Paradoksalny świat przedmiotów niemożliwych. Liczby niemożliwe w prawdziwym świecie Liczby niemożliwe

Możliwość tworzenia i Operowanie obrazami przestrzennymi charakteryzuje poziom ogólnego rozwoju intelektualnego człowieka. W badania psychologiczne Zostało potwierdzone eksperymentalnie, że pomiędzy skłonnością danej osoby do odpowiednie zawody i Istnieje statystycznie istotna zależność pomiędzy poziomem rozwoju koncepcji przestrzennych. Powszechne użycie niemożliwych figur w architektura, malarstwo, psychologia, geometria i w wielu innych obszarach praktyczne życie dają możliwość dowiedzenia się więcej na temat różne zawody i zdecydować się wybór przyszłego zawodu.

Słowa kluczowe: tribar, niekończące się schody, kosmiczne rozwidlenie, niemożliwe pudełka, trójkąt i Schody Penrose'a, kostka Eschera, trójkąt Reutersvaerda.

Cel badania: badanie właściwości figur niemożliwych za pomocą modeli 3D.

Cele badawcze:

Przestudiuj typy i dokonaj klasyfikacji figur niemożliwych.
Rozważ sposoby konstruowania niemożliwych figur.
Twórz niemożliwe figury za pomocą programu komputerowego i modelowania 3D.

Pojęcie niemożliwych postaci

Nie ma obiektywnej koncepcji „figur niemożliwych”. Z jednego źródła niemożliwa postać- pogląd iluzje optyczne, figura sprawiająca wrażenie projekcji zwykłego trójwymiarowego obiektu, po dokładnym zbadaniu, w którym widoczne stają się sprzeczne powiązania elementów figury. I z innego źródła niemożliwe figury- są to geometrycznie sprzeczne obrazy obiektów, które nie istnieją w rzeczywistej trójwymiarowej przestrzeni. Niemożliwość wynika ze sprzeczności pomiędzy podświadomie postrzeganą geometrią przedstawianej przestrzeni a formalną geometrią matematyczną.

Analizując różne definicje, dochodzimy do wniosku:

niemożliwa postać to płaski rysunek, który sprawia wrażenie obiektu trójwymiarowego w taki sposób, że obiekt sugerowany przez naszą percepcję przestrzenną nie może istnieć, zatem próba jego stworzenia prowadzi do wyraźnie widocznych dla obserwatora sprzeczności (geometrycznych).

Kiedy patrzymy na obraz, który sprawia wrażenie obiektu przestrzennego, nasz system percepcji przestrzennej próbuje znaleźć kształt przestrzenny, określić orientację i strukturę, zaczynając od analizy poszczególnych fragmentów i śladów głębi. Następnie te poszczególne części łączy się i koordynuje w jakiejś kolejności, aby stworzyć ogólną hipotezę dotyczącą struktury przestrzennej całego obiektu. Zwykle pomimo tego, że płaski obraz może mieć nieskończoną ilość interpretacji przestrzennych, nasz mechanizm interpretacji wybiera tylko jedną – najbardziej dla nas naturalną. To właśnie ta interpretacja obrazu jest dalej testowana pod kątem możliwości lub niemożliwości, a nie sam rysunek. Interpretacja niemożliwa okazuje się sprzeczna w swojej strukturze – różne interpretacje cząstkowe nie układają się w jedną, spójną całość.

Liczby są niemożliwe, jeśli niemożliwa jest ich naturalna interpretacja. Nie oznacza to jednak, że nie może istnieć inna interpretacja tej samej liczby. Zatem znalezienie metody dokładnego opisu przestrzennych interpretacji figur jest jednym z głównych sposobów dalszej pracy z figurami niemożliwymi i mechanizmami ich interpretacji. Jeżeli potrafisz opisać różne interpretacje, to będziesz w stanie je porównać, skorelować figurę i jej różne interpretacje (rozumieć mechanizmy tworzenia interpretacji), sprawdzić ich spójność czy określić rodzaje niespójności itp.

Rodzaje figur niemożliwych

Niemożliwe liczby podzielone są na dwie duże klasy: niektóre posiadają rzeczywiste modele trójwymiarowe, inne natomiast nie dają możliwości stworzenia takich modeli.

Pracując nad tym tematem, zbadano 4 rodzaje niemożliwych figur: tri-bar, niekończące się schody, niemożliwe pudełka i kosmiczne widelce. Wszystkie są wyjątkowe na swój sposób.

Tribar (trójkąt Penrose'a)

Jest to figura niemożliwa geometrycznie, której elementów nie da się połączyć. W końcu niemożliwy trójkąt stał się możliwy. Szwedzki malarz Oskar Reitesvärd po raz pierwszy przedstawił światu niemożliwy trójkąt wykonany z sześcianów w 1934 roku. Na cześć tego wydarzenia A znaczek pocztowy. Tribar może być wykonany z papieru. Miłośnicy origami znaleźli sposób na stworzenie i trzymanie w rękach rzeczy, która wcześniej wydawała się poza wyobraźnią naukowca. Jednak oszukujemy się na własne oczy, gdy patrzymy na projekcję trójwymiarowego obiektu z trójki linie prostopadłe. Obserwatorowi wydaje się, że widzi trójkąt, choć w rzeczywistości tak nie jest.

Niekończące się schody.

Projekt, który nie ma końca ani krawędzi, został wymyślony przez biologa Leionela Penrose'a i jego syna matematyka Rogera Penrose'a. Model został opublikowany po raz pierwszy w 1958 roku, po czym zyskał dużą popularność, stał się klasyczną figurą niemożliwą, a jego podstawowa koncepcja znalazła zastosowanie w malarstwie, architekturze i psychologii. Największą popularność w porównaniu do innych nierealnych figur w kuli zyskał model kroków Penrose'a gry komputerowe, puzzle, złudzenia optyczne. „Schody w górę prowadzące w dół” – tak można opisać schody Penrose. Ideą tego projektu jest to, że podczas poruszania się zgodnie z ruchem wskazówek zegara stopnie prowadzą cały czas w górę, a w przeciwnym kierunku - w dół. Co więcej, „wieczne schody” składają się tylko z czterech biegów. Oznacza to, że już po czterech piętrach podróżnik trafia w to samo miejsce, z którego zaczął.

Niemożliwe pudełka.

