na jego właściwości:

1. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od zera do jednego, tj.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia jest równe jeden.

3. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.

Jak wspomniano wcześniej, klasyczna definicja prawdopodobieństwa ma zastosowanie tylko do tych zdarzeń, które mogą wystąpić w wyniku prób, które mają symetrię możliwych wyników, tj. można zredukować do schematu przypadków. Istnieje jednak duża klasa zdarzeń, których prawdopodobieństwa nie można obliczyć przy użyciu klasycznej definicji.

Na przykład, jeśli założymy, że moneta jest spłaszczona, to oczywiste jest, że zdarzenia „pojawienie się herbu” i „pojawienie się reszki” nie mogą być uznane za równie możliwe. Dlatego wzór na określenie prawdopodobieństwa według klasycznego schematu w ta sprawa nie dotyczy.

Istnieje jednak inne podejście do oceny prawdopodobieństwa zdarzeń, oparte na tym, jak często dane zdarzenie wystąpi w przeprowadzonych testach. W tym przypadku stosowana jest statystyczna definicja prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo statystycznezdarzenie A to względna częstość (częstotliwość) występowania tego zdarzenia w n wykonanych testach, tj.

(1.2)

Gdzie R * (A) jest prawdopodobieństwem statystycznym zdarzenia A; wa) jest względną częstotliwością zdarzenia A; M to liczba prób, w których wystąpiło zdarzenie A; N jest całkowitą liczbą prób.

W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa matematycznego ROCZNIE) rozpatrywane w klasycznej definicji prawdopodobieństwo statystyczne R * (A) jest cechą charakterystyczną doświadczony, eksperymentalny. Innymi słowy, statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia A numer jest wywoływany, względem którego względna częstotliwość jest stabilizowana (ustalona) wa) z nieograniczonym wzrostem liczby testów przeprowadzanych w tych samych warunkach.

Na przykład, gdy mówią o strzelcu, że trafia on w cel z prawdopodobieństwem 0,95, oznacza to, że na sto strzałów oddanych przez niego w określonych warunkach (ten sam cel w tej samej odległości, ten sam karabin itp. . ), średnio udanych jest około 95. Oczywiście nie każda setka będzie miała 95 udanych strzałów, czasem będzie ich mniej, czasem więcej, ale średnio przy wielokrotnym powtarzaniu strzelania w tych samych warunkach ten odsetek trafień pozostanie niezmieniony. Liczba 0,95, która służy jako wskaźnik umiejętności strzelca, jest zwykle bardzo stabilny, tj. odsetek trafień w większości strzelań będzie dla danego strzelca prawie taki sam, tylko w nielicznych przypadkach odbiegający w jakikolwiek znaczący sposób od jego średniej wartości.

Inna wada klasycznej definicji prawdopodobieństwa ( 1.1 ), ograniczając jego użycie, jest to, że zakłada skończoną liczbą możliwe wyniki testów. W niektórych przypadkach tę wadę można przezwyciężyć, stosując geometryczną definicję prawdopodobieństwa, tj. znalezienie prawdopodobieństwa trafienia w punkt w określonym obszarze (segment, część płaszczyzny itp.).

Niech płaska sylwetka G stanowi część płaska postać G(Rys. 1.1). na rysunku G losowo rzucana jest kropka. Oznacza to, że wszystkie punkty w okolicy G„równy” w stosunku do trafienia go rzuconym losowym punktem. Zakładając, że prawdopodobieństwo zdarzenia A- uderzenie rzuconym punktem w figurkę G- proporcjonalny do pola tej figury i nie zależy od jej położenia względem G, ani z formularza G, znajdować

TEMAT 1 . Klasyczny wzór obliczania prawdopodobieństwa.

Podstawowe definicje i wzory:

Nazywa się eksperyment, którego wyniku nie można przewidzieć losowy eksperyment(SE).

Zdarzenie, które może, ale nie musi wystąpić w danej SE, jest nazywane Zdarzenie losowe.

wyniki elementarne nazwij wydarzenia, które spełniają wymagania:

1. przy każdym wdrożeniu SE występuje jeden i tylko jeden elementarny wynik;

2. Każde zdarzenie jest jakąś kombinacją, pewnym zestawem elementarnych rezultatów.

Zbiór wszystkich możliwych elementarnych wyników całkowicie opisuje SE. Taki zbiór nazywa się przestrzeń wyników elementarnych(PEI). Wybór SEI do opisania tego SC jest niejednoznaczny i zależy od rozwiązywanego problemu.

