Teoria gry - zestaw matematycznych metod rozwiązywania sytuacji konfliktowych (konfliktów interesów). W teorii gier gra nazywa się grą model matematyczny sytuacji konfliktowej. Przedmiotem szczególnego zainteresowania teorii gier jest badanie strategii podejmowania decyzji przez uczestników gier w warunkach niepewności. Niepewność wynika z faktu, że dwie lub więcej stron dąży do przeciwstawnych celów, a wynik każdego działania każdej ze stron zależy od posunięć partnera. Jednocześnie każda ze stron dąży do podejmowania optymalnych decyzji, które w jak największym stopniu realizują założone cele.

Teorię gier najkonsekwentniej stosuje się w ekonomii, gdzie powstają sytuacje konfliktowe np. w relacji dostawca – konsument, kupujący – sprzedawca, bank – klient. Zastosowanie teorii gier można znaleźć także w polityce, socjologii, biologii i sztuce wojennej.

Z historii teorii gier

Historia teorii gier Jak niezależna dyscyplina zaczyna się w roku 1944, kiedy John von Neumann i Oskar Morgenstern opublikowali książkę „Teoria gier i zachowania ekonomiczne„(„Teoria gier i zachowań ekonomicznych”). Choć z przykładami teorii gier spotykaliśmy się już wcześniej: traktat Talmudu babilońskiego o podziale majątku zmarłego męża pomiędzy jego żony, gry karciane w XVIII w. rozwój teorii szachów na początku XX wieku, dowód twierdzenia o minimaksie przez tego samego Johna von Neumanna w 1928 roku, bez którego nie byłoby teorii gier.

W latach 50. XX wieku Melvin Drescher i Meryl Flood z Firma Rand jako pierwsi zastosowali eksperymentalnie dylemat więźnia, Johna Nasha W swoich pracach dotyczących stanu równowagi w grach dwuosobowych rozwinął koncepcję równowagi Nasha.

W 1965 roku Reinhard Salten opublikował książkę „The Treatment of Oligopoly in Game Theory on Demand” („Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit”), dzięki której zastosowanie teorii gier w ekonomii otrzymało nowy wymiar siła napędowa. Krok naprzód w ewolucji teorii gier wiąże się z pracą Johna Maynarda Smitha „Evolutionary Stable Strategy” (1974). Dylemat więźnia został spopularyzowany w książce Roberta Axelroda z 1984 roku The Evolution of Cooperative. W 1994, właśnie za jego wkład w teorię gier nagroda Nobla Nagrodzono Johna Nasha, Johna Harsanyi i Reinharda Seltena.

Teoria gier w życiu i biznesie

Zatrzymajmy się bardziej szczegółowo nad istotą sytuacji konfliktowej (konfliktu interesów) w takim sensie, w jakim jest ona rozumiana w teorii gier dla dalszego modelowania różnych sytuacji życiowych i biznesowych. Niech dana osoba znajdzie się w sytuacji, która prowadzi do jednego z kilku możliwych wyników i ma pewne osobiste preferencje dotyczące tych wyników. Choć może w pewnym stopniu kontrolować zmienne determinujące wynik, nie ma nad nimi całkowitej władzy. Czasami kontrola jest w rękach kilku osób, które podobnie jak on mają pewne preferencje co do możliwych wyników, ale generalnie interesy tych osób nie są spójne. W innych przypadkach ostateczny wynik może zależeć zarówno od przypadku (czasami nazywanego w naukach prawnych klęską żywiołową), jak i od innych osób. Teoria gier systematyzuje obserwacje takich sytuacji i sformułowań ogólne zasady aby kierować rozsądnymi działaniami w takich sytuacjach.

Pod pewnymi względami nazwa „teoria gier” jest niefortunna, ponieważ sugeruje, że teoria gier uwzględnia tylko tych, którzy nie mają znaczenie społeczne kolizji, które zdarzają się w grach towarzyskich, ale mimo to teoria ta ma znacznie szersze znaczenie.

Następująca sytuacja ekonomiczna może dać wyobrażenie o zastosowaniu teorii gier. Załóżmy, że jest kilku przedsiębiorców, z których każdy dąży do uzyskania maksymalnego zysku, mając jednocześnie ograniczoną władzę nad zmiennymi determinującymi ten zysk. Przedsiębiorca nie ma wpływu na zmienne, które kontroluje inny przedsiębiorca, ale które mogą znacząco wpłynąć na dochody pierwszego. Traktowanie tej sytuacji jako gry może budzić następujący zarzut. W modelu gry zakłada się, że każdy przedsiębiorca dokonuje jednego wyboru z szeregu możliwych wyborów i te pojedyncze wybory determinują zyski. Oczywiście w rzeczywistości prawie nie może się to zdarzyć, ponieważ w tym przypadku w przemyśle nie byłyby potrzebne skomplikowane aparaty zarządzające. Istnieje po prostu szereg decyzji i modyfikacji tych decyzji, które zależą od wyborów dokonanych przez innych uczestników system ekonomiczny(przez graczy). Jednak w zasadzie można sobie wyobrazić administratora, który przewiduje wszystkie możliwe zdarzenia i szczegółowo opisuje działania, jakie należy podjąć w każdym przypadku, zamiast rozwiązywać każdy problem w miarę jego pojawiania się.

Konflikt militarny z definicji to zderzenie interesów, w którym żadna ze stron nie ma całkowitej kontroli nad zmiennymi determinującymi wynik, o którym decyduje seria bitew. Możesz po prostu uznać wynik za wygraną lub porażkę i przypisać im wartości liczbowe 1 i 0.

Jedną z najprostszych sytuacji konfliktowych, które można zapisać i rozwiązać w teorii gier, jest pojedynek, będący konfliktem pomiędzy dwoma graczami 1 i 2, posiadającymi odpowiednio P I Q strzały. Dla każdego zawodnika dostępna jest funkcja wskazująca prawdopodobieństwo oddania strzału przez zawodnika I w pewnym momencie T zada cios, który będzie śmiertelny.

W rezultacie teoria gier dochodzi do następującego sformułowania pewnej klasy konfliktów interesów: istnieją N graczy i każdy musi wybrać jedną opcję ze stu konkretnych zestawów, a dokonując wyboru, gracz nie ma informacji o wyborach innych graczy. Obszar możliwego wyboru gracza może zawierać takie elementy, jak „gra asem pik”, „produkcja czołgów zamiast samochodów” lub bardziej ogólnie, strategia określająca wszystkie działania, jakie należy podjąć w każdych możliwych okolicznościach. Każdy gracz staje przed zadaniem: jakiego dokonać wyboru, aby jego prywatny wpływ na wynik przyniósł mu jak największe zwycięstwo?

Model matematyczny w teorii gier i formalizacja problemów

Jak już zauważyliśmy, gra jest matematycznym modelem sytuacji konfliktowej i wymaga następujących komponentów:

1. zainteresowane strony;
2. możliwe działania z każdej strony;
3. interesy stron.

Strony zainteresowane grą nazywane są graczami , każdy z nich może wykonać co najmniej dwie akcje (jeśli gracz ma do dyspozycji tylko jedną akcję, to tak naprawdę nie uczestniczy w grze, gdyż z góry wiadomo, co wykona). Wynik gry nazywany jest wygraną .

Prawdziwy sytuacja konfliktowa nie zawsze, ale gra (w ujęciu teorii gier) – zawsze – toczy się według pewne zasady , które dokładnie określają:

1. opcje działań graczy;
2. ilość informacji, jakie każdy gracz posiada na temat zachowania swojego partnera;
3. wypłata, do której prowadzi każdy zestaw działań.

Przykładami sformalizowanych gier są: piłka nożna, gra karciana, szachy.

Ale w ekonomii powstaje model zachowań graczy, np. gdy kilka firm stara się zająć bardziej korzystne miejsce na rynku, kilka osób próbuje podzielić między siebie jakieś dobro (zasoby, finanse) tak, aby każdy dostał jak najwięcej . Graczami w sytuacjach konfliktowych w gospodarce, które można modelować w formie gry, są firmy, banki, osoby fizyczne i inne podmioty gospodarcze. Z kolei w warunkach wojennych model gry wykorzystywany jest np. przy wyborze najlepszej broni (z istniejącej lub potencjalnej) do pokonania wroga lub zabezpieczenia się przed atakiem.

Grę charakteryzuje niepewność wyniku . Przyczyny niepewności można podzielić na następujące grupy:

1. kombinatoryczny (jak w szachach);
2. wpływ czynników losowych (jak w grze „orła lub reszka”, w kości, w grach karcianych);
3. strategiczne (gracz nie wie, jaką akcję podejmie wróg).

Strategia gracza to zbiór zasad, które określają jego działania przy każdym ruchu w zależności od aktualnej sytuacji.

