Czy nam się to podoba, czy nie, nasze życie obfituje w różnego rodzaju wypadki, zarówno przyjemne, jak i niezbyt przyjemne. Dlatego każdy z nas dobrze by zrobił, gdyby wiedział, jak znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia. To pomoże ci podjąć trafne decyzje w żadnych okolicznościach, które wiążą się z niepewnością. Na przykład taka wiedza będzie bardzo przydatna przy wyborze opcji inwestycyjnych, ocenie możliwości wygrania akcji lub loterii, określeniu realności realizacji osobistych celów itp., itp.

Formuła prawdopodobieństwa

Zasadniczo badanie tego tematu nie zajmuje zbyt wiele czasu. Aby uzyskać odpowiedź na pytanie: „Jak znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska?”, Musisz sobie z tym poradzić kluczowe idee i pamiętaj o podstawowych zasadach, na których opiera się kalkulacja. Tak więc, zgodnie ze statystykami, badane zdarzenia są oznaczone przez A1, A2,..., An. Każdy z nich ma zarówno wyniki korzystne (m), jak i całkowitą liczbę wyników elementarnych. Na przykład interesuje nas, jak znaleźć prawdopodobieństwo, że parzysta liczba punktów znajdzie się na górnej ścianie sześcianu. Wtedy A to rzut m - wyrzucenie 2, 4 lub 6 (trzy korzystne wybory), a n to wszystkie sześć możliwych wyborów.

Sam wzór obliczeniowy jest następujący:

Z jednym wynikiem wszystko jest niezwykle łatwe. Ale jak znaleźć prawdopodobieństwo, że zdarzenia następują jedno po drugim? Rozważmy ten przykład: jedna karta jest pokazywana z talii kart (36 sztuk), następnie jest ponownie chowana w talii, a po wymieszaniu wyciągana jest następna. Jak znaleźć prawdopodobieństwo, że przynajmniej w jednym przypadku wylosowano damę pik? Istnieje następująca zasada: jeśli rozważane jest złożone zdarzenie, które można podzielić na kilka niekompatybilnych prostych zdarzeń, można najpierw obliczyć wynik dla każdego z nich, a następnie dodać je razem. W naszym przypadku będzie to wyglądać tak: 1/36 + 1/36 = 1/18. Ale co, gdy kilka wystąpi w tym samym czasie? Następnie mnożymy wyniki! Na przykład prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema monetami w tym samym czasie wypadną dwie reszki, będzie równe: ½ * ½ = 0,25.

Teraz weźmy jeszcze więcej złożony przykład. Załóżmy, że bierzemy udział w loterii książkowej, w której wygrywa dziesięć z trzydziestu losów. Wymagane jest ustalenie:

1. Prawdopodobieństwo, że obaj wygrają.
2. Przynajmniej jeden z nich przyniesie nagrodę.
3. Obaj będą przegrani.

Rozważmy więc pierwszy przypadek. Można go podzielić na dwa wydarzenia: pierwszy bilet będzie szczęśliwy, a drugi również będzie szczęśliwy. Weźmy pod uwagę, że zdarzenia są zależne, gdyż po każdym wyciągnięciu łączna liczba opcji maleje. Otrzymujemy:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

W drugim przypadku musisz określić prawdopodobieństwo utraty biletu i wziąć pod uwagę, że może to być zarówno pierwszy z rzędu, jak i drugi: 10 / 30 * 20 / 29 + 20 / 29 * 10 / 30 = 0,4598.

Wreszcie trzeci przypadek, gdy nie można zdobyć nawet jednej książki z loterii: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

„Przypadkowość nie jest przypadkowa”... Brzmi to jak powiedział filozof, ale w rzeczywistości badanie przypadków jest przeznaczeniem wielkiej nauki, jaką jest matematyka. W matematyce przypadek jest teorią prawdopodobieństwa. W artykule zostaną przedstawione wzory i przykłady zadań, a także główne definicje tej nauki.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z dyscyplin matematycznych, która bada zdarzenia losowe.

Aby było to trochę jaśniejsze, podamy mały przykład: jeśli rzucisz monetą, może wypaść orzeł lub reszka. Dopóki moneta jest w powietrzu, obie te możliwości są możliwe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji koreluje 1:1. Jeśli jedna zostanie wylosowana z talii zawierającej 36 kart, prawdopodobieństwo zostanie wskazane jako 1:36. Wydawać by się mogło, że nie ma czego badać i przewidywać, zwłaszcza z pomocą wzory matematyczne. Niemniej jednak, jeśli pewne działanie powtórzysz wiele razy, możesz zidentyfikować pewien schemat i na jego podstawie przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Podsumowując powyższe, teoria prawdopodobieństwa w sensie klasycznym bada możliwość wystąpienia jednego z możliwych zdarzeń w sensie liczbowym.