P. (A) \u003d n (A) / n,

gdzie n to całkowita liczba równie możliwych wyników,

n (A) - liczba wyników, które składają się na zdarzenie A, jak mówią, faworyzując zdarzenie A.

Słowa „losowo”, „losowo”, „losowo” po prostu gwarantują równość elementarnych wyników.

Rozwiązanie typowych przykładów

Przykład 1 Z urny zawierającej 5 kul czerwonych, 3 czarne i 2 białe losujemy 3 kule. Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń:

A– „wszystkie wylosowane kule są czerwone”;

W– „wszystkie wylosowane kule są tego samego koloru”;

Z– „wśród wydobytych dokładnie 2 czarnych”.

Rozwiązanie:

Elementarnym wynikiem tego SE jest potrójna (nieuporządkowana!) kula. Zatem łączna liczba wyników to liczba kombinacji: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Wydarzenie A składa się tylko z tych trójek, które zostały wylosowane z pięciu czerwonych kul, tj. n (A )== 10.

wydarzenie W oprócz 10 czerwonych trójek sprzyjają również czarne trójki, których liczba wynosi = 1. Zatem: n (B)=10+1=11.

wydarzenie Z faworyzowane są te trójki kul, które zawierają 2 czarne i jedną inną niż czarna. Każdy sposób wyboru dwóch kul czarnych można połączyć z wyborem jednej nie-czarnej (z siedmiu). Zatem: n(C) == 3 * 7 = 21.

Więc: ROCZNIE) = 10/120; P(B) = 11/120; P(S) = 21/120.

Przykład 2 W warunkach poprzedniego problemu założymy, że kule każdego koloru mają własną numerację, zaczynając od 1. Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń:

D– „maksymalna pobrana liczba to 4”;

mi– „maksymalna wyodrębniona liczba to 3”.

Rozwiązanie:

Aby obliczyć n (D ), możemy założyć, że urna zawiera jedną kulę o numerze 4, jedną kulę o numerze większym i 8 kul (3k+3ch+2b) o numerach mniejszych. wydarzenie D preferowane są te trójki piłek, które koniecznie zawierają kulę z numerem 4 i 2 kule z niższymi numerami. Dlatego: n(D) =

P(D) = 28/120.

Aby obliczyć n (E) bierzemy pod uwagę: w urnie są dwie kule o numerze 3, dwie o numerach większych i sześć kul o numerach mniejszych (2k + 2ch + 2b). Wydarzenie mi składa się z dwóch rodzajów trójek:

1. jedna kula z numerem 3 i dwie z mniejszymi numerami;

2. dwie kule z numerem 3 i jedna z niższym numerem.

Zatem: n (E )=

P(E) = 36/120.

Przykład 3 Każda z M różnych cząstek jest wrzucana losowo do jednej z N komórek. Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń:

A– wszystkie cząstki wpadły do drugiej celi;

W– wszystkie cząsteczki wpadły do jednej komórki;

Z– każda komórka zawiera nie więcej niż jedną cząstkę (M £ N );

D– wszystkie komórki są zajęte (M=N+1);

mi– druga komórka zawiera dokładnie Do cząstki.

Rozwiązanie:

Dla każdej cząstki istnieje N sposobów dotarcia do określonej komórki. Zgodnie z podstawową zasadą kombinatoryki dla M cząstek mamy N *N *N *…*N (M-razy). Zatem całkowita liczba wyników w tym SE wynosi n = N M .

Dla każdej cząstki mamy jedną szansę na dostanie się do drugiej komórki, zatem n (A ) = 1*1*…*1= 1 M = 1, a P(A) = 1/ N M .

Dostanie się do jednej komórki (do wszystkich cząstek) oznacza wejście wszystkich do pierwszej lub wszystkich do drugiej, itd. wszystko w N-tym. Ale każdą z tych N opcji można zaimplementować w jeden sposób. Zatem n (B)=1+1+…+1(N razy)=N i Р(В)=N/N M .

Zdarzenie C oznacza, że każda cząstka ma o jeden sposób umieszczenia mniej niż poprzednia cząstka, a pierwsza cząstka może wpaść do dowolnej z N komórek. Dlatego:

n (C) \u003d N * (N -1) * ... * (N + M -1) i P (C) \u003d

W szczególnym przypadku dla M =N : Р(С)=

Zdarzenie D oznacza, że jedna z komórek zawiera dwie cząstki, a każda z pozostałych (N -1) komórek zawiera jedną cząstkę. Aby znaleźć n (D ) argumentujemy w następujący sposób: wybieramy komórkę, w której będą dwie cząstki, można to zrobić na =N sposobów; następnie wybieramy dwie cząstki dla tej komórki, są na to sposoby. Następnie pozostałe (N -1) cząstki zostaną rozprowadzone jedna po drugiej do pozostałych (N -1) komórek, bo to jest (N -1)! sposoby.