Cel teorii gier jest określenie optymalnej strategii dla każdego gracza. Ustalenie takiej strategii oznacza rozwiązanie gry. Optymalność strategii osiągnięty, gdy jeden z graczy musi otrzymać maksymalna wygrana, mimo że ten drugi trzyma się swojej strategii. Drugi gracz powinien ponieść minimalną stratę, jeśli pierwszy będzie trzymał się swojej strategii.

Klasyfikacja gier

1. Klasyfikacja według liczby graczy (gra dla dwóch lub więcej osób). Gry dwuosobowe zajmują centralne miejsce w całej teorii gier. Podstawową koncepcją teorii gier dla gier dwuosobowych jest uogólnienie bardzo istotnej idei równowagi, która naturalnie pojawia się w grach dwuosobowych. Jeśli chodzi o gry N jednostek, wówczas jedna część teorii gier poświęcona jest grom, w których zabroniona jest współpraca między graczami. W innej części teorii gier N jednostkami, zakłada się, że gracze mogą współpracować dla obopólnych korzyści (patrz dalej w tym akapicie na temat gier niekooperacyjnych i kooperacyjnych).
2. Klasyfikacja według liczby graczy i ich strategii (liczba strategii wynosi co najmniej dwie, może być nieskończona).
3. Klasyfikacja według ilości informacji w stosunku do poprzednich ruchów: gry z pełna informacja i niekompletne informacje. Niech będzie gracz 1 – kupujący i gracz 2 – sprzedający. Jeżeli gracz 1 nie ma pełnych informacji o działaniach gracza 2, wówczas gracz 1 nie może dokonać rozróżnienia pomiędzy dwiema alternatywami, pomiędzy którymi musi dokonać wyboru. Na przykład wybór pomiędzy dwoma rodzajami jakiegoś produktu i niewiedza, że ​​zgodnie z pewnymi cechami będzie to produkt A gorszy produkt B, gracz 1 może nie widzieć różnicy pomiędzy alternatywami.
4. Klasyfikacja według zasad podziału wygranych : spółdzielczy, koalicja z jednej strony i niekooperacyjny, niekoalicja z drugiej strony. W gra niekooperacyjna , lub w przeciwnym wypadku - gra niekooperacyjna , gracze wybierają strategie jednocześnie, nie wiedząc, którą strategię wybierze drugi gracz. Komunikacja pomiędzy graczami jest niemożliwa. W gra kooperacyjna , lub w przeciwnym wypadku - gra koalicyjna , gracze mogą tworzyć koalicje i podejmować zbiorowe działania w celu zwiększenia swoich wygranych.
5. Skończona dwuosobowa gra o sumie zerowej lub gra antagonistyczna to gra strategiczna z pełną informacją, w której biorą udział strony o przeciwstawnych interesach. Gry antagonistyczne są gry matrixowe .

Klasycznym przykładem z teorii gier jest dylemat więźnia.

Obaj podejrzani zostają zatrzymani i rozdzieleni od siebie. Prokurator okręgowy jest przekonany, że dopuścili się oni poważnego przestępstwa, jednak nie ma wystarczających dowodów, aby postawić im zarzuty na rozprawie. Mówi każdemu więźniowi, że ma dwie możliwości: przyznać się do przestępstwa, które zdaniem policji popełnił, lub nie przyznać się do winy. Jeżeli obaj się nie przyznają, prokurator oskarży ich o drobne przestępstwo, takie jak drobna kradzież lub nielegalne posiadanie broni, i obaj otrzymają mała kara. Jeśli obaj przyznają się do winy, staną przed sądem, ale on nie będzie domagał się najsurowszego wyroku. Jeśli jeden się przyzna, a drugi nie, wówczas temu, który się przyznał, złagodzi się wyrok za ekstradycję wspólnika, a temu, który będzie się upierał, otrzyma „w pełni”.

Jeśli sformułować to strategiczne zadanie w kategoriach konkluzji, to sprowadza się ono do następujących kwestii:

Zatem jeśli obaj więźniowie nie przyznają się do winy, każdy z nich otrzyma po roku więzienia. Jeśli obaj się przyznają, każdy dostanie 8 lat. A jeśli jeden się przyzna, drugi się nie przyzna, to temu, który się przyznał, grozi trzy miesiące więzienia, a temu, który się nie przyznaje, grozi 10 lat. Powyższa matryca trafnie odzwierciedla dylemat więźnia: każdy staje przed pytaniem, czy się przyznać, czy nie. Gra, którą prokurator okręgowy oferuje więźniom, to gra niekooperacyjna lub w przeciwnym wypadku - gra niekooperacyjna . Jeżeli obaj więźniowie mieliby możliwość współpracy (tj. gra miałaby charakter kooperacyjny albo gra koalicyjna ), wówczas obaj nie przyznaliby się do winy i każdy otrzymałby rok więzienia.

Przykłady wykorzystania narzędzi matematycznych teorii gier

Przejdźmy teraz do rozważenia rozwiązań przykładów typowych klas gier, dla których istnieją metody badań i rozwiązań w teorii gier.

Przykład sformalizowania niekooperacyjnej (niekooperacyjnej) gry dwóch osób

W poprzednim akapicie przyjrzeliśmy się już przykładowi gry niekooperacyjnej (niekooperacyjnej) (dylemat więźnia). Wzmacniajmy nasze umiejętności. Nadaje się do tego również klasyczna fabuła inspirowana „Przygodami Sherlocka Holmesa” Arthura Conana Doyle’a. Można oczywiście sprzeciwić się: przykład nie pochodzi z życia, ale z literatury, ale Conan Doyle nie dał się poznać jako pisarz science fiction! Klasyczne także dlatego, że zadania tego dokonał Oskar Morgenstern, jak już ustaliliśmy, jeden z twórców teorii gier.

Przykład 1. Podane zostanie skrócone streszczenie fragmentu jednego z „Przygód Sherlocka Holmesa”. Zgodnie ze znanymi koncepcjami teorii gier stwórz model sytuacji konfliktowej i formalnie zapisz przebieg gry.

Sherlock Holmes zamierza udać się z Londynu do Dover, a dalszym celem jest przedostanie się na kontynent (europejski), aby uciec przed ścigającym go profesorem Moriartym. Wsiadłszy do pociągu, na peronie zobaczył profesora Moriarty'ego. Sherlock Holmes przyznaje, że Moriarty może wybrać specjalny pociąg i go wyprzedzić. Sherlock Holmes ma dwie możliwości: kontynuować podróż do Dover lub wysiąść na stacji Canterbury, która jest jedyną stacją pośrednią na jego trasie. Akceptujemy fakt, że jego przeciwnik jest wystarczająco inteligentny, aby określić możliwości Holmesa, ma więc te same dwie możliwości. Obaj przeciwnicy muszą wybrać stację, na której wysiądą z pociągu, nie wiedząc, jaką decyzję każdy z nich podejmie. Jeśli w wyniku podjęcia decyzji obaj znajdą się na tym samym stanowisku, to z pewnością możemy założyć, że Sherlock Holmes zostanie zabity przez profesora Moriarty'ego. Jeśli Sherlock Holmes bezpiecznie dotrze do Dover, zostanie uratowany.

Rozwiązanie. Bohaterów Conana Doyle’a możemy uznać za uczestników gry, czyli graczy. Dostępne dla każdego gracza I (I=1,2) dwie czyste strategie:

• wysiąść w Dover (strategia Si1 ( I=1,2) );
• wysiąść na stacji pośredniej (strategia Si2 ( I=1,2) )

W zależności od tego, którą z dwóch strategii wybierze każdy z dwóch graczy, zostanie utworzona specjalna kombinacja strategii jako para S = (S1 , S 2 ) .

Każdą kombinację można powiązać z jakimś wydarzeniem - skutkiem próby morderstwa Sherlocka Holmesa dokonanej przez profesora Moriarty'ego. Tworzymy matrycę tej gry z możliwymi zdarzeniami.

Pod każdym z wydarzeń znajduje się indeks wskazujący na przejęcie profesora Moriarty'ego i wyliczany w zależności od ocalenia Holmesa. Obaj bohaterowie jednocześnie wybierają strategię, nie wiedząc, co wybierze wróg. Gra nie ma zatem charakteru kooperacyjnego, ponieważ po pierwsze gracze jadą różnymi pociągami, a po drugie mają przeciwstawne interesy.

Przykład formalizacji i rozwiązania gry kooperacyjnej (koalicyjnej). N osoby

W tym miejscu część praktyczną, czyli proces rozwiązywania przykładowego problemu, poprzedzi część teoretyczna, w której zapoznamy się z koncepcjami teorii gier służącymi do rozwiązywania gier kooperacyjnych (niekooperacyjnych). W przypadku tego zadania teoria gier sugeruje:

• funkcja charakterystyczna (w uproszczeniu odzwierciedla wielkość korzyści płynących z połączenia graczy w koalicję);
• pojęcie addytywności (właściwość wielkości polegająca na tym, że wartość wielkości odpowiadającej całemu obiektowi jest równa sumie wartości wielkości odpowiadających jego częściom w pewnej klasie przegród obiektu na części) i superaddytywność (wartość wielkości odpowiadającej całemu obiektowi jest większa niż suma wartości wielkości odpowiadających jego częściom) funkcji charakterystycznej.