Z kart historii

Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady pierwszych zadań pojawiły się w odległym średniowieczu, kiedy to pojawiły się pierwsze próby przewidywania wyniku gier karcianych.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Było to uzasadnione empirycznymi faktami lub właściwościami zdarzenia, które można było odtworzyć w praktyce. Pierwsze prace z tego zakresu jako dyscypliny matematycznej pojawiły się w XVII wieku. Założycielami byli Blaise Pascal i Pierre Fermat. długi czas oni uczyli się hazard i dostrzegli pewne wzorce, o których postanowili opowiedzieć opinii publicznej.

Tę samą technikę wynalazł Christian Huygens, choć nie znał wyników badań Pascala i Fermata. Wprowadził pojęcie „teorii prawdopodobieństwa”, formuły i przykłady, które uważane są za pierwsze w historii tej dyscypliny.

Nie bez znaczenia są prace Jacoba Bernoulliego, twierdzenia Laplace'a i Poissona. Uczynili teorię prawdopodobieństwa bardziej dyscypliną matematyczną. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady podstawowych zadań uzyskały swój obecny kształt dzięki aksjomatom Kołmogorowa. W wyniku tych wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z gałęzi matematyki.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenia

Głównym pojęciem tej dyscypliny jest „wydarzenie”. Wydarzenia dzielą się na trzy rodzaje:

• Niezawodny. Takie, które i tak się wydarzy (moneta spadnie).
• Niemożliwe. Wydarzenia, które nie wystąpią w żadnym scenariuszu (moneta pozostanie w powietrzu).
• Losowy. Te, które będą lub nie będą miały miejsca. Mogą na nie wpływać różne, bardzo trudne do przewidzenia czynniki. Jeśli mówimy o monecie, to losowe czynniki, które mogą wpłynąć na wynik: właściwości fizyczne monety, jej kształt, pozycja początkowa, siła rzutu itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach zaznaczono dużymi literami. z literami łacińskimi, z wyjątkiem P, który pełni inną rolę. Na przykład:

• A = „studenci przyszli na wykład”.
• Ā = „studenci nie przyszli na wykład”.

W zadaniach praktycznych zdarzenia są zwykle zapisywane słownie.

Jedną z najważniejszych cech wydarzeń jest ich równe prawdopodobieństwo. Oznacza to, że jeśli rzucisz monetą, wszystkie warianty początkowego upadku są możliwe, dopóki nie spadnie. Ale zdarzenia również nie są równie prawdopodobne. Dzieje się tak, gdy ktoś celowo wpływa na wynik. Na przykład „oznaczony” grać w karty lub kości, w których środek ciężkości jest przesunięty.

Zdarzenia są również kompatybilne i niekompatybilne. Kompatybilne zdarzenia nie wykluczają wzajemnego występowania. Na przykład:

• A = „student przyszedł na wykład”.
• B = "student przyszedł na wykład."

Zdarzenia te są od siebie niezależne, a pojawienie się jednego z nich nie wpływa na pojawienie się drugiego. Zdarzenia niezgodne definiuje się przez fakt, że wystąpienie jednego wyklucza wystąpienie drugiego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, to utrata „reszek” uniemożliwia pojawienie się „orłów” w tym samym eksperymencie.

Działania na zdarzeniach

Zdarzenia można odpowiednio mnożyć i dodawać, w dyscyplinie wprowadza się spójniki logiczne „AND” i „OR”.

Kwota jest określona przez fakt, że zdarzenie A, B lub oba mogą wystąpić w tym samym czasie. W przypadku, gdy są niekompatybilne, ostatnia opcja jest niemożliwa, odpadnie albo A, albo B.

Mnożenie zdarzeń polega na pojawieniu się A i B w tym samym czasie.

Teraz możesz podać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i wzory. Przykłady rozwiązywania problemów poniżej.

Ćwiczenie 1: Firma ubiega się o kontrakty na trzy rodzaje prac. Możliwe zdarzenia, które mogą wystąpić:

• A = „firma otrzyma pierwszy kontrakt”.
• A 1 = „firma nie otrzyma pierwszego kontraktu”.
• B = „firma otrzyma drugą umowę”.
• B 1 = „firma nie otrzyma drugiego kontraktu”
• C = „firma otrzyma trzeci kontrakt”.
• C 1 = "firma nie otrzyma trzeciego kontraktu."

Spróbujmy wyrazić następujące sytuacje za pomocą działań na zdarzeniach:

• K = „firma otrzyma wszystkie kontrakty”.

W formie matematycznej równanie będzie miało następny widok: K = ABC.

• M = „firma nie otrzyma ani jednego kontraktu”.

M \u003d ZA 1 B 1 do 1.

Komplikujemy zadanie: H = „firma otrzyma jeden kontrakt”. Ponieważ nie wiadomo, który kontrakt firma otrzyma (pierwszy, drugi czy trzeci), konieczne jest zarejestrowanie całego spektrum możliwych zdarzeń:

H \u003d ZA 1 pne 1 υ AB 1 do 1 υ ZA 1 b 1 do.

A 1 BC 1 to seria zdarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszego i trzeciego kontraktu, ale otrzymuje drugi. Inne możliwe zdarzenia są również rejestrowane odpowiednią metodą. Symbol υ w dyscyplinie oznacza grupę „LUB”. Jeśli powyższy przykład przetłumaczymy na język ludzki, to firma otrzyma albo trzecią umowę, albo drugą, albo pierwszą. Podobnie możesz napisać inne warunki w dyscyplinie „Teoria prawdopodobieństwa”. Formuły i przykłady rozwiązywania problemów przedstawione powyżej pomogą ci zrobić to sam.

A właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej dyscyplinie matematycznej prawdopodobieństwo zdarzenia jest głównym pojęciem. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

• klasyczny;
• statystyczny;
• geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństwa. Wykorzystuje się głównie teorię prawdopodobieństwa, wzory i przykłady (klasa 9). klasyczna definicja który brzmi tak:

• Prawdopodobieństwo zajścia sytuacji A jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających jej wystąpieniu do liczby wszystkich możliwych wyników.

Formuła wygląda następująco: P (A) \u003d m / n.

A właściwie wydarzenie. Jeśli wystąpi przeciwieństwo A, można je zapisać jako Ā lub A 1 .

m to liczba możliwych korzystnych przypadków.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą się wydarzyć.

Na przykład A \u003d „wyciągnij kartę w kolorze serca”. W standardowej talii jest 36 kart, z czego 9 to karty kier. W związku z tym formuła rozwiązania problemu będzie wyglądać następująco:

P(A)=9/36=0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze serca, wyniesie 0,25.

do matematyki wyższej

Teraz stało się mało znane, czym jest teoria prawdopodobieństwa, formuły i przykłady rozwiązywania napotkanych problemów program nauczania. Jednak teoria prawdopodobieństwa występuje również w matematyce wyższej, której wykłada się na uniwersytetach. Najczęściej operują geometrycznymi i statystycznymi definicjami teorii oraz złożonymi wzorami.

Teoria prawdopodobieństwa jest bardzo interesująca. Wzory i przykłady (wyższa matematyka) lepiej zacząć uczyć się od małego - od statystycznej (lub częstotliwościowej) definicji prawdopodobieństwa.

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z podejściem klasycznym, ale je nieco rozszerza. Jeśli w pierwszym przypadku konieczne było określenie, z jakim prawdopodobieństwem wystąpi zdarzenie, to w tej metodzie konieczne jest wskazanie, jak często będzie ono występować. Tutaj wprowadzono nowe pojęcie „częstotliwości względnej”, którą można oznaczyć jako Wn (A). Formuła nie różni się od klasycznej:

Jeśli formuła klasyczna jest obliczana do prognozowania, to formuła statystyczna jest obliczana zgodnie z wynikami eksperymentu. Weźmy na przykład małe zadanie.

Dział kontroli technologicznej sprawdza jakość wyrobów. Spośród 100 produktów 3 okazały się złej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości dobra wysokiej jakości?

A = „wygląd produktu wysokiej jakości”.

Wn(A)=97/100=0,97

Zatem częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Skąd masz 97? Spośród 100 skontrolowanych produktów 3 okazały się złej jakości. Odejmujemy 3 od 100, otrzymujemy 97, jest to ilość produktu wysokiej jakości.

Trochę o kombinatoryce

Inną metodą teorii prawdopodobieństwa jest kombinatoryka. Jego podstawową zasadą jest to, że jeśli zdecydowany wybór A można realizować m różne sposoby, a wybór B - n różnymi sposobami, to wybór A i B można wykonać przez pomnożenie.

Na przykład istnieje 5 dróg z miasta A do miasta B. Istnieją 4 trasy z miasta B do miasta C. Na ile sposobów można dostać się z miasta A do miasta C?

To proste: 5x4 = 20, czyli jest dwadzieścia różnych sposobów dotarcia z punktu A do punktu C.

Utrudnijmy zadanie. Na ile sposobów można grać w karty w pasjansie? W talii 36 kart jest to punkt wyjścia. Aby dowiedzieć się, na ile sposobów, musisz „odjąć” jedną kartę od punktu początkowego i pomnożyć.

Czyli 36x35x34x33x32…x2x1= wynik nie mieści się na ekranie kalkulatora, więc można go po prostu oznaczyć jako 36!. Podpisać "!" obok liczby wskazuje, że cała seria liczb jest mnożona między sobą.

W kombinatoryce istnieją takie pojęcia, jak permutacja, umieszczenie i kombinacja. Każdy z nich ma swoją własną formułę.

Uporządkowany zestaw elementów zestawu nazywa się układem. Miejsca docelowe mogą się powtarzać, co oznacza, że ​​jeden element może być używany wielokrotnie. I bez powtórzeń, gdy elementy się nie powtarzają. n to wszystkie elementy, m to elementy biorące udział w umieszczeniu. Formuła umieszczenia bez powtórzeń będzie wyglądać następująco:

A n m = n!/(n-m)!

Połączenia n elementów, które różnią się tylko kolejnością umieszczenia, nazywane są permutacjami. W matematyce wygląda to tak: P n = n!

Kombinacje n pierwiastków na m to takie związki, w których ważne jest, które to były pierwiastki i jaka jest ich łączna liczba. Formuła będzie wyglądać następująco:

A n m = n!/m!(n-m)!