Więc n(D) =

Liczbę n (E) można obliczyć w następujący sposób: Do cząstki dla drugiej komórki można zrobić na różne sposoby, pozostałe cząstki (M - K) są losowo rozmieszczone w komórce (N -1) (N -1) na sposoby M-K. Dlatego:

Jest to stosunek liczby obserwacji, w których wystąpiło dane zdarzenie, do całkowitej liczby obserwacji. Taka interpretacja jest dopuszczalna w przypadku odpowiednio dużej liczby obserwacji lub eksperymentów. Na przykład, jeśli około połowa ludzi, których spotykasz na ulicy, to kobiety, możesz powiedzieć, że prawdopodobieństwo, że osoba, którą spotykasz na ulicy, to kobieta, wynosi 1/2. Innymi słowy, częstość jego występowania w długiej serii niezależnych powtórzeń losowego eksperymentu może służyć jako oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia.

Prawdopodobieństwo w matematyce

We współczesnym podejściu matematycznym prawdopodobieństwo klasyczne (czyli nie kwantowe) daje aksjomatyka Kołmogorowa. Prawdopodobieństwo jest miarą P, który jest ustawiony na planie X, zwaną przestrzenią prawdopodobieństwa. Miara ta musi mieć następujące właściwości:

Z warunków tych wynika, że miara prawdopodobieństwa P posiada również nieruchomość addytywność: jeśli zestawy A 1 i A 2 nie przecinają się, a następnie . Aby to udowodnić, musisz umieścić wszystko A 3 , A 4 , … równa się zbiorowi pustemu i stosuje własność przeliczalnej addytywności.

Nie można zdefiniować miary prawdopodobieństwa dla wszystkich podzbiorów zbioru X. Wystarczy zdefiniować go na sigma-algebrze składającej się z pewnych podzbiorów zbioru X. W tym przypadku zdarzenia losowe definiuje się jako mierzalne podzbiory przestrzeni X, czyli jako elementy algebry sigma.

Zmysł prawdopodobieństwa

Kiedy stwierdzamy, że powody, dla których jakiś możliwy fakt rzeczywiście ma miejsce, przeważają nad powodami przeciwnymi, rozważamy ten fakt prawdopodobny, W przeciwnym razie - niesamowity. Ta przewaga dodatnich podstaw nad ujemnymi i odwrotnie, może reprezentować nieokreślony zbiór stopni, w wyniku czego prawdopodobieństwo(I nieprawdopodobieństwo) Zdarza się więcej Lub mniej .

Skomplikowane pojedyncze fakty nie pozwalają na dokładne obliczenie ich stopni prawdopodobieństwa, ale nawet tutaj ważne jest ustalenie pewnych dużych podziałów. I tak np. w dziedzinie prawa, gdy na podstawie zeznań świadków ustalany jest fakt osobisty podlegający procesowi, pozostaje on zawsze ściśle mówiąc tylko prawdopodobny i trzeba wiedzieć, jak duże jest to prawdopodobieństwo; w prawie rzymskim przyjęto tu poczwórny podział: pełnomocnictwo dowodowe(gdzie prawdopodobieństwo praktycznie zamienia się w autentyczność), Dalej - probatio minus plena, Następnie - probatio semiplena major i w końcu probatio semiplena minor .

Oprócz pytania o prawdopodobieństwo sprawy, może powstać, zarówno w dziedzinie prawa, jak i moralności (z pewnego etycznego punktu widzenia), pytanie, na ile jest prawdopodobne, że dany fakt stanowi naruszenie. prawo zwyczajowe. Kwestia ta, będąca głównym wątkiem religijnego orzecznictwa Talmudu, dała początek również rzymskokatolickiej teologii moralnej (zwłaszcza od czasów koniec XVI wieków) bardzo złożone konstrukcje systematyczne i ogromną literaturę dogmatyczną i polemiczną (patrz Probabilizm).