Kolejny niemożliwy obiekt pojawił się w 1966 roku w Chicago w wyniku oryginalnych eksperymentów fotografa dr Charlesa F. Cochrana. Wielu miłośników niemożliwych figur eksperymentowało z Crazy Boxem. Autor pierwotnie nazwał je „luźnym pudełkiem” i stwierdził, że zostało „zaprojektowane do wysyłki niemożliwe obiekty w dużych ilościach.” „Czazy pudełko” to rama sześcianu wywróconego na lewą stronę. Bezpośrednim poprzednikiem Crazy Boxa było Impossible Box (autorstwa Eschera), a jego poprzednikiem z kolei była Necker Cube. Nie jest to obiekt niemożliwy, ale figura, w której parametr głębi można dostrzec niejednoznacznie. Kiedy patrzymy na kostkę Neckera, zauważamy, że ściana z kropką jest albo na pierwszym planie, albo w tle, przeskakuje z jednej pozycji na drugą.

Widelec kosmiczny.

Wśród wszystkich figur niemożliwych szczególne miejsce zajmuje niemożliwy trójząb („kosmiczny widelec”). Jeśli zamkniemy ręką prawą stronę trójzębu, zobaczymy całkowicie prawdziwy obraz- trzy okrągłe zęby. Jeśli zamkniemy dolną część trójzębu, zobaczymy również prawdziwy obraz - dwa prostokątne zęby. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę całą figurę jako całość, okaże się, że trzy okrągłe zęby stopniowo zamieniają się w dwa prostokątne.

Zatem widać, że przód i tło tego konfliktu obrazowego. Oznacza to, że to, co pierwotnie było na pierwszym planie, wraca, a tło (środkowy ząb) wysuwa się do przodu. Oprócz zmiany pierwszego planu i tła w ten obrazek Jest jeszcze jeden efekt - płaskie krawędzie prawej części trójzębu stają się zaokrąglone po lewej stronie. Efekt niemożliwości uzyskujemy dzięki temu, że nasz mózg analizuje kontur sylwetki i próbuje policzyć ilość zębów. Mózg porównuje liczbę zębów na rysunku po lewej i prawej stronie obrazu, co rodzi wrażenie, że figura jest niemożliwa. Gdyby liczba zębów na rysunku była znacznie większa (na przykład 7 lub 8), wówczas paradoks ten byłby mniej wyraźny.

Wykonywanie modeli figur niemożliwych według rysunków

Trójwymiarowy model jest fizyczny reprezentowalny obiekt oglądając w przestrzeni, widoczne stają się wszystkie pęknięcia i załamania, które niszczą iluzję niemożliwości, a model ten traci swoją „magię”. Rzutując ten model na płaszczyznę dwuwymiarową, uzyskuje się figurę niemożliwą do zrealizowania. Ta niemożliwa figura (w przeciwieństwie do trójwymiarowego modelu) sprawia wrażenie niemożliwego obiektu, który może istnieć tylko w wyobraźni człowieka, ale nie w przestrzeni.

Tribar

Model papierowy:

Niemożliwy blok

Model papierowy:

Konstrukcja niemożliwych figur wprogramNiemożliweKonstruktor

Program Impossible Constructor służy do konstruowania obrazów niemożliwych figur z sześcianów. Głównymi wadami tego programu była trudność w wyborze odpowiedniej kostki (dość trudno jest znaleźć jedną pożądaną kostkę spośród 32 dostępnych w programie), a także fakt, że nie podano wszystkich wariantów kostek. Proponowany program zapewnia pełny zestaw kostek do wyboru (64 kostki), a także daje więcej wygodny sposób znalezienie wymaganej kostki za pomocą konstruktora kostki.

Modelowanie figur niemożliwych.

Pieczęć 3Dmodele figur niemożliwychna drukarce

W trakcie prac wydrukowano w 3D modele czterech niemożliwych postaci.

Trójkąt Penrose'a

Proces tworzenia plemienia:

Oto co skończyłem:

Kostka Eschera

Proces tworzenia sześcianu: Ostatecznie otrzymano model:

Schody Penrose'a(już po czterech piętrach podróżnik trafia w to samo miejsce, z którego zaczął):

trójkąt Reutersvaerda(pierwszy niemożliwy trójkąt składający się z dziewięciu kostek):

Proces przygotowania do druku dał możliwość poznania w praktyce konstruowania figur stereometrycznych na płaszczyźnie, wykonywania rzutów elementów figur na daną płaszczyznę oraz przemyślenia algorytmów konstruowania figur. Stworzone modele pomogły wyraźnie zobaczyć i przeanalizować właściwości figur niemożliwych oraz porównać je ze znanymi figurami stereometrycznymi.

„Jeśli nie możesz zmienić sytuacji, spójrz na nią z innej perspektywy”.

Cytat ten bezpośrednio odnosi się do tej pracy. Rzeczywiście, niemożliwe liczby istnieją, jeśli spojrzysz na nie pod pewnym kątem. Świat figur niemożliwych jest niezwykle ciekawy i różnorodny. Istnieją od czasów starożytnych do naszych czasów. Można je spotkać niemal wszędzie: w sztuce, architekturze, kultura popularna, w malarstwie, w malarstwie ikon, w filatelistyce. Liczby niemożliwe cieszą się dużym zainteresowaniem psychologów, kognitywistów i biologów ewolucyjnych, pomagając lepiej zrozumieć naszą wizję i myślenie przestrzenne. Dziś technologia komputerowa wirtualna rzeczywistość i projekcje poszerzają możliwości, dzięki czemu na kontrowersyjne obiekty można spojrzeć z nowym zainteresowaniem. Istnieje wiele zawodów, które w jakiś sposób są powiązane z liczbami niemożliwymi. Wszystkie są poszukiwane w współczesny świat, dlatego badanie liczb niemożliwych jest istotne i konieczne.

Literatura:

Reutersvard O. Liczby niemożliwe. - M.: Stroyizdat, 1990, 206 s.
Penrose L., Penrose R. Obiekty niemożliwe, Quantum, nr 5, 1971, s. 26
Tkacheva M.V. Obracające się kostki. - M.: Drop, 2002. - 168 s.
http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
http://www.impworld.narod.ru/.
Levitin Karl Rapsodia geometryczna. - M.: Wiedza, 1984, -176 s.
http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
http://im-possible.info/russian/programs/
https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
https://newtonew.com/science/impossible-objects
http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
http://geometry-and-art.ru/unn.html

Słowa kluczowe: trybuna, nieskończone schody, widełki kosmiczne, niemożliwe pudełka, trójkąt i drabina Penrose'a, kostka Eschera, trójkąt Reutersvaerda.