Superaddytywność funkcji charakterystycznej sugeruje, że przyłączenie się do koalicji jest korzystne dla graczy, gdyż w tym przypadku wartość wypłaty koalicji rośnie wraz z liczbą graczy.

Aby sformalizować grę, należy wprowadzić notacje formalne dla powyższych pojęć.

Do gry N oznaczmy zbiór wszystkich jego graczy jako N= (1,2,...,n) Dowolny niepusty podzbiór zbioru N oznaczmy to jako T(w tym siebie N i wszystkie podzbiory składające się z jednego elementu). Na stronie znajduje się lekcja ” Zbiory i operacje na zbiorach", który otwiera się w nowym oknie po kliknięciu linku.

Funkcja charakterystyczna jest oznaczona jako w a jego dziedzina definicji składa się z możliwych podzbiorów zbioru N. w(T) - wartość funkcji charakterystycznej dla danego podzbioru, np. dochód uzyskiwany przez koalicję, ewentualnie obejmującą koalicję złożoną z jednego gracza. Jest to o tyle ważne, że teoria gier wymaga sprawdzenia obecności superaddytywności dla wartości funkcji charakterystycznej wszystkich koalicji rozłącznych.

Dla dwóch niepustych koalicji podzbiorów T1 I T2 Addytywność charakterystycznej funkcji gry kooperacyjnej (koalicyjnej) zapisuje się następująco:

A superaddytywność wygląda następująco:

Przykład 2. Trzej studenci Szkoła Muzyczna Pracują na pół etatu w różnych klubach, a dochody czerpią od gości klubowych. Określ, czy opłaca się im łączyć siły (jeśli tak, to na jakich warunkach), wykorzystując koncepcje teorii gier do rozwiązywania gier kooperacyjnych N osób, z następującymi danymi początkowymi.

Średni przychód na wieczór wynosił:

• skrzypek ma 600 jednostek;
• gitarzysta ma 700 jednostek;
• piosenkarka ma 900 jednostek.

Próbując zwiększyć przychody, studenci w ciągu kilku miesięcy utworzyli różne grupy. Wyniki pokazały, że łącząc siły, mogliby zwiększyć swoje wieczorne przychody poprzez:

• skrzypek + gitarzysta zarobił 1500 jednostek;
• skrzypek + śpiewak zarobił 1800 jednostek;
• gitarzysta + piosenkarz zarobił 1900 jednostek;
• skrzypek + gitarzysta + piosenkarz zarobili 3000 jednostek.

Rozwiązanie. W tym przykładzie liczba graczy w grze N= 3, zatem dziedzina definicji funkcji charakterystycznej gry składa się z 2³ = 8 możliwych podzbiorów zbioru wszystkich graczy. Wypiszmy wszystkie możliwe koalicje T:

• koalicje jednego elementu, z których każda składa się z jednego gracza – muzyka: T{1} , T{2} , T{3} ;
• koalicja dwóch elementów: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
• koalicja trzech elementów: T{1,2,3} .

Każdemu odtwarzaczowi przypiszemy numer seryjny:

• skrzypek - 1. gracz;
• gitarzysta - drugi gracz;
• piosenkarz - trzeci gracz.

Na podstawie danych problemowych wyznaczamy charakterystyczną funkcję gry w:

v(T(1)) = 600 ; v(T(2)) = 700 ; v(T(3)) = 900 ; te wartości funkcji charakterystycznej ustalane są na podstawie wypłat odpowiednio pierwszego, drugiego i trzeciego gracza, gdy nie zjednoczą się oni w koalicję;

v(T(1,2)) = 1500 ; v(T(1,3)) = 1800 ; v(T(2,3)) = 1900 ; te wartości funkcji charakterystycznej są określone przez dochód każdej pary graczy zjednoczonych w koalicji;

v(T(1,2,3)) = 3000 ; tę wartość funkcji charakterystycznej wyznacza średni dochód w przypadku, gdy gracze łączą się trójkami.

Wymieniliśmy zatem wszystkie możliwe koalicje graczy; jest ich, jak powinno być, gdyż dziedzina definicji funkcji charakterystycznej gry składa się z dokładnie ośmiu możliwych podzbiorów zbioru wszystkich graczy. Tego wymaga teoria gier, ponieważ musimy sprawdzić obecność superaddytywności dla wartości funkcji charakterystycznej wszystkich rozłącznych koalicji.

W jaki sposób warunki superaddytywności są spełnione w tym przykładzie? Ustalmy, w jaki sposób gracze tworzą rozłączne koalicje T1 I T2 . Jeśli niektórzy gracze są częścią koalicji T1 , wówczas wszyscy pozostali gracze wchodzą w skład koalicji T2 i z definicji ta koalicja powstaje jako różnica całego zestawu graczy i zestawu T1 . A następnie, jeśli T1 - koalicja jednego gracza, potem w koalicji T2 jeśli będą w koalicji, będzie drugi i trzeci gracz T1 będzie pierwszy i trzeci gracz, potem koalicja T2 będzie składać się tylko z drugiego gracza i tak dalej.

Zabawnym przykładem zastosowania teorii gier jest książka fantasy „The Brave Golem” autorstwa Anthony’ego Pearce’a.

Dużo tekstu

„To, co zamierzam wam wszystkim zademonstrować” – zaczął Grundy – „ polega na zdobyciu wymaganej liczby punktów”. Wyniki mogą być bardzo różne – wszystko zależy od splotu decyzji podjętych przez uczestników gry. Załóżmy na przykład, że każdy uczestnik zeznaje przeciwko swojemu innemu graczowi. W takim przypadku każdemu uczestnikowi może zostać przyznany jeden punkt!
- Jeden punkt! – powiedziała Morska Wiedźma, okazując nieoczekiwane zainteresowanie grą. Najwyraźniej czarodziejka chciała mieć pewność, że golem nie będzie miał szans uszczęśliwić nim demona Xantha.
– Załóżmy teraz, że żaden z uczestników gry nie zeznaje przeciwko swojemu przyjacielowi! – Grundy kontynuował. – W takim przypadku każda osoba może otrzymać trzy punkty. Chcę szczególnie podkreślić, że jeśli wszyscy uczestnicy zachowują się w ten sam sposób, otrzymują taką samą liczbę punktów. Nikt nie ma żadnej przewagi nad drugim.
- Trzy punkty! - powiedziała druga wiedźma.
– Ale teraz mamy prawo sugerować, że jeden z zawodników zaczął zeznawać przeciwko drugiemu, a drugi nadal milczy! - powiedział Grundy. – W tym przypadku ten, kto składa takie świadectwo, otrzymuje od razu pięć punktów, a ten, który milczy, nie otrzymuje ani jednego punktu!
- Tak! – zawołały obie czarownice jednym głosem, drapieżnie oblizując wargi. Wiadomo było, że obaj zdobędą po pięć punktów.
– Ciągle gubiłem okulary! – zawołał demon. – Ale tylko nakreśliłeś sytuację i nie przedstawiłeś jeszcze sposobu jej rozwiązania! Jaka jest więc Twoja strategia? Nie musisz tracić czasu!
- Poczekaj, teraz wszystko ci wyjaśnię! – zawołał Grundy. „Każdy z nas czterech – jest nas dwóch golemów i dwie wiedźmy – będzie walczył z naszymi przeciwnikami. Czarownice oczywiście będą się starały nie ustąpić nikomu w niczym...
- Z pewnością! – zawołały ponownie obie czarownice zgodnie. Już na pierwszy rzut oka doskonale zrozumieli golema!
„A drugi golem zastosuje moją taktykę” – kontynuował spokojnie Grundy. Spojrzał na swojego sobowtóra. - Oczywiście, wiesz?
- Tak, oczywiście! Jestem twoją kopią! Doskonale rozumiem, co myślisz!
- To wspaniale! W takim razie wykonajmy pierwszy ruch, aby demon mógł wszystko zobaczyć na własne oczy. Każda walka będzie miała kilka rund, aby cała strategia mogła zostać rozegrana i zrobić wrażenie. cały system. Może powinienem zacząć.