Pojęcie prawdopodobieństwa dopuszcza określone wyrażenie liczbowe w swoim zastosowaniu tylko do takich faktów, które wchodzą w skład pewnego jednorodnego szeregu. Tak więc (w najprostszym przykładzie), gdy ktoś rzuca monetą sto razy pod rząd, znajdujemy tutaj jedną wspólną lub dużą serię (suma wszystkich upadków monety), która składa się z dwóch prywatnych lub mniejszych, w tym przypadek numerycznie równy, seria (spada „orzeł” i spada „ogon”); Prawdopodobieństwo, że tym razem moneta wypadnie reszką, czyli że to nowy członek ogólnego szeregu będzie należeć do tego z dwóch mniejszych szeregów, równa się ułamkowi wyrażającemu stosunek liczbowy między tym małym szeregiem a dużym szeregiem, czyli 1/2, to znaczy takie samo prawdopodobieństwo należy do jednego lub drugiego z dwóch prywatnych seria. W mniej proste przykłady wniosku nie można wyciągnąć bezpośrednio z danych samego problemu, ale wymaga wcześniejszej indukcji. Na przykład pyta się: jakie jest prawdopodobieństwo tego noworodka dożyć 80 lat? Tutaj musi istnieć ogólny lub duży szereg znanej liczby osób urodzonych w podobnych warunkach i umierających w różnym wieku (liczba ta musi być na tyle duża, aby wyeliminować przypadkowe odchylenia, i na tyle mała, aby zachować jednorodność szeregu, ponieważ dla osoba urodzona np. w Petersburgu w dobrze sytuowanej kulturalnej rodzinie, cała milionowa ludność miasta, której znaczną część stanowią ludzie z różnych grup mogących przedwcześnie umrzeć - żołnierze, dziennikarze , pracownicy wykonujący niebezpieczne zawody – reprezentuje grupę zbyt niejednorodną, aby możliwe było rzeczywiste zdefiniowanie prawdopodobieństwa); niech ta całkowita liczba składa się z dziesięciu tysięcy życie ludzkie; zawiera mniejsze wiersze reprezentujące liczbę osób, które dożyły tego lub innego wieku; jeden z tych mniejszych wierszy reprezentuje liczbę osób dożywających 80 roku życia. Ale nie da się określić rozmiaru tej mniejszej serii (podobnie jak wszystkich innych). apriorycznie; odbywa się to w sposób czysto indukcyjny, poprzez statystyki. Załóżmy, że badania statystyczne wykazały, że na 10 000 petersburskich mieszkańców klasy średniej tylko 45 dożyje 80 roku życia; tak więc ten mniejszy rząd jest powiązany z większym jako 45 do 10 000, a prawdopodobieństwo przynależności danej osoby do tego mniejszego rzędu, czyli dożycia 80 lat, jest wyrażone jako ułamek 0,0045. Badanie prawdopodobieństwa z matematycznego punktu widzenia stanowi specjalną dyscyplinę, teorię prawdopodobieństwa.

Zobacz też

Notatki

Literatura

Alfreda Renyi. Listy o prawdopodobieństwie / tłum. z Hunga. D. Saas i A. Crumley, wyd. BV Gnedenko. M.: Mir. 1970
Gnedenko B.V. Kurs prawdopodobieństwa. M., 2007. 42 s.
Kupcow VI Determinizm i prawdopodobieństwo. M., 1976. 256 s.

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Synonimy:

antonimy:

Zobacz, czym jest „Prawdopodobieństwo” w innych słownikach:

Ogólnonaukowy i filozoficzny. kategoria określająca ilościowy stopień możliwości wystąpienia masowych zdarzeń losowych w ustalonych warunkach obserwacji, charakteryzująca stabilność ich względnych częstości. W logice stopień semantyczny ... ... Encyklopedia filozoficzna

PRAWDOPODOBIEŃSTWO, liczba z przedziału od zera do jednego włącznie, reprezentująca możliwość zajścia tego zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia definiuje się jako stosunek liczby szans wystąpienia zdarzenia do całkowitej liczby możliwych ... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

Najprawdopodobniej .. Słownik rosyjskich synonimów i wyrażeń o podobnym znaczeniu. pod. wyd. N. Abramova, M.: Słowniki rosyjskie, 1999. prawdopodobieństwo, możliwość, prawdopodobieństwo, szansa, obiektywna możliwość, maza, dopuszczalność, ryzyko. Mrówka. niemożliwość... ... Słownik synonimów

prawdopodobieństwo- Miara, że zdarzenie może wystąpić. Uwaga Matematyczna definicja prawdopodobieństwa to „liczba rzeczywista z przedziału od 0 do 1 związana ze zdarzeniem losowym”. Liczba może odzwierciedlać względną częstość w serii obserwacji ... ... Podręcznik tłumacza technicznego

Prawdopodobieństwo- „matematyczna, liczbowa charakterystyka stopnia prawdopodobieństwa wystąpienia dowolnego zdarzenia w określonych warunkach, które może być powtarzane nieograniczoną liczbę razy”. W oparciu o ten klasyk… … Słownik ekonomiczny i matematyczny

- (prawdopodobieństwo) Możliwość wystąpienia zdarzenia lub określonego wyniku. Można to przedstawić w postaci skali z podziałami od 0 do 1. Jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi zero, to jego zajście jest niemożliwe. Z prawdopodobieństwem równym 1 początek ... Słowniczek terminów biznesowych

Wszystko na świecie dzieje się deterministycznie lub losowo...
Arystoteles

Prawdopodobieństwo: podstawowe zasady

Teoria prawdopodobieństwa oblicza prawdopodobieństwa różnych zdarzeń. Podstawowe w teorii prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia losowego.