Adnotacja: Umiejętność tworzenia i operowania obrazami przestrzennymi charakteryzuje poziom ogólnego rozwoju intelektualnego człowieka. Badania psychologiczne potwierdziły eksperymentalnie, że istnieje statystycznie istotny związek pomiędzy skłonnością człowieka do odpowiednich zawodów a poziomem rozwoju koncepcji przestrzennych. Powszechne stosowanie figur niemożliwych w architekturze, malarstwie, psychologii, geometrii i wielu innych dziedzinach życia praktycznego pozwala dowiedzieć się więcej o różnych zawodach i podjąć decyzję o wyborze przyszłego zawodu.

Kandydat nauki techniczne D. RAKOV (Instytut Nauk Mechanicznych im. A. A. Blagonravova RAS).

Istnieje duża klasa obrazów, o których można powiedzieć: „Co widzimy? Coś dziwnego”. Należą do nich rysunki ze zniekształconą perspektywą, obiekty niemożliwe w naszym trójwymiarowym świecie i niewyobrażalne kombinacje bardzo realnych obiektów. Pojawiające się na początku XI wieku takie „dziwne” rysunki i fotografie stały się dziś całym ruchem artystycznym zwanym imp-art.

Williama Hogarda. „Niemożliwa perspektywa”, w której celowo popełnia się co najmniej czternaście błędów w perspektywie.

Madonna z Dzieciątkiem. 1025

Pietera Bruegla. „Sroka na szubienicy” 1568

Oscara Rooteswarda. „Opus 1” (nr 293aa). 1934

Oscara Rooteswarda. „Opus 2B”. 1940

Mauritsa Corneliusa Eschera. „Wzejście i zejście”.

Rogera Penrose’a. „Niemożliwy trójkąt” 1954

Budowa" niemożliwy trójkąt".

Rzeźba „Niemożliwy trójkąt”, widok z różnych stron. Jest zbudowany z zakrzywionych elementów i z jednego punktu wygląda na niemożliwy.

Chory. 1. Tablica morfologiczna klasyfikacji obiektów niemożliwych.

Osoba rozpoczyna oglądanie zdjęcia od lewego dolnego rogu (1), następnie kieruje wzrok najpierw na środek (2), a następnie na punkt 3.

W zależności od kierunku, w którym patrzymy, widzimy różne przedmioty.

Alfabet niemożliwy to kombinacja możliwych i niemożliwych cyfr, wśród których jest nawet element ramki. Rysunek autora.

Nauka i życie // Ilustracje

„Moskwa” (schemat linii metra) i „Dwie linie losu”. Rysunki autora; przetwarzanie komputerowe. 2003 Rysunki pokazują nowe możliwości tworzenia diagramów i wykresów.

Nauka i życie // Ilustracje

Kostka w kostce („Trzy ślimaki”). Obrócony obraz ma większy stopień „niemożliwości” niż obraz oryginalny.

„Cholerny widelec”. Na podstawie tej figury stworzono wiele niemożliwych obrazów.

Co widzimy - piramidę czy otwór?

Trochę historii

Obrazy ze zniekształconą perspektywą można spotkać już na początku pierwszego tysiąclecia. W miniaturze z księgi Henryka II, powstałej przed 1025 rokiem i przechowywanej w Bawarii biblioteka państwowa w Monachium maluje się Madonnę z Dzieciątkiem. Obraz przedstawia sklepienie składające się z trzech kolumn, przy czym środkowa kolumna, zgodnie z prawami perspektywy, powinna znajdować się przed Madonną, ale znajduje się za nią, co nadaje obrazowi surrealistyczny efekt. Niestety, nigdy nie dowiemy się, czy technika ta była świadomym działaniem artysty, czy też jego błędem.

Obrazy niemożliwych postaci, nie jako świadomy kierunek w malarstwie, ale jako techniki wzmacniające efekt percepcji obrazu, znajdują się wśród wielu malarzy średniowiecza. Obraz Pietera Bruegla „Sroka na szubienicy”, powstały w 1568 roku, przedstawia szubienicę o niemożliwym do wykonania projekcie, co nadaje efekt całemu obrazowi. Na znanej rycinie w języku angielskim artysta XVIII„Fałszywa perspektywa” Williama Hogartha pokazuje, do jakiego absurdu może prowadzić nieznajomość przez artystę praw perspektywy.

Na początku XX wieku artysta Marcel Duchamp namalował obraz reklamowy „Apolinere Emaliowany” (1916-1917), przechowywany w Muzeum Sztuki w Filadelfii. W projekcie łóżka na płótnie widać niemożliwe trzy- i czworokąty.

Założyciel kierunku sztuki niemożliwej - imp-art (imp-art, sztuka niemożliwa) słusznie nazywany jest szwedzkim artystą Oscarem Rutesvardem (Oscar Reutersvard). Pierwszą niemożliwą figurę „Opus 1” (N 293aa) mistrz narysował w 1934 roku. Trójkąt składa się z dziewięciu sześcianów. Artysta kontynuował swoje eksperymenty z niezwykłymi przedmiotami i w 1940 roku stworzył figurę „Opus 2B”, czyli zredukowany niemożliwy trójkąt składający się tylko z trzech sześcianów. Wszystkie kostki są prawdziwe, ale ich umiejscowienie w przestrzeni trójwymiarowej jest niemożliwe.

Ten sam artysta stworzył także prototyp „niemożliwych schodów” (1950). Najsłynniejsza klasyczna figura, Niemożliwy Trójkąt, została stworzona przez angielskiego matematyka Rogera Penrose'a w 1954 roku. Używał perspektywy linearnej, a nie równoległej, jak Rootesward, co nadało obrazowi głębię i wyrazistość, a tym samym większy stopień niemożliwości.

Bardzo znany artysta M. C. Escher stał się imp-artem. Do jego najsłynniejszych dzieł należą obrazy „Wodospad” (1961) oraz „Wznoszący się i opadający”. Artysta wykorzystał odkryty przez Rooteswarda, a później rozwinięty przez Penrose’a efekt „niekończących się schodów”. Płótno przedstawia dwa rzędy mężczyzn: poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, mężczyźni stale się podnoszą, a poruszając się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, schodzą w dół.