Formuła Bernoulliego

W teorii prawdopodobieństwa, jak w każdej dyscyplinie, znajdują się prace wybitnych badaczy w swojej dziedzinie, którzy wynieśli ją na nowy poziom. Jedną z takich prac jest formuła Bernoulliego, która pozwala określić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że pojawienie się A w eksperymencie nie zależy od pojawienia się lub niewystąpienia tego samego zdarzenia w poprzednich lub kolejnych testach.

Równanie Bernoulliego:

P n (m) = do n m × p m × q n-m .

Prawdopodobieństwo (p) wystąpienia zdarzenia (A) pozostaje niezmienione dla każdej próby. Prawdopodobieństwo, że taka sytuacja wystąpi dokładnie m razy w n liczbach doświadczeń, obliczymy ze wzoru podanego powyżej. W związku z tym powstaje pytanie, jak znaleźć liczbę q.

Jeśli zdarzenie A wystąpi odpowiednio p razy, może nie wystąpić. Jednostka to liczba używana do określenia wszystkich wyników sytuacji w danej dyscyplinie. Dlatego q jest liczbą wskazującą na możliwość niewystąpienia zdarzenia.

Teraz znasz wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania problemów (poziom pierwszy) zostaną omówione poniżej.

Zadanie 2: Odwiedzający sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. 6 osób weszło do sklepu niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinno dokonać zakupu, jednego czy wszystkich sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego.

A = „odwiedzający dokona zakupu”.

W tym przypadku: p = 0,2 (jak wskazano w zadaniu). Odpowiednio, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ponieważ w sklepie jest 6 klientów). Liczba m zmieni się z 0 (żaden klient nie dokona zakupu) na 6 (wszyscy odwiedzający sklep coś kupią). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) \u003d do 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Żaden z kupujących nie dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak inaczej stosuje się wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązywania problemów (drugi poziom) poniżej.

Po powyższym przykładzie pojawiają się pytania o to, gdzie poszły C i p. W odniesieniu do p liczba podniesiona do potęgi 0 będzie równa jeden. Jeśli chodzi o C, można go znaleźć według wzoru:

C n m = n! /m!(n-m)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie odpowiednio m = 0, C = 1, co w zasadzie nie wpływa na wynik. Za pomocą Nowa formuła, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo zakupu towaru przez dwóch odwiedzających.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria prawdopodobieństwa nie jest tak skomplikowana. Bezpośrednim tego dowodem jest wzór Bernoulliego, którego przykłady przedstawiono powyżej.

Formuła Poissona

Równanie Poissona służy do obliczania mało prawdopodobnych sytuacji losowych.

Podstawowa formuła:

P n (m)=λ m /m! × mi (-λ) .

W tym przypadku λ = n x p. Oto taka prosta formuła Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania problemów zostaną omówione poniżej.

Zadanie 3 Odp .: Fabryka wyprodukowała 100 000 części. Wygląd wadliwej części = 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii będzie 5 wadliwych części?

Jak widać, małżeństwo jest zdarzeniem mało prawdopodobnym, dlatego do obliczeń używany jest wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania tego rodzaju problemów nie różnią się od innych zadań z dyscypliny, podstawiamy niezbędne dane do powyższego wzoru:

A = „losowo wybrana część będzie wadliwa”.

p = 0,0001 (zgodnie z warunkiem przypisania).

n = 100000 (liczba części).

m = 5 (części wadliwe). Podstawiamy dane we wzorze i otrzymujemy:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! Xe-10 = 0,0375.

Podobnie jak wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązań, z których korzysta się powyżej, równanie Poissona ma niewiadomą e. Zasadniczo można je znaleźć za pomocą wzoru:

mi -λ = granica n ->∞ (1-λ/n) n .

Istnieją jednak specjalne tabele, które zawierają prawie wszystkie wartości e.

Twierdzenie De Moivre'a-Laplace'a

Jeżeli w schemacie Bernoulliego liczba prób jest wystarczająco duża, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A we wszystkich schematach jest takie samo, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określoną liczbę razy w serii prób można znalezione według wzoru Laplace'a:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby lepiej zapamiętać wzór Laplace'a (teoria prawdopodobieństwa), przykłady zadań do pomocy poniżej.

Najpierw znajdujemy X m , podstawiamy dane (wszystkie są wskazane powyżej) do wzoru i otrzymujemy 0,025. Korzystając z tabel, znajdujemy liczbę ϕ (0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz zastąpić wszystkie dane we wzorze:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Zatem prawdopodobieństwo, że lotnik trafi dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formuła Bayesa

Formuła Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązywania zadań, za pomocą których zostaną podane poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie okoliczności, które można z nim powiązać. Główna formuła jest następująca:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B to zdarzenia określone.

P(A|B) - prawdopodobieństwo warunkowe, czyli zdarzenie A może zajść pod warunkiem, że zdarzenie B jest prawdziwe.

Р (В|А) - prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia В.

Tak więc końcową częścią krótkiego kursu „Teoria prawdopodobieństwa” jest formuła Bayesa, której przykłady rozwiązywania problemów przedstawiono poniżej.