Na przykład rzucasz monetą, która losowo ląduje na herbie lub reszce. Nie wiesz z góry, po której stronie moneta wyląduje. Zawierasz umowę ubezpieczenia, nie wiesz z góry, czy płatności zostaną dokonane, czy nie.

W obliczeniach aktuarialnych trzeba umieć oszacować prawdopodobieństwo różnych zdarzeń, dlatego też teoria prawdopodobieństwa odgrywa kluczową rolę. Żadna inna gałąź matematyki nie zajmuje się prawdopodobieństwem zdarzeń.

Przyjrzyjmy się bliżej rzutowi monetą. Istnieją 2 wzajemnie wykluczające się wyniki: herb lub ogony. Wynik rzutu jest losowy, ponieważ obserwator nie może analizować i brać pod uwagę wszystkich czynników, które wpływają na wynik. Jakie jest prawdopodobieństwo herbu? Większość odpowie ½, ale dlaczego?

Niech formalnie A oznacza utratę herbu. Niech rzuci monetą N raz. Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia A można zdefiniować jako proporcję tych rolek, które dają herb:

Gdzie Nłączna liczba rzutów n(A) liczba herbów.

Relacja (1) jest nazywana częstotliwość wydarzenia A w długiej serii testów.

Okazuje się, że w różnych seriach testów odpowiednia częstotliwość w ogóle N skupienia wokół pewnej stałej wartości ROCZNIE). Ta wartość nazywa się prawdopodobieństwo zdarzenia A i jest oznaczony literą R- skrót do angielskie słowo prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo.

Formalnie mamy:

(2)

To prawo nazywa się prawo wielkich liczb.

Jeśli moneta jest poprawna (symetryczna), to prawdopodobieństwo otrzymania herbu jest równe prawdopodobieństwu otrzymania reszki i wynosi ½.

Pozwalać A I W określonych zdarzeń, na przykład tego, czy wystąpiło zdarzenie objęte ubezpieczeniem. Połączenie dwóch zdarzeń jest zdarzeniem polegającym na wykonaniu zdarzenia A, wydarzenia W lub oba wydarzenia razem. Skrzyżowanie dwóch wydarzeń A I W zwany zdarzeniem polegającym na wykonaniu jako zdarzenie A i wydarzenia W.

Podstawowe zasady prawdopodobieństwa zdarzeń są następujące:

1. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od zera do jednego:

2. Niech A i B będą dwoma zdarzeniami, to:

Brzmi to tak: prawdopodobieństwo połączenia dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń minus prawdopodobieństwo przecięcia się zdarzeń. Jeśli zdarzenia są niezgodne lub nie nakładają się, to prawdopodobieństwo połączenia (suma) dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw. To prawo nazywa się prawem wzbogacenie prawdopodobieństwa.

Mówimy, że zdarzenie jest pewne, jeśli jego prawdopodobieństwo jest równe 1. Analizując pewne zjawiska, pojawia się pytanie, w jaki sposób zajście zdarzenia wpływa na W na wydarzenie A. W tym celu wprowadź warunkowe prawdopodobieństwo :

(4)

Brzmi to tak: prawdopodobieństwo wystąpienia A jeśli się uwzględni W jest równe prawdopodobieństwu przejścia A I W podzielone przez prawdopodobieństwo zdarzenia W.
Formuła (4) zakłada, że prawdopodobieństwo zdarzenia W Powyżej zera.

Formułę (4) można również zapisać jako:

(5)

To jest formuła mnożenie prawdopodobieństw.

Znane również jako prawdopodobieństwo warunkowe. a posteriori prawdopodobieństwo zdarzenia A- prawdopodobieństwo wystąpienia A po wystąpieniu W.

W tym przypadku samo prawdopodobieństwo jest nazywane apriorycznie prawdopodobieństwo. Istnieje kilka innych ważnych formuł, które są często używane w obliczeniach aktuarialnych.