Trochę geometrii

Istnieje wiele sposobów tworzenia złudzeń optycznych (od Słowo łacińskie„iliusio” – błąd, złudzenie – nieodpowiednia percepcja obiekt i jego właściwości). Jednym z najbardziej spektakularnych jest kierunek imp-artu, opartego na wizerunkach postaci niemożliwych. Obiekty niemożliwe to rysunki na płaszczyźnie (obrazy dwuwymiarowe), wykonane w taki sposób, że widz ma wrażenie, że taka konstrukcja nie może istnieć w naszym prawdziwym trójwymiarowym świecie. Klasyczną, jak już wspomniano, a jedną z najprostszych takich figur jest trójkąt niemożliwy. Każda część figury (narożniki trójkąta) istnieje w naszym świecie osobno, ale ich połączenie w przestrzeni trójwymiarowej jest niemożliwe. Postrzeganie całej figury jako kompozycji nieregularnych połączeń pomiędzy jej rzeczywistymi częściami prowadzi do zwodniczego efektu konstrukcji niemożliwej. Wzrok przesuwa się po krawędziach niemożliwej figury i nie jest w stanie dostrzec w niej logicznej całości. W rzeczywistości widok próbuje zrekonstruować rzeczywistą trójwymiarową strukturę (patrz rysunek), ale napotyka rozbieżność.

Z geometrycznego punktu widzenia niemożliwość powstania trójkąta polega na tym, że trzy belki połączone ze sobą parami, ale wzdłuż trzech różnych osi kartezjańskiego układu współrzędnych, tworzą zamkniętą figurę!

Proces postrzegania obiektów niemożliwych dzieli się na dwa etapy: rozpoznanie figury jako obiektu trójwymiarowego oraz uświadomienie sobie „nieregularności” obiektu i niemożności jego istnienia w trójwymiarowym świecie.

Istnienie postaci niemożliwych

Wiele osób wierzy, że niemożliwe postacie są naprawdę niemożliwe i nie można ich stworzyć prawdziwy świat. Musimy jednak pamiętać, że każdy rysunek na kartce papieru jest projekcją trójwymiarowej figury. Zatem każda figura narysowana na kartce papieru musi istnieć w przestrzeni trójwymiarowej. Obiekty niemożliwe w obrazach to projekcje obiektów trójwymiarowych, co oznacza, że przedmioty można zrealizować w formie kompozycje rzeźbiarskie(obiekty trójwymiarowe). Istnieje wiele sposobów ich tworzenia. Jednym z nich jest użycie zakrzywionych linii jako boków niemożliwego trójkąta. Stworzona rzeźba wydaje się niemożliwa tylko z jednego punktu. Od tego momentu zakrzywione boki wyglądają prosto, a cel zostanie osiągnięty - powstanie prawdziwy „niemożliwy” obiekt.

O zaletach imp artu

Oscar Rootesvaard w książce „Omojliga figurer” (jest tłumaczenie na język rosyjski) opowiada o wykorzystaniu rysunków imp-artów w psychoterapii. Pisze, że obrazy swoimi paradoksami budzą zdziwienie, skupiają uwagę i chęć rozszyfrowania. W Szwecji wykorzystuje się je w praktyce stomatologicznej: oglądając zdjęcia w poczekalni, pacjenci odwracają uwagę od nieprzyjemnych myśli przed gabinetem dentystycznym. Pamiętając, jak długo trzeba czekać na wizytę w różnych rosyjskich urzędach i innych instytucjach, można założyć, że niemożliwe obrazy na ścianach recepcji mogą umilić czas oczekiwania, uspokoić gości, a tym samym zmniejszyć agresję społeczną. Inną opcją byłoby zainstalowanie w recepcjach automaty do gier lub na przykład manekiny z odpowiadającymi im twarzami jako cele do rzutek, ale niestety w Rosji nigdy nie zachęcano do tego rodzaju innowacji.

Wykorzystanie zjawiska percepcji

Czy można w jakiś sposób wzmocnić efekt niemożliwości? Czy niektóre obiekty są bardziej „niemożliwe” niż inne? I tutaj na ratunek przychodzą osobliwości ludzkiej percepcji. Psychologowie odkryli, że oko zaczyna badać obiekt (obraz) od lewego dolnego rogu, następnie wzrok przesuwa się w prawo do środka i opada w prawy dolny róg obrazu. Trajektoria ta może wynikać z faktu, że nasi przodkowie spotykając wroga, najpierw patrzyli na najbardziej niebezpieczne prawa ręka, a potem wzrok przesunął się w lewo, na twarz i sylwetkę. Zatem, percepcja artystyczna będzie w dużym stopniu zależeć od tego, jak zbudowana jest kompozycja obrazu. Cecha ta była wyraźnie widoczna w średniowieczu w produkcji gobelinów: ich konstrukcja była lustrzane odbicie oryginał, a wrażenie wywierane na gobelinach i na oryginałach jest odmienne.

Właściwość tę można z powodzeniem wykorzystać przy tworzeniu kreacji z obiektów niemożliwych, zwiększając lub zmniejszając „stopień niemożliwości”. Istnieje także perspektywa uzyskania ciekawych kompozycji za pomocą technologii komputerowej lub z kilku obróconych obrazów (być może za pomocą różne typy symetrie) jedna względem drugiej, wywołując u widza odmienne wrażenie obiektu i głębsze zrozumienie istoty projektu, lub takie, które obraca się (ciągle lub gwałtownie) za pomocą prostego mechanizmu pod pewnymi kątami.

Kierunek ten można nazwać wielokątnym (wielokątnym). Na ilustracjach przedstawiono obrazy obrócone względem siebie. Kompozycja powstała w następujący sposób: rysunek na papierze, wykonany tuszem i ołówkiem, został zeskanowany, przetworzony do postaci cyfrowej i przetworzony w edytor graficzny. Można zauważyć prawidłowość – obrócony obraz ma większy „stopień niemożliwości” niż obraz oryginalny. Łatwo to wytłumaczyć: artysta w procesie pracy podświadomie dąży do stworzenia „właściwego” obrazu.