– Teraz każdy z nas musi zaznaczyć swoje własne kartki papieru! – golem zwrócił się do wiedźmy. – Najpierw powinieneś narysować uśmiechniętą twarz. Będzie to oznaczać, że nie będziemy zeznawać przeciwko współwięźniowi. Można też narysować minę marszczącą brwi, co oznacza, że ​​myślimy tylko o sobie i dajemy niezbędne dowody przeciwko naszemu towarzyszowi. Oboje zdajemy sobie sprawę, że byłoby lepiej, gdyby nikt nie okazał się tą samą marszczącą brwi, ale z drugiej strony marszcząca się twarz ma pewną przewagę nad uśmiechniętą! Ale chodzi o to, że każdy z nas nie wie, co wybierze drugi! Nie dowiemy się tego, dopóki nasz partner nie ujawni swojego rysunku!
- Zaczynaj, draniu! – przeklęła wiedźma. Ona, jak zawsze, nie mogła obejść się bez obraźliwych epitetów!
- Gotowy! – wykrzyknął Grundy, rysując na swojej kartce wielką uśmiechniętą twarz, tak aby wiedźma nie widziała, co tam narysował. Czarownica wykonała swój ruch, również robiąc minę. Trzeba pomyśleć, że z pewnością przybrała niemiły wyraz twarzy!
„No cóż, teraz musimy tylko pokazać sobie nawzajem nasze rysunki” – oznajmił Grundy. Odwracając się, otworzył rysunek dla publiczności i pokazał go we wszystkich kierunkach, aby każdy mógł go zobaczyć. Mamrocząc coś niezadowolonego, Morska Wiedźma zrobiła to samo.
Tak jak Grundy się spodziewał, z rysunku wiedźmy wyjrzała wściekła, niezadowolona twarz.
„Teraz wy, drodzy widzowie” – powiedział uroczyście Grundy, „zobaczcie, że wiedźma zdecydowała się zeznawać przeciwko mnie”. Nie zamierzam tego zrobić. W ten sposób Morska Wiedźma zdobywa pięć punktów. I w związku z tym nie dostaję ani jednego punktu. I tu…
W rzędach widzów ponownie rozległ się cichy hałas. Wszyscy wyraźnie sympatyzowali z golemem i gorąco pragnęli porażki Morskiej Wiedźmy.
Ale gra dopiero się zaczęła! Gdyby tylko jego strategia była słuszna…
– Teraz możemy przejść do drugiej tury! – oznajmił uroczyście Grundy. – Musimy powtórzyć ruchy jeszcze raz. Każdy rysuje twarz, która jest mu najbliższa!
I tak też zrobili. Grundy miał teraz ponurą, niezadowoloną twarz.
Gdy tylko gracze pokazali swoje rysunki, publiczność zauważyła, że ​​oboje robili teraz wściekłe miny.
- Po dwa punkty dla każdego! - powiedział Grundy.
- Siedem dwa na moją korzyść! – krzyknęła radośnie wiedźma. – Nie wyjdziesz stąd, draniu!
- Zacznijmy jeszcze raz! – zawołał Grundy. Zrobili kolejny rysunek i pokazali go publiczności. Znowu te same wściekłe twarze.
– Każdy z nas powtórzył poprzedni ruch, zachował się egoistycznie i dlatego wydaje mi się, że lepiej nikomu nie przyznawać punktów! - powiedział golem.
– Ale nadal prowadzę grę! - powiedziała wiedźma radośnie zacierając ręce.
- Dobra, nie rób hałasu! - powiedział Grundy. - Gra się nie skończyła. Zobaczmy co się stanie! Zatem, drodzy widzowie, zaczynamy czwartą rundę!
Gracze ponownie wykonali rysunki, pokazując widzom to, co narysowali na swoich arkuszach. Obie kartki papieru ponownie pokazywały publiczności te same złe twarze.
- Osiem - trzy! - krzyknęła wiedźma, wybuchając złym śmiechem. „Swoją głupią strategią wykopałeś sobie grób, golemie!”
- Piąta runda! – krzyknął Grundy. Powtórzyło się to samo co w poprzednich rundach - znów wściekłe twarze, zmienił się tylko wynik - zrobiło się dziewięć - cztery na korzyść czarodziejki.
– Teraz ostatnia, szósta runda! – oznajmił Grundy. Jego wstępne obliczenia wykazały, że ta konkretna runda powinna stać się fatalna. Teraz teorię należało potwierdzić lub obalić praktyka.
Kilka szybkich i nerwowych ruchów ołówkiem na papierze - i oba rysunki pojawiły się przed oczami publiczności. Znów dwie twarze, teraz nawet z obnażonymi zębami!
– Dziesięć – pięć na moją korzyść! Moja gra! Wygrałem! – zachichotała Morska Wiedźma.

„Naprawdę wygrałeś” – zgodził się ponuro Grundy. Publiczność zachowała złowrogą ciszę.
Demon poruszył ustami, żeby coś powiedzieć.

- Ale nasz konkurs jeszcze się nie skończył! – krzyknął głośno Grundy. – To była dopiero pierwsza część meczu.
- Daj ci wieczność! – demon Xanth mruknął niezadowolony.
- Prawda! – Grundy powiedział spokojnie. – Ale jedna runda niczego nie rozwiązuje, tylko metodyczność wskazuje na najlepszy wynik.
Golem zbliżył się teraz do drugiej wiedźmy.
– Chciałbym rozegrać tę rundę z innym przeciwnikiem! - oznajmił. – Każdy z nas, tak jak poprzednio, przedstawi twarze, a potem pokażemy publiczności, co przyciągnęliśmy!
Tak zrobili. Efekt był taki sam jak ostatnim razem - Grundy narysował uśmiechniętą twarz, a wiedźma tylko czaszkę. Od razu zyskała aż pięciopunktową przewagę, zostawiając Grundy'ego w tyle.
Pozostałe pięć rund zakończyło się wynikami, jakich można było się spodziewać. Po raz kolejny wynik był dziesięć do pięciu na korzyść Morskiej Wiedźmy.
– Golem, bardzo podoba mi się twoja strategia! - zaśmiała się wiedźma.
– A więc obejrzeliście dwie rundy meczu, drodzy widzowie! – zawołał Grundy. „W ten sposób zdobyłem dziesięć punktów, a moi rywale dwadzieścia!”
Publiczność, która także liczyła punkty, ponuro kiwała głowami. Ich liczba odpowiadała liczbie golema. Jedynie chmura o imieniu Fracto wydawała się bardzo zadowolona, ​​chociaż oczywiście też nie sympatyzowała z wiedźmą.
Ale Roszpunka uśmiechnęła się do golema z aprobatą - nadal w niego wierzyła. Być może tylko ona mu teraz uwierzyła. Grundy miał nadzieję, że uzasadni to bezgraniczne zaufanie.
Teraz Grundy zbliżył się do swojego trzeciego przeciwnika – swojego sobowtóra. Miał być jego ostatnim przeciwnikiem. Szybko bazgrając ołówkiem na papierze, golemy pokazywały kawałki papieru publiczności. Każdy widział dwie roześmiane twarze.
– Uwaga, drodzy widzowie, każdy z nas wybrał bycie dobrym współwięźniem! – zawołał Grundy. „I dlatego nikt z nas nie uzyskał w tej grze niezbędnej przewagi nad przeciwnikami”. Zatem obaj zdobywamy po trzy punkty i przechodzimy do kolejnej rundy!
Rozpoczęła się druga runda. Wynik był taki sam jak poprzednim razem. Potem pozostałe rundy. I w każdej rundzie obaj przeciwnicy ponownie zdobyli po trzy punkty! To było po prostu niewiarygodne, ale opinia publiczna była gotowa potwierdzić wszystko, co się działo.