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo

Załóżmy, że przeprowadzany jest eksperyment, którego warunki można ustalić z góry wzajemnie wzajemnie wykluczające się założenia (hipotezy):

Zakładamy, że albo hipoteza ma miejsce, albo… lub. Prawdopodobieństwa tych hipotez są znane i równe:

Wtedy formuła się trzyma kompletny prawdopodobieństwa :

(6)

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równa sumie iloczynów prawdopodobieństwa wystąpienia A dla każdej hipotezy na prawdopodobieństwo tej hipotezy.

Formuła Bayesa

Formuła Bayesa pozwala na ponowne obliczenie prawdopodobieństwa hipotez w świetle Nowa informacja, co dało wynik A.

Formuła Bayesa w w pewnym sensie jest odwrotnością wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Rozważ następujący problem praktyczny.

Zadanie 1

Załóżmy, że doszło do katastrofy lotniczej i eksperci są zajęci badaniem jej przyczyn. Z góry znane są cztery przyczyny, dla których doszło do katastrofy: albo przyczyna, albo, albo, albo. Według dostępnych statystyk przyczyny te mają następujące prawdopodobieństwa:

Podczas badania miejsca katastrofy znaleziono ślady zapłonu paliwa, według statystyk prawdopodobieństwo tego zdarzenia z tego czy innego powodu jest następujące:

Pytanie: jaka jest najbardziej prawdopodobna przyczyna katastrofy?

Oblicz prawdopodobieństwa przyczyn pod warunkiem zajścia zdarzenia A.

To pokazuje, że pierwszy powód jest najbardziej prawdopodobny, ponieważ jego prawdopodobieństwo jest maksymalne.

Zadanie 2

Rozważmy lądowanie samolotu na lotnisku.

Podczas lądowania warunki pogodowe mogą być następujące: nie ma niskiego zachmurzenia (), jest niskie zachmurzenie (). W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo udanego lądowania wynosi P1. W drugim przypadku - R2. Jest oczywiste, że P1>P2.

Urządzenia zapewniające lądowanie na ślepo mają szansę na bezawaryjną pracę R. Jeśli zachmurzenie jest niskie, a przyrządy do lądowania na ślepo zawiodą, prawdopodobieństwo udanego lądowania wynosi P3, I P3<Р2 . Wiadomo, że dla danego lotniska ułamek dni w roku z niskim zachmurzeniem wynosi .

Znajdź prawdopodobieństwo bezpiecznego lądowania samolotu.

Musimy znaleźć prawdopodobieństwo.

Istnieją dwie wzajemnie wykluczające się opcje: ślepe urządzenia do lądowania działają, ślepe urządzenia do lądowania uległy awarii, więc mamy:

Stąd, zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:

Zadanie 3

Firma ubezpieczeniowa zajmuje się ubezpieczeniami na życie. 10% ubezpieczonych w tej firmie to palacze. Jeżeli ubezpieczony nie pali, to prawdopodobieństwo jego śmierci w ciągu roku wynosi 0,01. Jeżeli jest palaczem, to prawdopodobieństwo to wynosi 0,05.

Jaki jest odsetek palaczy wśród ubezpieczonych, którzy zmarli w ciągu roku?

Opcje odpowiedzi: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.

Rozwiązanie

Wpiszmy wydarzenia:

Stan problemu oznacza, że

Ponadto, ponieważ zdarzenia i tworzą kompletną grupę parami niekompatybilnych zdarzeń, to .
Interesujące nas prawdopodobieństwo wynosi .

Korzystając ze wzoru Bayesa mamy:

więc poprawną opcją jest ( W).

Zadanie 4

Towarzystwo ubezpieczeniowe prowadzi sprzedaż umów ubezpieczenia na życie w trzech kategoriach: standard, uprzywilejowane i ultrauprzywilejowane.

50% wszystkich ubezpieczonych to standard, 40% to preferowane, a 10% to ultrapreferowane.

Prawdopodobieństwo śmierci w ciągu roku dla standardowego ubezpieczonego wynosi 0,010, dla uprzywilejowanego 0,005, a dla ultrauprzywilejowanego 0,001.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmarły ubezpieczony jest ultrauprzywilejowany?

Rozwiązanie

Rozważmy następujące wydarzenia:

Jeśli chodzi o te zdarzenia, prawdopodobieństwo, które nas interesuje, wynosi . Według warunku:

Ponieważ zdarzenia , , tworzą kompletną grupę zdarzeń niekompatybilnych parami, korzystając ze wzoru Bayesa mamy:

Zmienne losowe i ich charakterystyki

Niech jakaś zmienna losowa, np. szkody od pożaru czy wysokość składek ubezpieczeniowych.
Zmienna losowa jest w pełni scharakteryzowana przez swoją dystrybuantę.