Kombinacje, kombinacje

Istnieje grupa obiektów niemożliwych, których rzeźbiarska realizacja jest niemożliwa. Być może najbardziej znanym z nich jest „niemożliwy trójząb” lub „diabelski widelec” (P3-1). Jeśli przyjrzysz się uważnie obiektowi, zauważysz, że trzy zęby stopniowo zamieniają się w dwa na tej samej podstawie, co prowadzi do konfliktu percepcji. Porównujemy liczbę zębów powyżej i poniżej i dochodzimy do wniosku, że obiekt jest niemożliwy. W oparciu o „widelec” stworzono wiele niemożliwych obiektów, w tym takie, w których część cylindryczna z jednej strony staje się kwadratowa z drugiej.

Oprócz tej iluzji istnieje wiele innych typów iluzje optyczne widzenie (iluzje rozmiaru, ruchu, koloru itp.). Złudzenie percepcji głębi jest jednym z najstarszych i najbardziej znanych złudzeń optycznych. Do tej grupy należy sześcian Neckera (1832), a w 1895 roku Armand Thiery opublikował artykuł na temat specjalna forma niemożliwe figury. W tym artykule po raz pierwszy narysowano obiekt, który później otrzymał nazwę Thierry i był niezliczoną ilość razy używany przez artystów op-artu. Obiekt składa się z pięciu identycznych rombów o bokach 60 i 120 stopni. Na rysunku widać dwie kostki połączone wzdłuż jednej powierzchni. Jeśli spojrzysz z dołu do góry, wyraźnie zobaczysz dolny sześcian z dwiema ścianami u góry, a jeśli spojrzysz z góry na dół, wyraźnie zobaczysz górny sześcian ze ścianami poniżej.

Najbardziej prosta figura z tych podobnych do Thierry’ego jest to najwyraźniej iluzja „otwierania piramidy”, czyli regularny romb z linią pośrodku. Nie da się dokładnie powiedzieć, co widzimy – piramidę wznoszącą się nad powierzchnią, czy znajdujący się na niej otwór (wgłębienie). Efekt ten został wykorzystany w grafice „Labirynt (Plan Piramidy)” z 2003 roku. Obraz otrzymał dyplom na międzynarodowej konferencji i wystawie matematycznej w Budapeszcie w 2003 roku „Ars(Dis)Symmetrica” 03. W pracy zastosowano połączenie iluzji percepcji głębi i figur niemożliwych.

Podsumowując, możemy powiedzieć, że kierunek imp art jest podobny część sztuka optyczna aktywnie się rozwija, a w najbliższej przyszłości niewątpliwie będziemy spodziewać się nowych odkryć w tej dziedzinie.

LITERATURA

Rutesward O. Liczby niemożliwe. - M.: Stroyizdat, 1990.

Podpisy do ilustracji

Chory. 1. Skonstruowana przez autora artykułu tabela nie pretenduje do kompletności i ścisłego porządku, lecz umożliwia ocenę całej gamy liczb niemożliwych. Tabela zawiera ponad 300 tysięcy kombinacji różnych elementów. Jako ilustracje wykorzystano grafiki autora artykułu oraz materiały ze strony internetowej Vlada Aleksiejewa.

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że niemożliwe figury mogą istnieć tylko na płaszczyźnie. W rzeczywistości niesamowite postacie można ucieleśnić w trójwymiarowej przestrzeni, ale aby uzyskać „ten sam efekt”, trzeba spojrzeć na nie z pewnego punktu.

Zniekształcona perspektywa jest częstym zjawiskiem w malarstwo antyczne. Gdzieś wynikało to z nieumiejętności konstruowania obrazu przez artystów, gdzieś było przejawem obojętności na realizm, który przedkładano nad symbolikę. Świat materialny został częściowo zrehabilitowany w okresie renesansu. Mistrzowie renesansu zaczęli zgłębiać perspektywę i odkryli gry z przestrzenią.

Nawiązuje do jednego z obrazów niemożliwej postaci XVI wiek- na obrazie Pietera Bruegla Starszego „Sroka na szubienicy” ta sama szubienica wygląda podejrzanie.

Wielka sława przyszła do niemożliwych postaci XX wieku. Szwedzki artysta Oskar Rootesvard namalował trójkąt złożony z sześcianów „Opus 1” w 1934 r., a kilka lat później „Opus 2B”, w którym zmniejszono liczbę sześcianów. Sam artysta zauważa, że najcenniejszą rzeczą w rozwoju postaci, której się podjął, był powrót lata szkolne należy wziąć pod uwagę nie samo tworzenie rysunków, ale umiejętność zrozumienia, że to, co jest rysowane, jest paradoksalne i sprzeczne z prawami geometrii euklidesowej.

Moja pierwsza niemożliwa figura pojawiła się przez przypadek, gdy w 1934 roku, na ostatniej klasie gimnazjum, bazgrałem w podręczniku do gramatyki łacińskiej, rysując w nim figury geometryczne.
Oscara Rooteswarda „Liczby niemożliwe”

W latach 50. XX wieku ukazał się artykuł brytyjskiego matematyka Rogera Penrose'a poświęcony osobliwościom percepcji form przestrzennych przedstawionych na płaszczyźnie. Artykuł ukazał się w British Journal of Psychology, który mówi wiele o istocie liczb niemożliwych. Najważniejsze w nich nie jest nawet paradoksalna geometria, ale to, jak nasz umysł postrzega takie zjawiska. Ustalenie, co dokładnie jest „nie tak” z figurą, zajmuje zwykle kilka sekund.

Dzięki Rogerowi Penrose’owi na figury te spojrzano z naukowego punktu widzenia, jako na obiekty o szczególnych cechach topologicznych. Omawiana powyżej australijska rzeźba to właśnie niemożliwy trójkąt Penrose'a, w którym wszystkie elementy są prawdziwe, ale obraz nie składa się na całość, jaka może istnieć w trójwymiarowym świecie. Trójkąt Penrose'a wprowadza w błąd, zapewniając fałszywą perspektywę.

Tajemnicze postacie stały się źródłem inspiracji dla fizyków, matematyków i artystów. Zainspirowany artykułem Penrose'a grafik Maurits Escher stworzył kilka litografii, które przyniosły mu sławę iluzjonisty, a następnie kontynuował eksperymenty ze zniekształceniami przestrzennymi na płaszczyźnie.