Wreszcie runda ta dobiegła końca i Grundy szybko przejeżdżając ołówkiem po papierze, zaczął obliczać wynik. Wreszcie oznajmił uroczyście:
- Osiemnaście do osiemnastu! W sumie zdobyłem dwadzieścia osiem punktów, podczas gdy moi przeciwnicy zdobyli trzydzieści osiem!
„Więc przegrałeś” – oznajmiła radośnie Morska Wiedźma. – Tym samym jeden z nas zostanie zwycięzcą!
- Może! – Grundy odpowiedział spokojnie. Teraz nadchodził kolejny ważny punkt. Jeśli wszystko pójdzie zgodnie z planem...
– Trzeba zakończyć tę sprawę! – wykrzyknął drugi golem. – Muszę jeszcze stoczyć walkę z dwiema Morskimi Czarownicami! Gra jeszcze się nie skończyła!
- Tak, oczywiście, śmiało! - powiedział Grundy. – Ale kieruj się strategią!
- Tak, oczywiście! – zapewnił sobowtór.
Golem podszedł do jednej z czarownic i zaczęła się wycieczka. Skończyło się takim samym wynikiem, z jakim z podobnej rundy wyszedł sam Grundy – wynik wynosił dziesięć do pięciu na korzyść czarodziejki. Czarownica wręcz promieniała niewysłowioną radością, a publiczność zapadła ponura cisza. Demon Xanth wyglądał na nieco zmęczonego, co nie było zbyt dobrym znakiem.
Teraz przyszedł czas na rundę finałową – jedna wiedźma musiała stoczyć walkę z drugą. Każdy miał po dwadzieścia punktów, które udało jej się zdobyć walcząc z golemami.
„A teraz, jeśli pozwolisz mi zdobyć przynajmniej kilka dodatkowych punktów...” Morska Wiedźma szepnęła konspiracyjnie do swojego sobowtóra.
Grundy starał się zachować spokój, przynajmniej na zewnątrz, choć w jego duszy szalał huragan sprzecznych uczuć. Jego szczęście zależało teraz od tego, jak poprawnie przewidział możliwe zachowanie obu wiedźm - w końcu ich charakter był w zasadzie taki sam!
Teraz nadszedł być może najbardziej krytyczny moment. Ale co jeśli się mylił?
- Dlaczego, do cholery, miałbym ci się poddać! – druga wiedźma wychrypiała do pierwszej. – Ja sam chcę zdobyć więcej punktów i wydostać się stąd!
„No cóż, jeśli zachowujesz się tak bezczelnie” – krzyknął wnioskodawca – „to cię pobiję, żebyś już nie był taki jak ja!”
Czarownice, rzucając sobie nienawistne spojrzenia, rysowały swoje rysunki i pokazywały je publiczności. Oczywiście nie mogło tam być nic innego poza dwiema czaszkami! Każdy zdobył po jednym punkcie.
Czarownice, zasypując się nawzajem przekleństwami, rozpoczęły drugą rundę. Wynik jest znowu taki sam - znowu dwie niezgrabnie narysowane czaszki. Tym samym Czarownice zdobyły jeszcze jeden punkt. Opinia publiczna pilnie wszystko nagrywała.
Miało to swoją kontynuację w przyszłości. Kiedy runda dobiegła końca, zmęczone czarownice odkryły, że każda z nich zdobyła po sześć punktów. Narysuj ponownie!
– Teraz przeliczmy wyniki i porównajmy wszystko! – Grundy oznajmił triumfalnie. – Każda z wiedźm zdobyła dwadzieścia sześć punktów, a golemy dwadzieścia osiem punktów. Co więc mamy? I mamy wynik, jaki mają golemy duża ilość zwrotnica!
Westchnienie zaskoczenia przetoczyło się przez rzędy widzów. Podekscytowani widzowie zaczęli zapisywać na kartkach kolumny liczb, sprawdzając dokładność liczenia. W tym czasie wielu po prostu nie liczyło liczby zdobytych punktów, wierząc, że znało już wynik gry. Obie czarownice zaczęły warczeć z oburzenia, nie jest jasne, kogo dokładnie obwiniły za to, co się stało. Oczy demona Xanta ponownie rozbłysły ostrożnym ogniem. Jego zaufanie było uzasadnione!
„Proszę, drodzy widzowie, zwróćcie uwagę na fakt” – Grundy podniósł rękę, żądając uspokojenia publiczności, „że żaden z golemów nie wygrał ani jednej rundy”. Ale ostateczne zwycięstwo nadal będzie należeć do jednego z nas, golemów. Wyniki będą bardziej wymowne, jeśli konkurencja będzie kontynuowana! Chcę powiedzieć, drodzy widzowie, że w odwiecznym pojedynku moja strategia niezmiennie okaże się zwycięska!
Demon Xanth słuchał z zainteresowaniem tego, co mówił Grundy. Wreszcie, wypuszczając kłęby pary, otworzył usta:
– Jaka jest dokładnie Twoja strategia?
– Nazywam to „Bądź stanowczy, ale sprawiedliwy”! – wyjaśnił Grundy. – Zaczynam grę uczciwie, ale potem zaczynam przegrywać, bo trafiam na bardzo konkretnych partnerów. Dlatego w pierwszej turze, gdy okaże się, że Morska Wiedźma zacznie zeznawać przeciwko mnie, w drugiej automatycznie pozostaję przegranym – i tak jest do końca. Wynik może być inny, jeśli wiedźma zmieni taktykę gry. Ponieważ jednak nie przyszło jej to do głowy, kontynuowaliśmy grę według poprzedniego schematu. Kiedy zacząłem grać swoim dubletem, traktował mnie dobrze, a ja dobrze go traktowałem w następnej rundzie gry. Dlatego nasza gra również potoczyła się inaczej i nieco monotonnie, bo nie chcieliśmy zmieniać taktyki...
– Ale nie wygrałeś ani jednej rundy! – sprzeciwił się demon ze zdziwieniem.
– Tak, a te czarownice nie przegrały ani jednej rundy! – potwierdził Grundy. – Ale zwycięstwo nie przypada automatycznie temu, kto ma pozostałe rundy. Zwycięża ten, kto zdobędzie najwięcej punktów, ale to zupełnie inna sprawa! Udało mi się zdobyć więcej punktów, grając z moim dubletem, niż gdy grałem z czarownicami. Ich egoistyczna postawa przyniosła im chwilowe zwycięstwo, ale w dłuższej perspektywie okazało się, że przez to obaj przegrali całe spotkanie. To się często zdarza!

Teoria gier jest metoda matematyczna badania nad optymalnymi strategiami w grach. Przez „grę” należy rozumieć interakcję dwóch lub więcej stron, które dążą do realizacji swoich interesów. Każda ze stron ma także swoją strategię, która może doprowadzić do zwycięstwa lub porażki, w zależności od zachowania graczy. Dzięki teorii gier możliwe staje się znalezienie najskuteczniejszej strategii, biorąc pod uwagę wyobrażenia o innych graczach i ich potencjale.

Teoria gier jest specjalną gałęzią badań operacyjnych. W większości przypadków metody teorii gier znajdują zastosowanie w ekonomii, ale czasami także w innych naukach społecznych, na przykład politologii, socjologii, etyce i niektórych innych. Od lat 70. XX wieku zaczęto go wykorzystywać także biologów do badania zachowań zwierząt i teorii ewolucji. Ponadto dzisiejsza teoria gier ma bardzo bardzo ważne w dziedzinie cybernetyki i. Dlatego chcemy Ci o tym opowiedzieć.

Historia teorii gier

Najbardziej optymalne strategie w zakresie modelowania matematycznego naukowcy zaproponowali już w XVIII wieku. W XIX wieku problemy cenowe i produkcyjne na rynku o małej konkurencji, które później stały się klasyczne przykłady teorie gier były rozważane przez naukowców takich jak Joseph Bertrand i Antoine Cournot. A na początku XX wieku wybitni matematycy Emil Borel i Ernst Zermelo wysunęli pomysł teoria matematyczna konflikt interesów.

Początków matematycznej teorii gier należy szukać w ekonomii neoklasycznej. Początkowo podstawy i aspekty tej teorii zostały zarysowane w pracy Oscara Morgensterna i Johna von Neumanna „Teoria gier i zachowań ekonomicznych” z 1944 roku.

Prezentowana dziedzina matematyki znalazła także swoje odzwierciedlenie w kultura społeczna. Przykładowo w 1998 roku Sylvia Nasar (amerykańska dziennikarka i pisarka) opublikowała książkę poświęconą Johnowi Nashowi, laureatowi Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii i teoretykowi gier. Na podstawie tej pracy w 2001 roku powstał film „Piękny umysł”. Wiele amerykańskich programów telewizyjnych, takich jak „NUMB3RS”, „Alias” i „Friend or Foe”, również od czasu do czasu nawiązuje w swoich programach do teorii gier.

Ale na szczególną uwagę zasługuje John Nash.

W 1949 roku napisał rozprawę z teorii gier, a 45 lat później otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii. W najwcześniejszych koncepcjach teorii gier analizowano gry typu antagonistycznego, w których występują gracze, którzy wygrywają kosztem przegranych. Ale John Nash je opracował Metody analityczne, zgodnie z którym wszyscy gracze albo przegrywają, albo wygrywają.

Sytuacje opracowane przez Nasha nazwano później „równowagą Nasha”. Różnią się tym, że wszystkie strony gry stosują najbardziej optymalne strategie, co tworzy stabilną równowagę. Utrzymanie równowagi jest bardzo korzystne dla graczy, gdyż w przeciwnym razie jedna zmiana może negatywnie wpłynąć na ich pozycję.

Dzięki pracom Johna Nasha teoria gier otrzymała potężny impuls w swoim rozwoju. Ponadto gruntownej rewizji poddano matematyczne narzędzia modelowania ekonomicznego. John Nash potrafił udowodnić, że klasyczny punkt widzenia na kwestię rywalizacji, w której każdy gra tylko dla siebie, nie jest optymalny, a najbardziej skuteczne strategie to takie, w których gracze stają się lepsi, początkowo czyniąc innych lepszymi.

Pomimo tego, że teoria gier początkowo obejmowała w swoim polu widzenia modele ekonomiczne, aż do lat 50. ubiegłego wieku była to jedynie teoria formalna ograniczona ramami matematyki. Jednak od drugiej połowy XX wieku podjęto próby wykorzystania go w ekonomii, antropologii, technologii, cybernetyce i biologii. W czasie II wojny światowej i po jej zakończeniu wojsko zaczęło interesować się teorią gier, widząc w niej poważny aparat do podejmowania decyzji strategicznych.

W latach 60. i 70. zainteresowanie tą teorią osłabło, mimo że dawała dobre wyniki matematyczne. Jednak od lat 80. zaczęto aktywnie stosować teorię gier w praktyce, głównie w zarządzaniu i ekonomii. W ciągu kilku ostatnie dziesięciolecia jego znaczenie znacznie wzrosło, a niektórych współczesnych trendów gospodarczych nie można sobie bez niego wyobrazić.