Definicja. Funkcjonować zwany funkcja dystrybucyjna zmienna losowa ξ .

Definicja. Jeśli istnieje taka funkcja, że dla dowolnego A zrobione

wtedy mówimy, że zmienna losowa ξ To ma gęstość rozkładu prawdopodobieństwa f(x).

Definicja. Pozwalać . Dla ciągłej funkcji dystrybucji F teoretyczny α-kwantyl nazywa się rozwiązaniem równania.

To rozwiązanie może nie być jedyne.

Kwantyl poziomu ½ zwane teoretycznymi mediana , kwantyle poziome ¼ I ¾ -dolny i górny kwartyl odpowiednio.

W aplikacjach aktuarialnych ważną rolę odgrywają tzw Nierówność Czebyszewa:

dla każdego

Symbol oczekiwań matematycznych.

Brzmi to tak: prawdopodobieństwo, że moduł jest większy niż mniejszy lub równy wartości oczekiwanej modułu podzielonej przez .

Czas życia jako zmienna losowa

Niepewność momentu śmierci jest głównym czynnikiem ryzyka w ubezpieczeniach na życie.

Nic pewnego nie można powiedzieć o momencie śmierci jednostki. Jeśli jednak mamy do czynienia z dużą jednorodną grupą ludzi i nie interesują nas losy poszczególnych osób z tej grupy, to mieścimy się w ramach teorii prawdopodobieństwa jako nauki o masowych zjawiskach losowych o własności stabilności częstotliwościowej.

Odpowiednio, możemy mówić o oczekiwanej długości życia jako zmiennej losowej T.

funkcja przetrwania

W teorii prawdopodobieństwa opisują stochastyczną naturę dowolnej zmiennej losowej T funkcja dystrybucyjna F(x), który jest zdefiniowany jako prawdopodobieństwo, że zmienna losowa T mniej niż liczba X:

.

W matematyce aktuarialnej przyjemnie jest pracować nie z funkcją dystrybucji, ale z dodatkową funkcją dystrybucji . Pod względem długowieczności jest to prawdopodobieństwo, że dana osoba dożyje wieku X lata.

zwany funkcja przetrwania(funkcja przetrwania):

Funkcja przetrwania ma następujące właściwości:

W tablicach trwania życia zwykle przyjmuje się, że jakieś jest limit wieku (wiek ograniczający) (z reguły lata) i odpowiednio o godz x>.

Opisując śmiertelność prawami analitycznymi, zwykle przyjmuje się, że czas życia jest nieograniczony, jednak rodzaj i parametry praw dobiera się tak, aby prawdopodobieństwo przeżycia powyżej określonego wieku było znikome.

Funkcja przeżycia ma proste znaczenie statystyczne.

Powiedzmy, że obserwujemy grupę noworodków (zwykle ), których obserwujemy i możemy zarejestrować momenty ich śmierci.

Oznaczmy liczbę żyjących przedstawicieli tej grupy w wieku do . Następnie:

.

Symbol mi tutaj i poniżej jest używany do oznaczenia oczekiwań matematycznych.

Tak więc funkcja przeżycia jest równa średniemu odsetkowi tych, którzy dożyli wieku z pewnej ustalonej grupy noworodków.

W matematyce aktuarialnej często pracuje się nie z funkcją przeżycia, ale z właśnie wprowadzoną wartością (po ustaleniu początkowej liczebności grupy).

Funkcję przeżycia można zrekonstruować z gęstości:

Charakterystyka długości życia

Z praktycznego punktu widzenia ważne są następujące cechy:

1 . Przeciętny dożywotni

,
2 . Dyspersja dożywotni

,
Gdzie
,

W gospodarce, podobnie jak w innych obszarach działalności człowieka czy w przyrodzie, nieustannie mamy do czynienia ze zdarzeniami, których nie da się dokładnie przewidzieć. Tak więc wielkość sprzedaży towarów zależy od popytu, który może się znacznie różnić, oraz od wielu innych czynników, których uwzględnienie jest prawie niemożliwe. W związku z tym w organizacji produkcji i sprzedaży należy przewidzieć wynik takich działań na podstawie własnych wcześniejszych doświadczeń lub podobnych doświadczeń innych osób lub intuicji, która również w dużej mierze opiera się na danych eksperymentalnych.

Aby w jakiś sposób ocenić rozważane wydarzenie, należy wziąć pod uwagę lub specjalnie zorganizować warunki, w których to wydarzenie jest rejestrowane.