Zadanie 5: Do magazynu trafiły telefony trzech firm. Jednocześnie część telefonów produkowanych w pierwszej fabryce to 25%, w drugiej - 60%, w trzeciej - 15%. Wiadomo również, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugiej - 4%, aw trzeciej - 1%. Należy znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany telefon będzie wadliwy.

A = „losowo wzięty telefon”.

B 1 - telefon, który wyprodukowała pierwsza fabryka. W związku z tym pojawią się wprowadzające B 2 i B 3 (dla drugiej i trzeciej fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P(B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P(B2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - więc znaleźliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć warunkowe prawdopodobieństwa pożądanego zdarzenia, to znaczy prawdopodobieństwo wadliwych produktów w firmach:

P. (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P. (A / B 2) \u003d 0,04;

P. (A / B 3) \u003d 0,01.

Teraz podstawiamy dane do wzoru Bayesa i otrzymujemy:

P(A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

W artykule przedstawiono teorię prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, ale to tylko wierzchołek góry lodowej obszernej dyscypliny. A po tym wszystkim, co zostało napisane, logiczne będzie postawienie pytania, czy teoria prawdopodobieństwa jest potrzebna w życiu. Do zwykłego człowieka trudno odpowiedzieć, lepiej zapytać kogoś, kto już nie raz trafił w dziesiątkę.

W gospodarce, podobnie jak w innych obszarach działalności człowieka czy w przyrodzie, nieustannie mamy do czynienia ze zdarzeniami, których nie da się dokładnie przewidzieć. Tak więc wielkość sprzedaży towarów zależy od popytu, który może się znacznie różnić, oraz od wielu innych czynników, których uwzględnienie jest prawie niemożliwe. W związku z tym w organizacji produkcji i sprzedaży należy przewidzieć wynik takich działań na podstawie własnych wcześniejszych doświadczeń lub podobnych doświadczeń innych osób lub intuicji, która również w dużej mierze opiera się na danych eksperymentalnych.

Aby w jakiś sposób ocenić rozważane wydarzenie, należy wziąć pod uwagę lub specjalnie zorganizować warunki, w których to wydarzenie jest rejestrowane.

Nazywa się wdrożenie określonych warunków lub działań w celu zidentyfikowania danego zdarzenia doświadczenie Lub eksperyment.

Zdarzenie nazywa się losowy jeśli w wyniku eksperymentu może to nastąpić lub nie.

Zdarzenie nazywa się autentyczny, jeśli koniecznie pojawia się w wyniku tego doświadczenia, oraz niemożliwe jeśli nie może pojawić się w tym doświadczeniu.

Na przykład opady śniegu w Moskwie 30 listopada to zdarzenie losowe. Codzienny wschód słońca można uznać za pewne wydarzenie. Opady śniegu na równiku można postrzegać jako wydarzenie niemożliwe.

Jednym z głównych problemów teorii prawdopodobieństwa jest problem wyznaczenia ilościowej miary możliwości zajścia zdarzenia.

Algebra zdarzeń

Zdarzenia nazywane są niekompatybilnymi, jeśli nie można ich zaobserwować razem w tym samym doświadczeniu. Tak więc obecność dwóch i trzech samochodów w jednym sklepie na sprzedaż w tym samym czasie to dwa niekompatybilne zdarzenia.

suma zdarzenia to zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń

Przykładem sumy zdarzeń jest obecność przynajmniej jednego z dwóch produktów w sklepie.

praca zdarzeń nazywamy zdarzeniem polegającym na równoczesnym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń

Zdarzenie polegające na pojawieniu się w Sklepie jednocześnie dwóch towarów jest wypadkową zdarzeń: - pojawienia się jednego towaru, - pojawienia się drugiego towaru.

Formularz wydarzeń pełna grupa zdarzeń, jeśli przynajmniej jedno z nich koniecznie wystąpi w eksperymencie.

Przykład. W porcie znajdują się dwa miejsca do cumowania statków. Można wziąć pod uwagę trzy zdarzenia: - brak statków przy nabrzeżach, - obecność jednego statku przy jednym z nabrzeży, - obecność dwóch statków przy dwóch nabrzeżach. Te trzy wydarzenia tworzą kompletną grupę wydarzeń.

Naprzeciwko nazywane są dwa unikalne możliwe zdarzenia, które tworzą kompletną grupę.

Jeśli jedno ze zdarzeń, które są przeciwne, jest oznaczone przez , to zdarzenie przeciwne jest zwykle oznaczone przez .

Klasyczne i statystyczne definicje prawdopodobieństwa zdarzenia

Każdy z jednakowo możliwych wyników testów (eksperymentów) nazywany jest wynikiem elementarnym. Zazwyczaj oznacza się je literami. Na przykład rzuca się kostką. W zależności od liczby punktów na bokach może być sześć podstawowych wyników.

Z elementarnych wyników można skomponować bardziej złożone wydarzenie. Tak więc zdarzenie o parzystej liczbie punktów jest determinowane trzema wynikami: 2, 4, 6.