Niemożliwy widelec

Niemożliwy trójząb, bliwet, a nawet, jak to się go nazywa, „diabelski widelec”, to figura z trzema okrągłymi zębami na jednym końcu i prostokątnymi na drugim. Okazuje się, że obiekt w prawej i lewej części jest całkiem normalny, ale w kompleksie okazuje się czystym szaleństwem.

Efekt ten uzyskano dzięki temu, że trudno jednoznacznie określić, gdzie jest pierwszy plan, a gdzie tło.

Irracjonalny sześcian

Niemożliwa kostka (znana również jako „kostka Eschera”) pojawiła się w litografii „Belvedere” Mauritsa Eschera. Wydaje się, że sześcian ten swoim istnieniem łamie wszystkie podstawowe prawa geometryczne. Rozwiązanie, jak zawsze w przypadku liczb niemożliwych, jest dość proste: dla ludzkiego oka Powszechnie postrzega się obrazy dwuwymiarowe jako obiekty trójwymiarowe.

Tymczasem w trzech wymiarach niemożliwy sześcian wyglądałby tak i od pewnego momentu wyglądałby tak samo, jak na powyższym obrazku.

Liczby niemożliwe cieszą się dużym zainteresowaniem psychologów, kognitywistów i biologów ewolucyjnych, pomagając lepiej zrozumieć naszą wizję i myślenie przestrzenne. Dziś technologia komputerowa, wirtualna rzeczywistość i projekcje poszerzają możliwości, dzięki czemu na kontrowersyjne obiekty można spojrzeć z nowym zainteresowaniem.

Z wyjątkiem klasyczne przykłady które podaliśmy, istnieje wiele innych opcji dla liczb niemożliwych, a artyści i matematycy wymyślają coraz więcej paradoksalnych opcji. Rzeźbiarze i architekci stosują rozwiązania, które mogą wydawać się niewiarygodne, choć ich wygląd zależy od kierunku, w którym patrzy widz (jak obiecał Escher – teoria względności!).

Nie musisz być zawodowym architektem, aby spróbować swoich sił w tworzeniu wolumetrycznych niemożliwości. Istnieją origami niemożliwych postaci - można to powtórzyć w domu, pobierając puste miejsce.

Przydatne zasoby

Niemożliwy świat - zasoby w języku rosyjskim i angielskim słynne obrazy, setki przykładów niemożliwych figur i programów do samodzielnego tworzenia niewiarygodnych.
MC Escher - oficjalna strona M.K. Escher, założona przez firmę MC Escher Company (angielski i holenderski).
- prace artysty, artykuły, biografia (język rosyjski).

Niemożliwe jest co
które nie mogą istnieć...
albo się wydarzy...

Cel lekcji: rozwój trójwymiarowej wizji uczniów; umiejętność wyjaśnienia niemożności istnienia określonej figury z punktu widzenia geometrii; rozwój zainteresowań tematem.

Sprzęt: gazeta oparta na materiałach ze strony „Świat Niemożliwy” (Internet), narzędzia do konstruowania figur, figur geometrycznych, ilustracje figur niemożliwych.

Postęp lekcji:

Uwagi wstępne:
Na przestrzeni dziejów ludzie spotykali się z różnego rodzaju złudzeniami optycznymi. Wystarczy przypomnieć sobie miraż na pustyni, iluzje tworzone przez światło i cień, a także względny ruch. Powszechnie znany jest następujący przykład: księżyc wschodzący z horyzontu wydaje się znacznie większy, niż jest wysoko na niebie. To tylko kilka ciekawych zjawisk zachodzących w przyrodzie. Kiedy po raz pierwszy dostrzeżono te zjawiska, które zwodzą oczy i umysł, zaczęły pobudzać wyobraźnię ludzi.

Od czasów starożytnych iluzje optyczne były wykorzystywane w celu zwiększenia wpływu dzieł sztuki lub ulepszenia wygląd kreacje architektoniczne. Starożytni Grecy używali złudzeń optycznych, aby udoskonalić wygląd swoich wielkich świątyń. W średniowieczu w malarstwie czasami stosowano przesuniętą perspektywę. Później w grafice wykorzystano wiele innych iluzji. Wśród nich jedyny w swoim rodzaju i stosunkowo nowy rodzaj złudzenia optycznego znany jest jako „obiekty niemożliwe”.

Jedną z ważnych umiejętności osób pracujących na kierunkach technicznych jest umiejętność postrzegania obiektów trójwymiarowych w płaszczyźnie dwuwymiarowej. „Impossible Objects” opiera się na wykorzystaniu trików z perspektywą i głębią w dwuwymiarowej przestrzeni. Niemożliwe w rzeczywistej przestrzeni trójwymiarowej, wpływają na nasz wzrok poprzez przesunięcie perspektywy, manipulację głębią i płaszczyzną, zwodnicze wskazówki optyczne, niespójności planów, grę światła i cienia, niejasne połączenia z powodu błędnych i sprzecznych kierunków i połączeń, zmieniony kod punkty i inne „sztuczki”, z których korzysta grafik.

Celowe wykorzystanie w projektowaniu obiektów niemożliwych sięga czasów starożytnych, jeszcze przed pojawieniem się perspektywy klasycznej. Artyści próbowali szukać nowych rozwiązań. Przykładem jest XV-wieczne przedstawienie Zwiastowania na fresku katedry Najświętszej Marii Panny w holenderskim mieście Breda. Obraz przedstawia Archanioła Gabriela przynoszącego Maryi wieści o jej przyszłym Synu. Fresk otoczony jest dwoma łukami, wspartymi z kolei na trzech kolumnach. Należy jednak zwrócić uwagę na środkową kolumnę. W odróżnieniu od pozostałych znika w tle za piecem. Z praktycznego punktu widzenia artysta wykorzystał tę „niemożność” jako specjalną technikę, aby uniknąć podziału sceny na dwie połowy.

Przykład takiego łuku pokazano na ryc. 1

„Liczby niemożliwe” są podzielone na 4 grupy. Spróbujmy teraz przeanalizować główne postacie z każdej grupy. A więc pierwszy:

Uczeń 1:

Niesamowity trójkąt - tribar.

Figura ta jest być może pierwszym niemożliwym obiektem opublikowanym drukiem. Ukazał się w 1958 r. Jego autorzy, ojciec i syn Lionell i Roger Penrose, odpowiednio genetyk i matematyk, zdefiniowali obiekt jako „trójwymiarową prostokątną strukturę”. Nazywano go także „tribarem”.