Nazywa się wdrożenie określonych warunków lub działań w celu zidentyfikowania danego zdarzenia doświadczenie Lub eksperyment.

Zdarzenie nazywa się losowy jeśli w wyniku eksperymentu może to nastąpić lub nie.

Zdarzenie nazywa się niezawodny, jeśli koniecznie pojawia się w wyniku tego doświadczenia, oraz niemożliwe jeśli nie może pojawić się w tym doświadczeniu.

Na przykład opady śniegu w Moskwie 30 listopada to zdarzenie losowe. Codzienny wschód słońca można uznać za pewne wydarzenie. Opady śniegu na równiku można postrzegać jako wydarzenie niemożliwe.

Jednym z głównych problemów teorii prawdopodobieństwa jest problem wyznaczenia ilościowej miary możliwości zajścia zdarzenia.

Algebra zdarzeń
Zdarzenia nazywane są niekompatybilnymi, jeśli nie można ich zaobserwować razem w tym samym doświadczeniu. Tak więc obecność dwóch i trzech samochodów w jednym sklepie na sprzedaż w tym samym czasie to dwa niekompatybilne zdarzenia.

suma zdarzenia to zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń

Przykładem sumy zdarzeń jest obecność przynajmniej jednego z dwóch produktów w sklepie.

praca zdarzeń nazywamy zdarzeniem polegającym na równoczesnym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń

Zdarzenie polegające na pojawieniu się w Sklepie jednocześnie dwóch towarów jest wypadkową zdarzeń: - pojawienia się jednego towaru, - pojawienia się drugiego towaru.

Zdarzenia tworzą kompletną grupę zdarzeń, jeśli co najmniej jedno z nich koniecznie występuje w doświadczeniu.

Przykład. W porcie znajdują się dwa miejsca do cumowania statków. Można wziąć pod uwagę trzy zdarzenia: - brak statków przy nabrzeżach, - obecność jednego statku przy jednym z nabrzeży, - obecność dwóch statków przy dwóch nabrzeżach. Te trzy wydarzenia tworzą kompletną grupę wydarzeń.

Naprzeciwko nazywane są dwa unikalne możliwe zdarzenia, które tworzą kompletną grupę.

Jeśli jedno ze zdarzeń, które są przeciwne, jest oznaczone przez , to zdarzenie przeciwne jest zwykle oznaczone przez .

Klasyczne i statystyczne definicje prawdopodobieństwa zdarzenia

Każdy z jednakowo możliwych wyników testów (eksperymentów) nazywany jest wynikiem elementarnym. Zazwyczaj oznacza się je literami. Na przykład rzuca się kostką. W zależności od liczby punktów na bokach może być sześć podstawowych wyników.

Z elementarnych wyników można skomponować bardziej złożone wydarzenie. Tak więc zdarzenie o parzystej liczbie punktów jest determinowane trzema wynikami: 2, 4, 6.

Ilościową miarą możliwości wystąpienia rozważanego zdarzenia jest prawdopodobieństwo.

Najczęściej stosowane są dwie definicje prawdopodobieństwa zdarzenia: klasyczny I statystyczny.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa związana jest z pojęciem korzystnego wyniku.

Exodus jest nazywany korzystny to zdarzenie, jeżeli jego wystąpienie pociąga za sobą zajście tego zdarzenia.

W podanym przykładzie rozpatrywane zdarzenie jest parzystą liczbą punktów na opuszczonej krawędzi, ma trzy korzystne wyniki. W tym przypadku generał
liczbę możliwych wyników. Więc tutaj możesz użyć klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia.

Klasyczna definicja jest równy stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby możliwych wyników

gdzie jest prawdopodobieństwo zdarzenia , jest liczbą korzystnych wyników zdarzenia, jest całkowitą liczbą możliwych wyników.

W rozważanym przykładzie

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa związana jest z pojęciem względnej częstości występowania zdarzenia w eksperymentach.

Względna częstość występowania zdarzenia jest obliczana za pomocą wzoru

gdzie jest liczbą wystąpień zdarzenia w serii eksperymentów (testów).

Definicja statystyczna. Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba, względem której względna częstotliwość jest stabilizowana (ustalana) przy nieograniczonym wzroście liczby eksperymentów.

W praktycznych problemach za prawdopodobieństwo zdarzenia przyjmuje się względną częstość wystarczająco dużej liczby prób.

Z tych definicji prawdopodobieństwa zdarzenia widać, że nierówność zawsze zachodzi

Aby określić prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie wzoru (1.1), często stosuje się wzory kombinatoryki, aby znaleźć liczbę korzystnych wyników i całkowitą liczbę możliwych wyników.