Nie będzie też przesadą stwierdzenie, że znaczący wkład w rozwój teorii gier wniosła praca „Strategia konfliktu” z 2005 roku autorstwa laureata Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii Thomasa Schellinga. W swojej pracy Schelling badał wiele strategii stosowanych przez uczestników interakcji konfliktowych. Strategie te pokrywały się z taktyką zarządzania konfliktem i zasadami analitycznymi stosowanymi w organizacjach oraz taktykami stosowanymi do zarządzania konfliktami w organizacjach.

W nauka psychologiczna i szeregu innych dyscyplin, pojęcie „gry” ma nieco inne znaczenie niż w matematyce. Kulturową interpretację terminu „gra” przedstawiła książka „Homo ludens” Johana Huizingi, w której autor mówi o zastosowaniu gier w etyce, kulturze i sprawiedliwości, a także wskazuje, że sama gra znacznie przewyższa ludzie w wieku, ponieważ zwierzęta są również skłonne do zabawy.

Również pojęcie „gry” odnajdujemy w koncepcji Erica Byrne’a, znanej z książki „”. Tutaj jednak mówimy wyłącznie o grach psychologicznych, których podstawą jest analiza transakcyjna.

Zastosowanie teorii gier

Jeśli mówimy o matematycznej teorii gier, jest ona obecnie na etapie aktywnego rozwoju. Jednak podstawa matematyczna jest z natury bardzo kosztowna i dlatego stosuje się ją głównie wtedy, gdy cele uświęcają środki, a mianowicie: w polityce, ekonomii monopoli i podziale siły rynkowej itp. W przeciwnym razie teoria gier jest wykorzystywana w badaniach zachowań ludzi i zwierząt ogromna liczba sytuacje.

Jak już wspomniano, teoria gier rozwinęła się najpierw w granicach nauk ekonomicznych, umożliwiając definiowanie i interpretowanie zachowań różne sytuacje agentów gospodarczych. Jednak później zakres jej zastosowania znacznie się rozszerzył i zaczął obejmować wiele nauk społecznych, dzięki czemu teoria gier wyjaśnia dziś ludzkie zachowania w psychologii, socjologii i naukach politycznych.

Eksperci wykorzystują teorię gier nie tylko do wyjaśniania i przewidywania ludzkich zachowań – podejmowano wiele prób wykorzystania tej teorii do opracowania wzorcowych zachowań. Ponadto filozofowie i ekonomiści przez długi czas za jego pomocą starali się jak najlepiej zrozumieć dobre lub godne zachowanie.

Możemy zatem stwierdzić, że teoria gier stała się rzeczywistością punkt zwrotny w rozwoju wielu nauk, a dziś stanowi integralną część procesu badania różnych aspektów ludzkiego zachowania.

ZAMIAST WNIOSKU: Jak zauważyłeś, teoria gier jest dość ściśle powiązana z konfliktologią – nauką zajmującą się badaniem ludzkich zachowań w procesie interakcji konfliktowej. I naszym zdaniem ten obszar jest jednym z najważniejszych nie tylko wśród tych, w których należy zastosować teorię gier, ale także wśród tych, które sam człowiek powinien studiować, ponieważ konflikty, cokolwiek by nie powiedzieć, są częścią naszego życia .

Jeśli chcesz zrozumieć, jakie strategie behawioralne w ogóle istnieją, proponujemy wziąć udział w naszym kursie samowiedzy, który w pełni dostarczy Ci takich informacji. Ale oprócz tego, ukończenie naszego kursu, będziesz w stanie przeprowadzić kompleksową ocenę swojej osobowości w ogóle. Oznacza to, że będziesz wiedział, jak zachować się w przypadku konfliktu oraz jakie są Twoje osobiste zalety i wady, wartości życiowe i priorytety, predyspozycje do pracy i kreatywność, i wiele więcej. Ogólnie rzecz biorąc, jest to bardzo przydatne i niezbędne narzędzie dla każdego, kto dąży do rozwoju.

Nasz kurs trwa - nie krępuj się rozpocząć samopoznania i doskonalenia siebie.

Życzymy sukcesów i możliwości bycia zwycięzcą w każdej grze!

Von Neumann zdefiniował istotę teorii gier i stworzył warunki do powstania nowej teorii matematycznej. Od tego momentu gry przestały być rozrywką, a stały się scenariuszem, w którym dwie lub więcej osób może opracować racjonalne strategie mające wpływ na wynik gry. Scenariusze mogły być zupełnie inne, a ich realizacja wymagała tak złożonego i fundamentalnego aspektu, jak podejmowanie decyzji.

Zabawa jest czynnością właściwą nie tylko ludziom, ale także większości wyższych ssaków. Udowodniono, że sama zabawa jest integralną częścią procesu uczenia się i rozwoju wielu ważnych cech. To poprzez zabawę zwierzęta uczą się koordynować swoje ruchy, aby polować, atakować i bronić się. To właśnie poprzez zabawę ludzie rozwijają wiele umiejętności, wykorzystując różne elementy do symulowania rzeczywistości. W grze ważne są trzy czynniki: scenariusz, szansa i zakład.

Scenariusz gry jest pierwszym krokiem do zrozumienia jej struktury, pozwala na tworzenie modeli matematycznych w bardzo prostych sytuacjach, jak gra w warcaby, lub w bardzo skomplikowanych, jak w prawdziwej bitwie wojskowej.

W każdej grze zawsze, w takim czy innym stopniu, zdarza się przypadek, który określa poziom inicjatywy graczy przy wyborze strategii. W grach, w których przypadek odgrywa niewielką rolę, takich jak szachy, inicjatywa graczy jest kluczowa. Natomiast w grach całkowicie opartych na przypadku, takich jak rzut monetą, inicjatywa graczy jest ograniczona przez zakład.

Kredyt hipoteczny to coś na co gra jest włączona. Może to być coś nieuchwytnego – na przykład umiejętności lub honor gracza, ale w grze w ruletkę stawką może być nawet życie. W każdym razie w każdej grze jest jakiś zakład, nawet jeśli nikt nie gra o nic i nie da się określić, kto wygrał, a kto przegrał. Najważniejszą cechą kredytu hipotecznego jest to, że można mu przypisać numer. W najprostszym przypadku kiedy mówimy o jeśli chodzi o wygraną lub przegraną, liczby mogą wynosić odpowiednio 1 i 0. Jeśli czemuś można przypisać liczbę, oznacza to, że można do tego zastosować podejście matematyczne.

Teoria prawdopodobieństwa i statystyka powstały w wyniku systematycznych badań gier, ale ich przedmiotem było raczej przewidywanie wyniku, a nie natura samej gry. Już w pierwszych pracach von Neumanna istniał inny punkt widzenia, bardzo daleki od obliczeń statystycznych. Gra ukazała w nich swoją inną istotę: jawiła się nie jako wydarzenie zależne głównie od woli przypadku, ale jako konflikt interesów. W tym sensie badania von Neumanna należy uznać za pierwsze w swoim rodzaju. To od nich wyłoniła się później nowa gałąź matematyki – teoria gier.

Trudno powiedzieć dokładnie, kiedy i gdzie von Neumann po raz pierwszy zainteresował się matematycznym aspektem teorii gier, ponieważ nie mamy na to żadnych pisemnych ani ustnych dowodów. Pod koniec 1926 roku, będąc jeszcze pracownikiem Uniwersytetu w Getyndze, zadziwił wszystkich, organizując konferencję na temat teorii gier w siedzibie uniwersyteckiego Towarzystwa Matematycznego. Po niej von Neumann napisał artykuł, który wysłał do magazynu Mathematische Annalen. Praca ukazała się rok później pod tytułem Zur Theorie der Gesellschaftsspiele („Teorie L* gry strategiczne„). Potem rzekomo porzucił zainteresowanie tym tematem, ale możemy się mylić w naszych założeniach, gdyż 18 lat później wraz z ekonomistą Oskarem Morgensternem von Neumann opublikował książkę o teorii gier, która dziś uważana jest za jedną z najważniejszych całe jego dziedzictwo.

W swojej pierwszej pracy naukowiec dokonał matematycznej formalizacji sytuacji antagonistycznych, w których uczestniczy dwóch graczy. Był szczególnie zainteresowany możliwymi strategiami, jakie gracze mogą opracować w grach o sumie zerowej, zgodnie z definicją von Neumanna.

Gracze w teorii gier.

Teoria gier jest bardzo różnorodna i można ją zastosować nie tylko w sytuacjach związanych z grami. Jej istotą jest zdefiniowanie strategii i sformalizowanie procesu decyzyjnego. Istnieje przykład, który ze względu na swoją niezwykłą prostotę jest często używany do wyjaśnienia celów teorii gier: krojenie ciasta.