Określ, co jest geometrycznie niemożliwe.

(Na pierwszy rzut oka trybuna wydaje się po prostu obrazem trójkąta równobocznego. Ale boki zbiegające się u góry obrazu wydają się prostopadłe. Jednocześnie lewa i prawa krawędź poniżej również wydają się prostopadłe. Jeśli spojrzysz na każdy szczegół z osobna, wydaje się to realne, ale ogólnie rzecz biorąc, ta liczba nie może istnieć. Nie jest odkształcony, ale przy rysowaniu źle połączono odpowiednie elementy.)

Oto kilka przykładów niemożliwych figur opartych na tribanie. Spróbuj wyjaśnić ich niemożność.

Potrójnie wypaczony tribar

Trójkąt składający się z 12 sześcianów

Skrzydlaty Tribar

Potrójne domino

Uczeń 2:

Niekończące się schody

Figura ta najczęściej nazywana jest „Nieskończonymi Schodami”, „Wiecznymi Schodami” lub „Penrose Staircase” – od nazwiska jej twórcy. Nazywa się ją także „ścieżką ciągłego wznoszenia się i opadania”.

Liczba ta została po raz pierwszy opublikowana w 1958 roku. Pojawiają się przed nami schody, pozornie prowadzące w górę lub w dół, ale jednocześnie osoba po nich idąca nie podnosi się ani nie opada. Po ukończeniu trasy wzrokowej znajdzie się na początku ścieżki.

„Endless Staircase” z powodzeniem wykorzystał artysta Maurits K. Escher, tym razem w swojej litografii „Ascent and Descend”, powstałej w 1960 roku.

Schody z czterema lub siedmioma stopniami.

Autor mógł zainspirować się stosem zwykłych podkładów kolejowych, aby stworzyć tę figurę z dużą liczbą stopni. Kiedy będziesz miał zamiar wspiąć się na tę drabinę, staniesz przed wyborem: czy wspiąć się na cztery czy na siedem stopni.

Spróbuj wyjaśnić, z jakich właściwości skorzystali twórcy tej klatki schodowej.

(Twórcy tej klatki schodowej wykorzystali równoległe linie do zaprojektowania końcowych elementów równomiernie rozmieszczonych bloków; niektóre bloki wydają się być skręcone, aby dopasować się do iluzji).

Sugeruje się przyjrzeć jeszcze jednej figurze. Ściana schodkowa.

Uczeń 3:

Kolejna grupa figurek zwana jest zbiorczo „Widełami Kosmicznym”. Dzięki tej figurze wkraczamy w sam rdzeń i istotę niemożliwego. Może to być największa klasa obiektów niemożliwych.

Ten cieszący się złą sławą niemożliwy obiekt z trzema (a może dwoma?) zębami stał się popularny wśród inżynierów i miłośników puzzli w 1964 roku. Pierwsza publikacja poświęcona niezwykłej postaci ukazała się w grudniu 1964 roku. Autor nazwał to „Ortezą składającą się z trzech elementów”. Dostrzeżenie i rozwiązanie (jeśli to możliwe) niespójności w tym nowym typie niejednoznacznej figury wymaga prawdziwej zmiany w fiksacji wizualnej. Z praktycznego punktu widzenia ten dziwny mechanizm przypominający trójząb lub wspornik jest absolutnie nie do zastosowania. Niektórzy nazywają to po prostu „niefortunnym błędem”. Jeden z przedstawicieli przemysłu lotniczego zaproponował wykorzystanie jego właściwości do budowy międzywymiarowego kamertonu kosmicznego.

Wieża z czterema bliźniaczymi kolumnami.

Uczeń 4:

„Czazy pudełko” to rama sześcianu wywróconego na lewą stronę. Bezpośrednim poprzednikiem Crazy Boxa było Impossible Box (autorstwa Eschera), a jego poprzednikiem z kolei była Necker Cube.

Nie jest to obiekt niemożliwy, ale figura, w której parametr głębi można dostrzec niejednoznacznie.

Sześcian Neckera został po raz pierwszy opisany w 1832 roku przez szwajcarskiego krystalografa Lewisa A. Neckera, który zauważył, że kryształy czasami wizualnie zmieniają kształt, gdy na nie patrzysz. Kiedy patrzymy na kostkę Neckera, zauważamy, że ściana z kropką jest albo na pierwszym planie, albo w tle, przeskakuje z jednej pozycji na drugą.

Jeszcze kilka niemożliwych postaci.

Nauczyciel:

Teraz spróbuj samodzielnie stworzyć niemożliwą figurę.

Lekcja kończy się próbą samodzielnego narysowania przez uczniów figury niemożliwej.

Figura niemożliwa to jeden z rodzajów złudzeń optycznych, figura, która na pierwszy rzut oka wydaje się być projekcją zwykłego trójwymiarowego obiektu,

po dokładnym zbadaniu widoczne stają się sprzeczne powiązania elementów figury. Tworzy się iluzja niemożności istnienia takiej figury w trójwymiarowej przestrzeni.

Niemożliwe liczby

Najbardziej znane niemożliwe figury to niemożliwy trójkąt, niekończące się schody i niemożliwy trójząb.

Niemożliwy Trójkąt Perrose'a

Iluzja Reutersvarda (Reutersvard, 1934)

Należy również zauważyć, że zmiana organizacji figury i podłoża umożliwiła dostrzeżenie centralnie położonej „gwiazdy”.
_________

Niemożliwa kostka Eschera

Tak naprawdę wszystkie niemożliwe postacie mogą istnieć w prawdziwym świecie. Zatem wszystkie obiekty narysowane na papierze są projekcjami obiektów trójwymiarowych, dlatego możliwe jest stworzenie trójwymiarowego obiektu, który po rzucie na płaszczyznę będzie wyglądał niemożliwie. Patrząc na taki obiekt z pewnego punktu, również będzie on wyglądał na niemożliwy, ale patrząc z innego punktu, efekt niemożliwości zostanie utracony.

W 1999 roku w Perth (Australia) wzniesiono 13-metrową rzeźbę niemożliwego trójkąta z aluminium. Tutaj niemożliwy trójkąt został przedstawiony w najpełniejszy sposób forma ogólna- V forma trójki belki połączone ze sobą pod kątem prostym.