Ilościową miarą możliwości wystąpienia rozważanego zdarzenia jest prawdopodobieństwo.

Najczęściej stosowane są dwie definicje prawdopodobieństwa zdarzenia: klasyczny I statystyczny.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa związana jest z pojęciem korzystnego wyniku.

Exodus jest nazywany korzystny to zdarzenie, jeżeli jego wystąpienie pociąga za sobą zajście tego zdarzenia.

W podanym przykładzie rozpatrywane zdarzenie jest parzystą liczbą punktów na opuszczonej krawędzi, ma trzy korzystne wyniki. W ta sprawa znane i powszechne
liczbę możliwych wyników. Więc tutaj możesz użyć klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia.

Klasyczna definicja jest równy stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby możliwych wyników

gdzie jest prawdopodobieństwo zdarzenia , jest liczbą korzystnych wyników zdarzenia, jest całkowitą liczbą możliwych wyników.

W rozważanym przykładzie

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa związana jest z pojęciem względnej częstości występowania zdarzenia w eksperymentach.

Względna częstość występowania zdarzenia jest obliczana za pomocą wzoru

gdzie jest liczbą wystąpień zdarzenia w serii eksperymentów (testów).

Definicja statystyczna. Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba, względem której względna częstotliwość jest stabilizowana (ustalana) przy nieograniczonym wzroście liczby eksperymentów.

W praktycznych problemach częstość względna jest traktowana jako prawdopodobieństwo zdarzenia przy wystarczającym poziomie duże liczby testy.

Z tych definicji prawdopodobieństwa zdarzenia widać, że nierówność zawsze zachodzi

Aby określić prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie wzoru (1.1), często stosuje się wzory kombinatoryki, aby znaleźć liczbę korzystnych wyników i całkowitą liczbę możliwych wyników.

Chcesz wiedzieć, które szanse matematyczne na powodzenie twojego zakładu? W takim razie są dla ciebie dwa. dobre wieści. Po pierwsze: aby obliczyć drożność, nie trzeba wykonywać skomplikowanych obliczeń i spędzać dużo czasu. Wystarczy użyć prostych formuł, z którymi praca zajmie kilka minut. Po drugie, po przeczytaniu tego artykułu z łatwością będziesz w stanie obliczyć prawdopodobieństwo przejścia którejkolwiek ze swoich transakcji.

Aby poprawnie określić drożność, musisz wykonać trzy kroki:

• Oblicz procent prawdopodobieństwa wyniku zdarzenia według biura bukmacherskiego;
• Sam oblicz prawdopodobieństwo na podstawie danych statystycznych;
• Znajdź wartość zakładu, biorąc pod uwagę oba prawdopodobieństwa.

Rozważmy szczegółowo każdy z kroków, używając nie tylko wzorów, ale także przykładów.

Szybkie przejście

Obliczanie prawdopodobieństwa zawartego w kursach zakładów

Pierwszym krokiem jest sprawdzenie, z jakim prawdopodobieństwem bukmacher ocenia szanse na konkretny wynik. W końcu jasne jest, że bukmacherzy nie obstawiają kursów ot tak. W tym celu używamy następującego wzoru:

PB=(1/K)*100%,

gdzie P B jest prawdopodobieństwem wyniku według biura bukmacherskiego;

K - kursy bukmacherskie na wynik.

Powiedzmy, że szanse na zwycięstwo londyńskiego Arsenalu w pojedynku z Bayernem wynoszą 4. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jego zwycięstwa przez BC przyjmuje się jako (1/4) * 100% = 25%. Albo Djokovic gra przeciwko South. Mnożnik zwycięstwa Novaka wynosi 1,2, jego szanse wynoszą (1/1,2)*100%=83%.

W ten sposób bukmacher sam ocenia szanse na sukces każdego zawodnika i drużyny. Po wykonaniu pierwszego kroku przechodzimy do drugiego.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia przez gracza

Drugim punktem naszego planu jest własna ocena prawdopodobieństwo zdarzenia. Ponieważ nie możemy matematycznie uwzględnić takich parametrów jak motywacja, ton gry, użyjemy uproszczonego modelu i wykorzystamy tylko statystyki z poprzednich spotkań. Aby obliczyć statystyczne prawdopodobieństwo wyniku, używamy wzoru:

PI\u003d (UM / M) * 100%,

GdziePI- prawdopodobieństwo zdarzenia według gracza;

UM - liczba udanych meczów, w których takie zdarzenie miało miejsce;

M to całkowita liczba dopasowań.

Aby było to jaśniejsze, podamy przykłady. Andy Murray i Rafael Nadal rozegrali 14 meczów. W 6 z nich odnotowano łącznie poniżej 21 meczów, w 8 – łącznie powyżej. Należy ustalić prawdopodobieństwo, że następny mecz zostanie rozegrany na sumę powyżej: (8/14)*100=57%. Valencia rozegrała 74 mecze na Mestalla przeciwko Atlético, w których odniosła 29 zwycięstw. Prawdopodobieństwo wygranej Valencii: (29/74)*100%=39%.