Załóżmy, że dwie osoby muszą podzielić się ciastem. Zwykle w tym przykładzie mówimy o dzieciach: uważa się, że dzieci bardzo kochają słodycze i dlatego chcą dostać jak największy kawałek, co pozwala nam lepiej zrozumieć sytuację. Indywidualizm dziecięcy to idealna cecha dla zawodników, których potrzebujemy. Podział ciasta będzie przebiegał w następujący sposób: dziecko A pokroi ciasto, a dziecko B jako pierwsze wybierze kawałek. Zatem dziecko A musi zawsze pamiętać o dziecku B i że pokrojeniu całego ciasta B weźmie dla siebie największy kawałek. Warunek ten ma fundamentalne znaczenie przy wyborze najlepsza strategia, co oczywiście polega na przekrojeniu ciasta na dwie równe części. Każda inna opcja jest niebezpieczna. Jeśli na przykład A uważa, że ​​B jest bardzo dobry i dobrze wychowane dziecko i dlatego weźmie dla siebie mniejszy kawałek, zacznie kroić ciasto na nierówne kawałki. Ale ta decyzja niesie ze sobą wiele zagrożeń i opiera się na domysłach lub Dodatkowe informacje, co nie ma nic wspólnego z grą.

To wyjaśnienie może wydawać się zbyt proste, ale zawiera wszystkie kluczowe elementy, które definiują scenariusz wybrany dla teorii gier. Sytuacja typu „Gram tylko po to, żeby się dobrze bawić, nie przejmuję się przegraną i ogólnie mogę pozwolić przeciwnikowi wygrać” może być całkowicie uzasadniona w wielu scenariuszach, ale nie w teorii gier. Postrzega graczy przede wszystkim jako racjonalnych ludzi, których celem jest zwycięstwo, a aby to osiągnąć, muszą myśleć o sobie.

Wymóg, aby gracze zachowywali się racjonalnie, jest dość głęboki. Zakłada sytuację idealną, gdyż nikt nie jest w stanie zapamiętać wszystkich możliwych ruchów i za każdym razem podjąć właściwą decyzję, aby wygrać za wszelką cenę. Proste gry strukturalne, takie jak Nim, pozwalają na osiągnięcie tego poziomu bez większych trudności, ponieważ ich drzewa decyzyjne mają niewiele gałęzi i jeśli obaj gracze będą całkowicie racjonalni w takim sensie, jakiego potrzebujemy, albo zakończą się remisem, albo wygrają ten, który dokonał pierwszy ruch. Inne gry, takie jak Go czy szachy, również mają te cechy, ale ich poziom złożoności jest znacznie wyższy i praktycznie nie da się uniknąć błędów.

Na koniec film, który w prostych słowach wyjaśnia, czym jest teoria gier)

I cybernetyka, szczególnie z zainteresowaniem inteligentnymi agentami.

Fabuła

Optymalne rozwiązania lub strategie w modelowaniu matematycznym zaproponowano już w XVIII wieku. W XIX wieku rozważano problemy produkcji i cen w warunkach oligopolu, które później stały się podręcznikowymi przykładami teorii gier. A. Cournot i J. Bertrand. Na początku XX wieku. E. Lasker, E. Zermelo, E. Borel wysunęli ideę matematycznej teorii konfliktu interesów.

Matematyczna teoria gier wywodzi się z ekonomii neoklasycznej. Po raz pierwszy zaprezentowano matematyczne aspekty i zastosowania teorii klasyczna książka Teoria gier i zachowania ekonomiczne Johna von Neumanna i Oscara Morgensterna z 1944 r. Teoria gier i zachowań ekonomicznych).

Ta dziedzina matematyki znalazła pewne odzwierciedlenie w kultura publiczna. W 1998 roku amerykańska pisarka i dziennikarka Sylvia Nazar opublikowała książkę o losach Johna Nasha, laureata Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii i naukowca zajmującego się teorią gier; a na podstawie książki powstał film „Gry umysłu”. Jakiś Amerykanin show telewizyjne, takie jak „Przyjaciel lub Wróg”, „Alias” lub „NUMB3RS”, okresowo odwołują się do tej teorii w swoich odcinkach.

Matematyczna teoria gier rozwija się obecnie szybko i rozważa się gry dynamiczne. Jednakże aparat matematyczny teorii gier jest kosztowny. Służy do uzasadnionych zadań: polityki, ekonomii monopoli i podziału siły rynkowej itp. Wielu znanych naukowców zostało laureatami Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii za wkład w rozwój teorii gier, która opisuje procesy społeczno-gospodarcze. J. Nash dzięki swoim badaniom z zakresu teorii gier stał się jednym z czołowych ekspertów w dziedzinie zimnej wojny, co potwierdza skalę problemów, którymi zajmuje się teoria gier.

Prezentacja gry

Gry to ściśle określone obiekty matematyczne. Gra składa się z graczy, zestawu strategii dla każdego gracza i wskazania wygranych, lub płatności, graczy dla każdej kombinacji strategii. Większość gier kooperacyjnych opisuje się za pomocą charakterystycznej funkcji, podczas gdy w przypadku innych typów częściej używa się formy normalnej lub rozszerzonej. Cechy charakterystyczne gry jako matematycznego modelu sytuacji:

1. obecność kilku uczestników;
2. niepewność w zachowaniu uczestników związana z obecnością kilku opcji dla każdego z nich;
3. różnica (rozbieżność) interesów uczestników;
4. wzajemne powiązania zachowań uczestników, ponieważ wynik uzyskany przez każdego z nich zależy od zachowania wszystkich uczestników;
5. obecność zasad postępowania znanych wszystkim uczestnikom.

Rozbudowana forma

Główny artykuł: Rozbudowana forma gry

Gry w formie rozbudowanej lub rozszerzonej są reprezentowane jako ukierunkowane drzewo, w którym każdy wierzchołek odpowiada sytuacji, w której gracz wybiera swoją strategię. Każdemu graczowi przypisany jest cały poziom wierzchołków. Płatności zapisywane są na dole drzewa, pod każdą końcówka liścia.

Zdjęcie po lewej stronie przedstawia grę dla dwóch graczy. Gracz 1 idzie pierwszy i wybiera strategię F lub U. Gracz 2 analizuje swoją pozycję i decyduje, czy wybrać strategię A, czy R. Najprawdopodobniej pierwszy gracz wybierze U, a drugi - A (dla każdego z nich jest to optymalne strategie); wówczas otrzymają odpowiednio 8 i 2 punkty.

Rozbudowana forma jest bardzo wizualna i jest szczególnie przydatna do przedstawiania gier z więcej niż dwoma graczami i gier z sekwencyjnymi ruchami. Jeśli uczestnicy wykonują ruchy jednocześnie, odpowiednie wierzchołki są albo połączone linią przerywaną, albo obrysowane linią ciągłą.

Normalna forma

	Gracz 2 strategia 1	Gracz 2 strategia 2
Gracz 1 strategia 1	4 , 3	–1 , –1
Gracz 1 strategia 2	0 , 0	3 , 4
Normalna forma gry dla 2 graczy, każdy z 2 strategiami.

Gra jest opisana w formie normalnej lub strategicznej matryca płatności. Każda strona (dokładniej wymiar) macierzy jest graczem, wiersze określają strategie pierwszego gracza, a kolumny określają strategie drugiego gracza. Na przecięciu obu strategii możesz zobaczyć wygrane, które otrzymają gracze. W przykładzie po prawej stronie, jeśli gracz 1 wybierze pierwszą strategię, a gracz 2 drugą strategię, to na skrzyżowaniu widzimy (-1, -1), co oznacza, że ​​w wyniku ruchu obaj gracze stracili jeden punkt.

Gracze wybrali dla siebie strategie z maksymalnym wynikiem, ale przegrali z powodu nieznajomości ruchu drugiego gracza. Zwykle gry są przedstawiane w normalnej formie, w której wykonywane są ruchy jednocześnie lub przynajmniej zakłada się, że wszyscy gracze nie są świadomi tego, co robią inni uczestnicy. Takie gry z niepełnymi informacjami zostaną omówione poniżej.

Funkcja charakterystyczna

W grach kooperacyjnych z użytecznością zbywalną, czyli możliwością transferu środków od jednego gracza do drugiego, nie da się zastosować koncepcji płatności indywidualne. Zamiast tego używana jest tzw. funkcja charakterystyczna, która określa wypłatę każdej koalicji graczy. Zakłada się, że zysk pustej koalicji wynosi zero.

Podstawę tego podejścia można znaleźć w książce von Neumanna i Morgensterna. Badając normalną formę gier koalicyjnych, doszli do wniosku, że jeśli gra z udziałem dwóch stron tworzy koalicję C, to koalicja się temu sprzeciwia N \ C. To jak gra dla dwóch graczy. Ale ponieważ istnieje wiele opcji możliwych koalicji (mianowicie 2 N, Gdzie N- liczba graczy), następnie wygrana dla C będzie trochę charakterystyczna ilość w zależności od składu koalicji. Formalnie grę w tej formie (zwaną także grą TU) reprezentuje para (N, v), Gdzie N- zestaw wszystkich graczy, oraz v: 2 N → R jest funkcją charakterystyczną.