Widelec diabła
Wśród wszystkich figur niemożliwych szczególne miejsce zajmuje niemożliwy trójząb („diabelski widelec”).

Jeśli zamkniemy dłonią prawą stronę trójzębu, zobaczymy bardzo realny obraz - trzy okrągłe zęby. Jeśli zamkniemy dolną część trójzębu, zobaczymy również prawdziwy obraz - dwa prostokątne zęby. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę całą figurę jako całość, okaże się, że trzy okrągłe zęby stopniowo zamieniają się w dwa prostokątne.

Zatem widać, że pierwszy plan i tło tego rysunku są w konflikcie. Oznacza to, że to, co pierwotnie było na pierwszym planie, wraca, a tło (środkowy ząb) wysuwa się do przodu. Oprócz zmiany pierwszego planu i tła, na tym rysunku pojawia się jeszcze jeden efekt - płaskie krawędzie prawej strony trójzębu stają się zaokrąglone po lewej stronie.

Efekt niemożliwości uzyskujemy dzięki temu, że nasz mózg analizuje kontur sylwetki i próbuje policzyć ilość zębów. Mózg porównuje liczbę zębów na rysunku po lewej i prawej stronie obrazu, co rodzi wrażenie, że figura jest niemożliwa. Gdyby liczba zębów na rysunku była znacznie większa (na przykład 7 lub 8), wówczas paradoks ten byłby mniej wyraźny.

Niektóre książki twierdzą, że niemożliwy trójząb należy do klasy niemożliwych postaci, których nie można odtworzyć w prawdziwym świecie. W rzeczywistości nie jest to prawdą. WSZYSTKIE niemożliwe postacie można zobaczyć w prawdziwym świecie, ale będą wyglądać na niemożliwe tylko z jednego punktu widzenia.

______________

Niemożliwy słoń

Ile nóg ma słoń?

Psycholog ze Stanford, Roger Shepard, wykorzystał pomysł trójzębu do swojego zdjęcia niemożliwego słonia.

______________

Schody Penrose'a(niekończące się schody, niemożliwe schody)

Niekończące się schody to jedno z najsłynniejszych klasycznych niemożliwości.

Jest to projekt klatki schodowej, w której osoba poruszająca się po niej w jednym kierunku (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara na rysunku w artykule) będzie w nieskończoność wspinać się, a poruszając się w przeciwnym kierunku, będzie stale schodzić.

Innymi słowy, mamy do czynienia ze schodami, które zdają się prowadzić w górę lub w dół, ale osoba po nich idąca nie podnosi się ani nie opada. Po ukończeniu trasy wzrokowej znajdzie się na początku ścieżki. Gdybyś rzeczywiście musiał wejść po tych schodach, chodziłbyś po nich w górę i w dół bez celu nieskończona liczba raz. Można to nazwać niekończącym się zadaniem syzyfowym!

Odkąd Penroseowie opublikowali tę figurę, pojawiała się ona w druku częściej niż jakikolwiek inny niemożliwy obiekt. „Niekończące się schody” można znaleźć w książkach o grach, łamigłówkach, iluzjach, w podręcznikach z zakresu psychologii i innych przedmiotów.

„Wzloty i upadki”

„Endless Forest” z powodzeniem wykorzystał artysta Maurits K. Escher, tym razem w swojej urokliwej litografii „Ascent and Descend”, powstałej w 1960 roku.
Na tym rysunku, odzwierciedlającym wszystkie możliwości postaci Penrose'a, bardzo rozpoznawalne Nieskończone Schody są starannie wpisane w dach klasztoru. Zakapturzeni mnisi nieustannie wspinają się po schodach w kierunku zgodnym i przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Idą ku sobie niemożliwą drogą. Nigdy nie udaje im się wspiąć ani na dół.

W związku z tym The Endless Staircase częściej kojarzy się z Escherem, który go przerysował, niż z Penrose'ami, którzy go wymyślili.

Ile jest tam półek?

Gdzie są otwarte drzwi?

Zewnętrzne czy wewnętrzne?

Na płótnach dawnych mistrzów czasami pojawiały się niemożliwe postacie, jak na przykład szubienica na obrazie Pietera Bruegla (Starszego)
„Sroka na szubienicy” (1568)

__________

Niemożliwy Łuk

Jos de Mey – Artysta flamandzki, studiował w Akademii Królewskiej Sztuki piękne w Gandawie w Belgii, a następnie przez 39 lat uczył studentów projektowania wnętrz i koloru. Od 1968 roku jego zainteresowania skupiły się na rysowaniu. Najbardziej znany jest ze starannego i realistycznego wykonywania niemożliwych konstrukcji.

Najbardziej znane są postacie niemożliwe w twórczości artysty Maurice'a Eschera. Patrząc na takie rysunki, każdy osobna część wydaje się całkiem prawdopodobne, ale gdy spróbujesz prześledzić linię, okazuje się, że ta linia nie jest już na przykład zewnętrznym narożnikiem ściany, ale wewnętrznym.

"Względność"

Ta litografia Holenderski artysta Escher został po raz pierwszy wydrukowany w 1953 roku.

Litografia przedstawia paradoksalny świat, w którym nie obowiązują prawa rzeczywistości. Trzy rzeczywistości zjednoczone są w jednym świecie, trzy siły grawitacji skierowane są ku sobie prostopadle.

Powstała konstrukcja architektoniczna, rzeczywistości łączą schody. Dla ludzi żyjących na tym świecie, ale w różnych płaszczyznach rzeczywistości, te same schody będą skierowane w górę lub w dół.

"Wodospad"

Ta litografia autorstwa holenderskiego artysty Eschera została po raz pierwszy wydrukowana w październiku 1961 roku.

Praca Eschera ukazuje paradoks – spadająca woda z wodospadu steruje kołem, które kieruje wodę na szczyt wodospadu. Wodospad ma strukturę „niemożliwego” trójkąta Penrose’a: litografia powstała na podstawie artykułu w British Journal of Psychology.

Konstrukcja składa się z trzech poprzeczek ułożonych jedna na drugiej pod kątem prostym. Wodospad na litografii działa jak perpetuum mobile. Wydaje się również, że obie wieże są takie same; w rzeczywistości ta po prawej stronie znajduje się piętro poniżej lewej wieży.

No cóż, bardziej współczesne dzieła :o)
Niekończąca się fotografia