A wiemy to wszyscy tylko dzięki statystykom poprzednich gier! Oczywiście takiego prawdopodobieństwa nie można obliczyć dla jakiejś nowej drużyny lub gracza, więc ta strategia obstawiania jest odpowiednia tylko dla meczów, w których przeciwnicy spotykają się nie po raz pierwszy. Teraz wiemy, jak określić zakłady i własne prawdopodobieństwa wyników, i mamy całą wiedzę, aby przejść do ostatniego kroku.

Określenie wartości zakładu

Wartość (wartość) zakładu i pasowalność są ze sobą bezpośrednio powiązane: im wyższa wycena, tym większa szansa na trafienie. Wartość jest obliczana w następujący sposób:

V=PI*K-100%,

gdzie V jest wartością;

P I - prawdopodobieństwo wyniku według lepszego;

K - kursy bukmacherskie na wynik.

Powiedzmy, że chcemy postawić na zwycięstwo Milanu w meczu z Romą i obliczyliśmy, że prawdopodobieństwo wygranej czerwono-czarnych wynosi 45%. Bukmacher oferuje nam współczynnik 2,5 dla tego wyniku. Czy taki zakład byłby wartościowy? Przeprowadzamy obliczenia: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Świetnie, mamy cenny zakład z dużymi szansami na spasowanie.

Weźmy inny przypadek. Maria Szarapowa zmierzy się z Petrą Kvitovą. Chcemy dobić targu, aby Maria wygrała, co według naszych obliczeń ma 60% prawdopodobieństwo. Bukmacherzy oferują mnożnik 1,5 dla tego wyniku. Określ wartość: V=60%*1,5-100=-10%. Jak widać, ten zakład nie ma żadnej wartości i należy się od niego powstrzymać.

Dostarczono do dnia dzisiejszego otwarty słoik UŻYWAJ problemów w matematyce (mathege.ru), których rozwiązanie opiera się tylko na jednym wzorze, którym jest klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Najprostszym sposobem zrozumienia formuły są przykłady.
Przykład 1 W koszu jest 9 kul czerwonych i 3 kule niebieskie. Kule różnią się tylko kolorem. Losowo (bez patrzenia) dostajemy jedną z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana w ten sposób kula będzie niebieska?

Komentarz. W problemach z prawdopodobieństwem dzieje się coś (w tym przypadku nasza akcja polegająca na pociągnięciu piłki), co może mieć miejsce inny wynik- wynik. Należy zauważyć, że wynik można rozpatrywać na różne sposoby. „Wyciągnęliśmy piłkę” to też wynik. „Wyciągnęliśmy niebieską piłkę” to wynik. „Wylosowaliśmy tę konkretną piłkę ze wszystkich możliwych piłek” – ten najmniej uogólniony pogląd na wynik nazywa się wynikiem elementarnym. To elementarne wyniki są rozumiane we wzorze do obliczania prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie. Teraz obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli.
Zdarzenie A: „wybrana piłka okazała się niebieska”
Łączna liczba wszystkich możliwych wyników: 9+3=12 (liczba wszystkich kul, które moglibyśmy wylosować)
Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A: 3 (liczba takich wyników, w których wystąpiło zdarzenie A – czyli liczba kulek niebieskich)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Obliczmy dla tego samego problemu prawdopodobieństwo wylosowania kulki czerwonej.
Całkowita liczba możliwych wyników pozostanie taka sama, 12. Liczba korzystnych wyników: 9. Pożądane prawdopodobieństwo: 9/12 = 3/4 = 0,75

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1.
Czasami w mowa codzienna(ale nie w teorii prawdopodobieństwa!) Prawdopodobieństwo zdarzeń szacuje się w procentach. Przejście między oceną matematyczną a konwersacyjną odbywa się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) przez 100%.
Więc,
W tym przypadku prawdopodobieństwo jest zerowe dla zdarzeń, które nie mogą się zdarzyć - nieprawdopodobne. Na przykład w naszym przykładzie byłoby to prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli z kosza. (Liczba korzystnych wyników wynosi 0, P(A)=0/12=0 licząc według wzoru)
Prawdopodobieństwo 1 obejmuje zdarzenia, które absolutnie na pewno się spełnią, bez opcji. Na przykład prawdopodobieństwo, że „wybrana kula będzie albo czerwona, albo niebieska” jest dla naszego problemu. (Liczba korzystnych wyników: 12, P(A)=12/12=1)

Przyjrzeliśmy się klasycznemu przykładowi ilustrującemu definicję prawdopodobieństwa. Wszystkie podobne problemy USE w teorii prawdopodobieństwa są rozwiązywane za pomocą tego wzoru.
Zamiast czerwonych i niebieskich kulek mogą być jabłka i gruszki, chłopcy i dziewczęta, bilety wyuczone i niewyuczone, bilety zawierające i nie zawierające pytania na dany temat (prototypy, ), wadliwe i wysokiej jakości torby lub pompki ogrodowe (prototypy, ) - zasada pozostaje ta sama.

Różnią się nieco sformułowaniem problemu teorii prawdopodobieństwa USE, gdzie trzeba obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w określonym dniu. ( , ) Podobnie jak w poprzednich zadaniach, musisz określić elementarny wynik, a następnie zastosować tę samą formułę.