Tę formę reprezentacji można stosować we wszystkich grach, łącznie z grami, które nie mają zbywalnej użyteczności. Obecnie istnieją sposoby na konwersję dowolnej gry z postaci normalnej do postaci charakterystycznej, ale konwersja do Odwrotna strona być może nie we wszystkich przypadkach.

Zastosowanie teorii gier

Teoria gier, jako jedno z podejść w matematyce stosowanej, służy do badania zachowań ludzi i zwierząt w różnych sytuacjach. Początkowo w ramach nauk ekonomicznych zaczęła rozwijać się teoria gier, pozwalająca zrozumieć i wyjaśnić zachowanie podmiotów ekonomicznych w różnych sytuacjach. Później zakres zastosowania teorii gier został rozszerzony na inne Nauki społeczne; Teoria gier jest obecnie wykorzystywana do wyjaśniania ludzkich zachowań w naukach politycznych, socjologii i psychologii. Analiza teorii gier została po raz pierwszy zastosowana do opisu zachowań zwierząt przez Ronalda Fishera w latach trzydziestych XX wieku (chociaż nawet Karol Darwin używał koncepcji teorii gier bez formalnego uzasadnienia). Termin „teoria gier” nie pojawia się w pracach Ronalda Fishera. Niemniej jednak prace zasadniczo przeprowadzono zgodnie z analizą z zakresu teorii gier. Postępy dokonane w ekonomii zostały zastosowane przez Johna Maynarda Smitha w jego książce Ewolucja i teoria gier. Teoria gier służy nie tylko do przewidywania i wyjaśniania zachowań; Podejmowano próby wykorzystania teorii gier do opracowania teorii etycznego lub standardowego zachowania. Ekonomiści i filozofowie wykorzystali teorię gier, aby lepiej zrozumieć dobre zachowanie.

Opis i modelowanie

Teoria gier była pierwotnie używana do opisu i modelowania zachowań populacji ludzkich. Niektórzy badacze uważają, że wyznaczając równowagę odpowiednich gier, można przewidzieć zachowanie populacji ludzkiej w sytuacjach realnej konfrontacji. Takie podejście do teorii gier Ostatnio był krytykowany z kilku powodów. Po pierwsze, często naruszane są założenia stosowane w modelowaniu prawdziwe życie. Badacze mogą zakładać, że gracze wybierają zachowania, które maksymalizują ich całkowite korzyści (ekonomiczny model człowieka), jednak w praktyce ludzkie zachowania często nie spełniają tego założenia. Istnieje wiele wyjaśnień tego zjawiska – irracjonalność, symulacja dyskusji, a nawet różne motywy działania graczy (w tym altruizm). Autorzy modeli teorii gier przeciwstawiają się temu, twierdząc, że ich założenia są podobne do podobnych założeń w fizyce. Dlatego nawet jeśli ich założenia nie zawsze są spełnione, teorię gier można wykorzystać jako rozsądny model idealny, podobny do tych samych modeli w fizyce. Jednak teoria gier została zaatakowana nowy wał krytykę, gdy eksperymenty wykazały, że ludzie w praktyce nie stosują strategii równowagi. Na przykład w grach „Stonoga” i „Dyktator” uczestnicy często nie korzystają z profilu strategii stanowiącego równowagę Nasha. Trwa debata na temat znaczenia takich eksperymentów. Inny pogląd jest taki, że równowaga Nasha nie jest przewidywaniem oczekiwanego zachowania, wyjaśnia jedynie, dlaczego populacje znajdujące się już w równowadze Nasha pozostają w tym stanie. Jednakże pytanie, w jaki sposób te populacje osiągają równowagę Nasha, pozostaje otwarte. Niektórzy badacze zwrócili się ku ewolucyjnej teorii gier, aby odpowiedzieć na to pytanie. Modele ewolucyjnej teorii gier zakładają ograniczoną racjonalność lub irracjonalność graczy. Pomimo swojej nazwy ewolucyjna teoria gier nie skupia się zbytnio na pytaniach naturalna selekcja gatunki biologiczne. Ta gałąź teorii gier bada modele ewolucji biologicznej i kulturowej, a także modele procesu uczenia się.

Analiza normatywna (identyfikacja najlepszego zachowania)

Z drugiej strony wielu badaczy postrzega teorię gier nie jako narzędzie do przewidywania zachowań, ale jako narzędzie do analizy sytuacji w celu zidentyfikowania najlepszego zachowania dla racjonalnego gracza. Ponieważ równowaga Nasha obejmuje strategie, które są najlepszą reakcją na zachowanie drugiego gracza, wykorzystanie koncepcji równowagi Nasha do selekcji zachowań wydaje się całkiem rozsądne. Jednak takie wykorzystanie modeli teorii gier również było krytykowane. Po pierwsze, w niektórych przypadkach graczowi opłaca się wybrać strategię, która nie jest częścią równowagi, jeśli spodziewa się, że inni gracze również nie będą stosować strategii równowagi. Po drugie, słynna gra „Dylemat więźnia” pozwala nam podać kolejny kontrprzykład. W dylemacie więźnia kierując się własnym interesem, obaj gracze znajdują się w gorszej sytuacji, niż gdyby poświęcili własny interes.

Rodzaje gier

Spółdzielczy i niekooperatywny

Gra nazywa się kooperacją lub koalicja, jeśli gracze mogą łączyć się w grupy, podejmując pewne zobowiązania wobec innych graczy i koordynując swoje działania. Różni się to od gier niekooperacyjnych, w których każdy musi grać dla siebie. Gry rozrywkowe rzadko współpracują, ale takie mechanizmy nie są rzadkością w życiu codziennym.

Często zakłada się, że tym, co wyróżnia gry kooperacyjne, jest zdolność graczy do komunikowania się ze sobą. Generalnie nie jest to prawdą. Są gry, w których komunikacja jest dozwolona, ​​ale gracze dążą do osobistych celów i odwrotnie.

Z tych dwóch typów gier, gry niekooperacyjne opisują sytuacje bardzo szczegółowo i dają dokładniejsze wyniki. Kooperatywy traktują proces gry jako całość. Próby połączenia obu podejść przyniosły wymierne rezultaty. Tak zwana programu Nasha znalazł już rozwiązania dla niektórych gier kooperacyjnych jako sytuacje równowagi gier niekooperacyjnych.

Gry hybrydowe zawierają elementy gier kooperacyjnych i niekooperacyjnych. Na przykład gracze mogą tworzyć grupy, ale gra będzie toczyć się w stylu niekooperacyjnym. Oznacza to, że każdy gracz będzie realizował interesy swojej grupy, starając się jednocześnie osiągnąć osobisty zysk.

Symetryczne i asymetryczne

	A	B
A	1, 2	0, 0
B	0, 0	1, 2
Gra asymetryczna

Główny artykuł: Gra symetryczna

Gra będzie symetryczna, gdy odpowiednie strategie graczy będą równe, czyli mają takie same wypłaty. Innymi słowy, jeśli gracze będą mogli zmieniać miejsca, a ich wygrane za te same ruchy nie ulegną zmianie. Wiele badanych gier dwuosobowych jest symetrycznych. W szczególności są to: „Dylemat więźnia”, „Polowanie na jelenie”, „Jastrzębie i gołębie”. Do gier asymetrycznych zalicza się „Ultimatum” lub „Dyktator”.

W przykładzie po prawej stronie gra na pierwszy rzut oka może wydawać się symetryczna ze względu na podobne strategie, jednak tak nie jest – w końcu wypłata drugiego gracza o profilach strategii (A, A) i (B, B) będzie większa niż pierwsza.

O sumie zerowej i niezerowej

Gry o sumie zerowej- specjalna odmiana gry o sumie stałej, czyli takie, w których gracze nie mogą zwiększać ani zmniejszać dostępnych zasobów ani funduszu gry. W tym przypadku suma wszystkich wygranych jest równa sumie wszystkich strat w dowolnym ruchu. Spójrz w prawo – liczby reprezentują płatności na rzecz graczy – a ich suma w każdej komórce wynosi zero. Przykładami takich gier jest poker, w którym wygrywa się wszystkie zakłady innych; reversi, gdzie bierki przeciwnika są zbijane; lub banalne kradzież.

Wiele gier badanych przez matematyków, w tym wspomniany już „Dylemat więźnia”, ma inny charakter: w gry o sumie niezerowej Zwycięstwo jednego gracza nie musi oznaczać porażki innego i odwrotnie. Wynik takiej gry może być mniejszy lub większy od zera. Takie gry można przeliczyć na sumę zerową – dokonuje się tego poprzez wprowadzenie fikcyjny gracz, który „przywłaszcza” nadwyżkę lub uzupełnia braki środków.

Inną grą z sumą niezerową jest handel, na którym zyskuje każdy uczestnik. Szeroki słynny przykład, gdzie maleje, wynosi