Przykład 2 Konferencja trwa trzy dni. Pierwszego i drugiego dnia po 15 prelegentów, trzeciego dnia 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że referat prof.

Jaki jest elementarny wynik tutaj? - Przypisanie referatu profesorskiego do jednego z wszystkich możliwych numerów porządkowych przemówienia. W losowaniu bierze udział 15+15+20=50 osób. Tym samym raport profesora M. może otrzymać jeden z 50 numerów. Oznacza to, że istnieje tylko 50 elementarnych wyników.
Jakie są korzystne wyniki? - Te, w których okaże się, że profesor będzie przemawiał trzeciego dnia. To znaczy ostatnich 20 numerów.
Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwo P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpowiedź: 0,4

Losowanie jest tutaj ustaleniem przypadkowej korespondencji między ludźmi a uporządkowanymi miejscami. W przykładzie 2 dopasowywanie rozpatrywano pod kątem tego, które z miejsc może zająć dana osoba. Do tej samej sytuacji można podejść z drugiej strony: która z osób z jakim prawdopodobieństwem mogłaby dostać się w określone miejsce (prototypy , , , ):

Przykład 3 W losowaniu bierze udział 5 Niemców, 8 Francuzów i 3 Estończyków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy (/drugi/siódmy/ostatni - to nie ma znaczenia) będzie Francuzem.

Liczba wyników elementarnych to liczba wszystkich możliwych osób, które mogłyby się do nich dostać dane miejsce. 5+8+3=16 osób.
Korzystne wyniki – Francuzi. 8 osób.
Pożądane prawdopodobieństwo: 8/16=1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5

Prototyp jest nieco inny. Niektóre zadania dotyczące monet () i kości () są nieco bardziej kreatywne. Rozwiązania tych problemów można znaleźć na stronach prototypów.

Oto kilka przykładów rzucania monetą lub kostką.

Przykład 4 Kiedy rzucamy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki?
Wyniki 2 - orzeł lub reszka. (uważa się, że moneta nigdy nie spada na krawędź) Korzystny wynik - reszka, 1.
Prawdopodobieństwo 1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5.

Przykład 5 A co jeśli rzucimy monetą dwa razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł w obu przypadkach?
Najważniejsze jest ustalenie, które elementarne wyniki weźmiemy pod uwagę, rzucając dwiema monetami. Po rzucie dwiema monetami może wystąpić jeden z następujących wyników:
1) PP - za każdym razem wypadła reszka
2) PO - za pierwszym razem reszka, za drugim orzeł
3) OP - za pierwszym razem reszka, za drugim razem reszka
4) OO – oba razy gra heads-up
Nie ma innych opcji. Oznacza to, że są 4 podstawowe wyniki. Tylko pierwszy jest korzystny, 1.
Prawdopodobieństwo: 1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty monetą zakończą się reszką?
Liczba wyników elementarnych jest taka sama, 4. Korzystne wyniki to drugi i trzeci, 2.
Prawdopodobieństwo wylosowania jednej reszki: 2/4=0,5

W takich problemach może się przydać inna formuła.
Jeżeli przy jednym rzucie monetą mamy 2 możliwe wyniki, to za dwa rzuty wypadną wyniki 2 2=2 2 =4 (jak w przykładzie 5), za trzy rzuty 2 2 2=2 3 =8, za cztery : 2·2·2·2=2 4 =16, … dla N rzutów możliwych wyników będzie 2·2·...·2=2 N .

Możesz więc znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 reszek z 5 rzutów monetą.
Łączna liczba wyników elementarnych: 2 5 =32.
Korzystne wyniki: 1. (RRRRRR - wszystkie 5 razy reszki)
Prawdopodobieństwo: 1/32=0,03125

To samo dotyczy kostek. Przy jednym rzucie jest 6 możliwych wyników, więc przy dwóch rzutach: 6 6=36, przy trzech 6 6 6=216 itd.

Przykład 6 Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej?

Suma wyników: 6, w zależności od liczby twarzy.
Korzystne: 3 wyniki. (2, 4, 6)
Prawdopodobieństwo: 3/6=0,5

Przykład 7 Rzuć dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wypadnie 10? (zaokrąglij do setnych)

Istnieje 6 możliwych wyników dla jednej kości. Stąd dla dwóch, zgodnie z powyższą regułą, 6·6=36.
Jakie wyniki będą sprzyjające wypadnięciu w sumie 10?
10 należy rozłożyć na sumę dwóch liczb od 1 do 6. Można to zrobić na dwa sposoby: 10=6+4 i 10=5+5. Tak więc w przypadku kostek możliwe są opcje:
(6 na pierwszym i 4 na drugim)
(4 na pierwszym i 6 na drugim)
(5 na pierwszym i 5 na drugim)
W sumie 3 opcje. Pożądane prawdopodobieństwo: 3/36=1/12=0,08
Odpowiedź: 0,08

Inne typy problemów B6 zostaną omówione w jednym z poniższych artykułów „Jak rozwiązać”.